1. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
TEMA EN COMUN: Lectura y escritura de números
ACTIVIDADES DIFERENCIADAS, PAGINAS DEL LIBRO 5º= 11,12,13 6º= 8,9,10,11
EJE TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
Eje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje.6° Sentido numérico y pensamiento algebraico
TEMA. Significado y uso de los números TEMA.
SUBTEMA. números naturales
Conocimientos y habilidades 1.1. Resolver problemas que CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: 1.1. Lectura, escritura y
impliquen el análisis del valor posicional a partir de la comparación de números de diferente cantidad de cifras
descomposición de números.
.1. Investigar sobre las reglas de funcionamiento de sistemas de
numeración antiguos no posicionales como el egipcio o chino-
japonés
APRENDIZAJES ESPERADOS 5ª APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Resuelve problemas de conteo usando procedimientos Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para
informales realizar operaciones con números naturales.
SECUENCIAS DIDACTICAS
Consideraciones previas
Solicitar a los alumnos billetes y monedas de diferentes denominaciones.
Formen una tabla como la siguiente.
Unidad de Centenas Decenas Unidad de Centena Decena de Unidad de Centena Decena Unidad
millar de de millón de millón millón de millar millar millar
millón
1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1
Jueguen al cajero utilizando los billetes.
Soliciten al cajero el numero de la suma que a continuación se presenta, lo cuente y elabore
40 centenas de millar + 130 decenas+ 25 centenas + 2 millares=
1 centena de millar+ 234 centenas+ 1 decena de millar+ 3 millares+ 5=
1

2. 4 unidades de millón + 3 centenas de millar+ 300 centenas + 250 decenas + 501=
1 millón+ 3 centenas de millar + 409 centenas+ 2349 decenas + 7 =
Investigar sobre las reglas de funcionamiento de sistemas de numeración antiguos no posicionales como el egipcio o chino-japonés
(observar video en enciclomedia de numeración, egipcia, china y de Japón ) entregar por equipos la siguiente información
para que todos la lean y la analicen
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras
formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación
más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado
número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta
que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un
número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las
decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la
Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable
como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna
irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares
etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y
muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos
números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de
símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la
multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando
se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las
más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico
aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a
Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de
Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la
introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier
número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de Numeración Aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un
trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un
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3. jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las
unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades,
decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los
símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las
alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.
El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la
figura para representar los distintos órdenes de unidades.
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4. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de
arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y
solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto
(animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura
aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos
fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero
su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario
fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que
permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para
20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
El Sistema de Numeración Griego
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de
la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las
numeraciones aditivas.
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5. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a
la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.
Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos
otros símbolos según la tabla siguiente
De esta forma los números parecen palabras, ya que están
compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor
numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que
las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte
de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y
las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que
utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido
una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la
kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
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6. Sistemas de Numeracion Híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a
cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de
signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa
la combinación del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se
dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares,
pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas
etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con
370, 3070 .Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo
el tamil, el malayalam y el cingalés.
El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema
decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio
multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que
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7. 75.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de
izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo
para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a
veces se
Suprimían los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más
complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban
hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte
desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se
diferencia de este.
Sistemas de Numeración Posicionales
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas,
centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema
de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos
un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no
disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena.
El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su
parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino
20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma
en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo
árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la
India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque
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8. tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o
ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese
podido avanzar.
El Sistema de Numeración Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el
ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en
forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que
tenía su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de
unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
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9. El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro
puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9.
Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
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10. Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos
constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ...
según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el
orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia
de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de
cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número
correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer
lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
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11. El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta
forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario
solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro
tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
(Se analizarán los sistemas a partir de sus características: número de símbolos necesarios para escribir todos los números,
descomposiciones aritméticas, existencia o no del cero, criterios de comparación, y se compararán con las del sistema decimal.
¡A JUGAR!
Se organiza al grupo en equipos, juntan sus tarjetas, las mezclan y las ponen en el centro de una mesa con las palabras hacia
abajo. Es importante que, mientras los alumnos juegan, haga un seguimiento al trabajo observando si comprendieron las
instrucciones. Sobre todo, es importante que vea cómo forman los números y cómo los escriben con cifras en su cuaderno; si usted
detecta errores puede preguntar a otros compañeros del mismo equipo: ¿qué opinas de cómo escribió el número tu compañero?,
¿consideras que escribió correctamente el número? Luego de haber tomado dos tarjetas de cada color y la tarjeta con la palabra
mil, los alumnos podrán formar números como el siguiente:
quinientos setenta y ocho mil trescientos cuarenta y cuarenta y
Y en su cuaderno: 578 346
Con las mismas tarjetas se pueden formar otros números: 548 376, 378 546, etc. Vale la pena que el maestro diga a los alumnos
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12. que se trata de formar el número mayor para ganar la ronda. Para cerrar la actividad puede pedir que se resuelvan algunos
ejemplos frente al grupo, haciendo notar que la palabra mil divide al número en dos grupos de tres cifras, lo que facilita la lectura y
escritura del número. En las tarjetas no se han incluido las palabras cuya escritura se modifica en la numeración oral, como el diez y
el veinte, porque para formar números con una decena es inusual decir “diez y cinco”, “veinte y cuatro”, etcétera. Mientras los
equipos trabajan en la combinación de números, el maestro puede supervisar el trabajo cuidando que los nombres que se formen
sean correctos; en total se pueden formar ocho números, siendo el mayor: ocho cientos dos mil y el menor: mil dos cientos ocho Si
los alumnos forman nombres incorrectos, como ocho mil cientos dos, puede preguntarles: ¿cómo se escribe de manera correcta ese
número?, también puede recomendarles dividir los números de más de cuatro cifras en grupos de tres dígitos para facilitar su
lectura y escritura. Una dificultad extra a la que se enfrentarán los alumnos es el uso de ceros intermedios, ya que los ocho números
que se forman contienen ceros intermedios. Si detecta errores puede esperar a la confrontación grupal para que los alumnos
revisen todos los números y validen los que hayan escrito de manera correcta. Se sugiere hacer énfasis en que el agrupamiento de
tres cifras facilitará el proceso de revisión de los números propuestos.
5º
Plantear Situaciones en las que se trate de ordenar y contar una colección de objetos que cumplan ciertas condiciones. Cuando sea
posible, se representará la colección en diagramas de árbol para facilitar la búsqueda sistemática de posibilidades y el control del
conteo. Por ejemplo, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden escribir con las cifras 2, 1, 3 y 4? La representación
gráfica en forma de árbol o tabla puede ayudar a los alumnos a descubrir la estructura multiplicativa de algunas de estas
situaciones. En el ejemplo anterior se puede considerar que para la primera cifra se tienen cuatro posibilidades, una por cada cifra,
lo cual puede ser representado por 4 ramas de un árbol. Para la segunda cifra, una vez fijada la primera, sólo quedarán 3
posibilidades; por lo tanto del extremo de cada una de las 4 ramas, saldrán 3 ramas. A su vez, quedarán dos posibilidades para
elegir la tercera cifra, y finalmente una sola opción para la última cifra. Por lo tanto, el árbol tendrá inicialmente 4 ramas, de cada una
de las cuales saldrán 3, luego 2 y finalmente 1. El número total de posibilidades resultará del producto: 4 x 3 x 2 x 1. Los
procedimientos personales de los alumnos suelen consistir en buscar formas de enlistar todos los números posibles para obtener
el total. El docente insistirá en buscar métodos más eficaces ya que aunque el sistema que usen los estudiantes para hacer la lista
puede ser adecuado, es imposible ejecutarlo en poco tiempo, sobre todo cuando los elementos del problema crecen. El docente
podría organizar un análisis de los procedimientos y de la relación que se puede establecer con las ramas del árbol y la
multiplicación. Posteriormente podrá plantear: ¿y si se pueden repetir las cifras?
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13. 13

14. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la descomposición correcta del número 985 467 en notación desarrollada?
A) 9 x 100 000 + 8 x 1 000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 67 x 1
B) 9 x 100 000 + 8 x 10 000 + 5 x 1 000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 7 x 1
C) 9 x 1 000 000 + 8 x 100 000 + 5 x 10 000 + 4 x 1 000 + 6 x 100 + 7 x 10
D) 900 000 + 80 000 + 5 000 + 4 x 1 000 + 6 x 100 + 7 x 10
En un estadio hay 16 cajas de pelotas con una docena cada una, y además una caja con 8 pelotas. Para saber cuantas pelotas son
en total, ¿cuál de las siguientes expresiones utilizarías?
A) 16+ (12 x 8)
B) 16x (12 +8)
C) 8 + (16 x 12)
D) (8 + 16) x 12
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15. El 30 de diciembre de 2009 se llevo a cabo el 63º sorteo “De la Amistad”, donde se sortearon una residencia amueblada para el
primer premio y del 2º al 16º un automóvil último modelo, los boletos
agraciados se muestran en la tabla siguiente:
Boleto Premio
Ganador
1º 356,871 Residencia amueblada
2º 250,276 Automóvil último modelo
3º 45,271 Automóvil último modelo
4º 378,972 Automóvil último modelo
5º 300,003 Automóvil último modelo
6º 272,345 Automóvil último modelo
7º 76,456 Automóvil último modelo
8º 265,897 Automóvil último modelo
9º 290,675 Automóvil último modelo
10º 345,670 Automóvil último modelo
11º 220,350 Automóvil último modelo
12º 2,874 Automóvil último modelo
13º 234,652 Automóvil último modelo
14º 209,675 Automóvil último modelo
15º 376,892 Automóvil último modelo
16º 79,456 Automóvil último modelo
¿Entre qué números no salieron números sorteados?
A) 0 y 99,999
B) 100,000 y 199,999
C) 200,000 y 299,999
D) 300,000 y 399,999
¿Entre qué números salieron más números sorteados?
A) 0 y 99,999
B) 100,000 y 199,999
C) 200,000 y 299,999
D) 300,000 y 399,999
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16. ¿Entre qué rango de números salió el boleto ganador de la residencia?
A) 0 y 99,999
B) 100,000 y 199,999
C) 200,000 y 299,999
D) 300,000 y 399,999
Fernando se ganó un automóvil con el número 265,897, ¿cómo es la descomposición correcta de este número en notación
desarrollada?
A) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 10,000 + 8 x 1,000 +97 x 1
B) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 10,000 + 8 x 1,000 +9 x 100 + 7 x 10
C) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 1,000 + 8 x 100 +9 x 100 + 7 x 1
D) 2 x 100,000 + 6 x 10,000 + 5 x 1,000 + 8 x 100 +9 x 10 + 7 x 1
¿Cuál es el número del boleto ganador que se encuentra en el 4to. lugar de la lista?
A) 378, 972
B) 376, 892
C) 367, 796
D) 378, 902
Don Paulino Torres en su granja, tiene un gallinero con 80 gallinas que producen 8 kg de huevo al día. Si don Paulino vende cada
huevo a $ 0.60 y cada kilo tiene 15 huevos,¿cuánto dinero obtiene en 5 días con la venta de huevo?
A) $ 670.00
B) $ 600.00
C) $ 400.00
D) $ 360.00
En la tumba de un hombre pusieron el siguiente letrero: ¿En qué año murió Pedro Pérez?
A) 1512
B) 1823
C) 1908
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17. D) 1912
DESCOMPONER NUMEROS
La descomposición de números podrá basarse en la organización decimal del sistema, la explicitación de las relaciones aditivas y
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18. multiplicativas que subyacen a un número o en la interpretación y utilización de la información contenida en la escritura decimal.
Por ejemplo, 98 puede ser descompuesto de distintas maneras: como 90 + 8; 45 + 45 + 8 o 48 + 48 + 2. Sin embargo, para dividir
mentalmente 98 : 12 se podría buscar una descomposición en múltiplos de 12 , por ejemplo 48 + 48 + 2.
Una vez encontrada la descomposición se podrá dividir cada sumando entre 12, y encontrar 4 + 4 = 8 como cociente y un residuo
de 2.
Se trata de que los alumnos aprendan no sólo a descomponer números de distintas maneras sino a seleccionar la descomposición
más adecuada para la situación planteada, para esto el docente organizará discusiones sobre los procedimientos que elaboren los
alumnos o propuestos por él mismo. Otra situación posible es la siguiente: si en el visor de la calculadora aparece el número 7356,
¿cómo lograr que en el visor de la calculadora aparezca el número 7056 sin borrar el número original y haciendo una operación? Si
aparece el número 32 574, ¿cómo lograr que aparezca, sin borrar, el 30 074? En estos ejercicios es necesario utilizar la información
contenida en la escritura decimal, por ejemplo que en 7 356, el 3 es equivalente a 300 unidades, por lo tanto para lograr que
aparezca el número 7056 será suficiente restar 300 al número original.
ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-02
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-04
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-05-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 01-05-02
Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 01-03
Matemáticas Interactivo: Arma el número
Matemáticas Interactivo: El ahorcado
Matemáticas Interactivo: Arma el número
GLOSARIO ENCICLOMEDIA
Centena
Centena de millar Cifra Decena
Decena de millar
Unidad
Unidad de millar
Valor absoluto
Valor relativo
PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Observaciones posteriores
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19. 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la
sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted
2.
Muy útil Útil limitado Pobre
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20. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
ASIGNATURA: MATEMATICAS
TEMA EN COMUN: la fracción
PAGINAS DEL LIBRO 5º= 14,15,16 6º= 12,13
EJE Y COMPETENCIA TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
Eje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraico 6° Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema. Significado y uso de las operaciones TEMA
Subtema. Problemas aditivos SUBTEMA
Conocimientos y habilidades 1.2. Resolver problemas en CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: 1.2. Utilizar fracciones para
distintos contextos de manera que abarquen diferentes expresar el cociente de la división de una medida entera entre un
significados de las fracciones: repartos, medidas y particiones. número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc).
APRENDIZAJES ESPERADOS 5º APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Resuelva problemas en diversos contextos que implican Usa fracciones para expresar cocientes.
diferentes significados de las fracciones: reparto y medida
ACTIVIDADES INICIALES
Consideraciones previas
OBSERVAR LOS VIDEOS QUE IMPLICAN FRACCION, (suma, resta, multiplicación, equivalencia, representación, reparto
concepto etc.)
En grados anteriores los alumnos resolvieron problemas de reparto utilizando diversos procedimientos; podrán seguir usando estos
procedimientos y se espera que evolucionen hasta determinar que al repartir m unidades entre n personas, el resultado es la
fracción m/n o una equivalente. Es muy probable que en la confrontación de resultados los alumnos expongan varios
procedimientos incluyendo el que se desea que usen (la anticipación de la fracción mn ). La pregunta del inciso c) pretende que los
alumnos se den cuenta de este hecho; de no ser así, usted puede introducirlo y cerrar la actividad con esta conclusión. Se sugiere
plantear problemas similares para que los alumnos contesten de modo oral, por ejemplo: se reparten ocho pasteles entre cinco
niños, ¿cuánto le toca a cada uno? Respuesta: 8
5
. Se sugiere plantear otros problemas similares para que los alumnos contesten oralmente, por ejemplo: el robot X avanza 9
unidades al dar 7 pasos, ¿cuánto avanza al dar un paso? Respuesta: 9
7
20

