El documento resume los contenidos del segundo bimestre de un curso de álgebra. Incluye capítulos sobre funciones trigonométricas, trigonometría analítica, aplicaciones trigonométricas y sistemas de ecuaciones. Cada capítulo cubre temas como ángulos, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos.

1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA Escuela de Ciencias de la Computación ALGEBRA Ing. Germania Rodríguez Morales II Bimestre Abril – Agosto 2008

2. II BIMESTRE VI. Funciones Trigonométricas VII. Trigonometría Analítica VIII. Aplicaciones Trigonométricas IX. Sistemas de Ecuaciones X. Sucesiones Series y Probabilidades

3. CAPITULO VI Funciones Trigonométricas 6.1 Ángulos. 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos. 6.3 Valores de las funciones trigonométricas. 6.4 Identidades trigonométricas fundamentales. 6.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo. 6.6 Funciones trigonométricas de números reales. 6.7 Funciones trigonométricas de ángulos negativos. 6.8 Valores de las funciones trigonométricas. 6.9 Gráficas trigonométricas.

4. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.1 Ángulos . Según geometría plana, ángulo es la parte o porción del plano comprendida entre dos rayos que tienen el mismo origen. El origen común constituye el vértice y los rayos respectivos, los lados. Ejemplo: Notación : ∠ ó ∧ Se antepone al ángulo Ejm: ∠ A. Ángulos : Positivos y Negativos

5. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.1 Ángulos . Medida: Grados o Radianes Para transformar de grados a radianes se usa la relación: Nro. rad. =n°. ( Π /180° ) Para transformar de radianes a grados se usa la relación: No = Nro. rad. (180° / π) CLASES DE ANGULOS Nulos, Agudos, Rectos, Obtusos, Llanos, De una vuelta, complementarios y suplementarios

6. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.2 Funciones Trigonométricas de Ángulos. Co funciones FUNCION Relación Seno Cateto Opuesto A Hipotenusa C Coseno Cateto Adyacente B Hipotenusa C Tangente Cateto Opuesto A Cateto Adyacente B Cotangente Cateto Adyacente B Cateto Opuesto A Secante Hipotenusa C Cateto Adyacente B Cosecante Hipotenusa C Cateto opuesto A

7. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.3 Valores de Funciones Trigonométricas Funciones de Ángulos Complementarios Sen A = Cos B ; Tan A = Cot B ; Sec A = Csc B Si A + B = 90° Sen(90°−x) = Cos x ( x es el complemento) Valor de funciones de ángulos Sen30°=1/2; Sen45°=1/√2; Cos60°=1/2; Cos45°=1/ √ 2; Tan60°= √ 3 Tan45°=1/1=1

8. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.4 Identidades Trigonométricas Fundamentales IDENTIDADES Relación Recíprocas Sen A = 1 _ Csc A Cos A = 1 _ Sec A Tan A = 1 _ Cot A Pitagóricas Sen 2 A + Cos 2 A = 1 1 + Tan 2 A = Sec 2 A 1 + Tan 2 A = Csc 2 A Tangente y Cotangente Tan A = Sen A Cos A Cot A = Cos A Sen A

9. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.5 Funciones Trigonométricas de cualquier Ángulo r = √ x 2 + y 2 El lado terminal del ángulo determina el cuadrante al que pertenece, y el signo de las funciones trigonométricas FUNCION Relación Seno y r Coseno x r Tangente y x

10. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.6 Funciones Trigonométricas de Números Reales El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe. Útil en cálculo Dominio todos los números reales Rango o Contradominio [ -1 , 1 ] PERIODICIDAD Los valores de las funciones a partir de cierto número se repiten EJEMPLO: Sen y Cos repiten valores cada 2 ∏

11. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.7 Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos Ángulo negativo aquel que el rayo gira en el sentido de las manecillas del reloj. El valor de la función de un ángulo negativo es la misma función, pero con el signo que le corresponde de acuerdo al teorema de PARIDAD: Sen(−t) = − Sen t (Impar) y Csc Cos(−t) = Cos t (Par) y Sec Tan(−t) = − Tan t (Impar) y Cot

12. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.7 Funciones Trigonométricas Ángulos de Referencia A / 360 Si A es un ángulo no cuadrantal entonces para hallar el valor de una de las funciones trigonométricas, se determina el valor para su ángulo de referencia y se antepone el signo que le corresponda EJEMPLO: CUADRANTE Angulo de Referencia Primero Ar = A Segundo Ar = 180° – A Tercer Ar = A - 180° Cuarto Ar = 360° - A

13. CAPITULO VI: Funciones Trigonométricas 6.8 Gráfica de funciones Trigonométricas Una buena ayuda para el mejor entendimiento de las funciones trigonométricas es examinar sus gráficas. Teniendo presente los conceptos de amplitud, dominio y periodicidad, podemos bosquejar las gráficas de las funciones trigonométricas . EJEMPLO:

14. CAPITULO VII Trigonometría Analítica 7.1Verificación de identidades 7.2 Ecuaciones trigonométricas. 7.3 Fórmulas de la suma y resta. 7.4 Fórmulas de ángulos múltiples 7.5 Funciones trigonométricas inversas

