Este documento resume los conceptos básicos de triángulos, funciones trigonométricas e identidades. Explica los componentes de los triángulos, las funciones trigonométricas derivadas de los lados de un triángulo rectángulo, y cómo el teorema de Pitágoras se usa para encontrar longitudes de lados. También cubre sistemas de unidades, funciones cuadráticas e identidades trigonométricas.

1. Facultad de Ciencias Humanas y
SocialesDepartamento de Ciencias
Básicas
Matemáticas
Tema:
Triángulos, funciones trigonométricas e identidades
Presentado por: Johan Compres
Presentado a: Melina García
Fecha: 03/03/2022

2. En este estudio se estudiará los aspectos más básicos de los triángulos, funciones
trigonométricas e identidades. Los triángulos son polígonos de tres lados que son unidos
por puntos no colineales que se de denominan vértices, para determinar diferentes
longitudes de los lados del triángulo se necesita aplicar diferentes funciones que
determinan su valor según su lado o ángulo. Tomando los triángulos como base del
desatollo del contenido, se pueden determinar las funciones trigonométricas e
identidades, que de ciertas formas desarrollan una explicación a la forma del triángulo. A
continuación, se presentarán los contenidos antes mencionados con un contenido mas
desarrollado de como se emplea y da resultados del triángulo.
Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A, B, y C y los lados
opuestos con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el
semiperímetro. Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está
sobre el lado, y un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese
lado.
El triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados, o bien, la
figura formada por tres rectas que se cortan entre sí, a los puntos de corte se les llama
vértices. Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el
lado, y un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.
Si los triángulos son rectángulos, serán iguales sí coinciden en la hipotenusa y un
ángulo agudo o si tienen iguales hipotenusa y un cateto.
Dos triángulos se dicen “congruentes”, si tienen los mismos lados y los mismos
ángulos; los lados que coinciden se llaman correspondientes u homólogos,
análogamente ocurre con los ángulos. La suma de los ángulos de un triangulo es 180
grados, el lado externo de un triangulo es igual a la suma de los dos internos, no
adyacente. La suma de los ángulos exteriores siempre será 360 grados. Además, un lado
de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. Dado este caso, un lado del
triángulo será mayor que la diferencia de los otros dos y, por último, en todo triángulo a

3. mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. Existen diversos tipos de triángulos lo
cual se caracterizan según sus lados o sus ángulos.
Según sus lados:
➢ Equilátero; sus tres lados son iguales.
➢ Isósceles; dos de sus lados son iguales y el tercero desigual.
➢ Escaleno; sus tres lados son distintos.
Según sus ángulos:
➢ Rectángulo; tienen un ángulo recto.
➢ Obtusángulo; tiene un ángulo obtuso.
➢ Acutángulo; los tres ángulos son agudos.
Los sistemas de unidades son un conjunto de medidas estandarizadas, estas sirven para
medir magnitudes de longitud, fuerza, masa, tiempo, entre otros. Por lo general estos
sistemas cuentan con unas unidades básicas a partir de las cuales se definen
unas unidades derivadas, siendo el sistema internacional y el sistema ingles también
conocido con el nombre de sistema imperial. Los sistemas de unidades son muy
derivados, por lo que se pueden encontrar como lo son: el técnico, decimal, natural,
anglosajón y cegesimal, y, sin embargo, casi todos estos sistemas provienen de las
mismas unidades de medida de los sistemas internacional e inglés.
➢ Sistema métrico decimal: fue el primer sistema propuesto que logró unificar la
forma en que se medían diferentes magnitudes, las unidades básicas de este
sistema fueron el metro y el kilogramo, y todos los múltiplos de estas unidades
siempre se incrementan en una escala de diez en diez.
➢ Sistema imperial: también es conocido como anglosajón, el sistema Imperial se
compone de unidades no métricas.
➢ Sistema Natural: este surge con el propósito de simplificar la forma en que se
escribe las ecuaciones físicas por lo que contempla la medición de magnitudes
fundamentales como: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura. El
sistema permite comparar magnitudes de forma simple, eliminando constantes
de proporcionalidad de las ecuaciones y simplifica los cálculos, sin embargo.

