Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica el concepto de sistema de ecuaciones lineales, cómo discutir si un sistema tiene solución y cómo resolverlo. También describe notaciones matriciales y vectoriales para representar sistemas, y métodos como el de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas equivalentes. El objetivo es analizar sistemas de ecuaciones lineales de cualquier tamaño.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones de un sistema, igualar los resultados y resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la incógnita. Luego, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo el método gráfico, eliminación por sumas y restas, eliminación por sustitución, eliminación por igualación y la regla de Cramer. Explica cada método de manera detallada con ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta una propuesta didáctica para la enseñanza de sistemas de ecuaciones a estudiantes de noveno grado. El objetivo es afianzar el aprendizaje de álgebra mediante el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y su representación gráfica. Se explican conceptos como ecuaciones lineales con dos incógnitas, sistemas compatibles e incompatibles, y métodos de resolución gráficos y analíticos.
Este capítulo introduce los sistemas de ecuaciones lineales, que son conjuntos de ecuaciones lineales. Explica que un sistema puede ser incompatible, determinado o indeterminado dependiendo del número de soluciones. También presenta formas de expresar sistemas matricialmente y métodos para resolver sistemas con dos o tres incógnitas como reducción, igualación y sustitución.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, representación matricial y tipos posibles de sistemas (incompatible, determinado, compatible e indeterminado). Explica cómo resolver sistemas con dos incógnitas y da ejemplos. También cubre sistemas con parámetros y con tres ecuaciones y dos incógnitas.
Sistemas de ecuaciones lineales y matricesCrissLobo
Una descripcion mas detallada sobre el sistema de ecuaiones lineales y Matrices, la cual servira como guia para la comprencion de la materia a estudiar
Matemáticas 1 Tercer Parcial Método Gráficoinsucoppt
Este documento explica los sistemas de ecuaciones, incluyendo su definición, tipos y métodos para resolverlos. Un sistema de ecuaciones consiste en dos o más ecuaciones simultáneas. Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, y su tamaño depende del número de ecuaciones y variables. Existen varios métodos para resolver sistemas, incluyendo el método gráfico, sustitución y eliminación.
Este documento presenta una serie de actividades relacionadas con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 a través de diferentes métodos como igualación, sustitución, reducción, determinantes y gráficamente. Incluye preguntas conceptuales, ejemplos resueltos paso a paso y problemas para aplicar los conocimientos. El objetivo es que los estudiantes aprendan y practiquen diferentes formas de resolver este tipo de sistemas.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones de un sistema, igualar los resultados y resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la incógnita. Luego, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo el método gráfico, eliminación por sumas y restas, eliminación por sustitución, eliminación por igualación y la regla de Cramer. Explica cada método de manera detallada con ejemplos ilustrativos.
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Sistemas de ecuaciones lineales y matricesCrissLobo
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describir tablas de números.
Las matrices se han revelado
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ⎬
como una herramienta funda-
Este documento introduce los conceptos de matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales. mental en álgebra lineal y en
Explica cómo representar sistemas de ecuaciones como matrices y vectores, y describe los métodos muchas otras ramas de las ma-
para resolver sistemas, incluyendo el método de Gauss, el rango de una matriz,
El documento presenta diferentes tipos de sistemas de ecuaciones y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas pueden ser compatibles o incompatibles, y que los compatibles pueden ser determinados u indeterminados. Luego muestra ejemplos de cómo identificar el tipo de sistema dependiendo del número de incógnitas y ecuaciones. Finalmente, da una recomendación para identificar sistemas incompatibles.
Tú sí, puedes, con las ecuaciones simultáneas linealesJames Smith
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones simultáneas lineales y varias técnicas para resolverlas, incluyendo gráfica, igualación, sustitución y reducción. Explica qué son las ecuaciones simultáneas y cómo se generan a partir de problemas que involucran múltiples condiciones. También provee ejemplos para ilustrar cada técnica de resolución.
Este documento presenta una unidad sobre sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y su forma matricial. Explica las matrices asociadas a un sistema como la matriz de coeficientes, términos independientes e incógnitas. Finalmente, describe los métodos de Gauss y Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta un resumen de tres temas clave sobre sistemas de ecuaciones lineales: la representación gráfica de sistemas con 2 y 3 incógnitas, los métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan para resolver sistemas, y los tipos de sistemas según el número de soluciones.