15. CAPITULO VII: Trigonometría Analítica 7.1 Verificación de Identidades Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas; si esta igualdad se verifica para todos los valores del ángulo en su dominio, ésta se denomina identidad trigonométrica . 1.- Simplifique el lado mas complicado de la ecuación. 2.- Encuentre el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones. 3.- Si las dos técnicas anteriores fallan, exprese todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trate de simplificar. EJEMPLO:

16. CAPITULO VII: Trigonometría Analítica 7.2 Ecuaciones Trigonométricas Una ecuación trigonométrica es aquella igualdad en la cual la incógnita está afectada por funciones trigonométricas y cuyo valor es necesario encontrar mediante procedimientos específicos que para este fin. EJEMPLO: 2 Sen 2 x + 3 Sen x – 1 = 0

17. CAPITULO VII: Trigonometría Analítica 7.3 Fórmulas Sumas y Restas Sen(u±v) = senucosv ± senvcosu Cos(u±v) = cosucosv ± senusenv tan(u±v) = tanu ± tanv 1+ tanutanv 7.4 Fórmulas de Ángulos múltiples Sen2u = 2senucosu Cos2u = cos 2 u−sen 2 u = 1−2sen 2 u = 2cos 2 u−1 Tan2u = 2tanu_ 1−tan2u EJEMPLO: Halle el Seno de 4u

18. CAPITULO VII: Trigonometría Analítica Sen u/2 = ± √ (1−cosu / 2) Cos u/2 = ± √ (1+cosu / 2 ) Tan u/2= ± √(1−Cos u / 1+Cos u) = (1−Cos u) / Sen u = Sen u / (1+ Cos u) EJEMPLO: Cos u/4

19. CAPITULO VII: Trigonometría Analítica 7.5 Funciones Inversas Sen −1 x=ArcSenx Cos −1 x=ArcCosx Tan −1 x=ArcTanx Ctg −1 x=ArcCtgx Sec −1 x=ArcSecx Csc −1 x=ArcCscx

20. CAPITULO VIII Aplicaciones Trigonométricas 8.1 Resolución de triángulos rectángulos. 8.2 Resolución de triángulos oblicuángulos. 8.3 Ley de senos. 8.4 Ley de cosenos.

21. CAPITULO VIII: Aplicaciones Trigonometrícas 8.1 Resolución de Triángulos Rectángulos Resolver un triángulo rectángulo significa determinar (conocidos dos datos, a más del ángulo recto, uno de los cuales debe ser la longitud de un lado) el valor correspondiente a los demás, mediante el uso del Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas fundamentales, según la información dada lo posibilite. EJEMPLO 1 1. Resolver el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, respectivamente.

22. CAPITULO VIII: Aplicaciones Trigonometrícas 8.2 Resolución de Triángulos Oblicuángulos Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel en el cual ninguno de sus ángulos internos es recto, pudiendo ser los tres agudos o uno obtuso y los demás agudos. En el primer caso, el triángulo es acutángulo y, en el segundo, obtusángulo. La resolución de este tipo de triángulos tiene métodos específicos, de los cuales dos son los fundamentales que Ud. debe conocer prioritariamente, por la amplia aplicación que tienen. Estos son: la ley de los Senos y la ley de los Cosenos.

23. CAPITULO VIII: Aplicaciones Trigonometrícas 8.3 Ley de Senos “ El seno dé los ángulos de un triángulo es proporcional a los lados opuestos correspondientes”. C / Senc=A / Sena=B /Senb Esta ley se usa en los casos que se conocen un lado y dos ángulos o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos EJEMPLO 1 Resolver el triángulo abc en el cual el lado A mide 6, b = 60° y a = 40°

24. CAPITULO VIII: Aplicaciones Trigonometrícas 8.4 Ley de Cosenos “ El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre eIlos”. B 2 =A 2 +C 2 −2ACCosb; C 2 =A 2 +B 2 −2ABCosc EJEMPLO: Resolver el triángulo abe en el cual C = 6; A = 4 y b = 50°.

25. CAPITULO IX Sistemas de Ecuaciones 9.1 Sistemas de ecuaciones. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. 9.3 Sistemas de ecuaciones lineales con mas de dos variables. 9.4 Algebra de matrices. 9.5 Inversa de una matriz. 9.6 Determinantes. 9.7 Propiedades de los determinantes.

26. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.1 Sistema de Ecuaciones Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común es decir que satisfaga todas las ecuaciones que lo forman. Guías para resolver:

27. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.2 Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables Una ecuación de la forma ax+by=c decimos que es una ecuación lineal en dos variables x y y. Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de sistemas equivalentes,

28. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.3 Sistema de Ecuaciones Lineales con más de dos variables La solución por el método de eliminación de un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables lleva a la técnica de matrices para la solución de estos sistemas. Si consideramos el sistema: Se llama matriz a un arreglo rectangular de números o letras dispuestos en filas y columnas. Orden de la matriz m filas y n columnas. Sistema de Ecuaciones Matriz del sistema (Aumentada) x+3y−z=−3 3x−y+2z=1 2x−y+z=−1 1 3 −1 −3 3 −1 2 1 2 −1 1 −1

29. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.4 Algebra de Matrices Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden. Ejemplo: A= 1 2 0 B= 3 1 3 7 3 −4 2x3 −5 0 6 2x3 Propiedades: Clausurativa, (matrices de igual orden), Asociativa, Elemento Neutro, Inverso Aditivo, Conmutativa

30. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.4 Algebra de Matrices Producto.- Para saber si con dos matrices de referencia es posible hallar el producto, en primera instancia hay que verificar que el número de filas de la matriz que constituye el primer factor sea igual al número de columnas de aquellas que representa el segundo factor Ejemplo. Sumar las matrices A y B, siguientes: A = 1 2 0 B= 3 1 5 3 −4 2x3 −2 0 1 -2 3x2 Propiedades: Clausurativa, (matrices de igual orden), Asociativa, Elemento Neutro, Inverso Aditivo, Conmutativa

31. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.5 Inversa de Matrices La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y, para una de referencia A, se representa por A −1 , dándose que AxA −1 =1. Ejemplo. Sea la matriz cuadrada: A= 1 −1 0 2

32. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.6 Determinantes Dada una matriz cuadrada A de referencia, el determinante respectivo se representa por detA ó d(A) ó A y, considerando los elementos de la matriz se estructura de las formas que seguidamente se indica, según el orden.

33. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.7 Propiedades de los determinantes Los determinantes verifican las siguientes propiedades: 1. Al intercambiar las filas con las columnas, el determinante no altera. 2. Al intercambiar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. 3. Si en un determinante dos filas o columnas son iguales, su valor es cero. 4. Si a todos los elementos de la fila o columna de un determinante se los multiplica por un mismo número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.

34. CAPITULO IX: Sistema de Ecuaciones 9.7 Propiedades de los determinantes 5. Si los elementos de una fila o columna de un determinante son múltiplos de los correspondientes de otra fila o columna, el determinante es nulo. 6. Si en un determinante una fila o columna los elementos son cero, dicho determinante es nulo. 7. Al multiplicar los elementos de una fila o columna de un determinante por un mismo número y sumar los productos a los elementos correspondientes de otra fila o columna, el determinante no altera. 5x – 9y =7 - 8x + 10y = 2

35. CAPITULO X Sucesiones, Series y Probabilidad 10.1 Sucesiones infinitas y notación de sumatoria. 10.2 Sucesiones aritméticas. 10.3 Sucesiones geométricas 10.4 Teorema del Binomio. 10.5 Permutaciones y combinaciones. 10.6 Probabilidad.

36. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.1 Sucesiones infinitas y notación de sumatoria. La característica fundamental de una sucesión es que al estar ordenados sus elementos, existe un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, etc. Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo: a 1 ,a 2 ,a 3 ,......an...... EJEMPLO: El conjunto de números: 3, 7, 11, 15, 19, 23,.... qué surge de an=3+(n−1)4.

37. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.2 Sucesiones aritméticas Cuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia. Ejemplos: 4, 10, 16, 22,.. 1, 12, 23, 34, 45,.. 5, 7, 9, 11, 13,.. En este tipo de progresión, se manejan las siguientes fórmulas básicas de interrelación entre sus elementos Para el cálculo del último término (u), se tiene u=a+(n−1)d

38. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.3 Sucesiones Geométricas Una sucesión es geométrica cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r). EJEMPLOS: 3,9,27,81,.... 1,1/4,1/16,1/64,1/256,..... La obtención del último término u , se logra empleando la ecuación u=ar n−1 La Suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación S = a(r n −1/r−1)

39. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.4 Teorema del binomio Cuando (a+b)n se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido. Por ejemplo, de (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

40. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.5 Permutaciones y Combinaciones Se llama permutación a la lista de todas las diferentes maneras de ordenar los elementos de dicho conjunto, es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, teniendo en cuenta el orden y que no haya repeticiones. EJEMPLOS. Si en un conjunto hay tres elementos distintos, a, b, c, el número de cambios es 6, pues se tiene abe, acb, cab, cba, bca, bac. Si son 5, se tiene 120 permutaciones y así sucesivamente. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS TOMADOS r A LA VEZ. P(n,r)=n!/(n−r)!

41. CAPITULO X : Sucesiones, Series y Probabilidad 10.5 Permutaciones y Combinaciones Se llama combinación cuando de un conjunto de n elementos, se toma un subconjunto de m elementos, dicho subconjunto se llama combinación de n elementos tomados m a la vez. Podemos decir que una combinación es la forma de organizar los elementos, o parte de ellos, de un conjunto, sin repetición, en cualquier orden. Se calcula con: C(n,m)=n! / m!(n−m)!

42. BIBLIOGRAFIA Algebra y Trigonometría con geometría analítica, Eart Swokowski y Jeffery Cole, THOMSON, Undécima Edición Guía Álgebra, Informática, Ing. Julio González Zuñiga, Editorial UTPL

43. Ing. Germania Rodríguez Morales UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA Gestión del Conocimiento Mail: [email_address] Skype: grrodriguez78