problemas de cálculo

1. ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área: Ingenierías
Asignatura: Métodos de estudio universitario
Semestre: 2020-II Fecha: 12-11-2020
Docente: HERNAN NICOLAY CUPI CONDORI
Grupo
1
Sección
14
Integrantes del equipo
Leonardo Fabián Malásquez Salas
Alexis Ricardo Casas Luyo
Jose Gabriel Figueroa Salas
Diego Antonio Meza Martínez
Oscar Miguel Salazar Herrera

2. Problema1
Analice la continuidad de la función en el punto indicado y si es discontinua indique que tipo es
Resolución
1. f(2) = x²+3x-2 = 2²+3(2)-2 = 4+6-2 = 8 → f(2) si existe
2. lim
𝑥→2+
x² + 3x − 2 = 2²+3(2)-2 = 4+6-2 = 8
x>2
3. lim
𝑥→2
−
x2−4
𝑥4−16
= x2−4
(x2−4)(x2+4)
=
1
(x2+4)
=
1
4+4
=
1
8
→ lim
𝑥→2
f(x) = ∄
x<2
→Es discontinua en x=2
→Es discontinua esencial de primera especie con salto al infinito porque la función
por izquierda y derecha no tienen el mismo valor

3. PROBLEMA 2:
Hallar el valor de a para que la función sea continua.
F(x)= 𝑎 (
1−𝑥
1− √𝑥
3 ) + 2, 𝑥 < 1
𝑎𝑥2
− 𝑥, 𝑥 ≥ 1
a) 𝑓(1) = 𝑎(1)2
− 1 = 𝑎 − 1
b) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
𝑎 (
(1−𝑥)(1+ √𝑥
3
+ √𝑥2
3
)
(1− √𝑥
3
)(1+ √𝑥
3
+ √𝑥2
3
)
) + 2 = lim
𝑥→1−
𝑎(1 + √𝑥
3
+ √𝑥2
3
)= 3a + 2
c) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 𝑎(1)2
− 1 = 𝑎 − 1
Luego para que sea una función continua:
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
3a + 2= a - 1→ 2a = -3 → a= -3/2
La función f es continua en x=a si satisface las siguientes condiciones:
a) F(a), está definido
b) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), existe
c) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = f(a)

4. Suponga que f y g son discontinuas en x = c. ¿Debe ser en consecuencia, f + g también es
discontinua en x = c?
En caso negativo proporcione un contraejemplo.
Contraejemplo:
𝑓(𝑥) = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
−𝑥2
+ 3 𝑠𝑖 𝑥 = 1
−𝑥2
+ 4 𝑠𝑖 𝑥 > 1
} 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1)
Veamos si las funciones son continuas en x0=1
1. 𝑓(1) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
𝑓(1) = −(1)2
+ 3 = 2
X0 pertenece al dominio
2. lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→1
𝑥 = lim
𝑥→1
−𝑥2
+ 3
1 = 2
No existe límite
f(x) es discontinua en 1
1. 𝑔(1) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
𝑔(1) = 𝑠𝑔𝑛(−1 + 1) = 𝑠𝑔𝑛(0) = 0
X0 pertenece al dominio
2. lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
lim
𝑥→1−
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→1−
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1) = lim
𝑥→1+
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1)
X<1 X>1
-1 = 1
No existe límite
g(x) es discontinua en 1
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1) = {
1 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 > 0
0 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 = 0
−1 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 < 0
}
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1) = {
1 𝑠𝑖 1 > 𝑥
0 𝑠𝑖 1 = 𝑥
−1 𝑠𝑖 1 < 𝑥
}

5. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ
𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ℝ
Evaluemos:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
𝑆𝑖 𝑥 < 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑆𝑖 𝑥 = 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −𝑥2
+ 3 + 𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −𝑥2
+ 3
𝑆𝑖 𝑥 > 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −𝑥2
+ 4 + 𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −𝑥2
+ 4 − 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −𝑥2
+ 3
Finalmente:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1
−𝑥2
+ 3 𝑠𝑖 𝑥 = 1
−𝑥2
+ 3 𝑠𝑖 𝑥 > 1
}
Veamos si la suma es continua en 1
1. (𝑓 + 𝑔)(1) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
(𝑓 + 𝑔)(1) = −(1)2
+ 3 = 2
2. lim
𝑥→1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) ¿ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒?
lim
𝑥→1−
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) ? = lim
𝑥→1+
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = lim
𝑥→1
−𝑥2
+ 3
1+1= -(1)2
+3
2=2
3. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =. lim
𝑥→1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
2 = 2 la suma es continua en 1
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1) = {
1 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 > 0
0 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 = 0
−1 𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 < 0
}
𝑠𝑔𝑛(−𝑥 + 1) = {
1 𝑠𝑖 1 > 𝑥
0 𝑠𝑖 1 = 𝑥
−1 𝑠𝑖 1 < 𝑥
}

