Este documento trata sobre pruebas de hipótesis. Explica los objetivos de contrastar hipótesis y su relación con el método científico. Define hipótesis nula y alternativa, nivel de significación, tipos de error y distribuciones para seleccionar. Cubre conceptos como región crítica, significación p y criterios para tomar decisiones sobre hipótesis basadas en los riesgos de errores tipo I y II.

1. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
Tema: Pruebas de hipótesis
. Pruebas de hipótesis 1

2. Objetivos del tema
• Conocer el proceso para contrastar hipótesis y su relación con
el método científico.
• Diferenciar entre hipótesis nula y alternativa
• Nivel de significación
• Significación
• Toma de decisiones, tipos de error y cuantificación del error.
. Pruebas de hipótesis 2

3. Contrastando una hipótesis
años20X
. Pruebas de hipótesis 3
Creo que la edad
media es 40 años...
Son
demasiados...
¡Gran
diferencia!
Rechazo la
hipótesis
Muestra
aleatoria

4. ¿Qué es una hipótesis?
• Una creencia sobre la población,
principalmente sus parámetros:
– Media
– Varianza
– Proporción/Tasa
• OJO: Si queremos contrastarla,
debe establecerse antes del
análisis.
. Pruebas de hipótesis 4
Creo que el porcentaje
de enfermos será el
5%

5. Identificación de hipótesis
• Hipótesis nula Ho
– La que contrastamos
– Los datos pueden refutarla
– No debería ser rechazada sin una buena
razón.
• Hipótesis. Alternativa H1
– Niega a H0
– Los datos pueden mostrar evidencia a
favor
– No debería ser aceptada sin una gran
evidencia a favor.
. Pruebas de hipótesis 5



:H
:H
1
0
0.5p 
0.5p 

 ,,

6. a) Hipótesis
Se debe formular el supuesto valor del parámetro de la población antes de empezar el
muestreo. La suposición que se desea probar, se denomina hipótesis nula y se
representa por H0. Si se rechaza la hipótesis nula, la conclusión que debemos
aceptar se llama hipótesis alternativa y se simboliza por H1.
Supongamos que se quiere probar la hipótesis de que el promedio de calificación de los
alumnos de cierta Universidad es de 8.5, entonces:
H0 :  = 8.5 Establece que la media de la población es igual a 8.5
La hipótesis alternativa se puede interpretar de tres maneras:
H1 :   8.5 Establece que la media de la población no es igual a 8.5.
H1 :   8.5 Establece que la media de la población es mayor que 8.5.
H1 :   8.5 Establece que la media de la población es menor que 8.5.
La prueba de hipótesis tiene como finalidad emitir un juicio sobre la diferencia que
existe entre el valor calculado del estadístico muestral y el parámetro supuesto de la
población. No consiste en poner en duda el valor calculado del estadístico muestral.
Después de formular las hipótesis nula y alternativa, se debe decidir el criterio que se va
a aplicar para aceptar o rechazar la primera.

7. ¿Quién es H0?
0.5p 
. Pruebas de hipótesis 7
• Problema: ¿La osteoporosis está relacionada con el
género?
• Solución:
– Traducir a lenguaje estadístico:
– Establecer su opuesto:
– Seleccionar la hipótesis nula
0.5p 
0 : 0.5H p 

8. ¿Quién es H0?
6
. Pruebas de hipótesis 8
• Problema: ¿El colesterol medio para la dieta
mediterránea es 6 mmol/l?
• Solución:
– Traducir a lenguaje estadístico:
– Establecer su opuesto:
– Seleccionar la hipótesis nula
6
6:0 H

9. Razonamiento básico
40
20X
. Pruebas de hipótesis 9
Si supongo que H0 es cierta...
... el resultado del experimento sería improbable.
Sin embargo ocurrió.
¿qué hace un
científico cuando
su teoría no
coincide con sus
predicciones?

10. Razonamiento básico
40
20X
. Pruebas de hipótesis 10
Si supongo que H0 es cierta...
... el resultado del experimento sería improbable.
Sin embargo ocurrió.
Rechazo que H0
sea cierta.

11. Razonamiento básico
40
38X
. Pruebas de hipótesis 11
Si supongo que H0 es cierta...
... el resultado del experimento es coherente.
• No hay evidencia contra H0
•No se rechaza H0
•El experimento no es
concluyente
•El contraste no es significativo
¿Si una teoría
hace predicciones
con éxito, queda
probado que es
cierta?

