Ecuacion de primer grado

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 16 = 41
b) 9x – 45 + 4x – 16 = 4
c) 2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4
d) 3 · (x – 2) + 9 = 0
e) 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)
f) x + (x + 2) = 36
g) 2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8
h) 2 · (13 + x) = 41 + x
i) 2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x
j) 4x – 3 · (1 – 3x) = –3
k) 4 · (2x) – 3 · (3x – 5) = 12x – 180
l) 6 – x = 4 · (x – 3) – 7 · (x – 4)
m) 3 · (2x – 6) – [(x – (3x – 8) + 2) – 1] = 2 – (3 – 2x)
n) (x – 2)2
= x2
Para resolver ecuaciones de primer grado es conveniente seguir siempre una
misma estrategia que facilite su resolución.
Ejemplo: 7 · (x + 1) – 4 · (x + 3) = x – 9
1. Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes:
7x + 7 – 4x – 12 = x – 9
2. Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los
términos sin la x en el otro (recuerda que al pasar un término de un
miembro a otro de la ecuación cambia su signo):
7x – 4x – x = – 9 – 7 + 12
3. Operar:
2x = –4
4. Despejar la x:
2
2
4


x
5. Comprobar la solución: para lo que se sustituye el valor obtenido en la
ecuación de partida:
7 · (–2 + 1) – 4 · (–2 + 3) = –2 – 9  7 · (–1) – 4 · (1) = –11  –11 = –11

2. ñ) x · (x + 4) = x2
+ 8

3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (Soluciones)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 16 = 41
x = 41 – 16  x = 25
b) 9x – 45 + 4x – 16 = 4
9x + 4x = 45 + 16 + 4  13x = 65  x = 5
c) 2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4
2x + x + 9x = 2 – 4 + 3 + 35  12x = 36  x = 3
d) 3 · (x – 2) + 9 = 0
3x – 6 + 9 = 0  3x = 6 – 9  3x = 3  x = 1
e) 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)
8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – x + 30  8x – 2x – 4x + x = –7 – 5 + 12 + 30  3x = 30  x =
10
f) x + (x + 2) = 36
x + x + 2 = 36  2x = 2 + 36  x = 17
g) 2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8
6x – 4 – x – 3 = 8  6x – x = 8 + 4 + 3  5x = 15  x = 3
h) 2 · (13 + x) = 41 + x
26 + 2x = 41 + x  2x – x = 41 – 26  x = 15
i) 2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x
2x – 6 – 12x + 15 = 17 – 8x  2x – 12x + 8x = 17 + 6 – 15  2x = 8  x = 4
j) 4x – 3 · (1 – 3x) = –3
4x – 3 + 9x = –3  4x + 9x = –3 + 3  13x = 0  x = 0
k) 4 · (2x) – 3 · (3x – 5) = 12x – 180
8x – 9x + 15 = 12x – 180  8x – 9x –12x = –180 – 15  –13x = –195  x = 15
l) 6 – x = 4 · (x – 3) – 7 · (x – 4)

4. 6 – x = 4x – 12 – 7x + 28  –x – 4x + 7x = –12 + 28 – 6  2x = 10  x = 5
m) 3 · (2x – 6) – [(x – (3x – 8) + 2) – 1] = 2 – (3 – 2x)
6x – 18 – [x – 3x + 8 + 2 – 1] = 2 – 3 + 2x  6x – 18 – x + 3x – 8 – 2 + 1 = 2 – 3 + 2x  6x
– x + 3x – 2x = 2 – 3 +18 + 8 + 2 – 1  6x = 26 
3
13
6
26
x
n) (x – 2)2
= x2
x2
+ 4 – 4x = x2
 x2
+ 4 – 4x – x2
= 0  4 – 4x = 0  4 = 4x  x = 1
ñ) x · (x + 4) = x2
+ 8
x2
+ 4x = x2
+ 8  4x = 8  x = 2
. Ecuaciones de primer grado
1. Simbolización
Los problemas se resuelven estableciendo relaciones entre los
datos y los valores desconocidos que queremos hallar.
Hallar tres números consecutivos cuya suma es 180.
Al número menor lo designamos con la letra x.
Por tanto, x + 1 será el mediano y x + 2 el mayor.
Podremos escribir la siguiente relación: x + (x + 1) + (x + 2)
= 180.
Una igualdad de este tipo se llama ecuación.
1 Escribe las relaciones entre los datos y los valores
desconocidos en estos problemas:
a) La séptima parte de un número sumada a sus dos terceras
partes da 51.
b) Tres niños deciden hacer un regalo por valor de 1 275
pesetas. Se sabe que el mayor paga la cuarta parte de lo que
paga el mediano y que éste paga 60 pesetas menos que el menor
c) Descompón el número 16 en dos partes cuyo producto sea
60.

