Este documento presenta información sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica conceptos como funciones trigonométricas, dominio, codominio y rango de funciones. También define las funciones seno, coseno y tangente y presenta ejemplos de cálculo de razones trigonométricas utilizando triángulos rectángulos. Finalmente, resume el teorema de Pitágoras y su aplicación para calcular lados desconocidos en triángulos rectos.

1. ALGEBRA,
TRIGONOMETRÍA
Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons
/thumb/7/72/Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskrei
s_1.svg/250px-
Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_1.svg.png

2. Paso 3- Profundizar y contextualizar el conocimiento de la unidad 2.
Presentado por:
Leslyn Julieth Jaimes Leal.
Código: 1004811383.
Grupo: 7.
Tutor: Stevenson Lions.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.
Octubre/2022.

3. INTRODUCCIÓN
EN ESTA PRESENTACIÓN VAN A ENCONTRAR LA REALIZACIÓN Y EL
PROPÓSITO DE PROFUNDIZAR LOS CONOCIMIENTOS DE LA UNIDAD
DOS SOBRE PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TRIGONOMÉTRICO,
PERMITIENDO ASÍ QUE LOS INTEGRANTES DEL GRUPO ADQUIERAN
HABILIDADES EN LA APLICACIÓN DE ESTOS CONOCIMIENTOS PARA
LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA, SIENDO
CAPACES DE INTERPRETAR ADECUADAMENTE LA INFORMACIÓN
OFRECIDA Y ADQUIRIR COMPETENCIAS QUE REHÚNDEN EN EL BUEN
DESEMPEÑO DONDE SE ESTABLEZCAN SUS PRÁCTICAS.

4. TRIGONOMETRÍA
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones
trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se
aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.
1

5. FUNCIÓN
Una función es una relación donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjunto
de llegada.
Existen 4 formas de definir una función:
• DESCRIPTIVA: Es la descripción verbal del fenómeno que se estudia, en estas se detallan las condiciones en que ocurren
los hechos. Por ejemplo: La ganancia G que resulta de vender x artículos, en la cual el valor unitario es de $200
• NUMÉRICA: Consiste en hacer una tabla de valores con los datos obtenidos del fenómeno al hacer las mediaciones
correspondientes. Por ejemplo:
• GRÁFICA: Por medio de una representación gráfica ubicando pares ordenados en el plano cartesiano, se puede observar la
forma de la curva que muestra la función dada.
- Los puntos ubicados en el plano son los descritos en la parte numérica.
- En el eje x se representan los artículos vendidos y en el eje y la ganancia por ventas.
• ANALÍTICA: También es llamada Matemática, es aquella que por medio de un modelo matemático se describe el
fenómeno. Por ejemplo: El modelo describe la ganancia (G) en función de número de artículos vendidos (x).

6. Dominio : Conjunto de valores que toma la variable independiente X.
Codominio : Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y.
Rango o imagen : Conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente Y.
Entonces, en el diagrama de la derecha el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es
el codominio y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente
por la función) son el rango.
2
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN.

7. Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo
rectángulo, asociado a sus ángulos, las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son
extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia
unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la
solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e
incluso a números complejos. 3
http://matematicaspr.com/image/l2dj/blog/graficas-funciones-
trigonometricas/graficas-trigonometricas.jpg

8. Función seno
La función seno es la función definida por: f(x)= sen x. Características de la función seno
1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1]
2. El período de la función seno es 2 π.
3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x) =-sen x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n. π para todo número entero n.
5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1.
4

9. Función coseno.
La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.
Características de la función coseno.
1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1]
2. Es una función periódica, y su período es 2 π.
3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x) =cos x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = 2. π +n π, para todo número entero n.
5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cosx es 1.
5

10. Función tangente
La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x... Características de la función tangente
1. Dominio: IR
𝛑
2
+ 𝑛𝛑/𝐧 ∈ 𝐙
2. La función tangente es una función periódica, y su período es π.
3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x) =-tan x.
4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π, para todo número entero n.
6 Las otras tres funciones trigonométricas:
cotangente, secante y cosecante son también
funciones periódicas. Las funciones
trigonométricas fueron sistematizadas por
Newton y Leibniz, quienes habían dado
expansiones en forma de serie para las mismas.
Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo
y sistemático a las funciones trigonométricas. La
periodicidad de estas funciones y la introducción
de la medida de los ángulos por radianes, fue
realizada por Euler en su Introductio in Analysis
Infinitorum en 1748.