12. b) Nivel de significancia
Supongamos que la media de calificaciones de un
ejemplo anterior de 8.5, se expresa con un nivel de
confianza del 95%, entonces el nivel de significancia
será de 0.05, es decir:
 = 1 – 0.95
Entonces:  = 0.05 Que representa el nivel de
significancia.
Se puede comprender mejor observando la gráfica
siguiente:

14. El nivel de significancia está repartido en las
zonas de rechazo, 0.025 + 0.025 = 0.05,
significa que existe una diferencia significativa
entre el estadístico de la muestra y el supuesto
parámetro de la población, es decir, que si esto
se demuestra, se rechaza la hipótesis nula H0
de que el promedio de la población sea de 8.5
y se acepta la hipótesis alternativa H1.
Entonces se concluiría que el promedio de las
calificaciones de la población, no es de 8.5,
puede ser diferente, mayor o menor de 8.5.
El nivel de significancia representa la zona de
rechazo de la hipótesis nula y el nivel de
confianza de la zona de aceptación.

15. c) Selección de un nivel de significancia
No hay un nivel de significancia que sea
oficial o universal con el cual probar las
hipótesis. Pero la elección del criterio
mínimo de una probabilidad aceptable,
o nivel de significancia, es asimismo el
riesgo que se corre de rechazar una
hipótesis nula aunque sea verdadera.
Cuando más alto sea el nivel de
significancia que utilizamos al probar
una hipótesis, mayores probabilidades
habrá de rechazar una hipótesis nula
que sea verdadera.

16. Región crítica y nivel de significación
Región crítica
• Valores ‘improbables’ si...
• Es conocida antes de realizar el
experimento: resultados
experimentales que refutarían H0
Nivel de significación: α
• Número pequeño: 1% , 5%
• Fijado de antemano por el
investigador
• Es la probabilidad de rechazar H0
cuando es cierta
. Pruebas de hipótesis 16
No rechazo H0
Reg. Crit.Reg. Crit.
α=0.05
Η0: µ=40

17. Contrastes: unilateral y bilateral
. Pruebas de hipótesis 17
La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
Unilateral Unilater
al
Bilateral
H1: µ < 40 H1: µ
>40
H1: µ 40

18. Significación: p
. Pruebas de hipótesis 18
H0: µ = 40
α

19. Significación: p
. Pruebas de hipótesis 19
43X
No se rechaza
H0: µ = 40
H0: µ = 40
α

20. Significación: p
. Pruebas de hipótesis 20
43X
No se rechaza
H0: µ =40
Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor
del estadístico obtenido de la muestra.
Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0.
Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la
obtenida.
p es conocido después de realizar el experimento aleatorio
El contraste es no significativo cuando p>α
P
P
α
α

21. Significación : p
. Pruebas de hipótesis 21
α
50X
Se rechaza H0: µ =40
Se acepta H1: µ >40

22. Significación : p
. Pruebas de hipótesis 22
Pα
Pα
50X
Se rechaza H0: µ =40
Se acepta H1: µ >40
El contraste es estadísticamente significativo cuando p < α
Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

23. Resumen: α, p y criterio de rechazo
• Sobre α
– Es número pequeño,
preelegido al diseñar el
experimento
– Conocido α sabemos
todo sobre la región
crítica
• Sobre p
– Es conocido tras realizar
el experimento
– Conocido p sabemos
todo sobre el resultado
del experimento
. Pruebas de hipótesis 23
 Sobre el criterio de rechazo
 El contraste es significativo si p menor que α

24. Resumen: α, p y criterio de rechazo
. Pruebas de hipótesis 24
 Sobre el criterio de rechazo
 Contraste significativo = p menor que α
Estadísticos de contrastea
259753,500
462319,500
-2,317
,021
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Edad del
encuestado
Variable de agrupación: Sexo del encuestadoa.