21. 21

22. 22

23. 23

24. 24

25. 25

26. 26

27. 27

28. 28

29. Para reflexionar y analizar
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30. 30

31. 31

32. 32

33. 33

34. ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 58-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 58-02
Matemáticas Descartes Fracciones: Representación
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-02
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-03
Matemáticas Animación: Razones y proporciones
Matemáticas Descartes Fracciones: Equivalencia
PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Observaciones posteriores
1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la
sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted
. Muy útil Útil limitado Pobre
34

35. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
ASIGNATURA: MATEMATICAS
TEMA EN COMUN: NUMEROS DECIMALES
PAGINAS DEL LIBRO 5º= ,17,18,19,122,123,124 6º= 14,15,16,17
EJE Y COMPETENCIA TEMA Y SUBTEMA, CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
Eje: 5°Sentido numérico y pensamiento algebraico 6° Sentido numérico y pensamiento algebraico
TEMA
TEMA. Significado y uso de los números SUBTEMA
SUBTEMA. números decimales Conocimientos y habilidades
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
1.3. Comparar, ordenar y encuadrar números decimales
1.3. Resolver problemas de conteo mediante procedimientos
informales.
APRENDIZAJES ESPERADOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Resuelva problemas de conteo usando procedimientos Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para
informales realizar operaciones con números naturales.
Resuelvan problemas aditivos con números fraccionarios y
decimales que impliquen el uso de recursos de cálculo mental.
ACTIVIDADES INICIALES
Antes de iniciar que cada equipo marque en un metro los milímetros, centímetros y decímetros, repase las partes de metro En el
pizarrón la maestra realizara algunas preguntas sobre que es mas grande los decímetros, o milímetros etc y realice equivalencias
de cuanto es 3200 milímetros convertidos en decímetros, 345 cm convertirlos a metros etc.
Tener el material de décimos centésimos y milésimos (acrílico, papel cascaron, o cualquier otro que pueda ser manipulado)
nuevamente la maestra en el pizarrón la maestra realizara algunas preguntas sobre que es mas grande los decimos, o milésimos
etc y realice equivalencias de cuanto es 3200 milésimos convertidos en decimos
Los alumnos han trabajado con números decimales en grados anteriores, por lo que se espera que concluyan que si el cuadrado
grande vale uno, entonces cada tira vale un décimo; cada cuadradito vale un centésimo, y cada rectangulito vale un milésimo. Los
alumnos que puedan deducir esto podrán escribir mensajes numéricos, como 0.523 para colorear cinco tiras, dos cuadraditos y tres
rectangulitos. Aunque también pueden proponer expresiones como 5/10 ,
35

36. 2 /100 y 3/ 1000 , lo cual le dará más riqueza a la confrontación de los resultados. Es importante enfatizar que en los mensajes no
se pueden utilizar palabras ni dibujos. Si a nadie se le ocurre usar números con punto decimal o fracciones decimales para elaborar
su mensaje, usted puede apoyarlos con intervenciones como: si el cuadrado grande vale uno, ¿cuánto vale una tira?, ¿cómo
escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un cuadradito?, ¿cómo escribes esa cantidad?, ¿cuánto vale un rectangulito?, ¿cómo escribes
esa cantidad?, ¿cómo escriben la cantidad total que colorearon? En la confrontación de resultados el docente puede comentar la
eficacia del punto decimal para la elaboración de los mensajes y la importancia que tiene interpretarlos de la misma manera, tanto
por parte de quien elaboró el mensaje como por parte de quien lo recibió. Para cerrar la actividad es conveniente que escriban con
punto decimal y con fracciones decimales todas las cantidades que representan los cuadrados-unidad coloreadas, y que lean los
números y los ordenen del menor al mayor.
Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar a qué números corresponden las marcas en cada una de las rectas. Sólo se
pide de manera aproximada porque el propósito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; por ejemplo, el 4.56 está entre
el 4 y el 5, pero como está marcado el 4.5 se espera que los alumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5.
En la segunda recta numérica se tiene que encuadrar con un mayor grado de precisión, ya que todos los números están entre 2 y 3;
pero los alumnos tendrán que determinar si están entre 2.1 y 2.2, o entre 2.25 y 2.40. Por ejemplo, para el caso de 2.752, los
alumnos tendrán que ubicar el número entre el 2.7 y 2.8, pero como hay un punto entre éstos, tendrán que precisar que se ubica
entre 2.75 y 2.8.
Juegue por equipo, el maestro escribirá algunos decimales en el salón y les indicara que equipo que determine cual es mayor o cual
es menor va ganando (el Gpo determina si diez minutos antes que todos a receso, no hace aseo etc. Se espera que en las jugadas
haya casos en los que un número de tres cifras decimales sea menor que uno de una o dos cifras decimales, por ejemplo, que un
alumno forme el 0.431 y otro el 0.6. La idea es que ellos mismos se den cuenta de que el número de cifras no es determinante para
comparar los números que están a la derecha del punto decimal. Si no se diera el caso, en el cierre de la actividad el maestro puede
suponer algunos casos, por ejemplo, decirles que si a un alumno le salió 3, 2 y 1 y a otro le salió 5, ¿puede el alumno que le salió 5
formar un decimal mayor que el que forme el otro alumno? Si nota que algunos alumnos tienen dificultad en determinar quién ganó
la jugada porque creen que 0.321 es mayor que 0.5, puede recurrir a los cuadrados unidad en donde los alumnos verán que 5 tiras
(décimos) son mayores que 0.321 porque en este número sólo hay 3 tiras completas. Es posible que a algunos alumnos se les
dificulte la lectura de los números por la forma en que están acomodados; si ése es el caso, puede sugerirles que los escriban y los
ordenen por separado, ya sea en columna o en fila. También puede introducir, si es que en las confrontaciones grupales no ha
surgido, una nueva manera de comparar decimales. Apoyándose en el cuadrado-unidad, haga notar a los alumnos que 0.5 = 0.50 =
0.500, etc., es decir, que podemos agregar ceros a la derecha de un número escrito con punto decimal y esto no altera el valor. Esta
propiedad de los decimales está basada en la equivalencia de fracciones: 5/10 = 50/100 = 500/1000 , lo cual permite comparar más
fácilmente los decimales; por ejemplo, 0.5 es mayor que 0.125 porque 0.500 es mayor que 0.125 (500 milésimos es mayor que 125
milésimos). En esencia, lo que se hace es convertir ambas fracciones al mismo denominador para poder compararlas más
fácilmente.
36

37. 37

38. 38

39. ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-02
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-01-03
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-02-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 17-02-02
Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 17-01
Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 17-03
Matemáticas Interactivo: Números decimales
Matemáticas Interactivo: Recta numérica
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-02
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 64-03
Matemáticas Animación: Razones y proporciones
Matemáticas Descartes Fracciones: Equivalencia
Matemáticas Interactivo: Números decimales
Matemáticas Interactivo: Recta numérica
GLOSARIO
Número decimal
Centésimo
Décimo
Fracción decimal
Milésimo
Número decimal
PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Observaciones posteriores
3. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar
la sesión? . Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted
Muy útil Útil limitado Pobre
.
39

40. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
ASIGNATURA: MATEMATICAS
TEMA EN COMUN: uso de la calculadora NUMEROS NATURALES
PAGINAS DEL LIBRO 5º= 20,21,81,82,83,84 6º= 18,19,20,21
EJE TEMA, SUBTEMA Y COMPETENCIA
5° Sentido numérico y pensamiento algebraico 6° Sentido numérico y pensamiento algebraico
Competencia Resolver problemas de manera autónoma Competencia Resolver problemas de manera autónoma.
Tema: Tema:
Conocimientos y habilidades
1.4. Elaborar recursos de cálculo mental para resolver 1.4. Realizar las operaciones con números naturales con
operaciones y estimar o controlar resultados. diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora.
Establecer relaciones entre las reglas de funcionamiento del
sistema de numeración oral y las de otros sistemas no
decimales.
APRENDIZAJES ESPERADOS 5º APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Resuelva problemas de conteo usando procedimientos Utiliza el cálculo mental, los algoritmos y la calculadora para
informales realizar operaciones con números naturales.
Reconozcan relaciones entre las reglas de funcionamiento del
sistema de numeración decimal oral y de otros sistemas.
ACTIVIDADES INICIALES
Se sugiere que proponga a sus alumnos cotidianamente ejercicios de cálculo mental. Es importante mencionar que en el cálculo mental se
espera que los alumnos encuentren el resultado exacto, a diferencia de la estimación en la que el resultado es aproximado. También es
importante aclarar a los alumnos que el cálculo mental no se refiere a realizar mentalmente el algoritmo convencional, sino que se debe hacer
uso de otras estrategias. Por ejemplo, para sumar 319 + 181, se puede proceder de las siguiente manera: 100 + 300 = 400; 81 + 19 son 100;
400 y 100 dan 500.
Cuando los alumnos estén resolviendo los problemas observará si algunos están empleando el cálculo mental, de no ser así, podrá invitarlos a
que lo hagan pues la consigna dice que lo deben hacer con al menos tres de los problemas. Recuérdeles que el cálculo no implica hacer
mentalmente la operación siguiendo el mismo algoritmo escrito, sino que se trata de hallar otros procedimientos. Por ejemplo, para obtener la
mitad de 48 630 000 no se hace la división de este número entre 2, sino que obtenemos la mitad de 48 que son 24 y de 630 que son 315, así el
resultado es 24 315 000. Dado que el cálculo mental es limitado, el alumno podrá usar algoritmos con lápiz y papel en aquellos problemas en
que lo considere necesario. En esta actividad, la calculadora es útil para verificar los resultados. Se sugiere hacer una confrontación grupal de
resultados y procedimientos en donde hagan énfasis en la identificación de aquellos problemas que pudieran resolverse con cálculo mental.
Es importante que se percate de que los equipos de trabajo usen las estrategias propuestas. Al finalizar, se sugiere que oriente la reflexión
sobre qué estrategia fue la más adecuada para la solución de cada problema. Se espera que los alumnos valoren que en algunos casos el
cálculo mental es más adecuado que el escrito, incluso que es más apropiado que el uso de la calculadora.
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41. RESUELVAN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
Laura y sus papás fueron a visitar a sus familiares que viven en Estados Unidos. Durante su gastaron $ 1,257 dólares. De regreso, Laura quiso
saber cuánto dinero habían gastado en el viaje. Observa el cartel de la Casa de Cambio en donde compraron los dólares y encuentra la
cantidad de dinero que gastaron en pesos mexicanos.
DOLARES
COMPRA VENTA
12.10 12.85
A) $ 15,209.97
B) $ 97.82
C) $ 155.48
D) $ 16,152.45
Para trabajar con calculo mental sin papel ni lápiz
Dime cuál es el resultado de multiplicar 0,25 por 10
1. Se reparten 6 cerezas entre 3 niños. ¿Cuántas cerezas le corresponden a cada niño?
a) 9 cerezas.
b) 2 cerezas.
c) 1 cereza.
2. Una caja tiene 5 lápices. ¿Cuántos lápices habrá en 6 cajas?
a) 11 lápices.
b) 1 lápiz.
c) 30 lápices.
3. Juan reparte 99 canicas entre sus 11 amigos. ¿Cuántas canicas tiene que dar a cada uno?
a) 88 canicas.
b) 9 canicas.
c) 19 canicas
En una caja hay 9 rotuladores de colores. ¿Cuántos rotuladores habrá en 10 cajas?
a) 19 rotuladores.
b) 1 rotulador.
c) 90 rotuladores.
En mi pueblo había 6 conejos metidos en 2 jaulas. Si en la última jaula metemos 5 conejos más. ¿Cuántos conejos habrá en
esta jaula?
41

42. a) 11 conejos.
b) 8 conejos.
c) 17 conejos.
Un grupo de 6 compañeros compramos 5 papeletas de una rifa cada uno y perdimos 2 papeletas. ¿Cuántas papeletas
tenemos ahora?
a) 14 papeletas.
b) 28 papeletas.
c) 32 papeletas.
7. Guadalupe tiene 18 caramelos y los reparte entre sus 3 compañeras. Si una de ellas tenía antes 6 caramelos. Cuántos
tendrá ahora esta última?
a) 12 caramelos.
b) 17 caramelos.
c) 21 caramelos.
8. Un domingo compré 11 bolsas de pipas a 11 céntimos de euro cada una y un tebeo de 7 céntimos. ¿Cuánto dinero me
gasté?
a) 29 céntimos.
b) 128 céntimos.
c) 121 céntimos
Una niña tiene 10 sacos de canicas con 8 en cada saco. Si en otro saco aparte tiene 8 canicas, ¿cuántas tiene tiene en total?
a) 26 canicas.
b) 88 canicas.
c) 10 canicas.
10. Metemos 77 caramelos en 11 bolsas. Si de la última bolsa me como 7. ¿Cuántos caramelos quedan en esta bolsa?
a) 0 caramelos.
b) 95 caramelos.
c) 18 caramelos.
11. Ana Victoria tiene 6 caramelos y su hermana Montse 8 veces más. ¿Cuántos caramelos tiene Montse?
a) 14 caramelos.
b) 2 caramelos.
c) 48 caramelos.
12. En un cumpleaños nos sacaron 54 galletas para un grupo de 9 amigos. Si todos comimos igual, ¿cuánto nos tocó a cada
42

