Unidad5 sistemas ecuaciones lineales_algebra superior_rosa_depena

Sistemas de
Ecuaciones Lineales
UNIDAD 5
Prof. Rosa De Peña

1
Algebra Superior
Rosa De Peña & Tulio Mateo
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Índice
5.1 Ecuación lineal o de primer grado………………………………………………….2
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial de un sistema
de ecuaciones lineales…………………………………………………………….....3
5.3 Matriz del sistema o matriz de los coeficientes del sistema…………………….4
5.4 Matriz de los términos independientes del sistema…………………………….....4
5.5 Matriz de las incógnitas del sistema………………………………………………...4
5.6 Matriz ampliada…………………………………………………………………..........4
5.7 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales…………………………………..5
5.7.1 Método de Gauss. Forma escalonada de un sistema de ecuaciones
lineales.
5.7.2 Método de Gauss-Jordan. Forma escalonada reducida de un sistema
de ecuaciones lineales.
5.8 Equivalencia de Sistemas……………………………………………………………8
5.9 Teorema de Rouché-Frobenius. Analizar atendiendo al Teorema de
Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones lineales………………………........8
5.10 Casos de compatibilidad e incompatibilidad en la solución de sistemas
de ecuaciones………………………………………………………………….........8
5.11 Variables libres………………………………………………………………………..8
5.12 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos…………………………………8
5.13 Solución en los sistemas homogéneos: Trivial. No trivial………………….........9
5.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando matriz inversa….....15
5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro………….......16
Practica Propuesta No. 1. Unidad 5……………………………………………………..18
Practica Propuesta No. 2. Unidad 5…………………………………………………… .24
Cuestionario Unidad 5…………………………………………………………………….32
Bibliografia Consultada ……………………………………………………………….....33

2
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Unidad 5
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5.1 Ecuación lineal o de primer grado.
Una ecuación lineal o de primer grado se obtiene igualando a cero un polinomio de primer grado de una o
más incógnitas. La forma general de una ecuación lineal, una vez eliminados los denominadores y
reunidos los términos semejantes, y suponiendo que las incógnitas sean: n x , x , x ,..., x 1 2 3 , será:
a x a x a x a x c n n   ...  1 1 2 2 3 3
La ecuación anterior podemos determinarla tomando una matriz fila que identificamos como A y una
matriz columna que identificamos como X. El producto matricial de AX origina un valor c que
genera la ecuación lineal.
Es decir si:   n A a ,a ,a ,...,a 1 2 3  



















n x
x
x
x
X
.
:
3
2
1
Tenemos que : AX= C ecuación lineal.
Un sistema de valores numéricos   n x , x , x ,..., x 1 2 3 que satisfaga a la ecuación anterior se llamará una
solución de dicha ecuación. Una solución consta de “n” valores numéricos.
Caso de una Ecuación con una Incógnita: ax  b .
1) Si a  0 :
Evidentemente
a
b
x  , siendo ésta la solución única, quedando el problema totalmente
resuelto.
2) En cambio, si a  0 :
Se presentan dos subcasos:
a) Si b  0, y puesto que, cualquiera sea el valor de “x”, 0.x  0 .
La ecuación no tiene solución; es contradictoria consigo misma, imposible o
incompatible.

3
Unidad 5
b) Si también b  0
Cualquier valor “x”, sustituido en la ecuación la satisface, de modo que ésta tiene
infinitas soluciones; se dice en éste caso que es indeterminada.
Generalmente, el caso a  0 , en la práctica se presenta bajo la siguiente forma:
Al reducir los términos que contienen la incógnita, se los ve desaparecer en ambos miembros de la
ecuación. Si los términos constantes no desaparecen simultáneamente, tenemos una ecuación
incompatible; si desaparecen también, tenemos una ecuación indeterminada.
5.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales.
En general, un sistema de "m" ecuaciones lineales con "n" incógnitas está dado por:
11 1 12 2 13 3 1 1 a x a x a x ... a x b n n     
21 1 22 2 23 3 2 2 a x a x a x ... a x b n n     
. . . . .
. . . . .
. . . . .
m m m mn n m a x  a x  a x ... a x b 1 1 2 2 3 3
Pueden presentarse diferentes tipos de sistemas de ecuaciones:
a) Que tenga el mismo número de ecuaciones m que de incógnitas n, m n
b) Que tenga mayor número de ecuaciones mque de incógnitas n, m  n
c) Que tenga menor número de ecuaciones mque de incógnitas n, m  n