25. Ejemplo
• Problema: ¿Está sesgada la moneda?
. Pruebas de hipótesis 25



:H
:H
1
0
prob cruz 0.5
prob cruz 0.5
Experimento: Lanzar la moneda repetidamente:
P=0.5 P=0.25 P=0.125 P=0.0625 P=0.03 P=0.015

26. Riesgos al tomar decisiones
• H0: Hipótesis nula
– Es inocente
• H1: Hipótesis alternativa
– Es culpable
. Pruebas de hipótesis 26
Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito
Los datos pueden refutarla
La que se acepta si las
pruebas no indican lo
contrario
Rechazarla por error tiene
graves consecuencias
No debería ser aceptada sin una
gran evidencia a favor.
Rechazarla por error tiene
consecuencias consideradas
menos graves que la anterior

27. Riesgos al contrastar hipótesis
• H0: Hipótesis nula
– (Ej.1) Es inocente
– (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto
– (Ej.3) No hay nada que destacar
• H1: Hipótesis alternativa
– (Ej.1) Es culpable
– (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil
– (Ej. 3) Hay una situación anormal
. Pruebas de hipótesis 27
Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados
Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal
No especulativa
Especulativa

28. d) Errores de tipo I y II
Si se rechaza una hipótesis nula que sea verdadera es un error
de tipo I, y su probabilidad se representa con . Si se acepta
una hipótesis nula que sea falsa se llama error de tipo II, y
su probabilidad se representa con . La probabilidad de
cometer uno de estos errores se reduce si se aumenta la
probabilidad de incurrir en otro tipo de error. A fin de
conseguir una  baja, habremos de conformarnos con una
 alta. Para sortear esto en situaciones personales y
profesionales, los encargados de tomar decisiones eligen el
nivel apropiado de significancia examinando los costos o
castigos que conllevan a ambos tipos de error.
Por ejemplo: supóngase que el cometer un error de tipo I
implica el tiempo y el trabajo de reelaborar un lote de
sustancias químicas que debería haber sido aceptado. En
cambio, el incurrir en un error de tipo II significa correr el
riesgo de que se envenene un grupo entero de usuarios de
la sustancia. La gerencia de esta compañía preferiría el error
de tipo I al de tipo II y, en consecuencia, establecería niveles
muy elevados de significancia en sus pruebas para
conseguir  bajas.

29. Tipos de error al tomar una
decisión
Realidad
Inocente Culpable
veredicto Inocente
OK Error
Menos grave
Culpable
Error
Muy grave
OK
. Pruebas de hipótesis 29

30. Tipos de error al contrastar
hipótesis
Realidad
H0 cierta H0 Falsa
No Rechazo H0
Correcto
El tratamiento no
tiene efecto y así se
decide.
Error de tipo II
El tratamiento si tiene efecto
pero no lo percibimos.
Probabilidad β
Rechazo H0
Acepto H1
Error de tipo
I
El tratamiento no
tiene efecto pero se
decide que sí.
Probabilidad α
Correcto
El tratamiento tiene efecto y
el experimento lo confirma.
. Pruebas de hipótesis 30

31. No se puede tener todo
• Para un tamaño muestral fijo, no se pueden reducir a la vez
ambos tipos de error.
• Para reducir β, hay que aumentar el tamaño muestral.
. Pruebas de hipótesis 31
α
β
Recordad lo que
pasaba con
sensibilidad y
especificidad

32. e) Pasos para seleccionar la distribución
correcta
1.- Se define el nivel de significancia a usar.
2.- Determinar la distribución adecuada de
probabilidad: puede ser la distribución
normal o la distribución t. Las reglas para
elegir la distribución apropiada al efectuar
pruebas de las medias son:
a. Si la muestra tomada es mayor de 30
(muestras grandes), debe elegirse la
distribución normal (Z).
b. Si la muestra tomada es igual o menor que
30 (muestras pequeñas), debe elegirse la
distribución t.

33. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LAS MEDIAS DE
MUESTRAS GRANDES
Realizaremos algunos ejemplos,
en diferentes condiciones
cuando se conocen las
desviaciones estándar de la
población.

34. a) Prueba de dos extremos para las
medias
Es cuando el nivel de significancia
(zona de rechazo) abarca los dos
extremos o colas de la campana de
Gauss.

