Este documento presenta conceptos básicos de logaritmos, trigonometría y ángulos. Define logaritmos, funciones logarítmicas y sus propiedades. Explica el concepto de ángulo, sistemas de medición, clasificación de triángulos y teorema de Pitágoras. También define funciones trigonométricas, razones trigonométricas y resuelve ejercicios aplicando estas nociones.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
U.E “Alejandro Prospero Reverand”.
4to Año Sección C.
Profesor: Alumnos:
Nerio Hernandez. Jesús Sulbaran
José Collogo.
San Carlos del Zulia, 13/12/2014.

2. Logaritmo:
1.) Concepto de logaritmo: se denomina logaritmación a la operación
matemática a través de la cual, dando un número resultante y una base de
potenciación se tendrá que hallar el exponente al cual habrá que elevar la base
para así conseguir el mencionado resultado.
2.) Definición de función logarítmica: Una función logarítmica es aquella que
genéricamente se expresa como f (x) == logaX, siendo a la base de esta
función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b Û ab = x.
3.) Análisis grafico de la función logarítmica:
4.) Propiedades de los logarítmicas:
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de
su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
 La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el
cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞).
 Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica
corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego
el recorrido de esta función es R.
 En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en
cualquier base.
 La función logarítmica de la base es siempre igual a 1, sea neperiano o base
10.
 Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y
decreciente para a < 1.

3. 5.) Ecuaciones logarítmicas:
Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como
base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos
utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen
métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra
equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar
llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g
(x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación
equivalente del tipo:
loga f (x) = m
De donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.
Trigonometría:
1.) Concepto de Ángulo:
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen
común. A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el
vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de
las agujas del reloj y negativo en caso contrario.
2.) Ángulos sobre el plano cartesiano:
Cuando se utiliza el plano cartesiano para representar ángulos, en el origen va el
vértice, y el lado inicial va en el eje de las "x". El giro que se dé hasta la posición
final es el ángulo. En el plano cartesiano se utilizan cuatro cuadrantes, y cada
cuadrante mide 90° (medida sexagesimal) ó pi/2 (medida en radianes, que luego
la verás en el curso), también hay una tercera medida (pero no es muy usual y es
la de grados centesimales).

4. 3.) Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en el sistema cíclico:
Sistema sexagesimal:
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos sexagesimales. El grado
sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes
iguales.
• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1°= 60'
• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60.
Sistema cíclico:
En una circunferencia cualquiera se señala un arco de longitud, que sea igual al
radio de la circunferencia y luego se trazan los radios correspondientes a esta
circunferencia y se toman por el otro extremo del arco; el ángulo del centro forman
estos 2 radios y de allí surge el radian; que se divide decimalmente, es decir, en
decimos, centésimos, milésimos, entre otros.
Y de acuerdo a lo anterior se puede comparar entre ambos sistemas de medición
que se han mostrado y se puede establecer que:
360·→2 pi radianes
4.) Triangulo:
El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que
cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las
diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con
un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos,
los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el
llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de
las dimensiones espaciales.
5.) Clasificación o tipos de triángulos según sus lados y ángulos:
Clasificación por lados:
Isósceles: Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer
lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales;
recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a
dichos ángulos también serán iguales.
Equilátero: Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como
un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los

5. tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres
ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar
que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se le llama, como se acaba de
mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.
Escaleno: Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama
escaleno.
Clasificación por ángulos:
Acutángulo: Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero
menor que 90º) se llama acutángulo.
Rectángulo: Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.
Obtusángulo: Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor
que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.
6.) Teorema de Pitágoras:
El teorema de Pitágoras se conoce exactamente como “La suma de los cuadrados
de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Un excelente ejemplo
del teorema de Pitágoras consiste en hacer dos rompecabezas distintos con un
cuadrado de lado a + b.
Ejemplo.
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

6. 7. Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
normal: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, secante, cosecante:
Seno: se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre la hipotenusa.
Coseno: se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre la hipotenusa.
Tangente: se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Cotangente: se obtiene dividiendo el cateto adyacente entre el cateto opuesto.
Secante: se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto adyacente.
Cosecante: se obtiene dividiendo la hipotenusa entre el cateto opuesto.
8. Signos de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal
en su cuadrante:
9.) Razones trigonométricas de un triángulo rectangular: Para establecer las
razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer
sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha: Los ángulos con vértice
en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto. Este triángulo se
caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un
cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos. Cada uno de los ángulos
águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los
catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como
referencia y se encuentra enfrente de este.