Este documento presenta el texto de instrucción "Matemática Básica I" dirigido a estudiantes de carreras como Derecho, Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación. El texto abarca ocho capítulos que cubren temas como lógica simbólica, álgebra de conjuntos, álgebra de números, matrices, álgebra de ecuaciones, relaciones, la circunferencia y la parábola. El objetivo es proporcionar conocimientos básicos de matemática de manera progresiva y
Apunte de sistema de ecuaciones lineales 3 esbYesica Vane
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, incluyendo definiciones de sistemas compatibles e incompatibles, y métodos para resolver sistemas como sustitución, igualación y reducción. Luego presenta siete problemas de sistemas de ecuaciones para que el lector los resuelva y verifique.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como sistema de ecuaciones lineales, solución de un sistema, tipos de sistemas, notación matricial y vectorial, sistemas equivalentes, y métodos para resolver sistemas como el método de eliminación de Gauss-Jordan.
Proyecto de Matematicas-Ecuaciones lineales-Universidad de Guayaquil-Facultad de Ing. Industrial
Gracias a la Licda. Johanna Galarza por haber compartido sus conociemitos en esta Nivelacion.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo el método gráfico, eliminación por sumas y restas, eliminación por sustitución, eliminación por igualación y la regla de Cramer. Explica cada método a través de ilustraciones y procedimientos paso a paso.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo el método gráfico, eliminación por sumas y restas, eliminación por sustitución, eliminación por igualación y la regla de Cramer. Explica cada método de manera detallada con ejemplos ilustrativos.
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Este documento presenta una unidad sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en lineales y no lineales, y también según el número de ecuaciones e incógnitas. Se detalla que la unidad se centra en sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Además, introduce los conceptos de solución de un sistema y los diferentes tipos de sistemas según si tienen o no solución (compatible e incompatible). Por último, adelanta que se explicarán
Este documento presenta 150 problemas de matemáticas aplicadas resueltos, organizados en 6 bloques temáticos: 1) Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones; 2) Programación lineal; 3) Funciones, límites y derivadas; 4) Integrales; 5) Probabilidad; y 6) Estadística. Incluye problemas de exámenes de selectividad de la Universidad de Ovieda desde 1994, así como problemas propuestos adicionales con sus soluciones en un anexo.
Este documento presenta 150 problemas de matemáticas aplicadas resueltos, organizados en 6 bloques temáticos: matrices y sistemas de ecuaciones, programación lineal, funciones y cálculo, probabilidad y estadística. Incluye problemas de exámenes de selectividad de la Universidad de Oviedo desde 1994, así como problemas propuestos adicionales con sus soluciones.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene información sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes y sistemas lineales. El autor espera que el libro ayude a estudiantes de álgebra lineal a apropiarse de habilidades importantes mediante ejemplos resueltos, demostraciones y ejercicios.
Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene capítulos sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes, y sistemas lineales. El autor desarrolla la teoría de manera rigurosa pero accesible para estudiantes de ingeniería y matemáticas. El libro incluye numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
describir tablas de números.
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como una herramienta funda-
Este documento introduce los conceptos de matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales. mental en álgebra lineal y en
Explica cómo representar sistemas de ecuaciones como matrices y vectores, y describe los métodos muchas otras ramas de las ma-
para resolver sistemas, incluyendo el método de Gauss, el rango de una matriz,
El documento presenta diferentes tipos de sistemas de ecuaciones y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas pueden ser compatibles o incompatibles, y que los compatibles pueden ser determinados u indeterminados. Luego muestra ejemplos de cómo identificar el tipo de sistema dependiendo del número de incógnitas y ecuaciones. Finalmente, da una recomendación para identificar sistemas incompatibles.
Tú sí, puedes, con las ecuaciones simultáneas linealesJames Smith
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Este documento presenta un libro sobre matrices y sistemas lineales. El libro contiene información sobre conceptos básicos de matrices, operaciones con matrices, determinantes y sistemas lineales. El autor espera que el libro ayude a estudiantes de álgebra lineal a apropiarse de habilidades importantes mediante ejemplos resueltos, demostraciones y ejercicios.