35. Ejemplo 1.-
El fabricante de una llanta especial para camiones
afirma que la duración media de la parte
rodante de agarre es de 60,000 mi. La
desviación estándar de los millajes es de 5,000
mi. Una empresa de transportes compró 48
llantas y halló que la duración media para sus
vehículos fue de 59,500 mi. ¿Es la experiencia
distinta de la expresada por el fabricante al
nivel de significación de 0.05?
 = 60,000 mi
 = 5,000 mi
Datos: n = 48 llantas
= 59,500 mi
 = 0.05x

36. Solución:
Las hipótesis se expresan de la siguiente manera:
H0 :  = 60,000 mi La duración de las llantas es de 60,000 millas
H1 :   60,000 mi La duración de las llantas es distinta a 60,000
millas
Primero, vamos a calcular el error estándar de la media y para ello
emplearemos la expresión del error estándar:
n
x

 
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
mixxx 69.721
9282.6
000,5
48
000,5
 

37. En el siguiente paso vamos a obtener el valor de “Z” y para ello vamos a
apoyarnos en la gráfica siguiente:

38. Recurrimos a las tablas de la distribución normal y en ellas
localizamos 0.475, que se ubica en un valor de Z = 1.96
En el tercer paso, vamos a determinar los límites superior
e inferior de confianza para el intervalo de la media
poblacional ya que se trata de una prueba de dos
extremos. Para ello aplicaremos la expresión siguiente:
x
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
Lc = 60,000  1.96 (721.69)
Ls = 60,000 + 1,414.51 Ls = 61,414.51 millas.
Li = 60,000 – 1,414.51 Li = 58,585.49 millas
Entonces la media de la población fluctúa entre
58,585.49 y 61,414.51 millas en un nivel de
confianza del 95%.
xZLc H   0

39. Regresemos a la gráfica anterior para ubicar los límites de
confianza y la media muestral. Con ello analizaremos si
se acepta la hipótesis nula además de verificar si es
verdadera o falsa.

40. La media muestral se ubica dentro de la zona de
aceptación, por lo que podemos decir que la hipótesis
nula es verdadera, pero vamos a verificar está
aseveración por medio de la expresión siguiente:
x
x
Z



__693.0
69.721
000,60500,59
X
Z
Z



Entonces la media muestral se ubica en -0.693 y
se confirma que cae en la zona de aceptación.
Concluimos que la duración media de las
llantas es muy cercana a la que afirma el
fabricante de 60,000 millas, con un nivel de
significancia de 0.05.
x

41. b) Prueba de un extremo para las medias
En este caso, el nivel de significancia (zona de
rechazo) sólo abarca un extremo o cola de la
campana de Gauss.

42. Ejemplo 2.-
Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo
medio de espera de clientes por atender está
distribuido normalmente con una media de 3
minutos y una desviación estándar de 1 minuto. Su
departamento de aseguramiento de la calidad halló
en una muestra de 50 clientes en un cierto
establecimiento que el tiempo medio de espera era
de 2.75 minutos. Al nivel de significación de 0.05,
¿Es dicho tiempo menor de 3 minutos?
 = 3 minutos.
 = 1minutos.
Datos: n = 50 clientes.
= 2.75 minutos.
 = 0.05x

43. Representemos estos datos en la campana de Gauss:
Las hipótesis son:
Ho :  = 3 El tiempo promedio de espera es de 3 minutos.
H1 :   3 El tiempo promedio de espera es menor de 3 minutos.

44. Primero calculemos el error estándar de la media:
Ahora determinemos el valor de Z, ya que tenemos una muestra mayor de 30:
Como  = 0.05 y es una prueba de hipótesis para un extremo, en este caso, el
extremo izquierdo, entonces, el nivel de significancia está contenido en
este extremo, por lo que el nivel de confianza es 0.5 – 0.05 = 0.45 .
Buscando en las tablas de la distribución normal 0.45, encontramos que: Z=
1.64
El límite izquierdo del intervalo de confianza será:
Li = 3 – 1.64 (0.1414)
Li = 3 – 0.2319
Li = 2.768
Gráficamente esto se representa así:
1414.0
07.7
1
50
1
 xxx 
x

46. La media muestral 2.75, se localiza en la zona de
rechazo, por lo que se puede establecer que se
rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa.
Comprobemos con :
x
x
Z



xZZZ 77.1
1414.0
25.0
1414.0
375.2





Como podemos observar 1.77 está localizado
más hacia la izquierda del límite de
confianza 1.64.
Podemos concluir que el tiempo medio de
espera de clientes por atender en este
establecimiento es menor de 3 minutos.

