Bioestadistica

1. Prueba de Hipótesis

2. • Una hipótesis estadísticas es una aseveración o conjetura con respecto a
una o más poblaciones.
• La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con
absoluta certidumbre, a menos que examinemos toda la población, lo
cual, por supuesto, sería poco práctico en la mayoría de las situaciones.
En cambio, tomamos una muestra aleatoria de la población de interés, y
utilizamos los datos contenidos en esta muestra para proporcionar
evidencia que apoye o no la hipótesis.
• el rechazo de una hipótesis simplemente implica que la evidencia de la
muestra la refuta. Por otro lado, el rechazo significa que hay una
pequeña probabilidad de obtener la información muestral observada
cuando, de hecho, la hipótesis es verdadera.

3. Hipótesis nula e hipótesis alternativa
• La estructura de la prueba de hipótesis se formulará usando el
término hipótesis nula, el cual se refiere a cualquier hipótesis que
deseamos probar y se denota con H0. El rechazo de H0 conduce a la
aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota con H1.
• La hipótesis alternativa H1, por lo general, representa la pregunta que
debe responderse, la teoría que debe probarse y, por ello, su
especificación es muy importante. La hipótesis nula H0 anula o se
opone a H1 y a menudo es el complemento lógico para H1.

4. • Una embotelladora de bebidas puede plantear la hipótesis que el
contenido promedio es de 16 oz. Esta hipótesis nula (H0) se prueba
contra la hipótesis alternativa que 𝜇 ≠ 16 (H1),
• Con base en los datos muéstrales se rechaza o no se rechaza la
hipótesis nula. El no rechazo de la hiótesis nula solamente significa
que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para
llevar a su rechazo. Suponga que 𝑋 = 16, esto no prueba que 𝜇 =
16. Puede ser que 𝜇 = 15.8 y debido al error de muestreo aproxime
a 16.
• Cómo un juicio en dónde los resultados son culpable o no culpable,
nunca inocente, el hecho de ser no culpable indica que no hay
suficientes datos para comprobar que sea culpable.

5. • Suponga que 𝑋 = 16.15 ¿Se puede concluir que la media poblacional
no es 16?
• Esta diferencia podría ser estadísticamente insignificante, explicada
como error de muestreo. La evidencia no es lo suficientemente fuerte
para rechazar la hipótesis nula.
• ¿Qué tan grande debe ser la diferencia para que sea estadísticamente
significativa y conduzca a un rechazo de la hipótesis nula?
• Si σ es desconocida, se utiliza la desviación estándar muestral s.

6. • La distribución normal resultante de los valores de Z tiene una media
de cero y una desviación estándar de uno. La regla empírica dice que
el 95% de las 𝑋𝑠 en la distribución de muestreo están a 1.96 errores
estándar de la media poblacional desconocida-

7. Valores críticos de Z y zonas de rechazo.
• 𝑍 ± 1.96 son valores críticos que determinan las zonas de rechazo.
• el 5% de las colas se conoce como el nivel de significancia. O valor alfa
de la prueba.
• Si la hipótesis del embotellador es correcta, es poco probable (5%)
que un muestra cualquiera produzca un valor Z que caída en
cualquiera de las zona de rechazo. Por tanto, si un valor de Z mayor
que 1.96 o menor que -1.96 ocurre, no es probable que la
distribución esté centra y la hipótesis nula se rechazaría.
• Regla de decisión: No se rechaza la hipótesis nula si los valores Z están
entre ±1.96 Se rechaza si el valor Z es menor que -1.96 o mayor que
1.96.

8. Nivel de significancia y la probabilidad de
error
• Se pueden cometer dos tipos de errores.
• Error tipo I: Es rechazar una hipótesis nula que es verdadera.
Si la hipótesis de la embotelladora es verdadera y 𝜇 = 16 hay 5% de
que una media muestra caiga en cualquier zona de rechazo. Haciendo
que se rechace incorrectamente la prueba. α(nivel de significancia)
indica la probabilidad de un error tipo I.
• Error tipo II: no rechazar una hipótesis nula que es falsa. La
probabilidad de este error β no se determina fácilmente. Ya que no se
puede asumir que α+ β=1

9. • Los niveles de significancia, α comúnmente seleccionado son 10, 5 y
1%. Su elección depende de que tipo de error se desea evitar.
• Si rechazar la hipótesis verdadera (error tipo I) es más serio que si no
se rechaza una hipótesis falsa (error tipo II) se desearía un valor α
bajo. Por otra parte, si no rechazar una hipótesis falsas (error tipo II)
es más serio, en este caso es preferible un valor α más alto.
• Suponga que el embotellador para bebidas rechaza la hipótesis nula
𝐻0: 𝜇 = 16 y para el proceso para ajustar el nivel del contendió. Sin
embargo la media es 16 oz.
• Se cometió un error tipo I. Si esto es más costoso que un error tipo II,
al permitir que continúe el proceso cuando 𝜇 ≠ 16 , el embotellador
desearía seleccionar un α bajo.