4
Unidad 5
Un sistema puede ser escrito en forma matricial:
 








 








m m m mn
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
1 2 3
21 22 23 2
11 12 13 1
 








 









 








 








n m b
b
b
x
x
x
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
Si consideramos:
 








 









m m m mn
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
A
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
1 2 3
21 22 23 2
11 12 13 1
 








 









n x
x
x
X
.
.
.
2
1
 








 









m b
b
b
B
.
.
.
2
1
El sistema puede ser escrito como A.X  B donde:
A representa la 5.3 Matriz de los Coeficientes del Sistema, cuyos elementos son los valores ij. a
B representa la 5.4 Matriz de los Términos Independientes del Sistema, cuyos elementos son los
valores j b
X representa la 5.5 Matriz de las Incógnitas del Sistema, cuyos elementos son los valores de i x .
En este sistema los valores ij. a , j b son números reales dados. El problema es encontrar los valores i x
que satisfagan simultáneamente cada una de las "m"ecuaciones.
Una matriz a considerar es la 5.6 Matriz Ampliada A' , la cual formamos agregándole la columna
formada por los valores de los términos independientes "b" a la matriz de los coeficientes del sistema a
considerar.





















m m mn m
n
n
a a a b
a a a b
a a a b
A
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
'
1 2
21 22 2 2
11 12 1 1

5
Unidad 5
5.7 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
5.7.1 Método de Eliminación de Gauss.
En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada, se despeja la última incógnita y
luego se usa la sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.
5.7.2 Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada reducida, obteniéndose los valores de
las incógnitas.
En el proceso puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes:
A) La última ecuación diferente de cero queda x C n  para alguna constante.
Entonces hay una única solución o hay un número infinito de soluciones para el Sistema que
identificamos como Consistente.
B) Si la última ecuación es una ecuación lineal en dos o más de las variables, entonces existe un número
infinito de soluciones. Este caso corresponde a un Sistema Consistente.
C) Si la última ecuación queda 0  C , donde C  0 , entonces no existe solución para el sistema. En este
caso, decimos que el Sistema es Inconsistente.
Ejemplo
Resolver el sistema usando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan
5 3 3 1
3 2 2 1
2 2 8
   
   
  
x y z
x y z
x y z
A) Método de Gauss
Escribimos en forma matricial el sistema:











 























1
1
8
5 3 3
3 2 2
2 1 2
z
y
x
La matriz ampliada A’ la escribimos a continuación y nombramos sus filas:










 
 

5 3 3 1
3 2 2 1
2 1 2 8
3
2
1
F
F
F

6
Unidad 5
Realizamos operaciones elementales con las filas de A' :














 
 
 



5 3 3 1
3 2 2 1
1 4
2
1
1
2
1
3
2
1
F
F
F






















8 21
2
11
0
5 13
2
7
0
1 4
2
1
1
5
3
1 3
1 2
1
F F
F F
F

















 
 











11
42
11
16
0 1
7
26
7
10
0 1
1 4
2
1
1
11
2
7
2
3
2
1
F
F
F


















 


1
77
2
0 0
7
26
7
10
0 1
1 4
2
1
1
2 3
2
1
F F
F
F

















 





0 0 1 4
7
26
7
10
0 1
1 4
2
1
1
2
77
3
2
1
F
F
F
El nuevo sistema es:










 




