47. Ahora realizaremos un ejemplo cuando se
desconoce la desviación estándar de la
población.

48. Ejemplo 3.-
Una cadena grande de tiendas de autoservicio, expide su
propia tarjeta de crédito. El gerente de crédito desea
averiguar si el saldo insoluto medio mensuales mayor
que 400 dólares. El nivel de significación se fija en
0.05. Una revisión aleatoria de 172 saldos insolutos
reveló que la media muestral 407 dólares y la
desviación estándar de la muestra es 38 dólares.
¿Debería concluir ese funcionario de la media
poblacional es mayor que 400 dólares, o es razonable
suponer que la diferencia de 7 dólares (obtenida de
407- 400 = 7) se debe al azar?
 = 400 dólares.
n = 172 saldos insolutos.
Datos: = 407 dólares.
s = = 38 dólares (desviación estándar
estimada).
 = 0.05
x
ˆ

49. Las hipótesis son:
Ho :  = 400 dólares.
H1 :   400 dólares.
Debido a que la hipótesis alternativa
nos indica un sentido a la derecha
de la media, debemos aplicar una
prueba de una cola. Veamos la
gráfica:

51. Si calculamos el error estándar estimados, tenemos que:
n
x


ˆ
ˆ 
897.2ˆ
115.13
38ˆ
172
38ˆ  xxx 
Si leemos en las tablas de la distribución
normal 0.45, encontramos que: Z = 1.64
Determinando el límite superior del intervalo
de confianza, se tiene:
Ls = 400 + 1.64 (2.897)
Ls = 404.75 dólares.
Gráficamente esto ocurre:
xˆ

53. Comprobando con:
x
x
Z


ˆ


xZZZ ˆ416.2
897.2
7
897.2
400407



Con esto comprobamos que el valor de la
media muestral, cae dentro de la zona de
rechazo, por lo que se rechaza la
hipótesis nula y se acepta la alternativa.
Con esto el gerente de crédito debe
concluir que el saldo insoluto medio
mensuales es mayor que 400 dólares.

54. PRUEBAS DE HIPOTESIS DE LAS MEDIAS
DE MUESTRAS PEQUEÑAS.

55. a) Prueba de dos extremos para medias
Mediante el siguiente ejemplo
explicaremos el razonamiento a
seguir para demostrar una prueba
de hipótesis de dos extremos con
una muestra menor a 30, en donde
aplicaremos la distribución t.

56. Ejemplo 1.-
Un especialista en personal que labora en una gran
corporación, está reclutando un vasto número de
empleados para un trabajo en el extranjero. Durante la
realización de pruebas, la gerencia pregunta cómo
marchan las cosas y el especialista contesta: “Bien, creo
que la puntuación promedio en el test de actitudes será
90”. Cuando la gerencia revisa 20 de los resultados de la
prueba, averigua que la puntuación media es 84 y la
desviación estándar de esta puntuación es 11. Si la
gerencia quiere probar la hipótesis del especialista en
personal en el nivel de significancia de 0.10, ¿cuál será el
procedimiento a que recurra?
 = 90’’
n = 20
Datos: = 84
s = = 11
 = 0.10
x

57. Las hipótesis son:
Ho:  = 90’’
H1 :   90’’
El error estándar estimado de la media será:
46.2ˆ
472.4
11ˆ
20
11ˆ
ˆ
ˆ  xxx
n
x 


En la tabla t de Student se localiza  = 0.10 y gl = 20 – 1, o
sea gl = 19 y se encuentra que: t = 1.729
Con estos datos ya podemos determinar los limites superior
e inferior del intervalo de confianza, mediante la
expresión:
xˆ
xtLc  ˆ
Lc = 90”  1.729 (2.46) Ls = 90” + 4.246 Ls = 94.25”
Li = 90” – 1.729 (2.46) Li = 90” – 4.246 Li = 85.75”
Gráficamente esto sucede:

58. Como la media muestral cae en la zona de rechazo, entonces se
rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
Concluimos que la gerencia tiene suficientes evidencias para
demostrar que el especialista está equivocado, que la
puntuación media no es 90.

59. b) Prueba de un extremo para medias
Para este caso, ya sabemos que el nivel de
significancia (zona de rechazo) sólo abarca un
extremo o cola de la campana de Gauss.