10. • Al probar cualquier hipótesis estadística, hay cuatro situaciones
posibles que determinan si nuestra decisión es correcta o errónea.

11. • La probabilidad de cometer un error de tipo II es β, que depende de
la potencia de la prueba. Puede reducir su riesgo de cometer un error
de tipo II al asegurarse de que la prueba tenga suficiente potencia.
Para ello, asegúrese de que el tamaño de la muestra sea lo
suficientemente grande como para detectar una diferencia práctica
cuando ésta realmente exista.

12. • 1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Por lo general, una
disminución en la probabilidad de uno tiene como resultado un
incremento en la probabilidad del otro.
• 2. El tamaño de la región crítica y, por lo tanto, la probabilidad de
cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el(los)
valor(es) crítico(s).
• 3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá a α y β de forma
simultánea.
• 4. Si la hipótesis nula es falsa, β es un máximo cuando el valor real de
un parámetro se aproxima al valor hipotético. Cuanto más grande sea
la distancia entre el valor real y el valor hipotético, β será menor.

13. Prueba de dos colas para μ
• Paso 1: Plantear la hipótesis
• Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del
estadístico de prueba Z.
• Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores
críticos de Z.
• Paso 4: Interpretación y conclusiones.

14. • El embotellador desea probar la hipótesis de que la media poblacional es
16 oz. Y selecciona un nivel de significancia del 5%
• 𝐻0: 𝜇 = 16
• 𝐻1: 𝜇 ≠ 16
• Dónde: 𝑋 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙,
𝜇𝐻 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎,
𝜎 𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙.
• 𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

15. • Si n=50 botellas con una media 𝑋 = 16.357 oz. Y una desviación
estándar de s=0.866 oz.
𝑍 =
16.357 − 16
0.866
50
= 2.91
Para el 5% de significancia. El área del 95%/2 =0.4750. En la tabla Z está
da valores críticos de Z ±1.96
• La regla dice: “no se rechaza la hipótesis nula si −1.96 ≤ 𝑍 ≤ 1.96 se
rechaza si −1.96 > 𝑍 𝑜 𝑍 > 1.96
• El valor estadístico para la muestra de 16.357 oz. Produce una
Z=2.91>1.96 y cae en la zona de rechazo. Es poco probable que una
población con una media de 16 pueda dar una muestra que produzca
Z>1.96 ya que sólo hay 2.5% de probabilidad

16. • Por lo tanto la hipótesis nula 𝐻0: 𝜇 = 16 se rechaza a un nivel de
significancia del 5%.
• Ejemplo: El gerente desea probar la hipótesis de que las cuenta tiene
un promedio de Q.312. Se selecciona una muestra de 200 cuentas,
dado una media de Q.298.10 con s=Q.97.30. Para minimizar la
probabilidad de un error tipo I, se selecciona un valor de α=1%.

17. Prueba de una cola para μ
• Ventas.

18. • En lugar de plantear la hipótesis de que el nivel contenido promedio
sea exactamente 16oz. Se establece que sea por lo menos 16oz. La
hipótesis nula se convierte 𝐻0: 𝜇 ≥ 16 𝐻𝐴: 𝜇 < 16.
• Sólo los valores que están significativamente por debajo de 16
pueden causar un rechazo de la hipótesis nula.
• En el caso que se diga que el contenido promedio es a lo más 16. la
hipótesis nula es escribe como 𝐻0: 𝜇 ≤ 16 𝐻𝐴: 𝜇 > 16.
• Ejemplo: El gerente de un hotel reportó que el número promedio de
habitaciones alquilada por noche es de por lo menos 212. Para
comprobar esto se tomo una muestra de 150 noches que produjo una
media de 201.3 habitaciones y una desviación estándar de 45.5
habitaciones. Si esto resultados muestran que el gerente inflo sus
resultados será penalizado. A un nivel de 1% cuál es el destino del
gerente?