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Este documento presenta un resumen del temario de la unidad 3 de Algebra Lineal. Explica los principales métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, el método de Gauss y la regla de Cramer. También incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos métodos a la solución de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una guía de matemáticas sobre sistemas de ecuaciones lineales. Instruye a los estudiantes a resolver ejercicios utilizando los métodos de igualación y Cramer. También incluye ejemplos de cómo resolver problemas que implican sistemas de ecuaciones y les pide a los estudiantes que apliquen estos métodos para resolver tres problemas.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona una lista de los temas que se cubrirán en el curso, incluida la lógica, los algoritmos, la aritmética modular, la combinatoria y los grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material de aprendizaje.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona un índice general de los temas que se cubrirán en el curso, incluyendo lógica, algoritmos, aritmética modular, combinatoria y grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona una lista de los temas que se cubrirán en el curso, incluida la lógica, los algoritmos, la aritmética modular, la combinatoria y los grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material de aprendizaje.
Este documento presenta un resumen de la introducción a un curso de Matemática Discreta. Explica brevemente que la Matemática Discreta estudia objetos discretos como los números naturales, que están separados entre sí a diferencia de los números reales que son continuos. También resume los temas que se cubrirán en el curso como lógica, algoritmos, combinatoria y grafos. Finalmente, indica que el curso está estructurado en 6 temas con introducciones, conceptos, ejemplos y ejercicios para cada uno.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
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2. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 2
1. INTRODUCCIÓN.
El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo abstracción del tipo de
problemas que origina su planteamiento.
Discutir un sistema con siste en averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es.
Resolver un sistema es calcular su solución (o soluciones).
Los casos más sencillos (2 ecuaciones con 2 incógnitas, 3 ecuaciones con 3 incógnitas ...) ya se han estudiado en cursos
anteriores. Aquí, an alizaremos el caso g eneral: cualquier nú mero de ec uaciones y cu alquier núm ero de incógn itas.
2. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
x j son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
a ij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).
c i son los términos independientes, (i=1,2,...,m).
Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.
Los escalares a ij y c i son núm eros reales.
El escalar aij es el coeficiente de x j en la i-ésima ecuación.
Cuand o n es peq ueño, es u sual design ar a las incóg nitas con la s letras x, y, z, t, ...
Obsérvese q ue el núme ro de ecuacion es no tiene por qu é ser igual al núm ero de incógn itas.
Cuando c i=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
‚
Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.
El término independiente de la misma es el 2.
3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.
Solución de un sistema. Es cada conju nto de valores q ue satisface a todas las ecua ciones.
Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).
‚ Dado el sistem a:
Una solución suya es x= ; y= ; z=0; t= . Compruébese.
4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.
Podem os clasificar los sistemas atendien do al núm ero de sus solucion es:
1. Incompatible. No tiene solución.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud
3. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 3
2. Compatible. Tiene solución.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
‚ incompatible. No tiene solución.
‚ compatible determinado. Única solución.
‚ compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es
decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.
Los conocimientos adquiridos sobre m atrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más
reducida.
Consid eremo s un sistem a como el [1], escrito en forma clásica.
En él se pued en considerar las sigu ientes matrices:
A es la matriz de los coeficientes de orden mx n. B es la matriz ampliada de orden mx (n+1).
El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así:
Si en el sistema [1] consideram os las siguientes matrices:
...
El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:
En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:
S=(s 1, s2, ..., sn) 0R n
y se verifica la siguiente re lación: A 1@s 1 + A 2@s 2 + ... + A n@s n = C
‚ Cons iderem os el siste ma:
A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
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4. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 4
El sistema se puede escribir de las siguientes formas:
Forma matricial: = Forma vectorial: x+ y+ z=
‚ En el sis tema: el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica:
(-1) + (1) + (3) + (2) = . Compruébese.
6. SISTEMAS EQUIVALENTES.
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segund o y vicev ersa. (No
es necesario qu e tengan el m ismo núm ero de ecuac iones)
‚ Los sis temas: son equivalentes.
Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1.
Definición. En un sistema d e ecuaciones linea les, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema,
si se obtiene como resultado d e suma r las ecuacio nes del m ismo pr eviame nte mu ltiplicadas po r un núm ero real.
‚ Cons iderem os el siste ma:
Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas:
2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 2@ 4 + (-1)@ 3 + 3 @ (-1).
Obten emos : 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado.
Los resultados que veremos a continuación, permiten ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones
puedan obtenerse con mayor facilidad.
A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS.
Teorema fundamental de equivale ncia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima
por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que
multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.
Demostración
.......................
‚ Sea el sistem a: Multiplicando la primera ecuación por (-2) y su mánd ola a la seg unda, s e obtiene :
Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda:
y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1 .
De este teorem a se siguen las siguientes co nsecuencias:
1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restante s, el
sistema obtenido es equivalente al dado.
Demostración
Es evide nte a partir d el teorem a funda mental.
‚
2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por "…0, se obtiene otro sistema equivalente.
Demostración
Es un ca so particula r del teorem a funda mental.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
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5. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 5
‚
B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.
Las operaciones efectuadas en el ejemp lo anterior co n las ecuac iones del siste ma, po dríamo s realizarlas en la matriz
ampliad a del sistem a, así surge e l:
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución d e sistemas de ecuaciones
lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada
por filas.
Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.
‚ Resolvamos el sistem a: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos
independientes:
(a) Y (b) Y
(a) [0 1 3 1] = (-2)@ [1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)@ [1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]
(b) [0 0 25 3] = 6@ [0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]
Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:
Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z= , y= , x= .
Se trata de un sistema compatible determinado.
‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:
Intercambiando la primera fila con la tercera queda:
(a) Y (b) Y
(a) [0 2 1 -1 0] = (-2)@ [1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)@ [1 -1 2 2 2] + [3 3 11 -1 8]
(b) [0 0 2 -4 2] = (-3)@ [0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2]
Luego , el sistem a ha qu edado de la sigu iente form a:
Resolv emos la última e cuación , z=1+2 t; si hacem os t= " , queda: z=1+2 " ; y= - ; x= - ; t= " .
Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro " .
Es un sistema compatible indeterminado.
‚ Resolv amos el sistem a: La ma triz amp liada es:
Intercambiamos las dos primeras filas queda:
(a) Y
(a) [0 0 0 -5] = (-2)@ [1 2 4 3] + [2 4 8 1]
Luego el sistem a nos h a qued ado de la siguien te form a:
Se observa que el sistema es incompatible.
Ejercicios.
1. Aplicando el método d e eliminación d e Gauss-Jorda n, resuelve los sistemas:
a) b)
Solución. a) Incompatible. b) x= , y= , z= , t= " .
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
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6. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 6
7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.
El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene
un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de
seguir el proceso d e triangulación co mo si nos interesara n todas ellas.
La regla de Cramer, qu e ahora verem os, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para
despejar, separada mente, una cualquiera de las incó gnitas de un sistem a de ecuacion es lineales.
Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y *A*…0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular.
En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A -1:
A -1@A @X = A -1@C | X=A -1@C | |
O sea:
que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:
Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un
determinante que se ob tiene al ree mplaz ar la colu mna j p or la columna que forman los términos independientes, y cuyo
denomin ador es *A*.
‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A *=7 … 0. Luego, es un sistem a de Cramer.
; ; .
Por tanto, la solución del sistema es: x= , y= , z= .
‚ Resolv amos el sistem a: m=n=3 y *A *=-33 … 0. Luego, es un sistem a de Cramer.
; ; .
Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z= .
Ejercicios.
1. Resuelv e el sistema:
Solución. *A *=13, x=1, y=2, z=-1.
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2. Resuelv e el sistema:
Solución. *A *=2, x= , y=5, z= .
8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineale s. Obtendremos una condición necesaria y
suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de
Rouché-F röbenius.
Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
Escrito en form a vectoria l: siendo A1, A 2, ..., A n las colum nas de la m atriz de
los coeficientes.
Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h.
Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución ] rango (B) = h. b) Si h=n, el sistema tiene
solución única. c) S i h<n, el sistema tiene infinita s soluciones.
Demostración
a) Si existe solución (s1,s 2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de
A 1, A 2, ..., A n, y, por tan to, r(B)=h . Recípro camen te, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de
las h column as A i linealmente inde pendientes.
Supongamos que sean A1, A 2, ..., A h. Existen (s1,s 2,...,sn, 0, ..., 0) tales que : A 1@s 1 + A 2@s 2 + ... + A h@s h + A h+1@0 +
... + A n@0 = C, y, por tanto, existe solución.
b) Si r(B)=h, su pongam os que son linealm ente indepen dientes A 1, A 2, ..., A h. Entonces, la ecuación vectorial [2]
puede escribirse de la siguiente forma:
A 1@x 1 + A 2@x 2 + ... + A h@x h = C - A h+1@x h+1 - ... - An@x n [3]
Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., x n, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal
de A 1, A 2, ..., A h.
Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única.
c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., x n en la expresión [3 ], se obtienen infinitas solucion es.
El teorema puede resumirse de la forma siguiente:
Rango (A) … Rango (B) ] Incompatible.
Rango (A) = R ango (B) ] Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única.
Rango (A) = Rango (B) ] Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas soluciones que dependen de n-h
parám etros.
‚ Discu te y resue lve el sistem a: *A *=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método
de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2.
‚ Discu te y resue lve el sistem a: r ( A )= r (B ) = 3 =n º in c ó gn i ta s . E l s is t em a es compatible determinado. Aplicando el método de
Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.
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‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=3; r(B)=4. El sistema es incompatible.
‚ Discu te y resu elve el siste ma: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas solucio nes dep endien tes de do s parám etros: Aplicando
la regla de Cramer y haciendo z= " y t=ß, queda como solución:
x= , y= , z= " , t=ß.
Veamos algunas de las infinitas soluciones:
Si hacemos " =1 y ß=1, obtenemos: x= , y= , z=1, t=1.
Si hacemos " =-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0.
‚ Discute y resuelve, según los valores de a, el sistem a:
Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
*A *=-a(a-1)(a-2).
Pueden considerarse los siguientes casos.
1 º) Si a … 0, a … 1, a … 2: *A * … 0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única.
Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene:
Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x= , y= , z= .
2 º) Si a=0: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible, lo cual en este caso es evidente observando
la segunda ecuación.
º
3) Si a=1: Qued a el sistem a: r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-" , y= " , z= .
4 º) Si a=2: Qued a el sistem a: Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incompatible.
RESUMEN : Para a … 0, a … 1, a … 2: S.C.D. Solución única.
Para a=0: S.I. Ninguna solución.
Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Para a=2: S.I. Ninguna solución.
Ejercicios.
1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según los valores del (de los) parámetros que se
indican.
a)
Solución. S.I.
b)
Solución. Si a … : S.C.D. Si a= : S.I.
c)
Solución. Para a … 0, a … 1: S.I. Ninguna solución. Para a=0: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro. x=t, y=-t, z=1. Para a=1:
S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros. x=" , y=ß, z=1-" -ß.
d)
Solución. Si a … 0, a … 1: S.C.D. Si a=0: S.C.I. x= , y= " , z=-2. Si a=1: S.I.
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e) Solución. Si b … 0, a … 1, a … - 2 : S . C .D .
Si a=-2 Y r(A)=2. Si b=-2 Y r(B)=2: S.C.I.
Si a=-2 Y r(A)= 2. Si b … -2 Y r(B)=3: S.I.
Si a=1 Y r(A)=1. Si b=1 Y r(B)=1: S.C.I.
Si a=1 Y r(A)= 1. Si b Y 1 Y r(B)=2: S.I.
Si b=0 y a=1 Y r(A)=1, r(B)=2: S.I.
Si b=0 y a … 1 Y r(A)=2, r(B)=3: S.I.
9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN.
Un sistema d e ecuaciones linea les es homogéneo, si todos los términos ind ependientes son nulos.
Considerem os el siguiente sistema ho mogén eo de m ec uaciones con n incógnitas:
Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, y a que siemp re se
cumple que r(A)=r(B).
Si r(A)=n úmero de incóg nitas, existirá un a única so lución qu e será la solu ción trivial:
x 1 = x 2 = ... = xn = 0
Si r(A)<núm ero de incógn itas, existirán infinitas soluciones.
Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:
T e o re m a. Un sistem a de ecu aciones lin eales hom ogéneo tiene soluc ión distinta de la trivia l ] el rango de la
matriz de los co eficientes es meno r que el núm ero de incóg nitas.
Coro lario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene
solución distinta de la trivial ] el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.
Demostración
Es evidente a partir del teorema anterior.
‚ Dado el sistem a: C a lc u le m o s e l ra n g o d e la m a tr iz A .
Y Y
r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá in finitas so luciones , que se rán las d el sistem a equiv alente: y= , x= .
‚ Dado el sistem a: r(A)=2 < nº incóg nitas=3 . Por tan to habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=" , y=-" ,
z= " .
‚ Dado el sistem a: *A * … 0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial:
x=0, y=0, z=0.
Ejercicios.
1. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos según los valores del (de los) parámetros
que se indican.
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a)
Solución. Si m … 1, S.C.D. La ú nica solución es la trivial. Si m=1, S.C.I. Las infinitas soluciones son: x=-2 " , y= " , z= " .
b)
c)
d)
e)
f)
Solución. Si a=-2 ó a= , S.C.I.
10. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS. ................
11. EJERCICIOS.
1. Dem uestra qu e un sistem a de n ecu aciones c on n-1 in cógnitas e s incom patible si *B*…0.
2. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
3. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
4. a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser incompatible? Razónalo y en caso
afirmativo, pon un ejemplo.
b) Un sistema de dos ecua ciones line ales con tre s incógn itas, ¿pued e ser com patible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
d) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? Razónalo y en
caso afirmativo, pon un ejemplo.
5. Dado el sistema: Comp rueba q ue el conjunto de sus soluciones constituye un
subespacio vectorial de R n de dimensión n-r(A). Siendo A la matriz de coeficientes del sistema.
6. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:
12. PROBLEMAS.
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1.
13. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U.
1. Determ ina el valor de m p ara que e l sistema: sea compatible y calcula su solución.
Solución. *B*=4m- 48. Si m … 12, S.I. Si m=12, S.C.D. x=4, y=2, z=5.
2. Discute el siste ma: según los valores de a, y resuélvelo cuando sea compatible.
Solución. *A *=-a 2 . Si a … 0, S.C.D. Si a=0, S.C.I. infinitas soluc. dep. 2 parámetros.
3. Un padre y sus dos hijos tienen un total de 84 años. Cuando el mayor tenía la edad del pequeño, la de éste era de la
edad actual del m ayor, y cu ando el p equeñ o tenga la edad del mayor, los tres sumarán 102 años. Calcula la edad de cada
uno resolviend o el sistema de ecu aciones lineales a que dan lugar las con diciones anteriores.
Solución. x, x+a, x+a+b. 1) 3x+2a+b=84, 2) 3x-7a=0, 3) 3x+5a+b=102. m=14, M=20, P=50.
4. Determ ina el valor de a para que el sistem a: sea compatible y calcula su solución.
Solución. a=28. x= 4, y=2, z= 5.
5. Encue ntra todas la s solucion es del sistem a siguiente según lo s valores d e a:
Solución. x=1- , y= , z= " .
6. Resuelv e el siguien te sistema e in terpreta ge ométric amen te el resultado :
7. Halla m para qu e el sistema: tenga solu ción distinta de la trivial.
Solución. *A * = -2m 3 - 88m² + 93m + 242. Sus raíces son fraccionarias o irracionales y muy difíciles de calcular. Para las raíces (-44'97, -1'22 y 2'2)
el sistema es indeterminado.
8. Discute el sistema d e ecuacio nes: según los valores de m0R, y resuélvelo para aquellos valores
en que exista solución.
Solución. *A *=2(m²-4). Si m= 2 S.C.I. (3 " ,-5 " , " ). Si m= -2 S.I. S i m … 2 y m … -2 S.C.D . [ , , ].
9. Dado el sistema d e ecuacio nes: a) Estúdia lo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en los
casos en que sea compatible.
Solución. *A *=-a(a²+ 3). a) Si a =0 S.I. Si a … 0 S.C.D. b) (P or Cramer).
10. Discute y resuelve e l sistema seg ún los va lores del pa rámetro m:
Solución. *A *=m-1 . Si m= 1 S.I. S i m … 1 S.C.D . [ , , m 2+ m ]
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11. Sea el sistem a: Discútelo según los valores de m. Resuélvelo para m=5.
Solución. Si m … 5 y m … S . C .D . ( 0, 0 , 0 ) . S i m = 5 ó m = S.C.I. Si m=5 (-27" , 8 " , 13 " ).
12. Discute y resuelve se gún los v alores de a , el sistema:
Solución. S.C.D. para cualquier valor de a.
13. Discute y resuelve se gún los v alores de k , el sistema:
Solución. S.I. en todos los casos.
14. Discute el sig uiente sistem a en fun ción de a :
Solución. Si a= S.I. Si a … S . C .D .
15. Estudia e l sistema:
Solución. Si a=1 ó a= S.I. Si a … 1 ó a … S . C .D .
16. a) Discute y resuelve, e n los casos que pro ceda, el sistem a:
b) ¿Cómo sería la discusión si los término s independien tes fuesen nulos?
Solución. *A *=k(k-1)(k-2).
a) Si k=0 S.I.
Si k=1 S .C.I. [ , , "]
Si k=2 S.I.
Si k … 0, k … 1 y k … 2 S.C.D . [ , -1, ]
b) Si k=0 S .C.I. ( " , 0, )
Si k=1 S.C.I. (-5 " , " , -2 " )
Si k=2 S .C.I. ( " , 0, 0)
Si k … 0, k … 1 y k … 2 S.C.D . (0, 0, 0,)
17. a) Estudia p ara qué v alores de a el siguiente siste ma es co mpatib le:
b) ¿Existe algún valor de a para el que el sistema anterior sea compatible y determinado? Razona tu respuesta.
Solución. *A *=(a-1)3 (a+3).
18. Resuelve el sistema en función de a y luego halla el valor de a para que x+y=1.
19. a) Discute el siste ma: .
b) ¿Para qué valores de a y b el sigu iente sistem a: es equivalente al anterior? Razona tu respuesta.
Solución. a) *A *=0. Como … 0 Y r(A)=2=r(B) ya que . Y S.C.I. 4 soluciones que dependen de 1 parámetro.
b) Solución del primer sistema: x=-2+2" , y= " , z=3" -4.
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Solución del segundo sistema: x=-b-aß, y=ß, z=(1+b)ß+2a.
Igualando soluciones: -2+2 " =-b-aß, " =ß, 3 " -4=(1+b)ß+2a. Resolviendo este sistema por sustitución se obtiene que a=-2 y que b=2. Salvo cuando
" =± .
20. Sean a, b, c tres número s reales positivos. Prueba que el sistema: tiene soluc ión distinta d e la trivial si y
sólo si: .
Solución.
21. Estudia para qu é valores de a y b los siguientes sistemas de ec uaciones son e quivalentes:
Solución. a) Solución de (2) con parámetro z.
b) Solución de (1) con parámetro z.
c) Igualando soluciones: ... a=6 y b=9.
22. Dado el sistema d e ecuacio nes lineales:
a) Demu estra que si a=0, dicho sistema representa u na recta y halla sus ecu aciones param étricas.
b) ¿Para qué valores de a y b representa un plano?
Solución. a) x=(2-b)-b " , y= " , z=b. b) a= , b=1.
23. Discute y resuelve se gún los v alores de a y b, el sistem a:
Solución. *A *=13(a- 1). Si a … 1 S.C.D. (Po r Cramer). Si a=1 y b =3 S.C.I. (9 " -5, " , 8-13" ). Si a=1 y b… 3 S.I.
24. Discute y , cuando sea com patible, resu elve el sigu iente sistem a:
Solución.
25. Estudia e l siguiente sistem a según los valores de los pará metros a y b:
Resuélvelo para algún valor de a y b que lo haga compatible determinado.
Solución.
26. Discute según los valores de los parámetros que se indican el siguiente sistema:
Solución. Si a … c, a … b, b … c : S. C .D .
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a … d y b … d, S.I.
Si a=c ó a=b ó b= c: Si a=d: S.C.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a … d y b=d: Si a=c … b, S.C.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a … d y b=d: Si a=c=b , S.I.
Si a=c ó a=b ó b =c: Si a … d y b=d: Si a=b … c, S.I.
14. OTROS EJERCICIOS.
1. a) Demu stra que si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución , el conjunto de sus soluciones es una
subvariedad afín cuyo subespacio director es el subespacio de soluciones del sistema homógeneo asociado
b) Discute, según los v alores del parám etro m, las posicione s relativas de los planos:
x+ y + z = 20
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14. I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Sist. Ec. Lin. - 14
2x - y + mz = 2
5x - 4y = 3m
c) Calcula la subvariedad afin en que se cortan los tres planos en el caso m=-3.
Solución.
2. Halla una base de L( , , ) siendo (1,2,3), (2,-4,5), (1,10,4).
Solución. Sea la matriz que forman las coordenadas de los vectores.
Transf ormam os la m atriz por G auss en una trian gular: . {(1,2,3), (0,-8,-1)} es la base buscada.
3.
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