ensayo

1. El origen de
los números
José Cruz
creda Romo
El origen de los números
El origen de los números se remonta a la época del hombre primitivo, desde que pudo hacer marcas en
los huesos este empezó a valerse de un sistema numérico por que tuvo muchas razones y situaciones
cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio
forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas
poseía como también para conocer el número de armas que tenia o para cuantificar la extensión de los
terrenos sembrados o conquistados. Al tener el hombre antiguo un sistema base de medida, se vio en la

2. necesidad de cuantificar las medidas en su modo base de contar, esta operación la llevó a cabo, por
ejemplo, utilizando un sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en papiro, otro método era
haciendo marcas en los troncos de los árboles o cortes sobre una vara para llevar un registro
permanente de las cosas, como se tiene el registro histórico más antiguo hace algunos 20 mil millones
de años y fue en un hueso llamado el hueso de ishango y fue encontrado en el Congo y tenía una serie
de rallas ya que se especula que pudieran ser 1 ya que están en gropos y en total tiene 60 en cada uno
de sus lados. Posterior a eso cada pueblo o tribu tuvo que inventar sus propias palabras y signos para
representar sus operaciones de conteos realizados, con el comercio los antiguos mercaderes estaban
obligados a saber una gran variedad de sistemas de medidas y numeración, a fin de poder comerciar con
los diferentes pueblos o tribus. los sumerios fueron quienes usaron una figura para representar el
número 1 hace maso menos unos 4000 años a. C. y así comenzaron a realizar las sumas restas llamada
aritmética posterior a eso guardaban las figuras en sacos de arcilla y así guardarlos pero al hacer eso no
sabían cuántos conos tenían y tomaron otra figura e imprimieron tantas figuras como había dentro del
saco y así se dieron cuenta que no necesitaban tener las figuras y que solo podían hacer las figuras en la
arcilla y así nació la noción de la escritura y solo algunos que eran entrenados desde pequeños podían
ser entrenados en el arte de los números. Los egipcios también supieron el arte de la escritura y los
números hace unos 3000 años a.C. y ellos fueron quienes contabilizaron e imprimieron el primer millón
de la historia y también por medio de los números inventaron la medida de un codo que se comprendía
del codo hasta los dedos de la mano de un hombre más una palma y así realizaron las grandes maravillas
de la historia y todas sus medidas eran uno. Poco después unos 520 años a.C. en la antigua Grecia con
un hombre llamado Pitágoras sonde él fue quien dio forma o genero a los números y los diferencio de
los pare e impares y también dijo que todo era a base de números ya que algunos otros filósofos decían
que el universo era echo de aire y oreos decían que de fuego y Pitágoras decía q todo era a base de
números incluso la música tenia base en los números. El sistema de numeración aditivo acumula los
símbolos de todas las cifras hasta completar el número deseado, una de las características es que los
símbolos se pueden colocar de cualquier forma u orden. El sistema hibrido combina el principio del
sistema aditivo con el multiplicativo, pero el orden en la escritura de las cifras es muy fundamental para
evitar confusiones en su interpretación. Numeración posicional, este sistema es el mejor y más
desarrollado sistema inventado por las civilizaciones antiguas, en ellos la posición de las cifras indica la
potencia de la base que le corresponde. Solamente tres culturas lograron implementar este sistema.
Mediterráneo, las primeras civilizaciones aparecieron en la cuenca mediterránea oriental, que
corresponden a las civilizaciones sumeria y babilónica. Para la civilización egipcia se data que ellos
crearon la escritura más antigua que se conoce, la escritura jeroglífica fue desarrollada por dibujos que
representaban la idea del número. Los griegos aprendieron de los egipcios y de los fenicios, tomaron el
diez como número básico, su sistema de numeración era literal usando letras del alfabeto como
símbolos para los números.
Numeración no posicional
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad
cinco y después se hablaba de cuantas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con
nudos para representar cantidad. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de
numeración romana.
La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó
en todo el Imperio romano, manteniéndose con posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en
algunos ámbitos.
Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos valores. Los
números se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el año 2018 se escribe como MMXVIII,
donde cada M representa 1000 unidades, la X representa 10 unidades más, V representa cinco unidades
más y cada I simboliza una unidad adicional.
Está basado en la numeración etrusca, la cual, a diferencia de la numeración decimal que está basada en
un sistema posicional, se basa en un sistema aditivo (cada signo representa un valor que se va sumando