5. d) La edad de un padre es triple que la de su hijo y hace 6
años era sólo el doble.
e) Suma un mismo número al numerador y denominador de 2/3
para que resulte 5/6.
f) Si quitas 60 unidades al cuadrado de un número resulta
lo mismo que si le quitas 4 unidades a dicho número.
g) Se reparten 1 400 pesetas entre tres niños. El mayor
recibe 200 pesetas más que el mediano y éste 150 más que el
menor.
2. Soluciones de una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre letras y números
relacionados por operaciones aritméticas.
x + 3x - 2 = 6, 3x - y = 5 son ecuaciones con una y dos
incógnitas, respectivamente.
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las
incógnitas (si los hay) que hacen cierta la igualdad.
x = 2 es solución de x + 3x - 2 = 6, pues 2 + 3 . 2 - 6 = 6
x = 0, y = 5 es solución de 3x - y = 5, pues 3 . 0 - 5 = 5

6. 2 Completa la tabla para hallar qué valores de x son soluciones
de las ecuaciones:
x = 2 x = -2 x = 3 Soluciones
2x2 = 8 2 · 22 = 8 2 ·(-2)2 =
8
2 · 9  8 x = 2, x = -
2
3(x - 2) + 1 =
4
1
2
1
2

x
42  xx
3x + 6 = 3x
x - (x - 3) = 3
3 Completa la tabla para encontrar qué pares de valores son
soluciones de las ecuaciones:
x = 3 y = 2 x = 4 y = -3 Soluciones
3x – 2y = 5
1
32

yx
4 Escribe dos ecuaciones con una incógnita x que tengan por
solución x = 5.
5 Escribe 2 ecuaciones con 2 incógnitas que tengan por solución
x = 2, y = -1.

7. 3. Resolución de ecuaciones de primer grado con
una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado debemos despejar la
incógnita, es decir, dejarla sola en un miembro. Para ello se
convierte en otra más sencilla con las mismas soluciones:
Resolver la ecuación 6x – 3 = 2x + 5
Se resta 2x (regla de la resta) a los dos miembros: 6x - 2x –
3 = 5; 4x – 3 = 5
Se suma 3x (regla de la suma) a los dos miembros: 4x = 5 +
3; 4x = 8
Se divide por 4 (regla del producto o división): 2
4
8
x
Resolver la ecuación
6
1
4
15
3
2 xxx



Se reduce a común denominador: m.c.m.(3, 4, 6)=12
12
2
12
12
12
153
12
8 xxx



)(
Se eliminan denominadores. Multiplicamos por 12: 8x - 3(5x -
1) = 12 + 2x
Se quitan paréntesis: 8x - 15x + 3
= 12 + 2x
Se simplifica: -7x + 3 = 12
+ 2x
Se suma 7x: 3 = 12 + 9x
Se resta 12: -9 = 9x
Se divide por 9: x = -1
6 Resuelve las ecuaciones:
a) 3x - 6 = 4 c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x
b) -1 + 2x = 9 - 3x d) 2x = 20 - 3x
7 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6
2
3

x
d)
5
14
2
3
6 

 xx
b) 2
3
64

x
e)
2
3
4
5
6
12 xxx



8. c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)
8 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 11
4
21
7 


x
x d)  
8
32
4
3
5
6
103 

 x
x
x
b) 0
2
3
5
23



 xx
e)  
6
43
2
155
23 xxx 


c)
2
1
3
1
9
15
4
2





 xxx
4. Planteamiento de ecuaciones
Un ciclista recorre en su primera hora de viaje 1/3 de la distancia que
separa dos ciudades; en la segunda, las 2/5 partes de la misma distancia,
y en la tercera recorre los 32 km restantes. ¿Qué distancia hay entre las
dos ciudades? ¿Qué distancia recorre en la primera hora? ¿Y en la segunda?
1.º Elegir la incógnita: asignamos la letra x a la distancia
entre las dos ciudades.
2.º Hacer una figura con datos e incógnitas:
| | |
|
A 1/3 2/5 32 km
B
3.º Establecer la relación: xxx  32
5
2
3
1
4.º Resolver la ecuación: 5x + 3 . 2x + 15 . 32 = 15x  4x =
480  x = 120
Distancia entre las dos ciudades: 120 km
Distancia que recorre en la l.ª hora: 1/3 · 120 = 40 km
Distancia que recorre en la 2.ª hora: 2/5 · 120 = 48 km
5.º Comprobar el resultado: 40 + 48 + 32 = 120
9 Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de modo que la
segunda reciba 2 000 pesetas más que la primera, y que la
tercera reciba el triple de lo que reciben las otras dos juntas.

