polinomios

1. Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
Ingeniería Química
Ciclo Básico
Matemáticas I
Trabajo Extra: Polinomios
Grupo: 3106
Profesora/Docente: Ivonne Edith Martínez Juárez
Realizado por: Diego Márquez Romero

2. Polinomios
Un polinomio es la suma de potencias en una variable. El grado será el mayor exponente
en el mismo polinomio.
El número de términos es igual a los intervalos que son separados por un signo.
 Número de términos= Grado
Cada termino se divide en dos factores:
 Un factor constante (coeficiente y una potencia).
 El coeficiente principal será aquel coeficiente del termino de mayor grado.
N° de términos 3
Ejemplo:
1. F(x)= 3𝑥2
− 2𝑥 + 8
Grado 2
N° de términos 4
2. H(x)=4𝑥3
+ 2𝑥2
+ 16𝑥 + 9
Grado 3
Existen distintas operaciones para los polinomios, las cuales se mencionan a
continuación:
 Suma: se sumas los términos semejantes.
Ejemplo: +𝑥3+𝑥2−6𝑥−
1
2
3𝑥2−2𝑥+8
= 𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 + 7.5
Ejercicios (1 Pérez M.)
 Resolver la siguiente suma verticalmente:3x2
+ 2x − 2 + 𝑥3
+ 5𝑥2
+ 6𝑥 − 3
 Resolver la siguiente suma verticalmente:6𝑥 − 16 + 24𝑥2
+ 12𝑥 + 6
Resta: se restan los términos semejantes.
Ejemplo: − 𝑥3+𝑥2−6𝑥−
1
2
𝑥5+6𝑥4−3𝑥3+8𝑥2−10𝑥+9
= 𝑥5
+ 6𝑥4
− 4𝑥3
+ 7𝑥2
− 4𝑥 + 9.5
Ejercicios (2 Pérez M.)
 Resolver la siguiente resta verticalmente:𝑥2
+ 38𝑥 − 12 − 2𝑥2
− 12𝑥 + 3
 Resolver la siguiente resta verticalmente:12𝑥 + 16 − 2𝑥2
+ 28𝑥 − 3

3. Producto: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
Ejemplo: (3𝑥2
− 2𝑥 + 8)(𝑥3
+ 𝑥2
− 6𝑥 −
1
2
)
= 3𝑥5
− 2𝑥4
+ 8𝑥3
+ 3𝑥4
− 2𝑥3
+ 8𝑥2
− 18𝑥3
+ 12𝑥2
+ 1 −
3
2
𝑥2
+ 𝑥 − 4
= 3𝑥5
+ 𝑥4
− 12𝑥3
+
57
2
𝑥2
− 47𝑥 − 4
Ejercicios (3 Pérez M.)
 (8𝑥 + 2) ∗ 4
 (2𝑥2
+ 8𝑥 − 4)(2𝑥 + 1)
División: se puede realizar si el grado g(x) es > 0 al grado de f(x).
Q(x)
F(x) g(x)
R(x)
1
3
𝑥3
+
10
9
𝑥2
−
11
27
𝑥 −
286
81
Ejemplo: 3𝑥2
− 2𝑥 + 8 𝑥5
+ 6𝑥4
− 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 10𝑥 + 9
−𝑥5
+
2
3
𝑥4
−
8
3
𝑥3
+
20
3
𝑥4
−
17
3
𝑥3
+ 8𝑥2
− 10𝑥 + 9
−
20
3
𝑥4
+
40
9
𝑥3
−
160
9
𝑥2
− 10𝑥 + 9
−
11
9
𝑥3
−
88
9
𝑥2
− 10𝑥 + 9
+
11
9
𝑥3
−
22
27
𝑥2
+
88
27
+ 9
−
286
27
𝑥2
−
82
27
𝑥 + 9
+
286
27
𝑥2
−
572
81
𝑥 +
2280
81
+
1118
81
𝑥 +
3017
81
Ejercicios (4 Pérez M.)
 𝑥 + 5 𝑥2
+ 8𝑥 + 15
 𝑥 + 2 𝑥2
− 3𝑥 + 6
v v
v