11. Recuperado de:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2a9466d773861c420a620fa7c03fcdf13f3dce

12. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm
ons/thumb/c/c6/Trigono_a10.svg/220px-
Trigono_a10.svg.png
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: a, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que
contiene a este ángulo, el nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo a
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo a
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es
igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran
entre 0 y π/2 radianes, las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:

14. • El seno de un Angulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que
tenga el mismo ángulo a en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
• El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la
hipotenusa:
• La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
• La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto
• La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto
adyacente:
• La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto
opuesto:

15. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada
triángulo rectángulo que aparecen abajo.
Ejemplo:
Imagen tomada de la rúbrica
Razones trigonométricas
del ángulo agudo A.
(seno, coseno y tangente)
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
8𝑐𝑚
9.4𝑐𝑚
𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
= 0.8 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 53°
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
4.9𝑐𝑚
9.4𝑐𝑚
= 0.5 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 60°
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
8𝑐𝑚
4.9𝑐𝑚
= 1.6𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 57°

16. Ahora hallaremos los del ángulo agudo B con las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Imagen tomada de la rúbrica
𝑆𝑒𝑛 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
4.9𝑐𝑚
9.4𝑐𝑚
= 0.5 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 30°
𝐶𝑜𝑠 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
8𝑐𝑚
9.4𝑐𝑚
= 0.8 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 36°
𝑇𝑎𝑛 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
4.9𝑐𝑚
8 𝑐𝑚
= 0.6 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 30°

17. Ejemplos:
Dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha). Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es: 82 + 62 = 102; o sea, es igual a 10
cm entonces podemos calcular las razones trigonométricas:
http://www.profesorenlinea.cl/imageng
eometria/Trigonometria_Razones_imag
e035.jpg

18. Teoremas de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es una norma que se cumple en el caso de un triángulo rectángulo, siendo la suma
de cada uno de los catetos elevados al cuadrado igual a la hipotenusa elevada al cuadrado.
Entonces, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud de uno de los lados del triángulo cuando
conocemos los otros dos. Asimismo, sabiendo la longitud de todos los lados, podemos verificar sin un
triángulo es rectángulo.
Sacada de Geogebra
Cabe señalar que en la figura mostrada las medidas de los ángulos son referenciales. Pueden tener distintas
medidas, pero en todos los triángulos, en general (no solo en los rectángulos), los ángulos interiores
siempre deben sumar 180º. Por ende, si uno mide 90º, la suma de los otros dos necesariamente debe ser 90º.
8

19. Ejemplo
https://matematicasmodernas.com/wp-
content/uploads/2014/01/2do-caso-pitagoras.jpg

20. Leyes
seno. Coseno.
La ley de los senos indica que la proporción de los lados de un
triángulo y la proporción de los senos de los ángulos respectivos
son equivalentes el uno con el otro. La ley de senos es usada para
encontrar un ángulo desconocido o un lado de un triángulo que no
es un triángulo rectángulo, la ley de los senos relaciona a por lo
menos dos ángulos y las medidas de sus lados respectivos.
9
La ley de los cosenos es usada para encontrar las
partes faltantes de un triangulo oblicuo (no
rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y
la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o
las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas.
En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley
de los senos porque no podemos establecer una
proporción que pueda resolverse.
9