9. 10 Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene ahorrado en
material escolar y los 3/4 del resto en celebrar su cumpleaños,
quedándole 1 000 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
¿Cuánto gasta en material escolar? ¿Y en celebrar su
cumpleaños?
11 Halla dos números consecutivos tales que la suma de la
tercera parte del mayor y la quinta parte del menor sea igual
a la mitad del menor más uno.
12 El perímetro de un rectángulo es de 60 m. Sabiendo que la
base mide 2/3 de la longitud de su altura, calcula la longitud
de cada lado y el área del rectángulo.
13 Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de
la edad le quito 2 y divido este resultado por 5 me da la mitad
de la edad más 2.
14 Se reparte un lote de discos entre tres alumnos. El primero
recibe la tercera parte más 4, el segundo un sexto del resto y
el tercero recibe 5 discos. ¿Cuántos discos se han repartido?
¿Cuántos recibe cada uno?
15 Si del contenido de un depósito se extraen sus 2/7 y sus
3/5, quedan 12 litros. Halla el volumen contenido en el
depósito.
II. Ecuaciones de segundo grado
5. Ecuaciones incompletas
Toda ecuación de segundo grado se puede reducir a la forma:
ax2+ bx + c = 0 (a>0)
La ecuación es incompleta si b = 0 o c = 0 (observa que si a =
0 la ecuación es de primer grado).
Si b = c = 0  ax2 =0
. Se despeja x
3x2 = 0
x2 = 0
Si b = 0  ax2 + c =
0
. Se despeja x
2x2 – 8 = 0
Si c = 0  ax2 + bx =
0
. Se saca x factor
común

10. x = 0 x2 = 4






2
2
4
x
x
x
. Se iguala cada
factor a cero
2x2 + 5x = 0
x(2x + 5) = 0






2
5
052
0
xx
x
16 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x2 - 27 = 0 d) x(x + 5) - 8x = 0
b) 3x2 + 10 = 1 e) 3(x2 - 1) + 5 = x2 + 2
c) 4x2 - 25 = 0 f) 4x2 + 9x = x2 -3x
6. Ecuaciones completas
Para resolver estas ecuaciones se emplean las siguientes
fórmulas:
a
acbb
x
2
42
1

 ,
a
acbb
x
2
42
1


Si b2 - 4ac > 0
Tiene dos soluciones
Si b2 - 4ac = 0
Tiene una solución
Si b2 - 4ac < 0
No tiene solución
x2 - 5x + 6 = 0
(a = 1, b = -5, c =
6)








2
3
2
24255
2
1
x
x
x
2x2 - 4x + 2 = 0
(a = 2, b = -4, c =
2)
1
4
04


x
x2 + 2x + 3 = 0
(a = 1, b = 2, c = 3)
2
1242 
x
17 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2 - 4x + 3 = 0 d) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) 3x2 + 3x - 6 = 0 e) 6x2 + 2x + 1 = 0
c) x2 - 6x + 9 = 0 f)
 
3
1
2
1 

 xxx

11. 7. Ecuaciones reducibles a ecuaciones de
segundo grado
Ecuaciones bicuadradas: son ecuaciones que se reducen a la
forma
ax4 + bx2 + c = 0.
Ejemplo: Para resolver x4 - 8x2 - 9 = 0 se sustituye x2 por z:
z2 - 8z - 9 = 0
Se resuelve:










1
9
2
108
2
36648
2
1
z
z
z
Para calcular x se hallan las raíces cuadradas:






11
399
2
2
xx
xx
1 no da lugar a ninguna solución.
Las soluciones de la ecuación x4 - 8x2 - 9 = 0 son x = 3 y
x = -3.
. Ecuaciones radicales: son aquellas en las que la incógnita
aparece bajo el signo radical.
Resolver la ecuación xx  24
Se aísla la raíz: 42  xx
Se elevan al cuadrado los dos miembros: x + 2 = (x - 4)2
Se resuelve esta ecuación: x + 2 = x2 - 8x + 16; x2 - 9x +
14 = 0 