19. Pruebas para μ, muestras pequeñas
• Al igual que con los intervalos de confianza, si la muestra es pequeña,
σ es desconocida, y la población es normal o casi normal en cuanto a
su distribución, puede utilizarse la distribución t.
• Se quiere comprobar que la hamburguesa cuarto de libra posee
0.25lb. Se toman 25 hamburguesas y se pesaron 𝑋 = 0.22 𝑙𝑏, 𝑠 =
0.09 utilice una significancia de 5%.
• 𝐻0: 𝜇 = 0.25
• 𝐻1: 𝜇 ≠ 0.25
• n<30

20. • 𝑡 =
0.22−0.25
0.09
25
= 1.667
• Este valor se compara con un valor crítico de t con n-1 grados de
libertad y un α del 5%. De la tabla t=2.064. La regla de decisión es:
• No rechazar 𝐻0 si t está entre ±2.064. Rechzar 𝐻0 si t es menor
a −2.064 o mayor a +2.064

21. • El peso de una raza de perros bien alimentados debe ser un poco
menos de 40 lb. Se pesan 15 perros y se descubre una media de
41.71lb con s=4.71lb. Seleccionando una probabilidad del 1% de
cometer un error de tipo 1
• 𝐻0: 𝜇 ≤ 40
• 𝐻1: 𝜇 > 40
• n<30
• 𝑡 =
41.17−40
4.71
15
= 0.96
• De la tabla t para pruebas de una cola (14 grados de libertad) t=2.624
• Rechazar si t ≤ 2.624 rechazar si t > 2.624 .
• No se rechaza la hipótesis nula.

22. Pruebas paraπ
• Muchas decisiones dependen de la proporción de la población que se
ajusta a alguna característica. Número de la población que se ajusta
al mercado objetivo.
• El proceso es similar al de la media.
• P: proporción muestra de las observaciones que se consideran éxitos.
• 𝜋𝐻 es el valor de la hipótesis para la proporción
• 𝜎𝑃 error estándar de la proporción muestral (mide la tendencia de las
proporciones muéstrales a desviarse de la proporción poblacional)

23. • Ud considera que el 60% de los clientes de la firma para la que trabaja
se han graduado de la universidad. Usted intenta establecer una
importante política respecto a la estructura de precios sobre esta
proporción. Un amuestra de 800 clientes revela que 492 clientes
tienen grados universitarios, produciendo una proporción muestra de
0.615. a un nivel del 5%, ¿qué puede concluir sobre la proporción de
todos los clientes que se han graduado?
• 𝐻0: π = 0.60
• 𝐻1: π ≠ 0.60

24. • El error estándar es
• 𝜎𝑃 =
0.60(1−0.60)
800
= 0.017
• 𝑍 =
0.615−0.60
0.017
= 0.88
• No rechazar si Z está entre ±1.96. Rechzar 𝐻0 si Z es menor a −1.96 o
mayor a +1.96
• 0.88 esta en la zona de no rechazo. Entonces se puede desarrollar la
política.

25. • El IQ de una firma debe garantizar que por lo menos 75% de sus
empleados ha concluido un curso avanzado de capacitación. De los
1200 empleados seleccionados aleatoriamente , 875 lo han hecho. El
IQ registra su asistencia para probar esta hipótesis. A un nivel de
significancia del 5%
• 𝐻0: π ≥ 0.75
• 𝐻1: π < 0.75
• 𝜎𝑃 =
0.75(1−0.75)
1200
= 0.0125
• 𝑍 =
0.729−0.75
0.0125
= −1.68
• No rechazar si Z ≥ −1.65 Rechzar 𝐻0 si Z <-1.65. Se debe tomar
acciones para que más empleados lleven el curso.

26. • Se debate el re financiamiento del sistema educación a nivel nacional
se determina que el país invierte por alumno(Q5015) menos que el
promedio en latino américa Q.5541. El presidente de la comisión
reportó que más del 40% del pueblo apoya el plan de incrementar el
impuesto a la renta en más del 25% para financiar la eduación. La
oposición argumenta que el apoyo es menor y que en promedio se
gastaba Q2500000 por colegio.
• La encuesta más reciente descubrió que se gastaba un promedio de
Q.5112 con base en una muestra de 1200 estudiantes, se asume una
desviación estándar de Q1254, y que las 25 escuelas se reporta una
media de 2200000. Se asume una desviación estándar de Q9000.000
y que 1000 contribuyentes 335 apoyan el plan de incrementar
impuestos.
• A. pruebe que el gasto promedio es menor al promedio en latino
américa, con una significancia del 5%

27. • B) pruebe la hipótesis de que la media es de Q. 5015 con una
significancia del 1%
• C) pruebe que el 40% de la población esta a favor de aumentar
impuestos.
• D) compare los resultados de los resultados y la encuesta popular.
• E) compruebe la hipótesis de que se gasta 250000000 por escuela con
una significancia del 5%