43. uno?
a) 63 galletas.
b) 6 galletas.
c) 54 galletas.
ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-01
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-02
Matemáticas 5° Ejercicios complementarios: Lección 42-03-05
Matemáticas 5° Hoja de cálculo: Lección 42-01
Matemáticas Interactivo: El ahorcado
Matemáticas Interactivo: Escribe el número
Matemáticas Interactivo: Números consecutivos
Matemáticas Interactivo: Números decimales
GLOSARIO
Centena , Centésimo , Decena , Décimo , División , Milésimo , Sucesión , Unidad
PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Observaciones posteriores
4. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para
mejorar la sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted
Muy útil Útil limitado Pobre
.
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44. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
ASIGNATURA: MATEMATICAS
TEMA EN COMUN: FIGURAS PLANAS
PAGINAS DEL LIBRO 5º= 22,23,24,25,96,97 6º= 23,24
EJE Y COMPETENCIA
5° Forma, espacio y medida 6° Forma, espacio y medida
TEMA. . TEMA.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
1.5. Trazar triángulos y cuadriláteros mediante recursos 1.5. Clasificar cuadriláteros.
diversos.
1.6. Trazar triángulos con regla y compás
. Localizar y trazar las alturas de un triángulo cualquiera.
APRENDIZAJES ESPERADOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Trazar triángulos y cuadriláteros utilizando regla y compás Conoce las características de los cuadriláteros.
Identifiquen y tracen las alturas de triángulos
ACTIVIDADES INICIALES
En esta actividad se pueden trabajar los siguientes conceptos observen los videos de trazo de un triangulo y cuadriláteros
• Ángulos rectos
• Rectas perpendiculares
• Trazo de rectas perpendiculares con regla y compás
• Clasificación de triángulos
• Triángulos rectángulos
• Área del cuadrado
Material:
• Hojas de papel
• Lápiz
• Regla graduada
• Compás
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45. • Tijeras
¡Vamos a ponerle nombre a los triángulos!
Existen muchos tipos de triángulos y todos ellos se pueden clasificar de dos formas distintas:
Por el tamaño de sus lados
Por la medida de sus ángulos
Por el tamaño de sus lados:
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales, o sea, sus tres lados miden los
mismo.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales, o sea, tiene dos lados que miden lo
mismo.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados distintos, o sea, sus tres lados tienen medidas
distintas.
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90º, o sea uno de sus ángulos interiores es
un ángulo recto.
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, o sea, sus tres ángulos
interiores son menores de 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, o sea, uno de sus ángulos interiores
es mayor que 90°.
Los triángulos que nos interesan en esta actividad son justamente los Triángulos
rectángulos
¿Cómo es un triángulo rectángulo escaleno?
¿Cómo es un triángulo rectángulo isósceles?
¿Podrá existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿por qué?
Actividad 1
Entre todos estos triángulos encuentra los que son rectángulos:
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46. Entre todos estos triángulos encuentra los que son rectángulos:
¿Qué tal si aprendemos a trazar triángulos rectángulos sin usar el transportador?
¡SALE!
Un ángulo de 90º se forma por dos rectas PERPENDICULARES, así que en todo triángulo rectángulo forzosamente dos de sus lados tendrán que
ser PERPENDICULARES.
Para trazar dos rectas perpendiculares:
Con la regla dibuja una línea recta
Coloca la punta del compás en uno de los extremos de la recta y ábrelo hasta llegar al otro extremo de
la recta.
46

47. · Con el compás así colocado, traza un pedazo de circunferencia por encima de
la recta y otro por debajo.
Ahora coloca la punta del compás en el otro extremo de la recta y con la misma abertura haz los mismos trazos
que en el paso anterior.
Marca con un punto el lugar donde se cortan los dos pedazos de circunferencia de arriba y con otro el lugar donde se
cortan los dos pedazos de circunferencia de abajo.
47

48. Une los dos puntos que acabas de dibujar con una recta.
Las dos rectas que quedaron son PERPENDICULARES, es decir, forman un ángulo de 90º!
Con este procedimiento la recta perpendicular pasa justo por la mitad de la recta que teníamos al principio.
¿Qué tendríamos que hacer si quisiéramos que la recta perpendicular cayera sobre uno de los extremos de la recta original?
¡Claro!, tendríamos que prolongar la recta así, con otra recta de la misma longitud.
Para que al trazar la perpendicular, cayera en uno de los extremos.
Ahora sí, ya sabemos trazar triángulos rectángulos, basta con trazar dos rectas perpendiculares y después trazar el tercer lado.
48

49. Actividad 2
Sobre cada una de estas rectas, traza un triángulo rectángulo. la recta deberá ser uno de los lados.
Que de las siguientes figuras explique cuales son cuadriláteros y por que
49

50. 50
Previamente entregue la siguiente hoja semejante al del material recortable de los alumnos, de tamaño suficiente para que todo el
grupo lo trabaje. Es importante aclarar que cuando los alumnos hayan registrado las figuras, este pliego se ocupará en la sesión
siguiente. Cuando los alumnos hayan terminado de trabajar en su hoja, pasarán al frente del grupo para registrar en el pliego de

51. CUADRILATEROS
La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según este criterio los
cuadriláteros pueden ser
1.- PARALELOGRAMO
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos.
Propiedades: Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.Las diagonales se
cortan en el punto medio
Un paralelogramo puede ser:
a.- Rectángulo. Tiene los ángulos rectos. b.- Rombo. Tiene los lados iguales.
Las diagonales del rectángulo son iguales Las diagonales del rombo son perpendiculares.
Cuadrado es el paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez.
Un cuadrado tiene los lados iguales y además sus ángulos son rectos. El cuadrado tiene las diagonales iguales (por ser rectángulo) y perpendiculares (por
ser rombo)
Suele llamarse romboide al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo, esto es, un paralelogramo sin ninguna propiedad más.
En algunos libros con la palabra romboide se refieren a cuadriláteros que tienen dos pares de lados consecutivos iguales. Estos
cuadriláteros también son conocidos como cometas y deltoides.
2.- TRAPECIO El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son paralelos.
Los lados paralelos se denominan Base mayor y base menor. La distancia entre los lados paralelos se llama altura.
a.-Trapecio Isósceles, si los lados no paralelos son iguales. Los ángulos que se forman sobre cada uno de los lados paralelos son iguales.
3.- TRAPEZOIDE. Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un cuadrilátero sin más
propiedades adicionales. Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.
Se llama cometa al cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales. Las diagonales son perpendiculares.
Un par de ángulos opuestos son iguales. Mueve los vértices y puedes conseguir que el ángulo D sea mayor de 180º, en este caso suele
llamarse deltoide al cuadrilátero que se forma
b.-Trapecio rectángulo si tiene dos ángulos rectos.
51

52. ACTIVIDADES ENCICLOMEDIA
Matemáticas GeoLab: Ejes de simetría de polígonos
Matemáticas Interactivo: Simetría
GLOSARIO
Cuadrado , Cuadrilátero ,Decágono ,Dodecágono ,Eje de simetría ,Eneágono ,Heptágono ,Octágono ,Paralelo ,Paralelogramo
Pentágono ,Polígono ,Polígono irregular ,Polígono regular ,Rectángulo ,Rombo, Romboide, Trapecio ,Trapezoide, Triángulo
VIDEO
Matemáticas Video: Orígenes de la Geometría
PUESTA EN COMUN A NIVEL GRUPAL, EVALUACIÓN Y CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Observaciones posteriores
1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión? 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la
sesión? 3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted
. Muy útil Útil limitado Pobre
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53. JOSE MARIA MORELOS Y PAVON CLAVE 21DPR3592F PLAN DE TRABAJO DE MATEMATICAS 5° 6°
ASIGNATURA: MATEMATICAS
TEMA EN COMUN: CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS
PAGINAS DEL LIBRO 5º=26,27,,98,99,100,101,102 6º= 24,25,26,27,28,29,30
EJE Y COMPETENCIA
5° Forma, espacio y medida 6° Forma, espacio y medida
TEMA. TEMA.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
1.7. Componer y descomponer figuras. Analizar el área y 1.6. Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia,
el perímetro de una figura. mediante el ángulo central.
4.5. Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio,
3.8. Deducir la fórmula para calcular el área del triángulo y diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia:
trapecio. Calcular perímetros o áreas de figuras que resultan de definir círculo.
la combinación (por yuxtaposición o sustracción) de otras. 4.6. Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de
una circunferencia
APRENDIZAJES ESPERADOS 5° APRENDIZAJES ESPERADOS 6°
Analiza la relación entre perímetro y área e identifica las Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio,
medidas para expresar cada uno diámetro, centro) y resuelve problemas que implican calcular su
longitud.
ACTIVIDADES INICIALES
Intenciones didácticas
Que los alumnos construyan polígonos regulares en círculos de papel con dobleces.
Consideraciones previas
Se trata de que los alumnos vinculen la idea de dividir un círculo en partes iguales para trazar polígonos regulares inscritos en él. En
esta sesión lo harán doblando el círculo en las partes que sean necesarias, si a alguno de los alumnos se le ocurre usar el
transportador para trazar los ángulos centrales esto es correcto. Analice este procedimiento con los alumnos en la confrontación,
pues será el antecedente para la siguiente sesión.
ENTREGAR A LOS ALUMNOS LA SIGUIENTE INFORMACIÒN Y OBSERVAR EL VIDEO DE CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS DE PARALELOGRAMOS, CIRCULOS
ETC. ANTES DE INICIAR LA ACTIVIDAD INVESTIGAR QUE ES UN PARALELOGRAMO ASI COMO LAS PARTES DEL CIRCULO.
53