4
7
26
4
0 0 1
7
10
0 1
1
2
1
1
z
y
x
De otro modo, el sistema anterior se puede escribir al efectuar el producto matricial como:
1) 4
2
1
  



x  y z
2)
7
26
7
10
  



y  z
3) z  4

7
Unidad 5
Sustituyendo 3) en 2):   2
7
26
7
40
7
26
4
7
10
    



y 
Sustituyendo z, y en 1): 2 4 4 1
2
1
4
2
1
   



   



x  y z
El conjunto solución es: x, y, z 1,2,4
Método de Gauss-Jordan
Usaremos la matriz ampliada escalonada, para continuar con la reducción del sistema:
















 

0 0 1 4
7
26
7
10
0 1
1 4
2
1
1
3
2
1
F
F
F

























0 0 1 4
0 1 0 2
7
15
7
2
1 0
7
10
2
1
3
2 3
1 2
F
F F
F F










 




0 0 1 4
0 1 0 2
7 1 0 0 1
2
3
2
1 3
F
F
F F
El sistema en forma matricial se puede escribir:































4
2
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
z
y
x
Realizando el producto matricial e igualando las dos matrices resultantes, encontramos:
1) x 1
2) y  2
3) z  4
El conjunto solución es: x, y, z 1,2,4

8
Unidad 5
5.8 Equivalencia de Sistemas
Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando toda
solución de un sistema lo es también del otro, es decir cuando tienen las mismas soluciones.
5.9 Teorema de Rouché-Frobenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la
matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual característica o rango. Si difieren la
característica de la matriz de los coeficientes y la característica de la matriz ampliada el sistema es
incompatible.
Si la característica es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y posee
solución única. Si la característica es menor que el número de incógnitas, el sistema es indeterminado. El
sistema posee infinitas soluciones.
En resumen, tenemos:
5.10 A) Caso de Incompatibilidad.
En un sistema a estudiar, si el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de
incógnitas, el sistema no admite solución. Es decir, se dice que el sistema o las ecuaciones que lo forman,
son incompatibles.
B) Caso de Compatibilidad
B.1) Sistemas Determinados. Poseen solución única. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones
independientes es igual al número de incógnitas.
B.2) Sistemas Indeterminados. Poseen infinitas soluciones. Ocurre cuando el número de ecuaciones
independientes, es menor que el número de incógnitas.
En estos casos, se procede tomando un número de variables como parámetros, que identificamos como
variables libres, a las cuales asignamos valores para resolver el sistema. Si llamamos “m” al número de
ecuaciones linealmente independientes del sistema considerado y “n” al número de incógnitas del
sistema (m < n), entonces:
5.11 Número de variables libres del sistema = n-m
La asignación de valores a las variables libres nos permitirá obtener las infinitas soluciones del sistema
que se considera.
5.12 Sistemas Homogéneos. Una ecuación lineal se llama homogénea cuando su término conocido
o independiente es nulo. Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando todas sus
ecuaciones lo son.
Es decir: AX  B es el sistema conocido, cuando B  0 entonces:
AX  0 es un Sistema Homogéneo.

9
Unidad 5
Podemos escribir un sistema homogéneo:
... 0 11 1 12 2 13 3 1      n n a x a x a x a x
... 0 21 1 22 2 23 3 2      n n a x a x a x a x
. . . . .
. . . . .
. . . . .
... 0 1 1 2 2 3 3      m m m mn n a x a x a x a x
Expresando en forma matricial el sistema anterior:
 








 








m m m mn
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
...
. . . . .
. . . . .
. . . . .
...
...
1 2 3
21 22 23 2
11 12 13 1
 








 









 








 








0
.
.
.
0
0
.
.
.
2
1
n x
x
x
5.13 Solución en los sistemas homogéneos.
En este caso, el sistema admite, al menos, una solución. Es evidente que tal solución, siempre existente, es
la ... 0 1 2     n x x x , que por convenir a cualquier sistema homogéneo, se le llama la solución
trivial.
La solución trivial será solución única cuando el número de ecuaciones independientes sea igual al
número de incógnitas. Es decir, la característica de la matriz de los coeficientes sea igual a la
característica de la matriz ampliada. En este caso, el sistema se identifica como un sistema determinado.
Si el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, el sistema de
ecuaciones admite infinitas soluciones. Podemos decir, que es un sistema indeterminado e incluye la
solución trivial.

10
Unidad 5
Ejemplos
Analizar los sistemas usando el Teorema de Rouché - Frobenius. Resolverlos si es posible
A) x  y  5z 1
2x  4y  z  3
4x  2y  7z  3
Escribimos el sistema en forma matricial:
































 
3
3
1
4 2 7
2 4 1
1 1 5
z
y
x
Formamos la matriz ampliada y procedemos a calcular la característica de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada simultáneamente, mediante operaciones elementales:











 
4 2 7 3
2 4 1 3
1 1 5 1
3
2
1
F
F
F












 


0 6 13 1
0 6 11 1
1 1 5 1
4
2
3 1
2 1
1
F F
F F
F












 
 0 0 2 2
0 6 11 1
1 1 5 1
3 2
2
1
F F
F
F














 
 






0 0 1 1
6
1
6
11
0 1
1 1 5 1
2
1
6
1
3
2
1
F
F
F
De la matriz anterior, podemos decir que la matriz A de los coeficientes es:









  

0 0 1
6
11
0 1
1 1 5
A
El rango o característica de A es: rA 3
La matriz A' ampliada es:











 

0 0 1 1
6
1
6
11
0 1
1 1 5 1
A'
El rango o característica de A' es: rA' 3
Como las características de A y A' son iguales, entonces el Sistema es Compatible. Si ocurre
que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el Sistema es Determinado y posee
solución única.

11
Unidad 5
Si escribimos el sistema en forma matricial tenemos:































  
1
6
1
1
0 0 1
6
11
0 1
1 1 5
z
y
x
Efectuando el producto matricial podemos escribir el sistema equivalente:
1) x  y  5z 1
2)
6
1
6
11
 



y  z
3) z  1
En el sistema anterior, de 3): z  1
Sustituyendo z en 2):  1 2
6
11
6
1
6
1
6
11
  



   



y   z
Sustituyendo z, y en 1) x  y  5z 1 2  511 2
El conjunto solución es: x, y, z  2,2,1
B) x  y  2z  5
2x  3y  z  8
Escribimos en forma matricial el sistema: 
















 
 8
5
2 3 1
1 1 2
z
y
x
Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar el rango o característica de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada.




2 3 1 8
1 1 2 5
2
1
F
F
 



 0 1  5  2
1 1 2 5
22 1
1
F F
F
La matriz A de los coeficientes es: 





0 1 5
1 1 2
A
El rango o característica de A es: 2

12
Unidad 5
La matriz A' ampliada es: 



 

0 1 5 2
1 1 2 5
A'
El rango o característica de A' es: rA'  2
Como las características de A y A' son iguales , entonces el Sistema es Compatible. Al ocurrir
que el número de ecuaciones linealmente independientes (rangos de las dos matrices es dos (2) es menor
que el número de incógnitas (3), entonces el Sistema es Indeterminado. Posee infinitas soluciones.
Escribiendo el sistema en forma matricial: 



















 2
5
0 1 5
1 1 2
z
y
x
Realizando el producto matricial, en el sistema tenemos:
1) x  y  2z  5
2) y  5z  2
Como tenemos dos 2 ecuaciones m = 2 y tres 3 incógnitas n=3 entonces:
Número de variables libres NVL es: NVL  n  m 3  2 1
Luego el sistema lo expresamos como:
1) x  y  5  2z
2) y  2  5z
Este sistema posee infinitas soluciones, para determinar una solución asignamos un valor a la variable
libre “z”, de este modo:
Para : z  0
Sustituyendo en 2) : y  2  5z  2  5(0)  2
Sustituyendo y en 1): x  5  2z  y  5  2(0)  (2)  5  2  7
Una solución es: x, y, z 7,2,0
Para : z  8
Sustituyendo en 2): y  2  5z  2  5(8)  38
Sustituyendo y en 1: x  5  2z  y  5  2(8)  38  5 16  38  49
Otra solución es: x, y, z  49,38,8
Las dos soluciones anteriores forman parte de las infinitas soluciones del sistema dado.

13
Unidad 5
C) x  y  z  0
2x  4y  3z  0
 5x 13y 10z  0
Escribimos el sistema en forma matricial:































 


0
0
0
5 13 10
2 4 3
1 1 1
z
y
x
Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar la característica o rango de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada.










 


5 13 10 0
2 4 3 0
1 1 1 0
3
2
1
F
F
F
















0 18 15 0
0 6 5 0
1 1 1 0
5
2
1 3
2 1
1
F F
F F
F


















0 0 0 0
0 6 5 0
1 1 1 0
3
6
1
2 3
2
1
F F
F
F















0 0 0 0
0
6
5
0 1
1 1 1 0
3
2
1
F
F
F

Escribiendo el sistema en forma matricial:

































0
0
0
0 0 0
6
5
0 1
1 1 1
z
y
x
La matriz A de los coeficientes es:













0 0 0
6
5
0 1
1 1 1
A
El rango de A es dos: rA 2
La matriz ampliada A' es:













0 0 0 0
0
6
5
0 1
1 1 1 0
A'
El rango de A' es dos: rA' 2
Este sistema es un Sistema Homogéneo.
Como rA rA' el Sistema es Compatible.

14
Unidad 5

























0
0
6
5
0 1
1 1 1
z
y
x
Realizando el producto matricial, el sistema se puede escribir:
1) x  y  z  0
2) 0
6
5
 



y  z
Como tenemos dos ecuaciones m=2; y tres incógnitas n=3, el Sistema es Indeterminado. Posee
Infinitas Soluciones.
Número de variables libres NVL es: NVL  n  m 3  2 1
Para determinar una solución del sistema fijamos un valor a una variable. De este modo,
Cuando: z  0
En 2) : 0 0
6
5
6
5
 



 



y  z
En 1) : x  y  z  0  0  0
Un conjunto solución es: x, y, z 0,0,0 Esta solución se conoce como Solución Trivial (siempre
estará presente en un sistema homogéneo).
Cuando: z  6
En 2) : 6 5
6
5
6
5
 



 



y  z
En 1) : x  y  z  5  6 1
Un conjunto solución es: x, y, z 1,5,6 Esta solución se conoce como Solución No Trivial en el
sistema homogéneo dado.

15
Unidad 5
5.14 Resolución de un Sistema de Ecuaciones Lineales usando Matriz Inversa
En un sistema A.X  B si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene solución
única. Esta solución única está dada por:
X A .B 1 
Ejemplo.
Resolver el sistema A.X  B usando la inversa de matrices.
Sea el sistema dado:
2 1 1 2 x  x 
3 4 0 1 2 x  x 
Expresamos en forma matricial el sistema conocido: 



 







0
1
3 4
1 2
2
1
x
x
Identificamos la matriz de los coeficientes (A), la matriz de las incógnitas (X) y la matriz de los términos
independientes (B):





3 4
1 2
A 




2
1
x
x
X 




0
1
B
La solución del sistema dado la tenemos cuando determinemos: 




2
1
x
x
X
Con este propósito procedemos a buscar la inversa de A, mediante el uso de las operaciones
elementales, para ello formamos la matríz aumentada[A I]:




3 4 0 1
1 2 1 0
2
1
F
F
 



 0 2 0 1
1 2 1 0
3 1 2
1
F F
F
















2
1
2
3
0 1
1 0 2 1
2
1
2
1 2
F
F F
La inversa es :










 
2
1
2
3
2 1
1 A
Resolviendo el producto X A .B 1  tendremos la solución del sistema considerado.
   