60. Ejemplo 2.-
Una persona tomó una muestra aleatoria de 7
casas en un suburbio muy elegante de una gran
ciudad y encontró que el valor promedio
estimado del mercado era de $560,000, con
una desviación estándar de $49,000. Pruebe la
hipótesis de que, para todas las casas del área,
el valor medio estimado es de $600,000, contra
la alternativa de que sea menor que $600,000.
Use el nivel de significancia de 0.05.
n = 7 casas
= $560,000
Datos: s = = $49,000
 = $600,000
 = 0.05
x
ˆ

61. Las hipótesis son:
Ho :  = $600,000
H1 :   $600,000
Calculando el error estimado de la muestra, se tiene que:
52.518,18$ˆ
646.2
000,49ˆ
7
000,49ˆ
ˆ
ˆ  xxx
n
x 


Sabemos que el nivel de significancia es de 0.05, para una
cola, por lo que se supone, que si fuera una prueba para
dos colas, cada una tendría 0.05, es decir, el nivel de
significancia  = 0.10. Por lo tanto 0.10 es el valor que
debemos localizar en la tabla correspondiente de la
distribución t de Student, con 6 grados de libertad (7 – 1).
Encontramos entonces que t = 1.943
Con estos datos, ya podemos determinar el límite inferior del
intervalo de confianza en donde se encuentra la
verdadera media de la población.
xˆ
xtLi  ˆ
Li = 600,000 – 1.943 (18,518.52) Li = $564,018.52
En la campana de Gauss:

63. Como la media muestral cae la zona de rechazo, entonces
se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis
alternativa.
Comprobando lo anterior, se tiene que:
Podemos concluir que el valor medio estimado
del valor de todas las casas es menor de
$600,000.
xZZZ 16.2
52.518,18
000,40
52.518,18
000,600000,560






64. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
PROPORCIONES
a) Prueba de dos extremos para proporciones.
La prueba de hipótesis para proporciones, tiene
algunas variantes en la demostración de las
hipótesis respecto a la prueba de hipótesis de
medias, variantes que se irán explicando
conforme se vayan aplicando.

65. Ejemplo 1.-
Una compañía que está evaluando la promovibilidad de sus
empleados; es decir, está determinando la proporción de
aquellos cuya habilidad, preparación y experiencia en la
supervisión los clasifica para un ascenso a niveles superiores
de la jerarquía. El director de recursos humanos le dice al
presidente que el 80%,o sea el 0.8, de los empleados son
“promovibles”. El presidente crea un comité especial para
valorar la promovibilidad de todo el personal. El comité realiza
entrevistas en profundidad con 150 empleados y en su juicio
se da cuenta que sólo el 70% de la muestra llena los requisitos
de la promoción. El presidente quiere probar, en un nivel de
significancia de 0.05, la hipótesis de que 0.8 de los empleados
pueden ser promovidos.
p = 0.8
q = 0.2
Datos: n = 150
= 0.7
= 0.3
 = 0.05
p
q

66. Las hipótesis son:
Ho : p = 0.8 80% de los empleados son promovibles.
H1 : p  0.8 La proporción de empleados promovibles no
es 80%.
Primero calculamos el error estándar de la proporción,
mediante la siguiente expresión:
n
qp HH 00

Sustituyendo valores:
0327.00010666.0
150
)2)(.8(.
 ppp 

67. En este caso, la compañía quiere saber si la verdadera
proporción es mayor o menor que la supuesta
proporción. Por consiguiente, es apropiada una prueba
de dos extremos para una proporción. El nivel de
significancia corresponde a las dos regiones
sombreadas, cada una de las cuales contiene 0.025 del
área. La región de aceptación de 0.95 se ilustra como
dos áreas de 0.475 cada una. Puesto que la muestra es
mayor que 30, podemos recurrir la distribución normal.
Basándonos en la tabla de ésta distribución, podemos
calcular que el valor correspondiente de Z para 0.475
del área bajo la curva es 1.96 . Por tanto, los limites de
la región de aceptación son:
Lc = PH0  Z
Lc = 0.8  1.96(0.0327)
Ls = 0.8 + 0.06409 Ls = 0.8641
Li = 0.8 – 0.06409 Li = 0.7359
Viéndolo en la campana de Gauss:


69. La probabilidad de la muestra = 0.7, se
localiza en la zona de rechazo, por lo que
se rechaza la hipótesis nula y se acepta
la alternativa. Vamos a demostrarlo:
p
pZZZ 058.3
0327.0
1.0
0327.0
8.07.0





Podemos concluir que existe una
diferencia significativa entre la supuesta
proporción de empleados promovibles
comunicada por el director de recursos
humanos y la observada en la muestra,
la proporción de toda la compañía no es
del 80%.