54. Área del trapecio
El á r ea de l t r a pec io e s igua l a la sum a d e la s ba ses p o r la a lt ur a , y d ivid i d o p o r
dos.
Ca lc ula r e l á r ea de l si guie n te t r a pec io :
Ár e a y pe r í me tro de l os pol í gonos De fi ni c i ón de pe rí me tro
E l pe r í m e tr o d e un pol í gono e s igua l a la s uma d e las l ongi tude s de su s l a dos.
De f in ició n de á rea
E l á r ea d e u n pol ígono e s la me di da d e la re gió n o supe rfi c i e e n ce rra da p o r u n pol í gono.
P e r í m e tro de l tri angul o
54

55. Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
Área del triángulo
Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:
Cuadrado
55

56. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.
Rectángulo
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
Rombo
56

57. Ejemplo
Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.
Área del romboide
P = 2 · (a + b) A = b · h
Calcular el área y el perímetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.
57

58. Área del trapecio
Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:
Área de un polígono regular
n es el número de lados
58

59. MIDE Y CALCULA EL AREA Y PERIMETRO DE LAS SIGUIENTES FIGURAS
59

60. 60

61. 61

62. 62

63. 63

64. CON TU REGLA MIDE Y CALCULA EL AREA Y PERIMETRO DE LA SIGUIENTE FIGURA
64

65. Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o
igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:[1] una superficie geométrica plana contenida dentro de una
circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia [2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son
equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia
(línea curva) con el círculo (superficie)."[3]
A= Π·R2
La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".[4] Según otros autores, "cerco".
Usos del término círculo
En lenguaje coloquial, a veces, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de circunferencia.[5]
En castellano, en la gran mayoría de los textos de matemática círculo significa superficie plana limitada por una circunferencia.
En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales como círculo polar ártico.
Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas. En
algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.
En inglés, la palabra circle[6] expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que
circumference[7] significa perímetro del círculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk[8] se asocia al concepto de círculo
65

66. (superficie plana limitada por una circunferencia).
Elementos del círculo
El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco, etc.
El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
Segmentos
Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
Rectas características
Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.
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67. Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.
Curvas
Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte
con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
Superficies
El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
Ángulos
Ángulos en el círculo.
67

68. Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el
nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un
ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.
En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes.
Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá
r x π/2.
La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.
Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad
del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).
Un arco: una línea curva que es un parte de la circunferencia de un círculo.
Una cuerda: un segmento de línea que está en contacto con dos puntos del círculo.
La circunferencia: la distancia alrededor de un círculo.
El diámetro: la distancia más larga desde un cabo de un círculo hacía el otro.
El origin: el centro del círculo.
Pi ( ): Un número, 3.141592..., igual a (la circunferencia) / (el diámetro) de un círculo.
El radio: la distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en él.
Un sector: es como una rebanada de pastel (una cuña de círculo).
La tangente de un círculo: una línea, perpendicular al radio, que toca en solamente un punto al círculo.
diámetro = 2 x radio del círculo
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69. La Circunferencia del Círculo = PI x diámetro = 2 PI x radio cuando PI = = 3.141592...
El Área del Círculo:
el área = PI r2
El Largo de un Arco Circular: (con ángulo central )
Elementos de la circunferencia y del círculo
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70. Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto
centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.
Perímetro de la circunferencia: 2 ·r ·d
Elementos de la circunferencia
Rectas en la circunferencia
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
70

71. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida.
El diámetro se nombra con la letra “d”.
El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .
Círculo y circunferencia
Se usa la palabra círculo para denotar la figura completa (el borde y el interior) mientras que se reserva la palabra circunferencia
para designar únicamente a la curva.
PARTES DE UN CIRCULO
Centro – punto desde el cual equidistan todos los demás puntos del círculo.
Radio – segmento que une el centro con un punto del círculo.
Diámetro – cualquier segmento que pasa por el centro del círculo y une dos puntos del círculo.
Actividad 1: Descubriendo relaciones entre diámetro y radio
Identifica las partes y características particulares del círculo.
Aprendizaje esperado:
1) Descubrir la relación que existe entre el diámetro y el radio de un circulo
Materiales:
- hoja de papel con círculos de diferentes tamaños, que el alumno elabore
- tijeras
- regla
Desarrollo de la actividad:
1) Recorta cada circulo de la hoja
2) Identifícalos como circulo 1, 2, etc
3) Toma el círculo #1 y dóblalo por la mitad.
4) El doblez es el diámetro.
5) Vuelve a doblar el círculo por la mitad. Marca el punto donde se intersecan los dos diámetros. Ese punto es el centro del círculo.
6) La línea del doblez que va desde el centro del círculo hasta la orilla del círculo es un radio.
7) Usa una regla para medir el radio y el diámetro del círculo # 1. Anota los resultados en la siguiente tabla :
Circulo radio diámetro
1
71

72. 2
3
4
8) Repite los pasos anteriores con cada uno de los círculos.
9) Compara la longitud de los radios y diámetros de los círculos. Describe cual es la relación entre el radio y el diámetro de un
circulo.
10) Escribe una oración numérica que describa la relación entre la longitud del radio (r) y el diámetro (d) de un circulo
En resumen…
El diámetro es dos veces el radio
d = 2r
El radio es la mitad del diámetro
r=.d
Actividad 2: La circunferencia en término del diámetro
Nivel: Cuarto a Sexto
Interpreta los conceptos perímetro, área, longitud, volumen, peso , circunferencia y medida de un ángulo para seleccionar la unidad
de medida mas apropiada.
Aprendizaje esperado
Descubrir la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro.
Materiales:
1) latas
2) tiras de cartulinas de 1 pulg. de ancho (que investigue cuento mide una pulgada)
3) regla
4) tijera
5) hoja de trabajo
6) calculadora
Desarrollo de la actividad:
1) Recorta dos tiras de cartulina de 1 pulgada de ancho.
2) Usa una de las tiras para medir el diámetro de la lata. Corta la tira de manera que sea exactamente de la longitud del diámetro.
3) Usa la otra tira para medir la circunferencia de la lata. Corta esta tira de manera que rodee la lata una sola vez.
4) Usa la “tira del diámetro” para medir la “tira de la circunferencia”. En términos de la tira del diámetro, .que longitud tiene la tira de
la circunferencia?
LATA TIRA DE TIRA DE
DIAMETRO CIRCUNFERENCIA
1 1
2 1
72