7
2
x
x
x
Se comprueban las soluciones en la ecuación radical: x = 7
es solución,
pero x = 2
no lo es.
18 Resuelve las ecuaciones:
a) x4 - 40x2 + 144 = 0

12. b) 4x4 + 3x2 - 1 = 0
c) x4 - 18x2 + 32 = 0
19 Resuelve las ecuaciones:
a) 212  xx b) 392 2
 xxx
c) 236  xx d) 224  xx
8. Planteamiento de ecuaciones
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor,
mientras que el otro cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuál es la
longitud de cada lado?
1.ª Hacer el dibujo:
2.ªIdentificar las cantidades conocidas y las desconocidas:
llamamos x al cateto menor.
3.º Buscar relaciones entre los datos y las incógnitas:
aplicamos el teorema de Pitágoras:
x2 + (x + 2)2 = (x + 4)2  2x2 + 4x + 4 = x2 + 8x + 16  x2 –
4x – 12 = 0
4.º Resolver: x2 – 4x – 12 = 0  x1 = 6, x2 = -2 no válida.
El cateto menor mide 6 cm, el cateto mayor mide 8 cm y la
hipotenusa mide 10 cm.
xx +
4
x +
2

13. 20 Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de los cuadrados
del número de amigos de cada uno es 468. ¿Cuántos amigos tiene
Luis? ¿Y Javier?
21 Halla un número tal que si a la novena parte de su cuadrado
se le resta cuatro se obtiene dicho número.
22 Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si hubiera dos
niños menos, cada uno tocaría a 40 pesetas más. ¿Cuántos niños
son?
23 La décima parte del producto de números consecutivos
coincide con el doble del menor menos 7. ¿Cuáles son tales
números?
24 El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su área 180 cm2.
Calcula sus dimensiones.
25 Dos pintores pintan una habitación en 2 horas. ¿En cuánto
tiempo la pintaría cada uno por separado sabiendo que uno de
ellos tarda 3 horas menos que el otro?
III. Sistemas de ecuaciones
9. Ecuaciones con dos incógnitas
5x + 2y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas,
la x y la y.
Los coeficientes de las incógnitas son 5 y 2; el término
independiente es 7.
El par de valores x=1, y=1, es una solución de la ecuación
porque 5·1 + 2·1 = 7.

14. Para obtener una solución basta dar a una de las incógnitas el
valor que se desee y resolver la ecuación resultante.
Ejemplo: Si x = 0 queda: 2y = 7  y = 7/2. Por tanto el par x
= 0, y = 7/2 es solución.
Este proceso se puede repetir las veces que se quiera, por lo
que toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene
tantas soluciones como se desee.
26 Completa la siguiente tabla:
Coeficiente de
x
Coeficiente de
y
Término
independiente
3x + y = 2
-x + 2y = 4
27 Comprueba si los siguientes valores de x e y son solución
de las ecuaciones:
a) x = 0, y = 2 en la ecuación 3x + 7y = 14
b) x = -1, y = 1 en la ecuación -2x + 5y = 3
28 Halla una solución de la ecuación 2(x + 3) - y = 3 en la
que x = 2.
29 Para y = -3, halla x para que el par de valores sea solución
de la ecuación
5(x - 1) + 2(y - 2) = 5.
30 Obtén dos soluciones distintas para cada una de las
siguientes ecuaciones:
a) 9x - 4y = 1 b) 1
64

yx

15. 10. Resolución de sistemas de ecuaciones
lineales
Resolver el sistema 3x – 2y = -5
2x – y = -2
Método de sustitución Método de reducción
1.º Se despeja y en la segunda
ec.:
3x – 2y = 5
y = 2x + 2
2.º Se sustituye este valor en la
primera:
3x – 2(2x + 2) = -5  -x – 4
= -5
3.º Se resuelve la ec. que
resulta:
x = 1
4.º Se sustituye x = 1 en la
segunda
ecuación ya despejada:
y = 2·1 + 2  y = 4
1.º Se multiplica por –2 la
segunda
ecuación, para que la
incógnita y
tenga coeficientes opuestos:
3x –2y = -5
-4x + 2y = 4
2.º Se suman las dos ecuaciones:
-x = -1  x = 1
3.º Se repite el mismo proceso
para la
incógnita x o bien se
sustituye el
valor de x en una de las
ecuaciones
y = 4
Por cualquiera de los métodos empleados se obtiene la solución
x = 1, y = 4
31 Dado el sistema x - 4y = 13
5x + 7y = -16
obtén otro equivalente que tenga la y de la primera ecuación
despejada.
32 Dado el sistema 3x - 4y = -5
2x + y = 13/2