70. b) Prueba de un extremo para
proporciones
Ejemplo 2.- Un artículo reciente en el periódico
Reforma reportó que un empleado está
disponible sólo para que uno de tres egresados
universitarios con grado. Las principales razones
aportadas fueron que existe una
sobreabundancia de graduados de universidad y
una economía débil. Suponga que una encuesta
con 200 graduados recientes de la institución de
usted, revela que 80 estudiantes tenían empleo.
Al nivel de significancia de 0.02, ¿se puede
concluir que una proporción mayor de
estudiantes egresados tienen trabajo?
p = 0.8
q = 0.2
Datos: n = 150
= 0.7
= 0.3
 = 0.05
p
q

71. Las hipótesis son:
Ho : p = 0.3333
H1 : p  0.3333
Calcularemos primero el error estándar de la proporción:
n
qp
p
HoHo

Sustituyendo valores:
0333.00011.
200
2222.0
200
)6667.0()3333.0(
 pppp 

72. En este caso, se quiere saber si la verdadera proporción es mayor
que la supuesta proporción. Por consiguiente, es apropiada
una prueba de un extremo para una proporción. El nivel de
significancia corresponde a la región derecha de rechazo. La
región de aceptación de 0.98 se ilustra como un área de 0.5 y
otra de 0.48 como la muestra es mayor de 30, podemos
recurrir a la distribución normal. Basándonos en la tabla de de
esta distribución el valor correspondiente de Z, para 0.48 del
área bajo la curva es 2.05, por tanto, el límite de la región de
aceptación es:
Ls = 0.3333 + 2.05 (0.0333) Ls = 0.3333 + 0.068265 Ls =
0.4016
Como = 0.4, y es menor que 0.4016, se localiza en la zona de
aceptación, entonces, se acepta la hipótesis nula.
Demostrando lo anterior se tiene:
p
p
pp
Z



pZZZ 003.2
0333.0
0667.0
0333.0
3333.04.0



En la campana de Gauss:

73. Concluimos que no es mayor la proporción de
estudiantes egresados que tienen trabajo.

74. C) Prueba de hipótesis para proporciones de muestras
pequeñas.
Si usamos la distribución t para una prueba hipótesis para proporciones en
muestras pequeñas, de dos colas, seguimos el mismo procedimiento que
se utilizó en la prueba para medias de muestras pequeñas.
Lo mismo sucede si se trata de una prueba de un extremo, recordando que,
para obtener el valor apropiado de t en un nivel de significancia de 0.05
con 10 grados de libertad, buscaremos en la tabla de la distribución t bajo
la columna 0.10, frente al renglón 10 grados de libertad. Esto es verdad
porque la columna 0.10 del área bajo la curva contenida en ambos
extremos combinados; por ello también representa 0.05 del área bajo la
curva contenida en cada uno de los extremos. Por esta razón en lugar de
buscar en la columna 0.05, se busca 0.10.

75. Conclusiones
• Las hipótesis no se plantean después de observar los datos.
• En ciencia, las hipótesis nula y alternativa no tienen el mismo papel:
– H0 : Hipótesis científicamente más simple.
– H1 : El peso de la prueba recae en ella.
• α debe ser pequeño
• Rechazar una hipótesis consiste en observar si p < α
• Rechazar una hipótesis no prueba que sea falsa. Podemos cometer error de tipo I
• No rechazar una hipótesis no prueba que sea cierta. Podemos cometer error de tipo II
• Si decidimos rechazar una hipótesis debemos mostrar la probabilidad de equivocarnos.
. Pruebas de hipótesis 75

76. ¿Qué hemos visto?
• Hipótesis
– Nula
– Alternativa
• Nivel de significación
– α
– Probabilidad de error de tipo I
• Significación, p.
– Criterio de aceptación / rechazo.
• Tipos de error
– Tipo I
– Tipo II
. Pruebas de hipótesis 76