73. 3 1
4 1
5 1
Después de realizar este ejercicio entregar la siguiente hoja
En resumen…
 relacion entre la circunferencia y el diámetro siempre será 3.14 (π)
La
C = 3.14
d
2. Completa la siguiente tabla:
radio perímetro área
1 cm
2 cm
16
4 cm
9
6 cm
10 cm
24
3.Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible afirmar que la relación
entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional? ¿Por qué? _______________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
5. Si el radio en una circunferencia se aumenta, cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el
aumento del área del círculo? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional?
¿Por qué?
______________________________________________________________________________________________________
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74. 5. La tierra está a una distancia del sol de 155 millones de km. aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es
casi circular.
¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año? ______________________________________________
Para realizar los cálculos ¿Qué valor es conveniente usar para p ? ¿Por qué? _____________________________________
¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita? _____________________________________
PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA
1. Se están confeccionando manteles y centros de mesa en forma de círculo. Cada uno lleva cinta en el borde.
Se desea saber en la forma más precisa posible ¿Cuántos metros de cinta y género se requieren para cada uno?
Los diámetros son: centro de mesa 40 cm y mantel 1,20 m.
2. Traza modelos de vasos de forma circular que tengan de diámetro 10 cm, y 11 cm Busca formas de calcular la
circunferencia de cada uno..
Presentar algunos procedimientos usados en esta medición y comparar las medidas. Comenten la dificultad para obtenerla, las
diferencias entre las medidas presentadas y reflexionen sobre las posibles causas. Ubicar el valor de la medida entre ciertos rangos
4. Investiga sobre el significado de los números referidos a las medidas de los cuellos de las camisas de hombres, los anillos
para los dedos, las llantas y neumáticos. Conversan sobre su relación con lo que saben de la circunferencia.
Polígonos regulares inscritos en una circunferencia:
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75. Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4 respectivamente.
A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y
5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6,
obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del
dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia. De los tres polígonos, solo el
dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado
por dos triángulos girados entre sí 60º.
NOTA: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada.
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76. Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia
dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. A continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de
90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2,
4, 6 y 8.Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y
8, obtendremos el octógono inscrito. El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado
de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre
sí 45º.
NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos
que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los
vértices necesarios para la construcción.
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77. MÉTODO para trazar
Hagámoslo primeramente sin preocuparnos el tamaño de los lados del polígono a trazar cuidando que sus lados sean iguales.
1) Tracemos primeramente una circunferencia.
2) Identifiquemos el centro de ésta y un punto de la circunferencia.
3) Tracemos un radio a este punto d e la circunferencia, el cual nos servirá como referencia para apoyar un transportador.
4) Partiendo de esta línea, tracemos un radio a un ángulo igual a: θ= 360º / 120º
3
5) Encontraremos un segundo punto sobre la circunferencia.
6) Repetimos la acción del punto cuatro pero partiendo de esta
7) Encontraremos así el tercer punto.
8) Estos tres puntos son los tres vértices del triangulo buscado nuestro polígono regular de tres lados llamado triangulo equilatero
77

78. Describe con la siguiente figura el procedimiento que empleaste en la construcción de la figura
78

79. Intenciones didácticas
Que los alumnos obtengan la medida de una circunferencia de una manera directa, utilizando una cuerda; que calculen de manera
experimental el valor aproximado de pi () y que reconozcan al producto de por la longitud del diámetro como un procedimien to
más para calcular la longitud de la circunferencia.
Consideraciones previas
Para realizar la actividad de la consigna es necesario que cada equipo cuente con 5 objetos circulares que tengan un diámetro
mayor que 15 cm; pueden pedirse con anticipación a los alumnos o buscarlos en la escuela.
Completando la tabla se pretende que los alumnos obtengan de manera directa la medida de la circunferencia, con la ayuda de un
hilo o una cuerda; pero además, habrán de calcular el valor de pi para que lo reconozcan como una constante que resulta del
cociente de la circunferencia entre el diámetro. Con la última pregunta se pretende que conozcan una manera diferente para
calcular la circunferencia (multiplicando la medida del diámetro por el valor de pi), ya que en cualquier círculo, la circunferencia es
un poco más de tres veces la medida del diámetro. Se sugiere utilizar dos cifras decimales para pi,es decir, 3.14.
Intenciones didácticas
Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen encontrar el valor de alguna de las variables de la relación Circunferencia = ×
diámetro.
Consideraciones previas
En la sesión anterior ya advirtieron que multiplicando el valor aproximado de por la longitud del diámetro, se puede obtener la
medida de la circunferencia; ahora se trata de utilizar esta relación para obtener el valor del diámetro o la longitud de la
circunferencia.
Para el primer caso, se trata de calcular el valor de la circunferencia, utilizando el producto de por la medida del diámetro. Se
sugiere usar dos cifras decimales para el valor de ,es decir, 3.14
En el segundo caso, a diferencia del primero, se pide calcular el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia. Para obtener
el resultado se parte de la misma relación (C = × d); una vez sustituidos los valores conocidos se tiene: 70 = 3.14 × d
Es probable que aún teniendo la expresión anterior, los alumnos no sepan cómo obtener el valor del diámetro; si es así, puede
plantearse la siguiente situación.
Dado que la circunferencia es 3.14 veces la medida del diámetro, en consecuencia, para obtener su valor, se multiplica la longitud
del diámetro por 3.14; entonces, ¿qué parte representa el diámetro respecto a la circunferencia?
¿Qué operación debe hacerse para obtener el valor del diámetro, dado el valor de la circunferencia? La intención es que reflexionen
y deduzcan que el diámetro es aproximadamente la tercera parte de la circunferencia; por consecuencia, el diámetro puede
obtenerse dividiendo la medida de la circunferencia entre 3.14.
Otra sugerencia es plantear una operación sencilla como 4 × 3 = 12 y preguntar, si se desconociera cualquiera de los dos factores,
¿qué operación permitiría calcular su valor? Los alumnos deben verificar sus respuestas y después aplicar la misma relación en 70
= 3.14 × d. La idea es que deduzcan que 4 = 12 3 y que 3 = 12 4 .
Para el tercer problema, además de calcular la longitud de la circunferencia de las llantas, hay que averiguar cuántas veces cabe
79

