Trabajo realizado a la Universidad UAPA, asignado por la maestra Solanlly Martínez sobre el tema Recursos y Materiales Informáticos, desarrollando el tema de la Planificación Funciones trigonométricas

1. UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS
UAPA
ESCUELA DE POST GRADO
MAESTRIA EN GESTION DE LA TECNOLOGIA EDUCATIVA
ASIGNATURA:
DISEÑO Y ELABORACIÓN DE MATERIALES DIDÁCTICOS PARA LA
ENSEÑANZA. MGE-440
UNIDAD 4:
RECURSOS Y MATERIALES INFORMÁTICOS
TEMA:
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
PRESENTADO POR:
MARIA CRISTINA CABRERA 2019-03358
FACILITADORA:
SOLANLLY MARTÍNEZ
FECHA DE ENTREGA:
MARTES 24 DE MARZO, 2020

2. Tema:
Las Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de
extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales
y complejos. Estas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo
y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera
de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía,
cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos
periódicos, y otras muchas aplicaciones, porque nos ayudan a resolver triángulos
rectángulos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en
relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron
comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan
actualmente; por ejemplo, el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

3. Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo α:, del vértice A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los
lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud
del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo
αTodos los triángulos considerados se encuentran en el
Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos
internos es igual a π radianes (o 180°). En
consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los
ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.
Las definiciones que se dan a continuación definen
estrictamente las funciones trigonométricas para
ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y
la longitud de la hipotenusa:
Sen α= opuesto = a
Hip h
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que
elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de
triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud de la hipotenusa:
Cos α= adyacente = b
Hip h
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la del adyacente:
tang α= opuesto = a
adyac b

4. 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la del opuesto:
Cotangente α= adyacente = b
opuesto a
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa
y la longitud del cateto adyacente:
Secante α= hipotenusa = h
adyacente b
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa
y la longitud del cateto opuesto:
Cosecante α= hipotenusa = h
opuesto a
Funciones trigonométricas de ángulos notables
En la actualidad para obtener el valor de una razón trigonométrica a partir de un
ángulo dado, simplemente se utiliza una calculadora en la cual se introduce el
valor del ángulo dado y se evalúa en la relación trigonométrica requerida. Los
valores de estas razones también se pueden obtener utilizando triángulos
rectángulos, cuyos ángulos serán a los que se les quiere encontrar sus razones
trigonométricas. En ocasiones este método es muy engorroso, ya que para crear
los triángulos se deben realizar bastantes operaciones. Sin embargo, existen
ángulos en los que es muy fácil; a estos ángulos se les conoce como ángulos
notables.

5. En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable”
se utiliza para referirnos a procesos o valores que están bien definidos o muy
comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este sentido,
los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido
en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar,
los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no están
definidos como 'notables', también son muy comunes.
Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las razones trigonométricas —
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante— sin conocer las
medidas exactas de los triángulos que los contienen, pues estos ángulos están
contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, a
saber: los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros.
Obtención de las funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°
Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos
notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo
equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados
tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60°
(como siempre es el caso en un triángulo equilátero).
Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir
de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30°
y 60°. Finalmente para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea
para 30° o 60°, sólo hay que utilizar sus definiciones.

6. Obtención de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°
Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable
de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se
cumple que dos de sus lados tienen la misma longitud, digamos x. Además,
como el triángulo es rectángulo, uno de los ángulos es de 90°, por lo que los
otros dos medirán 45° (recuerda que los triángulos isósceles siempre tienen dos
ángulos idénticos).
Por conveniencia asignaremos a la hipotenusa el valor de 1 unidad. A
continuación podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud
de sus catetos. Finalmente, para obtener el valor de las funciones
trigonométricas solo hay que utilizar sus definiciones.
Múltiplos de ángulos notables
A partir de que ya obtuvimos los valores de las funciones trigonométricas de los
ángulos notables de 30°, 45° y 60°, podemos obtener también los valores para
funciones que representan los múltiplos de dichos ángulos. Para encontrar estas
razones trigonométricas, vamos a utilizar los valores que ya hemos encontrado
en un triángulo rectángulo.
Estas definiciones las plantearemos tomando como base la circunferencia
unitaria (es decir: una circunferencia de radio 1), por lo que es útil recordar
algunas definiciones:

7. El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento
que forma el ángulo con el eje X y la longitud de dicho segmento. En la
circunferencia unitaria, el segmento es el radio y mide 1 unidad, por lo que el
seno es igual al valor de la coordenada Y
Ejercicios:
Realizar los siguientes ejercicios interactivos:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/trigonometria/ejercicios-
interactivos-de-angulos-notables.html
También aquí encontrarás encontraras ejercicios para resolver aplicando las
razones trigonométricas de ángulos notables.
1.- Calcular: E = (sen30º + cos60º) tg37º
a) 1
b) 2
c) 1/4
d) 3/4
e) 4/3
2.- Calcular:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º – 2cos60º
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3.- Calcular: “x”
3xsec53º – tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

8. 4.- Calcular: E = (tg60º + sec30º – sen60º)sec60º
a) 25/12
b) 25/24
c) 49/12
d) 49/24
e) 7/18
Ejercicios Resueltos
Nota previa: para simplificar los cálculos, aproximaremos las razones
trigonométricas con dos o tres decimales por redondeo o por truncamiento.
Como consecuencia, los resultados pueden ser no exactos.
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Problema 1
Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la
parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º.
Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$.
Solución
Sustituimos el ángulo y el lado:
Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$:

9. Problema 2
Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son
de 60 grados) cuyos lados miden 12cm.
Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto a éste.
Solución
Del triángulo conocemos tres ángulos: uno mide 60º, otro 30º y el otro 90º.
También conocemos su hipotenusa h=12cmh=12cm.
Utilizamos el seno para calcular la mediana mm:
Sustituimos los datos:
Luego la mediana mide 10,392 centímetros.

10. Problema 4
Escribir una fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo
equilátero de lado dd.
Ayuda: la fórmula se puede obtener rápidamente a partir del problema anterior.
Solución
Como los lados del triángulo miden dd en lugar de 12cm, sólo tenemos que
cambiar 12 por dd en el problema anterior ya que los ángulos son iguales.
La fórmula es
O bien, si aproximamos el seno,
Glosario
Abscisa: La abscisa es el valor de la coordenada x de cualquier punto con
coordenadas (x,y), en el plano cartesiano.
Abscisa al origen: La abscisa al origen es el valor de la coordenada x del punto
de intersección entre una recta y el eje X.
Binomio: Un binomio es una expresión algebraica conformada por dos términos,
separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras es una
expresión formada por la suma de dos monomios.
Ejemplo: a + b
x – 3
Cateto: En un triángulo rectángulo, son los lados que conforman el ángulo recto
de 900

11. Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices de cuerdas de una
misma circunferencia.
Circunferencia: Una circunferencia es el conjunto de puntos (x,y) que tienen
igual distancia a un punto determinado conocido como el centro de la
circunferencia.
Cociente: El cociente es el resultado que se obtiene al realizar una división.
Coeficiente: Un coeficiente es un factor o valor constante por el cual se
multiplica una expresión.
Conmutativo: Una operación es conmutativa cuando el resultado de la
operación es el mismo, independiente del orden en que se encuentran los
elementos que la conforman.
Cosecante: La función cosecante es la razón trigonométrica inversa del seno:
csc (α) = 1/sen (α)
Coseno: el coseno es una función par y continua con periodo, además una
función trascendente. Su nombre se abrevia cos. En trigonometría, el coseno de
un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto
adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.
Cotangente: La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón
trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo
Eje de las abscisas: El eje de las abscisas es el eje X o eje horizontal en el
plano cartesiano.
Eje de las ordenadas: El eje de las ordenadas es el eje Y o eje vertical en el
plano cartesiano.
Exponente: El exponente, en el contexto de la operación potenciación, es el
número que señala la cantidad de veces que la base debe multiplicarse por sí
mismo.
Hipotenusa: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado mayor, que se
encuentra opuesto al ángulo recto.
Secante: En trigonometría, el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se
define como la razón entre el cateo opuesto co y la hipotenusa hip
Tangente en trigonometría: La tangente es una función impar y es una función
periódica de periodo con indeterminaciones en, y además una función

12. trascendente de variable real. Su nombre se abrevia tan. En trigonometría, la
tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente.
Nota: En el siguiente enlace de Google Site se puede visualizar esta información
en mejor detalle https://sites.google.com/site/ingmariacristinacabrera/