4. División Sintética
La división sintética es un método que simplifica las divisiones de polinomios muy largos.
𝑥5
− 10𝑥4
+ 23𝑥3
− 47𝑥2
+ 97𝑥 − 184
Ejemplo 𝑥 + 2 𝑥6
− 8𝑥5
+ 3𝑥4
− 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 10𝑥 − 7
−𝑥6
− 2𝑥5
−10𝑥5
+ 3𝑥4
+10𝑥5
+ 20𝑥4
+23𝑥4
− 𝑥3
−23𝑥4
− 46𝑥3
−47𝑥3
+ 3𝑥2
+47𝑥3
+ 94𝑥2
+97𝑥2
+ 10𝑥
−97𝑥2
− 194𝑥
−184𝑥 − 7
+184𝑥 − 368
+361
Si f(x) se divide entre x-a entonces se puede realizar de manera sintética.
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑎 = 1 − 8 3 − 1 3 10 − 7
−2 20 − 46 94 − 194 368
1 − 10 23 − 47 97 − 184 361
Ejercicios (5 Pérez M.)
 x3
− 6x2
− 19x + 24
 𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 6
Coeficiente del dividendo
Residuo

5. Teorema del residuo
Si f(x)= 𝑥2
+ 7𝑥 + 12
Graficando:
X Y
-7 12
-6 6
-5 2
-4 0
-3 0
-2 2
-1 6
0 12
1 20
2 30
 Realizando la división sintética:
-5 1 7 12
-5 10
1 2 2
-4 1 7 12
1 3 0
-1 1 7 12
-1 -6
1 6 6
1 1 7 12
1 8
1 8 -20
Si un polinomio f(x) se evalúa
en x=a y si el mismo polinomio
entre x-a cuyo residuo es r(x),
entonces:
R(x) = f(x=a)

6. Teorema del factor
Si:
Divisor= d(x)
Cociente= q(x)
Residuo= r(x)
Dividendo= D(x)
Ejemplo:
 𝑥 + 1 , 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 − 1
-1 1 3 3 -1
-1 -2 -1
1 2 1 0
D(x) = d(x) * g(x) + r(x)
 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1
 𝑥 = −1 → +(𝑥 = −1) = (−1)3
+ 3(−1)2
+ 3(−1) + 1 = −1 + 3 − 3 + 1 = 0
 (𝑥 + 1) ó (𝑥 − 1) 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟(𝑥)
Si dividimos D(x) entre d(x), y
si el residuo es 0, entonces el
divisor (d) y el cociente son
factores de D.

7. Regla de descartes (hallar las raíces de un polinomio)
I. Naturaleza de las raíces +, -, o 𝜖
a) El número de raíces + es el número de cambios de signo de f(x) o este número,
menos 2, menos 4, menos 6, etc. Hasta llegar a 0.
b) El número de raíces – es el número de cambios de signo de f(x) cuando ×< 0 o
este número menos 2, menos 4, menos 6, etc. Hasta llegar a 0 o 1.
c) El número de raíces complejas ∈ el la diferencia entre el número de raíces
totales menos el número de raíces positivas y menos las negativas.
Ejemplo:
F(x)= 3𝑥4
− 4𝑥3
+ 28𝑥2
− 36𝑥 + 9
F(x)= +(−)4
— (−)3
+ (−)2
− (−) +
+(+) − (−) + (+) − (−) +
+ + + + +
+ 4 2 0
- 0 0 0
E 0 2 4
T 4 4 4
1
3
3 -4 28 -36 9
1 -1 9 -9
3 -3 27 -27 0

3𝑥3−3𝑥2+27𝑥−27
3
= 𝑥3
− 𝑥2
+ 9𝑥 − 9
1 1 -1 9 -9
1 0 9
1 0 9 0
 𝑥2
+ 9 = 0 𝑥 = √−9
 𝑥1=3𝑖 𝑥2= −3𝑖
Ejercicios (6 Ivonne Edith Martínez Juárez)
 Un silo tiene una forma circular recto, con una semiesfera unida en la parte
superior. Si la altura total de la estructura es de 30 ft ¿Encuentra el radio del
cilindro que resulte de un volumen total de 1008 𝑓𝑡3
.
0 posibles raíces negativas

8.  Se va a construir un cobertizo en forma de cubo con un prisma triangular de techo,
la longitud de x de un lado del cubo no es determinada.
a) Si la altura total ha de ser de 6 ft demuestra que el volumen está dado por 𝑉 =
𝑥3
+
1
2
𝑥2(6 − 𝑥).
b) Determine x de modo que su volumen sea 80 𝑓𝑡 3
.