3. al anterior). La numeración romana posteriormente evolucionó a un sistema sustractivo, en el cual
algunos signos en lugar de sumar, restan. Por ejemplo, el 4 en la numeración etrusca se representaba
como IIII (1+1+1+1), mientras que en la numeración romana moderna se representa como IV (1 restado
a 5).
Los principales símbolos son:
I, V, X, L, C, D, M. QUE SON 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Y de estos se deriva toda la numeración de los
romanos.
Los numerales romanos se escriben con letras del alfabeto romano, pero originalmente provenían de los
etruscos, los cuales usaban I, Λ, X, Ψ, 8 y ⊕ para representar I, V, X, L, C, y M. Los romanos tomaron
letras parecidas a los símbolos etruscos para representar los valores. Así para I y X cogieron las letras I y
X; para Λ lo invirtieron y cogieron la V; el símbolo Ψ no era uniforme en el etrusco y evolucionó en
diversas variantes: Ψ → ᗐ → ⊥; de la última, los romanos cogieron la mitad del símbolo que se convirtió
en L al ser la letra más parecida. Para 8 y ⊕ cogieron las iniciales de los nombres en latín
correspondientes a esos valores: C y M, al no haber letras similares a esos símbolos. El 500 inicialmente
no tenía símbolo, pero el símbolo ⊕ del 1000 también se representaba a veces con Φ y de la mitad de
ese símbolo cogieron la D para representar la mitad de 1000.
Propiedades de números naturales
Los números naturales poseen una serie de propiedades:
1. Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos
números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el
número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple
solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.
2. El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un
conjunto vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural
que cumple la relación de a≤b. En conclusión:
a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b
b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.
Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:
a. Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural
b. Sin embargo, si se realiza una sustracción de dos números naturales no siempre se obtiene otro
número natural: 5 -7= -2 por ende -2 no es un número natural.
Propiedades de números enteros
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los
elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como
subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.

4. En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares
de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n1, n2) le hace corresponder un
número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son
equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2.
En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n
- m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto
ordenado.
Son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de
suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de
un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos)
resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.
Propiedades de los números racionales
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero. Se representa por Q
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
1. Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. Trazamos un segmento auxiliar desde el
origen y lo dividimos en partes que deseamos.
En este ejemplo lo dividimos en cuatro partes. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el
extremo del otro extremo del segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos,
obteniente participación del segmento auxiliar
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto
es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria,
hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión
finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional la expresión decimal de los números
irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita a periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de
todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible.
Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la
aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.
Raíz cuadrada de números regulares.

5. Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue para siempre
sin repetirse.
Dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, son:
Número algebraico. - se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación
algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados.
Número trascendente. - este es un número irracional que no puede ser representado a través de un
número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas
funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etc.
Este último, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica.
Propiedad de los números reales.
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales
recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:
El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que
definiremos a continuación:
- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
= {1, 2, 3, 4,...}
- Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.
- El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números
cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los
números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción
cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros.
Propiedades de la suma
a. Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R
Ejemplo:
2 ∈ R, 4/5 ∈ R → 2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R
-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R

6. b. Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son
tres números reales:
(a + b) +c = a + (b + c)
Ejemplos:
0.021 + (0.014 + 0.033) = (0.021 + 0.014) + 0.033
c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈ R : a + b = b + a
Ejemplos:
3 ∈ R, 4 ∈ R → 3 + 4 = 4 + 3
√3 ∈ R, 9 ∈ R → √3 + 9 = 9 + √3
15,87∈ R, –2.35 ∈ R →15.87 + (–2.35) = –2.35 + 15.87
d) Existencia del elemento neutro aditivo:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a
Ejemplos:
0 + 13 = 13 + 0 = 13
8763.218 + 0 = 8763.218
0 + (–56.41) = –56.51
e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el
resultado es 0.
a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R
Ejemplos:
10 + (-10) = 0
2/7 + ( -2/7) = 0
87.36 + (–87.36) = 0
–4.13 + 4.13 = 0
Propiedades de los números imaginarios.

7. Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse como
el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1.
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la unidad imaginaria: √¯-1 = a
i. Cada número imaginario puede ser escrito también como i·r donde r es un número real e i es la unidad
imaginaria.
Los valores de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los números
imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.
Propiedades
• Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un
número imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ).
• Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) .
• Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números
complejos.
• Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser ordenados de acuerdo
a su valor.
• Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
• Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los números reales ni al
conjunto de los números racionales.
• El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que se
ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como cualquier
número irracional.
• Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
• Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero
mantiene su valor absoluto.
• Uno de los valores de ii es un número real.
Fractales
¿QUÉ ES UN FRACTAL?
Un fractal es un objeto geométrico en el que se repite el mismo patrón a diferentes escalas y con
diferente orientación.
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular.
CARACTERÍSTICAS
Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto
independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los
elementos mayores. Es decir, estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si
observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en
milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cuál es el tamaño, resultaría difícil
decir cuál es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. Los fractales desde su primera formulación
tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el propio Benoit

8. Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que
explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al problema de medir la costa de Gran
Bretaña usándolos.
FRACTALES EN LA VIDA COTIDIANA Continuamente en nuestras vidas nos encontramos con fractales sin
darle la menor importancia. Algunos ejemplos son:
Brócoli, Elecho, Caracol y Girasol.
UTILIDAD DE LOS FRACTALES
Cardiologia: Estudia la variabilidad de la dimensión fractal del árbol coronario izquierdo en pacientes con
enfermedad arterial oclusiva severa.
Geologia: Las técnicas de análisis fractal ayudan a entender las redes de fracturas de los macizos rocosos
y las microestructuras de los minerales. - Etc.
CONSTRUCCIÓN Y ESTUDIO Podemos construir fractales por el uso de distintos métodos. Nosotros nos
centraremos en el estudio de aquellos formados a partir de la iteración de algunas funciones. Por
ejemplo: