ejercicios de las trasformada de lapace y la serie de fourier

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
Bachiller:
AdrianaPeñaC.I.:22.272.657
RicardoGómez C.I.:26.238.668
Cabudare , 09 de Junio del 2016

2. 1) Utilizar la definición de la transformada de Laplace y resolver la siguiente
función.
𝐹( 𝑡) =
23
3
𝑡 +
8
5
cos√3𝑡
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝐹( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐿{ 𝐹(𝑡)} = 𝐹(𝑠)
∞
0
lim
a→V0
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑎
0
[
23
3
𝑡 +
5
8
cos √3𝑡] dt
lim
a→V0
[
23
3
∫ e-sta
0
𝑑𝑡 +
8
5
∫ e-sta
0
cos √3 t dt]
lim
a→∞
[
23
3
( −
te−st
s
−
e−st
s2
) +
8
5
(
3s2
8s2 − 6
)(−
e−st
s
cos√3 t −
√2
s2
e−st
sen√3 t)]
lim
a→∞
[
23
3
( −
ae−sa
s
−
e−sa
s2
) + (
24s2
40s2 − 30
)(−
e−sa
s
cos√3 a−
√2
s2
e−sa
sen√3 a)]
lim
a→∞
[
23
3
( −
0e−sa
s
−
e−s(o)
s2 )+ (
24s2
40s2 − 30
) (−
e−s(o)
s
cos√3 (0) −
√2
s2 e−s(o) sen√3 o)]
=
23
3𝑠2
+
24𝑠2
40𝑠2− 30
1
𝑠
=
23
3𝑠2
+
24𝑠2
40𝑠3− 30𝑠

3. 2.- UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE
RESOLVER. SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.
𝐹( 𝑡) =
10
7
𝑡(7𝑒4𝑡
cos ℎ4𝑡 −
cos 51𝑡
𝑡2
+ 3𝑒−3𝑡
𝑡5
Aplicando propiedad distributiva.
𝐹( 𝑡)10 𝑡 𝑒4𝑡
cos ℎ4𝑡 −
10
7
×
cos 51
𝑡
𝑡 +
30
7
𝑒−3𝑡
𝑡5
𝐿{ 𝐹(𝑡)} = 𝐿 {10𝑡𝑒4𝑡
cos ℎ4𝑡 −
10
7
𝑡 ×
cos 51
𝑡2
𝑡 +
30
7
𝑒−3𝑡
𝑡5}
Aplicando linealidad
𝐿{ 𝐹(𝑡)} = 10𝐿{ 𝑡𝑒4𝑡
cos ℎ4𝑡} −
10
7
𝐿 { 𝑡
cos 51
𝑡2
𝑡} +
30
7
𝐿{ 𝑒−3𝑡
𝑡5}
Por tabla.
10(
1!
(𝑠 − 4)2
×
5
𝑠2 − 42
) −
10
7
(−
2
𝑠−1+2
×
𝑠2
− (√51)2
(𝑠2 + (√51)2)2
) +
30
7
𝐿 (
51
𝑠5+1
×
1
5 + 3
)
10(
1
(𝑠 − 4)2
×
5
𝑠2 − 42
) +
10
7
(
2
𝑠−1
×
𝑠2
− √51
(𝑠2 + √51)2
) +
30
7
(
120
𝑠6
×
1
5 + 3
)
105
(𝑠 − 4)2(𝑠2 − 42)
+
20
7
𝑠 ×
(𝑠2
− √51)
(𝑠2 + (√51)2)2
+
3600
7
×
1
𝑠6(𝑠 + 3)

4. 3) Aplicar tablas, simplificacióny método correspondiente para
determinar .
L-1
f(s) = F (f)
𝐿 {−1
2𝑠3
− 7√2
10 𝑠8
+
√2 + 2(𝑠 +
3
5
)3
4(𝑠 +
3
5
)9
−
3
𝑠2 −
2𝑠
5
+ 7
} 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
𝐿 {−1
2𝑠3
10 𝑠8
−
7√2
10 𝑠8
+
√2
4
1
(𝑠 +
3
5
)9
+
2
4
−
(𝑠 +
3
5
)3
(𝑠 +
3
5
)9
−
3
(𝑠 −
1
5
)
2
+
174
25
}
Simplificando
𝐿 {−1
1
5
1
𝑠5
−
7√2
10
1
𝑠8
+
√2
4
1
(𝑠 +
3
5
)9
+
1
2
1
(𝑠 +
3
5
)6
− 3
1
(𝑠 −
1
5
)
2
+
174
25
}
Separando cada una
1
5
L−1 1
𝑠5
-
7√2
10
L−1 1
𝑠8
+
√2
4
L−1 1
(𝑠+
3
5
)9
+
1
2
1
(𝑠+
3
5
)6
− 3L−1 1
( 𝑠−
1
5
)
2
+
174
25
Por tabla
1
5
t4
24
-
7√2
10
t7
5040
+
√2
4
t8e
−3t
5
40320
+
1
2
t5e
−3t
5
120
−
522
25
e
1t
5 sen(
174
25
) t
t4
120
-
7√2
10
t7
5040
+
√2
4
t8e
−3t
5
40320
+
1
240
t5
e
−3t
5 −
522
25
e
1t
5 sen
174
25
t

5. 4) Utilizando la definiciónde la transformada calcular.
𝐿−1
{
√3 𝑠
𝑠3 (𝑠+9)
}
𝐿−1 {(
√3 𝑠
𝑠3
) (
1
𝑠 + 9
)}
Pero
𝐿−1 {(
√3 𝑠
𝑠3
)} =
√3
𝑠2
= √3
1
𝑠2
= √3 t
𝐋−𝟏
{(
𝟏
𝐬+𝟗
)} = 𝐞−𝐚𝐭
Por tabla
u = -9x v = x dv = dx
du = -9dx dv = e-9x
L.g∫ f(t − x)g(x)dx
t
0
√3 ∫ (t − x)e−9x
dx
t
0
√3 𝑡 ∫ e-9x
dx
t
0
- √3 ∫ xe-9x
dx
t
0
[
√3
−9
t(e−9x) − √3 (-
1
9
xe−9x
-
1
81
e−9x
)]
Evaluamos
(
√3
−9
te−9t
+
1
9
√3 te−9t
+
1
81
√3 e−9t
)- (
−√3
9
te0
+
√3
9
0e0
+
1
81
e0
)
=
1
81
√3 e−9t
+
1
9
√3 t +
1
81

6. 5) Resuelva utilizando descomposiciónen fracciones parciales.
𝐿−1 {
s − 1
(s − 1)(s+ 2)(s− 5)
}
Por fracciones parciales
(𝐬 − 𝟏)( 𝐬 − 𝟏)( 𝐬 + 𝟐)(𝐬 − 𝟓
( 𝐬 − 𝟏)( 𝐬 + 𝟐)(𝐬 − 𝟓)
=
A
S-1
+
B
S+2
+
C
S-5
Multiplicamos por m.c.m
(s – 1) (s + 2) (s – 5)
s-1=
A(s – 1)(s + 2) (s – 5)
S-1
+
B(s – 1)(s + 2) (s – 5)
S+ 2
+
C(s – 1)(s + 2) (s – 5)
S-5
s-1= A(s + 2)(s - 5) + B(s - 1) (s - 5) + C(s - 1)(s + 2)
Resolviendooperacione sindicadas
s-1= A(𝑠2
-5s + 2s - 10) + B(𝑠2
– 5s - s + 5) + C(𝑠2
+ 2s – s - 2)
s-1= A(𝑠2
-3s - 10) + B(𝑠2
– 6s + 5) + C(𝑠2
+ s - 2)
s-1= A𝑠2
-A3s - A10 + B𝑠2
– B6s + B5 + C𝑠2
+Cs -C2
Agrupando semejantes
s-1= (A𝑠2
+ B𝑠2
+ C𝑠2
) + (-3As – 6Bs + Cs) +(- 10A + 5B -2C)
s-1= 𝑠2
(A+ B + C) + s(-3A – 6B + C) +(- 10A + 5B -2C )
Igualdad de coeficientes
0 = A + B + C
1 = -3A – 6B + C
-1 = -10A + 5B – 2C