80. esta longitud en 450 metros, distancia que separa las casas de Pancho y José.
Es importante reconocer y analizar expresiones usuales en las que se utiliza la longitud del diámetro de un objeto, por ejemplo:
• Para conectar el drenaje se necesita un tubo de PVC de 4 pulgadas.
• Debo perforar con una broca de 3 4 de pulgada.
• En mi jardín hay una manguera de 1 2 de pulgada.
• El grosor del tubo del pozo es de 12 pulgadas.
Tema. Figuras
Eje. Forma, espacio y medida
Subtema. Figuras planas
Observaciones posteriores
1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?
3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Muy útil Útil Uso limitado Pobre
Intenciones didácticas
Que los alumnos usen el trazo de ángulos centrales en una circunferencia para dividirla en partes iguales y a partir de esta división,
tracen polígonos regulares.
Consideraciones previas
Para calcular el valor del ángulo central se espera que los alumnos dividan 360° entre el número de lados del polígono por construir.
El número de lados del polígono que se trazará determina el número de ángulos centrales necesarios. Si nota que a los alumnos no
se les ocurre esto, puede apoyarlos invitándolos a que vean los polígonos que hicieron usando el papel doblado y recordándoles
que una vuelta completa son 360°.
Tema. Figuras
Eje. Forma, espacio y medida
Subtema. Figuras planas
Observaciones posteriores
1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?
Intenciones didácticas PARA 6º
Que los alumnos conciban a la circunferencia como un conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se
llama centro y que identifiquen esa distancia como el radio de la circunferencia.
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81. Consideraciones previas
Las tres actividades tienen el propósito de motivar en los alumnos la construcción del concepto de circunferencia, como el conjunto
de puntos que están a la misma distancia de otro punto al que se le llama centro. En el caso de la primera actividad, el centro es el
compañero voluntario, mientras que en las otras dos actividades el centro es el punto rojo que marcaron en la hoja. Si la primera
actividad no se puede realizar en el salón de clases, podrán hacerlo en el patio. Hay que llevar un metro o un listón que mida un
metro y prestarlo a los alumnos que lo requieran; pronto, los estudiantes notarán que están formando una circunferencia, aunque es
muy probable que le llamen círculo. Aclarar que forman una circunferencia y que el espacio que está dentro es el círculo.
La segunda actividad requiere que los alumnos tengan una regla o escuadra graduada. A partir de esta actividad, algunos alumnos
se darán cuenta de que lo solicitado es una circunferencia de 5 cm de radio con el centro en el punto rojo, por lo que, quizá, usen el
compás. Cuando se indique el ALTO, se deberá pedir a los alumnos que digan cuántos puntos encontraron. Aquellos alumnos que
usaron el compás podrán responder “muchos”, “muchísimos”, “no los puedo contar” e, incluso, “un número infinito”. La tercera
actividad tiene el propósito de que los alumnos usen la cuerda como compás. Se recomienda que sea de hilo grueso y que no se
estire; pueden utilizar el hilo cáñamo o algún estambre parecido. Es probable que algunos alumnos aún marquen de punto en punto;
la estrategia óptima es que uno de los integrantes de la pareja sujete un extremo en el punto rojo y el otro, con el lápiz en el extremo
opuesto, marque la circunferencia. La circunferencia contiene todos los puntos que es posible marcar. Al terminar las tres
actividades, puede preguntar a los alumnos aspectos como los siguientes: ¿Qué se formaba en todos los casos? Si tuvieran que
explicarle a alguien qué es una circunferencia, ¿cómo lo harían sin usar dibujos? Para finalizar, es conveniente que se formalice lo
trabajado. Los alumnos identificarán la circunferencia, el centro y el radio en cada una de las actividades propuestas. Se les puede
pedir que hagan un resumen en su cuaderno y que lo ilustren. Que los alumnos conciban al círculo como la
superficie que queda limitada por una circunferencia.
Consideraciones previas
Mientras los alumnos trabajan, el profesor puede recorrer los diferentes equipos y apoyarlos en caso de que note que no han
entendido lo que se tiene que hacer. Se espera que las experiencias de la sesión anterior sirvan de base para resolver este
problema, ya que, en esencia, es un problema similar: encontrar todos los puntos que están a 3 cm del punto rojo (circunferencia) y
después colorear de azul todos los puntos que quedan dentro (círculo). En el momento de la confrontación debe centrar la atención
en la distinción entre circunferencia y círculo.
• La circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro que se llama centro.
• El círculo es la superficie interior de una circunferencia.
Para reafirmar este conocimiento puede pedir que tracen circunferencias con las siguientes medidas y que después se remarquen
de un color las circunferencias y coloreen de un tono diferente los círculos.
a) Radio 5 cm
b) Radio 3.5 cm
c) Radio 4 1
2 cm
Intenciones didácticas
Que los alumnos identifiquen la relación entre las medidas del radio y el diámetro, así como la existente entre la medida del radio y
la de cualquier segmento que une el centro con un punto interior del círculo.
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82. Consideraciones previas
En muchas ocasiones, dibujar las figuras en papel puede provocar que los alumnos tengan ideas erróneas de un concepto. Por
ejemplo, cuando se traza una circunferencia se confunde con un círculo. El uso de figuras de papel dará al alumno otra idea de lo
que es círculo y lo que es circunferencia. La primera actividad introduce el término diámetro como un eje de simetría de un círculo (o
de la circunferencia), al mismo tiempo que se identifica como el segmento que divide al círculo en dos partes iguales. Se espera,
además, que el alumno llegue a la conclusión de que un círculo tiene un número infinito de diámetros y que todos midan lo mismo.
La segunda actividad pretende que el alumno explore la manera de encontrar el centro en un círculo de papel; esto es relativamente
sencillo pues lo único que tiene que hacer es doblar el círculo por dos de sus diámetros; el punto donde se cortan dos diámetros es
el centro del círculo. En esta actividad, el alumno también concluirá que la medida del radio es siempre la mitad de la del diámetro.
En la sesión anterior, el alumno exploró el concepto de círculo como la superficie que queda limitada por la circunferencia. En la
actividad tres de la presente sesión, se espera que el alumno profundice en su conocimiento del círculo al concluir que se puede
concebir como el conjunto de puntos que están a una distancia del centro menor que la medida del radio de la circunferencia.
Intenciones didácticas
Que los alumnos resuelvan problemas que estén relacionados con el trazo de circunferencias.
Consideraciones Previas
En todos los casos se pretende que el alumno explore las propiedades de la circunferencia. Los últimos cuatro problemas están muy
relacionados entre sí. En el problema 2, los alumnos hallarán el punto medio del segmento, siendo ese el centro de la circunferencia
que se pide. En el problema 3 podrán trazar las dos diagonales del cuadrado y el punto donde se cortan es el centro de la
circunferencia pedida. Este último problema tiene múltiples soluciones porque existe una infinidad de rectángulos cuyos vértices
están sobre la circunferencia. Un posible procedimiento es el siguiente: El primer segmento es cualquiera que toque dos, puntos de
la circunferencia (que no sea diámetro). Los segmentos que se trazan en la segunda figura deben ser perpendiculares al segmento
que ya estaba trazado. Para el quinto problema pueden seguir diferentes procedimientos:
• Como en la clase anterior concluyeron que el punto donde se cortan dos diámetros es el centro, es probable que algunos tracen
dos diámetros y encuentren el centro. Este procedimiento es erróneo porque para trazar los diámetros necesitamos identificar el
centro y ese es precisamente el problema que se desea resolver. Por tanto, no es válido.
• Otro posible procedimiento es que calquen la circunferencia, la recorten y, con dobleces, encuentren dos diámetros y su punto de
intersección; después podrán colocar encima el círculo recortado y marcar de alguna manera el centro en la circunferencia dibujada.
• Si los alumnos son observadores, podrán darse cuenta de que para trazar un rectángulo no necesitan saber dónde está el centro
pero, cuando ya lo tienen, pueden trazar sus diagonales donde el punto de intersección será el centro de la circunferencia. Esto lo
pueden hacer porque en el ejercicio 3 trazaron un rectángulo.
• Una estrategia muy común, pero difícil para los alumnos de sexto grado, es trazar dos segmentos que toquen dos puntos de la
circunferencia (que no sean diámetros) y que, además, no sean paralelos. Después, a cada uno trazarle la mediatriz (perpendicular
en el punto medio). Si nota que algún equipo no puede resolver este problema, apóyelos con intervenciones como: en el ejercicio 2,
¿dónde colocaste el compás para trazar la circunferencia?; en el ejercicio 3, teniendo el rectángulo, ¿puedes hallar el centro de la
circunferencia?, ¿cómo?, ¿te servirá esto para resolver el ejercicio 4?
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