16. obtén otro equivalente que tenga los coeficientes de x
opuestos.
33 Dado el sistema x + y = 11
3x – 5y = 1
obtén otro equivalente en cuya segunda ecuación haya
desaparecido la x.
34 Resuelve los siguientes sistemas por el método de
sustitución:
a)





1625
73
yx
yx
b)





853
134
yx
yx
c)





164
172
yx
yx
d)





12172
3315
)(
)(
yx
yx
e)










3
17
3
13
2
3
2
32
yx
yx
35 Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de
reducción:
a)





134
52
yx
yx
b)





1127
1252
yx
yx
c)





034
1432
)( yx
yx
d)





1723
5252
yx
yx
)(
)(
e)







4
34
35
yx
yx
11. Planteamiento y resolución de sistemas
En la panadería, Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras de pan y 3 ensaimadas.
Si Irene pago 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada, ¿cuál es el precio
de la barra de pan? ¿y el de la ensaimada?
1.º Entender el enunciado y las relaciones que describe:
Al comprar diferentes cantidades de los mismos productos,
el precio total
será también diferente. Conocemos el precio total para dos
compras.

17. 2.º Identificar las cantidades desconocidas y asignar una letra
a cada una:
Debemos calcular el precio de cada barra: x, y de cada
ensaimada: y.
3.º Separar las condiciones del problema:
a) Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras y 3 ensaimadas
b) Irene pagó 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada.
4.º Transformar las condiciones en ecuaciones:
De la primera condición: 5x + 3y = 500
De la segunda condición: 2x + y = 190
5.º Resolver el sistema: x = 70 e y = 50
6.º Comprobar si el resultado tiene sentido y es correcto:
El resultado deben ser números enteros, positivos y no
excesivamente grandes.
Además 5·70 + 3·50 = 500 y 2·70 + 50 = 190
36 En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado
desigual es tres veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide
cada lado?
37 Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y bolígrafos,
con un coste de 1240 pesetas. Si los lápices cuestan 25 pesetas
y los bolígrafos 60 pesetas, ¿cuántos bolígrafos compró?
¿Cuántos lápices?
38 Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8 margaritas cuesta
4 100 pesetas. Si está formado por 2 rosas y 6 margaritas su
precio es 2 200 pesetas. ¿Cuál es el precio de una rosa? ¿Y de
una margarita?
39 En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y
tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas,
¿cuántos candelabros hay de cada tipo?
40 Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo
entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700 pesetas, le sobran
200 pesetas; pero si da a cada uno 800 pesetas, le faltan 200
pesetas. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo? ¿Cuántos hijos
tiene?

18. 41 En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a
otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda, hay en ésta un
alumno más que en la primera. Pero si pasan 4 de la segunda a
la primera serán doble en la primera que en la segunda. ¿Cuántos
alumnos tiene cada clase?
42 Hoy, la edad de un hijo es un año menos que 1/3 de la edad
de su madre. Si dentro de cinco años la edad de la madre será
10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen?
12. Resolución gráfica de sistemas
Cada una de las ecuaciones de un sistema se puede representar
como una recta. Las coordenadas de los puntos de la recta son
las soluciones de la ecuación.
Resolver gráficamente el sistema 3x + y = 8
8x – 2y = -2
Despejamos y en las dos ecuaciones y = -3x + 8
y = 4x + 1
Tomamos dos puntos de y=-3x + 8; A(0,8), B(1,5) y trazamos la
recta que los une.
Tomamos dos puntos de y= 4x + 1; M(0,1), N(1,5) y trazamos la
recta que los une.
El punto de intersección de las dos rectas es (1, 5), luego la
solución es:
x = 1, y = 5.
43 Resuelve gráficamente el sistema x + 4y = 3
6x - 5y = -11
44 Resuelve gráficamente el sistema 3x – 4y = -8
7x + 6y = 12
X
Y
1
5
A
M
B = N = (1,5)
y = 4x + 1
y =-3x + 8

