El documento describe las diferentes estructuras algebraicas, incluyendo conjuntos numéricos como los números naturales, enteros y racionales. Explica las propiedades de las operaciones binarias como la ley de composición interna, la asociatividad, el elemento neutro y los inversos. Luego define estructuras algebraicas como monoides, semigrupos, grupos y grupos abelianos. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
3. 04/07/2017
R
0, 1, 2, 3,4, …
N
-4, -3, -2, -1
Z
3
6 7
35
2 33
I
N = Números Naturales (enteros positivos)
Z = Números enteros (positivos y negativos)
Q = Números Racionales (fraccionarios y decimales)
I = Irracionales
R = Números Reales
0,6666…….
3,1415…….
0,5
9,72
Q
4
6
7
3
3
8
Gustavo Salinas E.
4. ESTRUCTURAS
ALGEBRAICAS
Interviene alguna ley
de composición externa
Interviene solo leyes de
composición interna
Interviene una
sola Ley
Interviene dos
Leyes
Grupoide o Monoide
Semigrupo
Grupo
Semianillo
Anillo
Semicuerpo
Cuerpo o Campo
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
04/07/2017
Gustavo Salinas E.
5. DEFINICIÓN: Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un
conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
Dotar a un conjunto de una o varias leyes de composición es conferirle una estructura.
Una estructura queda conferida por los axiomas establecidos entre los elementos de un
conjunto.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
En conclusión, dado un conjunto cualquiera, nos vamos a interesar en la organización
interna de sus elementos, de acuerdo con esto los conjuntos van tomando características y
propiedades particulares, los mismos que están determinados por las llamadas Leyes de
Composición u operaciones, que verificando ciertas propiedades van estructurando al
conjunto.
04/07/2017
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6. OPERACIÓN BINARIA Ó LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Sea A un conjunto no vacío y : A x A A , se dice que es una operación binaria.
La imagen de cualquier par (a , b) bajo la operación se representa como a* b.
En otras palabras dado un conjunto no vacío A y el producto cartesiano de A x A, es una
función de modo que a cada par ordenado (a , b) le hace corresponder un único elemento
de A, simbolizado por a*b.
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Dados tres conjuntos A, B y C, llamamos ley de composición u operación a toda aplicación de
A x B en C.
Esta aplicación hace corresponder a todo par (a , b) A x B un elemento c C.
Las leyes de composición se representan por los signos : ∗ , T , , , , + (si es ley aditiva), ● (si
es ley multiplicativa).
LEY DE COMPOSICIÓN:
El concepto de operación o ley de composición es una abstración y generalización de las
operaciones clásicas, suma y producto, entre números, consideradas como leyes mediante las cuales
de dos elementos obtenemos otro, y así decimos que la suma de 3 y 4 es 7 o el producto 12.
7. Dados dos conjuntos A y B, se dice que una aplicación de la forma:
Es una ley de composición externa por la izquierda.
A x B: A
( , )a b c a b
Es una ley de composición externa por la derecha, y a los
elementos del conjunto B se les llama multiplicadores o escalares
de la operación.
B x A : A
( , )b a c b a
Ejemplo 1:
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Dados dos conjuntos A y K , una ley de composición externa es una aplicación K x A A, es decir, a
un elemento de K y a otro elemento de A les hace corresponder uno de A .
LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA:
8. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1. Ley de Composición interna (LCI) o Cerrada:
Sea A un conjunto, * se llama “ley de composición interna en A”.
, A,se cumple:
A x A : A
( , ) A.
a b
a b c a b c
Ejemplo 1:
La adición o la multiplicación es ley de composición interna en N, Z, Q, R.
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9. Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto
A = {a , b , c }
Ejemplo 2:
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
a b c
a a b b
b c a c
c b c a
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10. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
2. Propiedad Asociativa: Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es asociativa,
si y sólo si:
, ,c A,se cumple:
( ) ( )
a b
a b c a b c
Ejemplo 1: Verificar en las dos tablas si se cumple la propiedad asociatividad.
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
a b c
a a b b
b c a c
c b c a
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11. Ejemplo 2: Verificar si se cumple la propiedad asociativa de * definida en R, por:
a ∗ b = a + b + 2ab
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + 2bc)
= a + (b + c + 2bc) + 2a(b + c + 2bc)
= a + b + c + 2bc + 2ab + 2ac + 4abc:
(a ∗ b) ∗ c = (a + b + 2ab) ∗ c
= (a + b + 2ab) + c + 2(a + b + 2ab)c
= a + b + 2ab + c + 2ac + 2bc + 4abc:
PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Si cumple con la
propiedad asociativa
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12. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
3. Propiedad del elemento neutro: Sea ∗ ley de composición interna en A, e ∈ A se llama
elemento neutro.