6. Hallar A y B para que la función sea continua:
Se obs: Para que sea continua los puntos (1;1) y (-1;0) pertenece al límite de:
𝒇(𝒙) =
𝑨𝒙𝟐+𝑩𝒙𝟐−𝑨𝒙−𝑩
𝒙𝟐−𝟏
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝑨𝒙𝟐+𝑩𝒙𝟐−𝑨𝒙−𝑩
𝒙𝟐−𝟏
= 1
 Derivando:

𝟓𝑨𝒙𝟒+𝟒𝑩𝒙𝟑−𝑨
𝟐𝒙

𝟓𝑨(𝟏)𝟒+𝟒𝑩(𝟏)𝟑−𝑨
𝟐(𝟏)
= 𝟏
 4A +4B =2
 2A+2B =1
 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
𝑨𝒙𝟐+𝑩𝒙𝟐−𝑨𝒙−𝑩
𝒙𝟐−𝟏
= 𝟎

𝟓𝑨𝒙𝟒+𝟒𝑩𝒙𝟑−𝑨
𝟐𝒙

𝟓𝑨(−𝟏)𝟒+𝟒𝑩(−𝟏)𝟑−𝑨
𝟐(−𝟏)
= 𝟎

𝟒𝑨−𝟒𝑩
−𝟐
= 𝟎
 A=B
A = 1/4 Y B = 1/4
F(x)=x2
F(x)=1-x2

7. 𝑓(𝑥) = {
𝑐 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −3
9 − 𝑥2
4 − √𝑥2 + 7
𝑠𝑖 − 3 < 𝑥 < 3
𝑑 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥
}
𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −3 𝑦 𝑥 = 3
Solución:
Veamos si es continua en x=-3
1. 𝑓(−3) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
En efecto pues 𝑓(−3) = 𝑐
2. lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→−3
𝑐 = lim
𝑥→−3
9 − 𝑥2
4 − √𝑥2 + 7
𝑐 = lim
𝑥→−3
9 + 7 − 𝑥2
− 7
4 − √𝑥2 + 7
𝑐 = lim
𝑥→−3
16 − (𝑥2
+ 7)
4 − √𝑥2 + 7
𝑐 = lim
𝑥→−3
42
− (√𝑥2 + 7)
2
4 − √𝑥2 + 7
𝑐 = lim
𝑥→−3
(4 − √𝑥2 + 7)(4 + √𝑥2 + 7)
4 − √𝑥2 + 7
𝑐 = lim
𝑥→−3
(4 + √𝑥2 + 7)
𝑐 = 4 + √(−3)2 + 7
𝑐 = 4 + √16 = 8
Entonces c debe ser igual a 8
3. lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = 𝑓(−3)
8 = 𝑐
Veamos si es continua en x=3
1. 𝑓(−3) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
En efecto pues 𝑓(−3) = 𝑐
2. lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→3
9 − 𝑥2
4 − √𝑥2 + 7
= lim
𝑥→3
𝑑
lim
𝑥→3
9 + 7 − 𝑥2
− 7
4 − √𝑥2 + 7
= 𝑑
lim
𝑥→3
16 − (𝑥2
+ 7)
4 − √𝑥2 + 7
= 𝑑
lim
𝑥→3
42
− (√𝑥2 + 7)
2
4 − √𝑥2 + 7
= 𝑑
lim
𝑥→3
(4 − √𝑥2 + 7)(4 + √𝑥2 + 7)
4 − √𝑥2 + 7
= 𝑑
lim
𝑥→3
(4 + √𝑥2 + 7) = 𝑑
4 + √(−3)2 + 7 = 𝑑
𝑑 = 4 + √16 = 8
Entonces d debe ser igual 8
3. lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 𝑓(3)
8 = 𝑑