19. 45 Indica cuál es la representación gráfica del sistema 3x +
y = 4
x
- 2y = 6
a) b) c) d)
IV. Desigualdades e inecuaciones
13. Desigualdades
. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta
un mismo número, se obtiene otra desigualdad con el mismo
sentido:
2 < 6, sumando 3 se tiene: 5 < 9 -6 < -2, sumando 8 se
tiene: 2 < 6
2 < 6, restando 3 se tiene: -1 < 3 -6 < -2, restando 8
se tiene: -14 < -10
. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por un número

20. mayor que cero, se obtiene otra desigualdad con el mismo
sentido:
2 < 6, multiplicando por 4 se tiene: 8 < 24
-3 < -1, multiplicando por 4 se tiene: -12 < -4
. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por un número
menor que cero, la desigualdad cambia de sentido:
2 < 6, multiplicando por -4 se tiene: -8 > -24
-3 < -1, multiplicando por -4 se tiene: 12 < 4
46 Pon en los recuadros siguientes el símbolo <, =, > que
convenga:
a) -4  3 d) -3  0 g) 2/3  4/5
b) -8  -7 e) 0   h) 40  (-1)4
c) 6  -12 f) (-1)3  (-3)3 i) 16/6  8/3
47 Escribe las desigualdades que se obtienen al hacer las
siguientes operaciones:
a) Suma 8 en: 3 < 7 e) Resta 6 en: -3 > -7
b) Resta 3 en: 8 > 5 f) Multiplica por (-3) en:
6 < 10
c) Multiplica por 4 en: -2 < 2 g) Multiplica por (-2)
en: -5 < -4
d) Suma 7 en: -4 < 1 h) Multiplica por (-5) en:
-8 < -5
48 Escribe como intervalos las siguientes desigualdades y
represéntalos en la recta real:
a) -3 < x < 4 b) -4 < x  2 c) 4  x < 8

21. d) -6  x  -3 e) x < 5
14. Soluciones de una inecuación
Las soluciones de una inecuación son los números reales tales
que al sustituirlos por las incógnitas hacen que la desigualdad
sea cierta.
x = 2 es solución de 3 - x < 2 porque es cierto que 3 - 2
< 2
x = 0 no es solución de 3 - x < 2 porque es falso que 3 -
0 < 2
Si damos a x otros valores obtenemos:
X -1 0 1 2 2,5 3,7 4 5 6
3 – x 4 3 2 1 0,5 -0,7 -1 -2 -3
¿Es menor que
2?
No No No Sí Sí Sí Sí Sí Sí
Las soluciones de esta inecuación son todos los números mayores
que 1. Las soluciones forman el intervalo (1, +).
Ecuación asociada a una inecuación es la que resulta de
sustituir el símbolo de desigualdad por el símbolo de igualdad.
Su solución ayuda a resolver la inecuación.
Ejemplo: La ecuación asociada a -x + 4 < 6 + x es -x + 4 = 6 +
x
49 Averigua para cuáles de los números -4 y 3 son ciertas las
siguientes desigualdades:
a) 3x - 7 < 1 + 2x c) x2 + 4  0 e) x2 + x + 1
> 0
b) 2x - 8 > -4x + x2 d) -2x < x + 9 f) x - 3 > 4
+ x

22. 50 Indica gráficamente el signo del valor numérico de las
siguientes expresiones para los diferentes valores posibles de
x.
a) x - 8 b) 5x + 20
51 Escribe y resuelve las ecuaciones asociadas a las siguientes
inecuaciones:
a) 9 + x < 3 - 2x b) 2 + 3(x - 1) < x + 5
15. Transformación de inecuaciones. Reglas de
la suma y del producto
Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se
les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se
obtiene otra inecuación con las mismas soluciones.
Resolver la inecuación 5x – 3  6x + 5
Se resta 5 a los dos miembros: 5x – 8  6x
Se resta 5x a los dos miembros: -8  x
La solución de la inecuacion dada es –8  x o el intervalo
[-8,+).
Regla del producto: Si a los dos miembros de una inecuación se
les multiplica o divide por un mismo número:

23. - mayor que cero, se obtiene otra inecuación con las mismas
soluciones.
x/4 < 2 multiplicando por 4 se tiene x < 8
3x < 9 dividiendo por 3 se tiene x < 3
- menor que cero, se cambia el sentido de la desigualdad para
que tenga las mismas soluciones.
-x/7 < 2 multiplicando por (-7) se tiene x > -14
-5x < 10 dividiendo por (-5) se tiene x > -2