A, A, se cumple:a e
a e e a a
Ejemplo 1:
1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicación en los números reales.
Ejemplo 2:
Dada la siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto:
A = {a , b , c }. Determinar el elemento neutro y demostrar si se cumple
dicha propiedad.
a b c
a a b c
b b c a
c c a b04/07/2017 Gustavo Salinas E.
13. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
4. Existencia del elemento simétrico u opuesto (inverso):
Sea ∗ ley de composición interna en A, a´ ∈ A se llama elemento simétrico, opuesto o inverso.
A, ´ A, se cumple:
´ ´
a a
a a a a e
Ejemplo 1:
1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicación en los números reales.
Ejemplo 2:
Dada la siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto:
A = {a , b , c }. Determinar el elemento neutro y demostrar si se cumple
dicha propiedad.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b04/07/2017 Gustavo Salinas E.
14. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
5. Propiedad Conmutativa: Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es conmutativa.
, A, se cumple:a b
a b b a
Sea el conjunto A = {a, b, c} y la operación * definida
como conmutativa, verificar si cumple con ésta propiedad.
Ejemplo 1:
* a b c
a a b c
b b a b
c c b a
Ejemplo 2:
Si x * y = x² + y², y tomamos el par ordenado (-3 , 2), verificar la propiedad conmutativa.
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15. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
6. Propiedad Distributiva de la segunda operación (*) con respecto a la primera
operación (●):
Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que
denotamos por: (A, ●, *), es distributiva la segunda operación (*) con respecto a la primera operación (●).
, , A, se cumple:
( )
a b c
a b c a b a c
Ejemplos 1. La propiedad distributiva también se conoce como la ley distributiva de la multiplicación y suma.
4 x ( 8 + 3) = (4 x 8) + (4 x 3)
Ejemplos 2.
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
Dadas las siguientes tablas, verificar si cumple con
la propiedad distributiva de la segunda operación ()
respecto de la primera operación ().
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16. Sea el sistema (B,*) donde B es le conjunto formado por B= {a, b, c, u} y la
operación * definida de acuerdo a la siguiente tabla:
Ejemplo 3:
PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1) Determinar si la siguiente operación cumple con cerradura o l.c.i.
2) Elemento idéntico
3) Los inversos
4) Asociatividad
5) Conmutatividad
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17. Consideremos dos leyes de composición interna a•b = 3a+2b y ab = 4ab, ambas
definidas sobre Z. Ver si son asociativas, conmutativas y si alguna de ellas es distributiva
respecto la otra.
1
1
xy
x y
x y
x y
x y
x y
Ejemplo 4:
PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Las leyes • y están definidas en el conjunto R+
estudiar si son asociativas y conmutativas.
Ejemplo 5:
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18. Una estructura, por consiguiente, queda definida por los axiomas que rigen las relaciones y las operaciones de las que esta
dotada. En lo que sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundamentales del algebra: grupos, anillos, cuerpos.
MONOIDE: El par (A , ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición
interna se denomina monoide.
Ejemplos: Son monoides:
El conjunto de. ( N , + )
El conjunto de. ( Z , + )
El conjunto de. ( Q , + )
El conjunto de. ( N , * )
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
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19. SEMIGRUPO: El par (S , *) donde S es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición
interna * . Se denomina Semigrupo si es monoide y tiene la propiedad asociativa.
Es decir tiene:
Ley de Composición interna (l.c.i).
Propiedad Asociativa.
Ejemplo 1:
Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.
Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.
( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.
( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.
( N , * ) es semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.
Ejemplo 2:
● a b
a a b
b b a
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Dadas las siguientes tablas, verificar si cumple con
las propiedades de estructura de semigrupo.
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20. GRUPO: Sea el par (A , *), donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *:
Se dice que es un grupo si cumple con las siguientes propiedades:
Ley de Composición interna (l.c.i).
Propiedad Asociativa.
Existencia del Elemento Neutro.
Existencia del elemento simétrico.
Ejemplo 1:
El conjunto ( Z , + ), de los números enteros respecto de la operación suma, tiene
estructura de grupo.
El conjunto ( Q , x ), de los números racionales respecto de la operación multiplicación,
tiene estructura de grupo.
Ejemplo 2:
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Considérese el conjunto formado por los cuatro
elementos {a,b,c,e} y una ley de composición
interna dada por la siguiente tabla:
Ver si tiene estructura de un grupo.
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21. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Sea el conjunto de los números enteros, (Z; ∗) tal que a ∗ b = a + b − 2, a; b ∈ Z.
Demuestrar que (Z; ∗) es grupo.
Ejemplo 3:
GRUPO ABELIANO: Se dice que la estructura (A, *) es un grupo abeliano con respecto a la operación *, si cumple:
(A, *) tiene estructura algebraica de grupo.
(A, *) tiene la propiedad conmutativa.
Es decir tiene:
Ley de composición interna (l.c.i).
Propiedad Asociativa.
Existencia del elemento neutro.
Existencia del elemento simétrico.
Propiedad Conmutativa.
Si además * es conmutativa se denomina grupo abeliano. Un grupo (G,*) es finito cuando el conjunto G es un
conjunto finito, cuyo cardinal se denomina orden del grupo.
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22. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
(Z,+) es grupo abeliano, donde el neutro es 0 y el opuesto de z Z es z.
(Z/(n),+) es grupo abeliano.
(Q,+), (R,+) y (C,+) son grupos abelianos.
(Q*,·) ,(R*,·) y (C*,·) son grupos abelianos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Sea G = {2, 4, 6, 8}. Se define el producto en G mediante la siguiente tabla:
Verificar si es un grupo abeliano.
● 2 4 6 8
2 4 8 2 6
4 8 6 4 2
6 2 4 6 8
8 6 2 8 4
Ejemplo 3:
a * b = a + b+ 3 forma un grupo abeliano.
El par (Z, *), donde Z es el conjunto de los números enteros y * es una operación definida como:
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23. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURA DE SEMIANILLO: Dado un conjunto S y dos leyes de composición interna y . Se emplea la notación (S,
, ), decimos que tiene estructura de Semianillo si cumple:
1. (S, ) es semigrupo conmutativo.
2. (S, ) es semigrupo.
3. La segunda operación es distributiva respecto a la primera operación .
Es decir cumple:
1: Respecto de la primera operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
c) Propiedad Conmutativa.
2: Respecto de la segunda operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación.
04/07/2017
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24. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Cuando (S, ), es un semigrupo conmutativo, se dice que (S,,) es un semianillo conmutativo.
Ejemplo 1: El conjunto N de los números naturales respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de semianillo
conmutativo.
En Z consideramos las dos leyes de composición internas definidas por:
a b = a + b -8 y a b = a + b –ab.
Verificar si tiene estructura de semianillo.
Ejemplo 2:
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
a b c
a a b b
b c a c
c b c a
Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto A = {a , b , c }
Comprobar si es un semianillo.
Ejemplo 3:
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25. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURA DE ANILLO: Dado un conjunto A y dos leyes de composición interna y . Se emplea la notación (A,
, ), decimos que tiene estructura de anillo si cumple:
1. (A, ) es grupo conmutativo.
2. (A, ) es semigrupo.
3. La segunda operación es distributiva respecto a la primera operación .
Es decir cumple:
1: Respecto de la primera operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
e) Propiedad Conmutativa.
2: Respecto de la segunda operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
c) Existencia del elemento neutro.
d) Existencia del elemento simétrico.
3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación.04/07/2017 Gustavo Salinas E.
26. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
En el conjunto de los números reales se definen las operaciones:
x y = x + y + 4,
x y = xy + 4x + 4y + 12.
Demostrar que (R, , ∗) es anillo conmutativo.
Ejemplo 1: Los conjuntos Z, Q, R y C respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de anillo conmutativos con
elemento unidad.
Cuando (S, ), es un semigrupo conmutativo, se dice que (S,,) es un anillo unitario conmutativo con respecto a la segunda
operación .
Ejemplo 2:
Sea A = {a , b , c, d}. Se define la suma y el producto mediante las siguientes tablas.
Comprobar si (A, +, x), es un anillo.
Ejemplo 3:
+ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
x a b c d
a a a a a
b a b a b
c a c a c
d d d a d
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27. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ANILLO DE LAS CLASES RESIDUALES MÓDULO n: Dentro del conjunto Z , la relación de congruencia se define así:
¨Dos enteros a y b son congruentes módulo n cuando dan el mismo resto r al ser divididos por n.¨
Este conjunto, provisto de las operaciones de suma y producto definidas así:
Suma (+): Si a y b pertenecen a Zn, entonces a + b es igual al resto de la división de a + b por n.
a b
r
n
Ejemplo: Si n = 6; a = 4 y b = 5, entonces:
4 5
3
6
r
Producto (x): Si a y b pertenecen a Zn, entonces a x b es igual al resto de la división de a x b por n.
xa b
r
n
Ejemplo: Si n = 6; a = 4 y b = 5, entonces:
4 x 5
2
6
r
Esta relación de congruencia es una relación de equivalencia originando una partición del conjunto Z . En cada clase
están todos los números enteros de la forma a + kn, siendo k un número entero.04/07/2017 Gustavo Salinas E.
28. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Dado el conjunto Z4 = 0, 1, 2, 3, construir las tablas residuales para la suma y el producto.Ejemplo 1:
+ 0 1 2 3
0
1
2
3
x 0 1 2 3
0
1
2
3
Dado el conjunto Z6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, construir las tablas residuales para la suma y el producto.Ejemplo 2:
+ 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
x 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
504/07/2017
Gustavo Salinas E.
29. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN UN ANILLO: En un anillo (A, , ), las ecuaciones de la forma:
óa x b y a b Tienen solución y esta es única ya que todo elemento a A admite su simétrico
respecto que llamamos a’.
Sin embargo ecuaciones de la forma:
a x b c No siempre tienen solución en un anillo ya que no todos los elementos a del anillo tienen inverso a-1,
puede ocurrir que haya elementos que al tener varios inversos la ecuación tenga varias soluciones.
Resolver la ecuación 2x + 3 = 1, en el anillo (Z5, +, x).Ejemplo 1:
Resolver la ecuación 3x + 4 = 1, en el anillo (Z6, +, x).Ejemplo 2:
Resolver la ecuación 2x + 5 = 3, en el anillo (Z7, +, x).Ejemplo 3:
04/07/2017 Gustavo Salinas E.
30. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURA DE CUERPO: Sea K un conjunto no vacío, y dos leyes de composición interna y definidas sobre K.
Se emplea la notación (K, , ), decimos que tiene estructura de cuerpo si cumple:
1. (K, ) es grupo conmutativo o grupo abeliano.
2. (K*, ) es un grupo conmutativo o abeliano, K* = K - 0.
3. La segunda operación es distributiva respecto a la primera operación .
Es decir cumple:
1: Respecto de la primera operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
e) Propiedad Conmutativa.
2: Respecto de la segunda operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
c) Existencia del elemento neutro.
d) Existencia del elemento simétrico.
c) Existencia del elemento neutro.
d) Existencia del elemento simétrico.
04/07/2017 Gustavo Salinas E.
31. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación .
Cuando (K, ), es un grupo conmutativo o abeliano, se dice que (K,,) es un cuerpo abeliano o cuerpo conmutativo respecto a la
segunda operación .
Ejemplo 1: El conjunto Q, de los números racionales respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo,
(Q, +, x).
Dado el conjunto Z2 = 0, 1expresado mediante las siguientes tablas. Verificar si es un cuerpo.Ejemplo 2:
En el conjunto A = a, b, c, d se definen
las operaciones y dadas en las
siguientes tablas. Comprobar si es un
cuerpo.
Ejemplo 3:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
x 0 1
0 0 0
1 0 1
a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
a b c d
a d c b a
b c d a b
c b a d c
d a b c d04/07/2017
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32. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Sea R el conjunto de los números reales, definimos en R las operaciones:
x y = x + y -1,
x y = x + y -xy.
Demostrar que (R, , ∗) es un cuerpo.
Ejemplo 4:
Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:
a b = a + b - 8,
a b = a + b - ab.
Demostrar que (Z, , ∗) es un cuerpo.
Ejemplo 5:
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33. RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Una ley de composición interna “ * ” definida en un conjunto A es una aplicación:
: A x A : A
( , ) , , A.a b c a b a b c
La ley de composición interna (l.c.i) es común para todas las estructuras algebraicas:NOTA:
1. ESTRUCTURAS CON UNA LEY INTERNA:
a)
04/07/2017
Gustavo Salinas E.
34. b)
RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
04/07/2017
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35. RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
2. ESTRUCTURAS CON DOS LEYES INTERNAS:
a)
b)
Ejemplos:
(Q, +, *) el conjunto de los números racionales (salvo el cero) con la suma y el producto usuales.
(R, +, *) el conjunto de los números reales (salvo el cero) con la suma y el producto de números reales.
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36. 04/07/2017 Gustavo Salinas E.
Sobre Z definimos las l.c.i.
ab = a+b6 ab = ab6(a+b)+42
Se verifica que (Z,§) es grupo abeliano