4. ➢ Sistema cegesimal (CGS): este se basa en las unidades de centímetro, gramo y
segundo, de lo anterior es que obtiene su nombre. Fue planteado con el propósito
de unificar unidades que se usan en diversos campos técnicos y científicos, sin
embargo, hoy en día ha sido reemplazado por el Sistema Internacional de
Unidades en la mayoría de las áreas.
➢ Sistema internacional de unidades (SI): Las unidades básicas de medida de este
sistema son el segundo (s), metro (m), amperio (A), kilogramo (kg), candela
(cd), kelvin (K) y mol.
Las funciones trigonométricas son razones trigonométricas, es decir la división entre dos
lados de un triángulo rectángulo respecto a sus ángulos, estas funciones surgieron al
estudiar el triángulo rectángulo y observar que los cocientes entre las longitudes de dos
de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Para definir las
funciones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo
rectángulo.
➢ El nombre de los lados de este triángulo
rectángulo es:
➢ La hipotenusa (c) es el lado opuesto al ángulo
recto, o el lado más grande.
➢ El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al
ángulo .
➢ El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al
ángulo .
Existen seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante:
➢ El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud de la hipotenusa: sen α = opuesto/hipotenusa.
➢ El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la
longitud de la hipotenusa: cos α = adyacente/hipotenusa.

5. ➢ La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la
del adyacente: tan α = opuesto/adyacente.
➢ La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y
la del opuesto: cot α = adyacente/opuesto.
➢ La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la
longitud del cateto adyacente: sec α = hipotenusa/adyacente.
➢ La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la
longitud del cateto opuesto: csc α = hipotenusa/opuesto.
Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su expresión es del tipo:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Donde a, b y c son números reales cualesquiera.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyas características básicas son:
Su vértice tiene coordenada: 𝑥 =
−𝑏
2𝑎𝑥
Si 𝑎 > 0, las ramas de la parábola apuntan hacia arriba; si 𝑎 < 0, las ramas apuntan hacia
abajo.
Las soluciones de la ecuación de segundo grado 𝑓(𝑥) = 0 son los puntos de corte de la
parábola con el eje X.
El número de soluciones depende de la discriminante, 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, de la ecuación:
Si 𝛥 = 0, una única solución.
Si 𝛥 > 0, dos soluciones.
Si 𝛥 < 0, ninguna solución.
El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes
de los catetos. El teorema de Pitágoras expresa que, en todo triángulo rectángulo el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud ay b, y la medida de la hipotenusa
es c, entonces se cumple la siguiente relación:
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2

6. Resolución de problemas usando las funciones trigonométricas.
A)
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
Tan θ = 4/3
Cot θ = 3/4
Sec θ = 5/3
Csc θ = 5/4
B) 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2
Sen θ = a/√𝑎2 + 𝑏2
Cos θ = b/√𝑎2 + 𝑏2
Tan θ = a/b
Cot θ = b/a
Sec θ = √𝑎2 + 𝑏2
/b
Csc θ = √𝑎2 + 𝑏2
/a
C)
sen θ = 3/5; b=3; c=5; a=4
Sen θ = 3/5
Cos θ = 4/5
Tan θ = 3/4
Cot θ = 4/3
Sec θ = 5/4
Csc θ = 5/3
Esta identidad es válida para todo valor real de θ. Se obtiene al aplicar el teorema de
Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma en el círculo unitario para cada θ. Como
cualquier identidad, la identidad pitagórica puede utilizarse para recibir expresiones

7. trigonométricas de manera equivalentes mas útiles. Con el teorema de Pitágoras también
podemos convertir los valores de seno y coseno de un ángulo, sin la necesidad de
conocerlo.
Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente, estas tienen
la propiedad de relacionar, las funciones trigonométricas seno y coseno. Toma en cuenta
que las identidades trigonométricas tangente y cotangente por medio de un cociente, están
definidas por la relación del seno y el coseno por medio de un cociente; en cambio, la
función trigonométrica se define por la relación, por medio de un cociente, de los catetos
de un triángulo rectángulo. Que se representan de la siguiente manera:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas
y se verifican para cualquier valor permitido de la variable que se consideren, o sea, para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones.
Si la gráfica de dos funciones coincide, entonces es una identidad. Al contrario, si
solamente se cortan en uno o algunos puntos, entonces se trata de una ecuación
trigonométrica cuyas soluciones son las abscisas de los puntos de corte. Según su forma,
las identidades trigonométricas adquieren distintos nombres: identidades trigonométricas
de cociente e identidades trigonométricas pitagóricas.
En conclusión, se identificaron las partes que componen un triángulo y sus respectivos
componentes, dado a estas variaciones se conocieron las funciones trigonométricas que
se derivan de lo lados de un triángulo, para encontrar algún valor de un lado del triangulo
se aplica el teorema de Pitágoras, que explica que en todo triángulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En definitiva, se el
triángulo tiene múltiples funciones que se hacen cargo de encontrar el valor de cada lado
o ángulo del triángulo.

8. Bibliografía
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Westreicher, G. (2020, 23 noviembre). Teorema de Pitágoras. Economipedia.
https://economipedia.com/definiciones/teorema-de-pitagoras.html