7. Ejemplos:
Si consideramos el ángulo
α
Si consideramos el
ángulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Veamos un ejemplo, para un ángulo α:
Sea el ángulo BACde medida
α (siempre menor de 90º) en
el triángulo rectángulo ABC.
Los lados BC y BA son los
catetos y AC, la hipotenusa.
Dado un ángulo agudo, tomemos un punto cualquiera sobre uno de sus lados; por
ejemplo, el punto M, situado sobre el lado OM (O es el vértice). Si por M trazamos
una perpendicular, que cortará al otro lado del ángulo, en el punto S, quedan
determinados tres segmentos, los cuales forman un triángulo rectángulo. En un
triángulo rectángulo, al lado más grande (el que está frente al ángulo de 90º) se le
denomina hipotenusa, y a los otros dos lados se les llama catetos.
Pitágoras consiste en hacer dos rompecabezas distintos con un cuadrado de lado
a + b. Ejemplo.

8. “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos”
Funciones trigonométricas
Ejercicio No 1. Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de
elevación de 20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de
distancia. ¿A que altura exploto el cohete?
Primeramente, sabemos que el triangulo tiene un ángulo de 90°, otro de 20°, por
ende el tercer ángulo mide 70° ¿Por qué?

9. Ya teniendo el ángulo, usaremos la formula para saber la altura. En este caso,
usamos la formula de la tangente, pues del triangulo mencionado, vamos a usar
los dos catetos, que vendrían siendo el cateto adyacente (20m) y el cateto opuesto
(altura) siendo la tangente los 20° que la persona vio de elevación el estallido.
Como Altura esta arriba y no puede dividirse por 20m, pasa multiplicando, y
queda:
La altura del cohete al explotar fue de 7.27m
Ejercicio No 2. Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al ultimo piso
del edificio que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A
cuantos metros dejo su automóvil del edificio, y a que distancia se ve desde el
edificio?
Para saber la distancia del auto al edificio viéndolo desde arriba, se usa la
tangente.

10. Del auto al edificio son 12.58m de distancia. Ahora veremos la distancia que hay
de la persona situada arriba, hasta el auto. Sacaremos el valor de la Hipotenusa.
Se puede sacar por 2 métodos ya antes vistos, por el método del Teorema de
Pitágoras, o por las funciones trigonométricas del Teorema de Pitágoras. Veré por
los 2 métodos.
Función trigonométrica del Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Los dos quedan iguales con 1 decimal de diferencia. Y el triangulo queda:

12. El teorema de Pitágoras:
Grafica de las funciones logarítmicas:

14. Análisis del tema:
Un algoritmo es un conjunto finito de pasos definidos, estructurados en el tiempo y
formulados con base a un conjunto finito de reglas no ambiguas, que proveen un
procedimiento para dar la solución o indicar la falta de esta a un problema en un
tiempo determinado.
Algoritmo es un método para resolver un problema mediante una serie de pasos
definidos, precisos y finitos. Un ángulo es la región del plano comprendida entre
dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados del
ángulo. El origen común es el vértice. El ángulo es positivo si lo medimos en
sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso
contrario.
La unidad de medida de los ángulos es el grado, que puede venir expresado de
varias formas
En el Sistema sexagesimal, un grado es la amplitud del ángulo resultante de dividir
la circunferencia en 360 partes iguales. Cada grado tiene 60 minutos y cada
minuto tiene 60 segundos. Grado radián es la amplitud del ángulo cuyo arco mide
lo mismo que el radio. Toda la circunferencia mide 2 π radianes. Las razones
trigonométricas de un ángulo son números que caracterizan a cada ángulo y para
definirlas (calcularlas) trazamos una perpendicular al lado hasta formar un
triángulo rectángulo.
Para desarrollar el algoritmo, consideremos la relación: Sen(-x) = - sen(x) lo cual
permite mediante un cambio de variable y signo efectuar cálculos sólo para x>=0.
La variable x se expresa en radianes, y es periódica.