7. Resolvemosel sistema, tenemos los valores deA, B Yc
A = 0
B = -1/7
C = 1/7
𝐿−1 {
𝐬 − 𝟏
( 𝐬 − 𝟏)( 𝐬 + 𝟐)(𝐬 − 𝟓)
} = 𝐿−1 {
−1/7
( 𝑠 − 1)
+
1/7
( 𝑠 − 5)
}
Separando.
−
1
7
𝐿−1 {
1
( 𝑠 − 1)
}+
1
7
𝐿−1 {
1
( 𝑠 + 5)
}
Por tabla.
-
𝟏
𝟕
𝒆 𝒕
+
𝟏
𝟕
𝒆 𝟓
𝒕

8. 6-Determina la serie de Fourier para una función par y una impar
(escoge túmismo los dos ejercicios numéricos).
a) Función par
Calcular la serie de Fourier para la función 𝐹( 𝑥) = 𝑥4
𝐹( 𝑥) = 𝑥4
, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−𝜋 , 𝜋]
Solución: sabemos que F(x) es par y por lo tanto solamente calculamos los
coeficientes 𝑎0 𝑦 𝑎 𝑛 tenemos que :
𝑎0 =
1
π
∫ x4
dx =
1
π
[
x5
5
]
0
ππ
0
=
1
5
π4
𝑎 𝑜 =
1
𝜋
∫ 𝑥4𝜋
0
𝑑𝑥 =
1
𝜋
[
𝑥5
5
]
0
𝜋
=
1
5
𝜋4
𝑎 𝑜 =
1
𝜋
∫ 𝑥4𝜋
0
𝑑𝑥 =
1
𝜋
[
𝑥5
5
]
0
𝜋
=
1
5
𝜋4
𝑎 𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑥4
𝜋
0
cos(
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) 𝑑𝑥 =
2
𝜋
[
𝑥4 sin(𝑛𝑥)
𝑛
−
4
𝑛
(
3𝑛2 𝑥2 − 6
𝑛4 sin(𝑛𝑥) −
𝑛2 𝑥3 − 6𝑥
𝑛3 cos(𝑛𝑥)]
0
𝜋
𝑎 𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑥4 cos(
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) 𝑑𝑥 =
2
𝜋
[
𝑥4sin(𝑛𝑥)
𝑛
−
4
𝑛
(
3𝑛2 𝑥2 − 6
𝑛4 sin(𝑛𝑥) −
𝑛2 𝑥3 − 6𝑥
𝑛3 cos(𝑛𝑥))]
0
𝜋𝜋
0
=
8
𝑛4
( 𝑛2
𝜋2
− 6)cos(𝑛 𝜋) =
8
𝑛4
(𝑛2
𝜋2
− 6)(−1) 𝑛
Por lo tanto, la serie Fourier de F(x) 𝐹( 𝑥) 𝐹( 𝑥) 𝑒𝑛 [−𝜋 , 𝜋]
[−𝜋, 𝜋][−𝜋, 𝜋] 𝑒𝑠:
1
5
𝜋5
+ ∑
8
𝑛4
(𝑛2
𝜋2
− 6)(1) 𝑛
cos(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
𝑏 𝑛 = 2∫ sin(𝑛𝜋𝑥)
1
0
𝑑𝑥 =
2
𝑛𝜋
[(cos( 𝑛𝜋𝑥)]0
1
=
2
𝑛𝜋
((−1) 𝑛
− 1) =
2
𝑛𝜋
[1 + (−1) 𝑛+1]

9. b) función par.
Desarrolle ¦ (x) = x, -2 < x < 2 en forma de una serie de Fourier
Desarrollaremos f como una serie de senos, la función es impar en el intervalo (-2, 2).
𝑏 𝑛 = ∫ sin
𝑛𝜋
2
𝑥 𝑑𝑥
2
0
𝑏 𝑛 =
4(−1) 𝑛+1
𝑛𝜋
𝐹( 𝑥) =
4
𝜋
∑
(−1) 𝑛+1
𝑛
sin
𝑛𝜋
2
𝑥
∞
𝑛=1
1
5
𝜋4
+ ∑
8
𝑛4
∞
𝑛=1
(𝑛2
𝜋2
− 6)(−1) 𝑛
cos(𝑛𝑥)
1
5
𝜋4
+ ∑
8
𝑛4
∞
𝑛=1
(𝑛2
𝜋2
− 6)(−1) 𝑛
cos(𝑛𝑥)