9. Solución a los ejercicios.
Suma (1)
 3x2
+ 2x − 2
+ 𝑥3
+ 5𝑥2
+ 6𝑥 − 3
𝑥3
+ 8𝑥2
+ 8𝑥 + 5
 6𝑥 − 16
+24𝑥2
+ 12𝑥 + 6
24𝑥2
+ 18𝑥 − 10
Resta (2)
 𝑥2
+ 38𝑥 − 12
- 2𝑥2
− 12𝑥 + 3
−𝑥2
+ 26𝑥 − 9
 12𝑥 + 16
-2𝑥2
+ 28𝑥 − 3
−2𝑥2
+ 40𝑥 + 13
Multiplicación (3)
 (8𝑥 + 2) ∗ 4
=32𝑥 + 8
 (2𝑥2
+ 8𝑥 − 4)(2𝑥 + 1)
=4𝑥3
+ 16𝑥2
− 8𝑥 + 2𝑥2
+ 8𝑥 − 4
=4𝑥3
+ 18𝑥2
− 4

10. División (4) 𝑥 + 3
 𝑥 + 5 𝑥2
+ 8𝑥 + 15
−𝑥2
+ 5𝑥
3𝑥 + 15
−3𝑥 + 15
0
𝑥 − 5
 𝑥 + 2 𝑥2
− 3𝑥 + 6
−𝑥2
+ 2𝑥
−5𝑥 + 6
5𝑥 − 10
16
División Sintética (5)
 x3
− 6x2
− 19x + 24=(𝑥 − 8)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
8 1 -6 -19 24
8 16 -24
1 2 -3 0
 𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 6= (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
-1 1 -4 1 6
-1 5 6
1 -5 6 0
2 1 -5 6
2 -6
1 -3 0

11. HALLAR EL TEOREMA DEL RESIDUO Y LA REGLA DE DESCARTES EN LOS
SIGUIENTES PROBLEMAS. (6
 Un silo tiene una forma circular recto, con una semiesfera unida en la parte
superior. Si la altura total de la estructura es de 30 ft ¿Encuentra el radio del
cilindro que resulte de un volumen total de 1008 𝑓𝑡3
.
𝑉
𝑜 = 𝜋𝑟2
ℎ
𝑉
𝑜 =
4
3
𝜋𝑟3
=
2
3
𝜋𝑟2
1008𝜋 = 𝜋𝑟2
+
2
3
𝜋𝑟2
= 30𝜋𝑟2
+
2
3
𝜋𝑟3
1008𝜋 = 30𝜋𝑟2
−
1
3
𝜋𝑟3
[−
1
3
𝜋𝑟3
+ 30𝜋𝑟2
− 1008𝜋]
3
𝜋
= −𝑟3
+ 90𝑟2
− 3024
𝑓(−𝑥) = −(−)3
+ (−)2
− (−) 90𝑟2
− 3024 = 0
𝑟 = √
3024
90
= 5.79 ≈ 6
6 -1 90 0 3024
-6 -504 -3024
-1 84 -504 0
𝑟1 = 6𝑓𝑡
−𝑟2
+ 84𝑟 + 504 𝑟1 = 89.62 𝑟2 = −5.6235
 Se va a construir un cobertizo en forma de cubo con un prisma triangular de techo,
la longitud de x de un lado del cubo no es determinada.
c) Si la altura total ha de ser de 6 ft demuestra que el volumen está dado por 𝑉 =
𝑥3
+
1
2
𝑥2(6 − 𝑥).
d) Determine x de modo que su volumen sea 80 𝑓𝑡 3
.
𝑉 = 𝑥3
+ (
1
2
𝑏ℎ) = 𝑥
𝑉 = 𝑥3
+ (𝑥(𝑏 − 𝑥))
𝑉 = 𝑥3
+
1
2
𝑥2(6 − 𝑥) 𝑉 = 𝑥3
+ 3𝑥2
−
1
2
𝑥2
=
1
2
𝑥3
+ 3𝑥2
80 = (
1
2
𝑥3
+ 3𝑥2
) (2) 160 = 𝑥3
+ 6𝑥2
𝑥3
+ 6𝑥2
− 160 = 0
4 1 6 0 -160
4 40 160
1 10 40 0
𝑥2
− 10𝑥 − 40 = 0 𝑥 = −5 ± √15 𝑥 = 4 𝑓𝑡

12. Bibliografía
 Pérez, M. (2003). Teoría de números. Cuaderno de olimpiadas de matemáticas.
México: Instituto de matemáticas, UNAM.
 Ivonne Edith Martínez Juárez (2022). Matemáticas. Polinomios problemas de
aplicación. Ciudad de México, UNAM (fes Zaragoza).