21. Ejemplo:
Tomada y realizada en Geogebra
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los
triángulos se deben graficar únicamente con el uso del programa GeoGebra,
en su versión online o descargar el programa:
Para hallar el Angulo (A) voy a utilizar la ley del Coseno.
Tenemos la siguiente fórmula.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴
Despejamos
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
= −2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
−2𝑏𝑐
= 𝐶𝑜𝑠 𝐴

22. Aplicamos la inversa de Arco de coseno y se elimina
los valores semejantes.
𝑐𝑜𝑠−1
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
−2. 𝑏. 𝑐
= 𝑐𝑜𝑠−1
cos 𝐴
Sustituimos valores.
𝑐𝑜𝑠−1
82
− 72
− 52
−2.7.5
= 𝐴
El ángulo A es de:
𝐴 = 81. 787°
Ahora hallaremos el ángulo B con la ley del coseno que dice de la siguiente forma:
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐵
Despejamos
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐵
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
= −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐵
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2𝑎𝑐
= 𝐶𝑜𝑠 𝐵
Aplicamos la inversa de Arco de coseno y se elimina los valores semejantes.
𝑐𝑜𝑠−1
72
− 82
− 52
−2.8.5
= 𝑐𝑜𝑠−1
cos 𝐵

23. Resolvemos los valores que están en paréntesis, lo que están en el numerador los restamos y los del denominador lo multiplicamos.
𝑐𝑜𝑠−1
72
− 82
− 52
−2.8.5
= 𝐵
𝑐𝑜𝑠−1
49 − 64 − 25
−2 ∗ 40
= 𝐵
Seguimos restando lo que está en el numerador y multiplicamos lo que están el denominador.
𝑐𝑜𝑠−1
−40
−80
= 𝐵
No queda:
𝑐𝑜𝑠−1
0.5 = 𝐵
Solución
𝐵 = 60°

24. Hallaremos el ángulo C con la ley del seno.
Aplicamos lo siguiente:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
Como vamos hallar el ángulo C voy a elegir el valor del ángulo B para encontrar
el resultado de esta.
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
Sustituimos valores.
𝑆𝑒𝑛 𝐶
5𝑚
=
𝑆𝑒𝑛 60°
7𝑚
Despejamos.
𝑆𝑒𝑛 𝐶 =
𝑠𝑒𝑛 60°
7𝑚
∗ 5𝑚
Aplicamos la inversa de Arcos de seno.
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛 60°
7𝑚
∗ 5𝑚
Entonces el ángulo C es de:
𝐶 = 38.213°
Para verificar que todos los ángulos estén bien su suma debe dar
180°
Solución
𝐴 = 81. 787°
+ 𝐵 = 60° + 𝐶 = 38.213° = 180°

25. Razones trigonométricas de ángulos notables
https://sites.google.com/site/exportacionesdelacarnedecuy/_/rsrc/1472844792746
/razones-trigonometricas/tabla%20trig.png

26. Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los
valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción
de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x'
siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que
los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las
coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.
Recuperado de:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Seno_y_coseno.gif

27. Razones trigonométricas de los ángulos más usados. Los ángulos se miden habitualmente en el
sentido anti horario y en grados (○) o bien en radianes (rad). radián: Si en una circunferencia
cogemos un arco de longitud igual a la del radio, el ángulo correspondiente tiene una medida que
denominamos radián (rad).
Su amplitud no depende del radio. De hecho, puesto que la longitud de la
circunferencia es 2πr y el ángulo de una vuelta entera es 360° , tenemos 360° =
2π rad
Realizado y tomado de Geogebra

28. Identidades trigonométricas.
Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio
común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor.
https://i0.wp.com/lasmatesfaciles.com/wp-content/uploads/2019/10/identidades-
trigonometricas.png?fit=840%2C567&ssl=1

29. 10
Esta identidad es válida para todo valor real de theta θ theta. Se obtiene al aplicar el teorema de
Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma en el círculo unitario para θ como cualquier identidad, la
identidad pitagórica puede utilizarse para reescribir expresiones trigonométricas de maneras
equivalentes más útiles.
Con el teorema de Pitágoras también podemos convertir los valores de seno y coseno de un ángulo, sin
necesidad de conocerlo.
Identidades pitagóricas.

30. Identidades reciprocas
El seno, coseno y tangente son las funciones trigonométricas más usadas comúnmente. Las otras funciones
trigonométricas cotangente, secante y cosecante pueden ser calculadas fácilmente usando los recíprocos de las
tres funciones principales. Se denomina de esa manera porque son producto de la aplicación del teorema de
Pitágoras con las razones trigonométricas.
11

31. Identidades cocientes
Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar,
por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno. Toma en cuenta que las identidades
trigonométricas tangente y cotangente están definidas por la relación del seno y el coseno por medio de un
cociente; en cambio, la función trigonométrica se define por la relación, por medio de un cociente, de los catetos
de un triángulo rectángulo.
https://4.bp.blogspot.com/-Vw9mbLl-
_2I/XOTBOTo1NsI/AAAAAAAAACg/sq50xqShvGYkjpFrXfP5Sk_vsmOdd4OtQCLcBGA
s/s1600/Sin%2Bt%25C3%25ADtulo4.png

32. Ejemplo:
Solución
Usamos la definición de tangente y cotangente para desarrollar la parte izquierda de la
ecuación.
Usamos que y las definiciones de secante y cosecante para obtener que
Es a lo que queríamos llegar.

33. Ejemplo:
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑡𝑔𝑥
= 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
Comience trabajando el lado izquierdo.
cos(𝑥)
sec(𝑥) − 𝑡𝑔(𝑥)
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 sec 𝑡 =
1
cos(𝑡)
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
cos(𝑥)
1
cos(𝑥)
− tan(𝑥)
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 sec 𝑡 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑡)
, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
cos(𝑥)
1
cos(𝑥)
−
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
Escriba todos los numeradores encima del denominador
común.
cos(𝑥)
1
cos(𝑥)
−
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
cos(𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
Simplifique la fracción compleja.
cos(𝑥)2
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝑡)2
= 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2
, 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

34. 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)2
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Usando 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∗ 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Cancelar el factor común de 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛( )
𝑥 ∗ 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Entonces nos queda 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Dado que la expresión es igual al lado derecho inicial, la
identidad está probada es verdadero.
Solución.
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥

35. Ejemplo:
Partiendo de la identidad trigonométrica fundamental y usando las definiciones de las razones
trigonométricas demostrar la identidad pitagórica de la cosecante.
Solución: La identidad fundamental es:
Sen2(x) + Cos2(x) = 1
Se divide ambos miembros entre Sen2(x) y se distribuye el denominador en el primer miembro:
Sen2(x)/Sen2(x) + Cos2(x)/Sen2(x) = 1/Sen2(x)
Se simplifica:
1 + (Cos(x)/Sen(x))^2 = (1/Sen(x))^2
Cos(x)/Sen(x) = Cotan (x) es una identidad (no pitagórica) que se verifica por la propia definición de
las razones trigonométricas. De igual manera ocurre con la siguiente identidad: 1/Sen(x) = Csc (x).
Finalmente se tiene que:
1 + Ctg2(x) = Csc2(x)

36. Ecuaciones Trigonométricas
En matemática, las ecuaciones trigonométricas actúan
principalmente en las funciones trigonométricas, que son
repetidas y por tanto sus soluciones se pueden mostrar en uno
o en dos cuadrantes y además se frecuentan en todas las
vueltas. Por lo tanto, se dice que para solucionar una ecuación
trigonométrica es necesario que se realicen las
transformaciones precisas para trabajar con una sola función
trigonométrica, por eso es recomendable que se usen las
identidades trigonométricas esenciales.
Asimismo, según el estudio numérico, una ecuación
trigonométrica es una ecuación en la que surge una o más
razones trigonométricas. Un dato importante en este tema es que
para solucionar una ecuación trigonométrica es conveniente
expresar todos los términos de la ecuación con el mismo arco
(ángulo) y después oprimir a una razón trigonométrica, o bien,
factorizar la ecuación si es necesario.
Ahora bien, también se puede decir que una
ecuación trigonométrica es aquella en la que
las incógnitas surgen creando parte de los
argumentos de funciones
trigonométricas. Como las incógnitas son
ángulos, si hay alguna solución, éstas van a
ser infinitas (todos los ángulos coterminales
con el que se encuentre), pero regularmente
alcanzará con proporcionar la solución
comprendida entre 0º y 360º. También puede
darse la solución en radianes.
Recuperado de:
https://i.ytimg.com/vi/
AzSUK1SKoME/maxresd
efault.jpg

37. Tomada de: https://www.superprof.es/apuntes/wp-
content/uploads/2020/02/circulo-unitario-
1mod.jpg

38. Ejemplo:
2sen x = 3
Divida ambos lados de la ecuación entre 2.
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
=
3
2
Simplificar.
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) =
3
2
Usando el circulo unitario, halle el circulo unitario, halle los ángulos para los
cuales el seno es igual a
3
2
𝑥 =
𝛑
𝟑
𝑥 =
𝟐𝛑
𝟑
Como la función seno es periódica sume el periodo 2𝑘π. k ∈
z, para encontar todas la soluciones
𝑥 =
𝛑
𝟑
+ 2𝑘π. k ∈ z
𝑥 =
𝟐𝛑
𝟑
+ 2𝑘π. k ∈ z
Solución.
𝑥 =
𝛑
𝟑
+ 2π𝑘, 𝑋 =
𝟐𝛑
𝟑
+ 2πk
En grados seria:
Divida ambos lados de la ecuación entre 2.
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
=
3
2

39. Simplificar.
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) =
3
2
Utilizamos la inversa de 𝑠𝑒𝑛−1 3
2
Que nos da un total de:
𝑥 = 60°
Como la función es periódica le agregamos el periodo 360°
Quedaría de la siguiente manera las soluciones.
𝑥 = 60° + 360°𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = 120° + 360°𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍

40. Conclusiones.
• Podemos concluir la importancias que tiene la herramienta Geogebra para la
realización de los ejercicios.
• También podemos diferenciar la importancia del seno, coseno, tangente etc.
• Adquirimos conocimientos completo sobre las funciones trigonométricas.
• La trigonometría nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de
recorrer y se establecen por medio de triángulos circunferencia y otros. La
trigonometría en la vida real es muy utilizada ya que podemos medir alturas o
distancias, realizar medición de ángulos, entre otras cosas.

41. Referencias bibliográficas de las imágenes.
• Wikipedia imagen 1 2022.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Trigonometria_02.svg/1200px-
Trigonometria_02.svg.png
• Plan Ceibal 2021. Imagen 2.
https://rea.ceibal.edu.uy/elp/qu_es_una_funci_n/elementos_de_una_funcin.html
• Juanita Contreras. (2021). Imágenes 4, 5 y 6. Funciones trigonométricas
https://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/functrigonometricas.pdf
• Marino P. 2021. Imagen 7. http://preparamatematica.blogspot.com/p/numeros-complejos.html
• Ney.(2021). Imagen 8. https://ney.one/matematica-teorema-de-pitagoras/
• Santamaria S. 2021 IMAGEN 8.
https://i.pinimg.com/564x/95/ba/02/95ba02cc4dd281c19de8c8e745c5384b.jpg
• Santamaria S. 2021. imagen 9.
https://i.pinimg.com/originals/be/ef/eb/beefebead974f2264c79a475468236e4.jpg
• Zurita R. (2019). Imagen 10 y 11. https://matematica091.blogspot.com/2019/05/identidades-
reciprocas-cocientes-y.html

42. Referencias bibliográficas.
• Henao, A. (2012). Funciones
Trigonométricas Geogebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
• Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de
ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
• Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá
D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 -
265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
• Mireia Besalú. 2021. Funciones trigonométricas.
http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/pdf/PID_00273989.
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