    

















 













  



 
 













 



2
3
2
0
2
3
2 0
0
2
1
1
2
3
2 1 1 0
0
1
2
1
2
3
2 1
2
1
x
x









 



2
3
2
2
1
x
x
El conjunto solución es:   



 
2
3
, 2, 1 2 x x

16
Unidad 5
5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.
Determine el valor del parámetro para que el sistema sea:
A) Consistente - Determinado.
B) Inconsistente
Sea el sistema a considerar:
x  y  z 1
3x  y  z 1
6x  y  z  5a  6
2 x  y  z  a
Escribimos en forma matricial el sistema:






































 

2
5 6
1
1
1 1 1
6 1 1
3 1 1
1 1 1
a
a
z
y
x
Formamos la matriz ampliada para determinar el rango o característica de la matriz
de los coeficientes y de la matriz ampliada.
 





 






 
 

2
4
3
2
1
1 1 1
6 1 1 5 6
3 1 1 1
1 1 1 1
a
a
F
F
F
F

 





 







 




0 0 0 1
0 5 5 5
0 2 4 2
1 1 1 1
6
3
2
4 1
3 1
2 1
1
a
a
F F
F F
F F
F

 
 
 





 







 

0 0 0 1
0 1 1
0 1 2 1
1 1 1 1
2
4
5 3
1
2 2
1
1
a
a
F
F
F
F

 





 







 


0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 2 1
1 1 1 1
2
4
3 2
2
1
a
a
F
F F
F
F

17
Unidad 5
Escribimos el sistema equivalente en forma matricial:







































2
1
1
1
0 0 0
0 0 1
0 1 2
1 1 1
a
a
z
y
x
La matriz A de los coeficientes es:















0 0 0
0 0 1
0 1 2
1 1 1
A
El rango o característica de la matriz A es: rA 3
La matriz A' o matriz ampliada es:














 


0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 2 1
1 1 1 1
'
2 a
a
A
Caso A) Sistema Consistente – Determinado.
Para que el sistema posea solución la característica de A' debe ser igual a tres (3)
para que eso suceda :
1 0 2 a    a  1
Caso B) Sistema Inconsistente
Cuando a  1 el sistema no tiene solución, porque rA rA'
En este caso decimos que el sistema es Inconsistente o incompatible.

18
Unidad 5
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1. UNIDAD 5
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. Completar el cuadro siguiente a partir de los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema Dado
Sistema
dado en
forma
matricial
Matriz de
coeficientes
de las
incógnitas
Matriz de las
incógnitas
Matriz de los
términos
independientes
Matriz
ampliada.
1)
2 3 3 3
3 5 4 5
2 3
  
  
  
x y z
x y z
x y z
2)
2 6 10 4
3 5 2
  
  
x y z
x y z
3)
8 3 5
9 3 4
4 7 2 24
5 6 10
  
  
  
   
x y z
x y z
x y z
x y z
4)
6 3 0
4 5 0
0
  
  
  
x y z
x y z
x y z
5)
2 5 4 3 0
0
0
    
    
    
x y z w u
x y z w u
x y z w u

19
Algebra Superior
Unidad 5
II. En los siguientes sistemas :
A) Exprese en forma matricial
B) Resuelva usando Gauss.
C) Seleccione tres sistemas y resuelva usando Gauss-Jordan
1) 2) 3) 3푥−4푦+ 푧 =42푥+푦−5푧=8 푥+2푦+3푧 =14 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=3 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=11
4) 5) 6) 2푥+4푦+6푧=184푥+5푦+6푧=243푥+푦−2푧=4 2푥+4푦+6푧=184푥+5푦+6푧=242푥+7푦+12푧=30 3푥+6푦−6푧=92푥−5푦+4푧=6−푥+16푦−14푧=−3
7) 8) 9) 푥+푦−푧=74푥−푦+5푧=46푥+푦+3푧=20 푥−2푦+3푧=114푥+푦−푧=42푥−푦+3푧=10 푥+2푦−푧=43푥+4푦−2푧=7
10) 11) 12) 푥+3푦−5푧+푤=42푥+5푦−2푧+4푤=6 푥+푦−푧=74푥−푦+5푧=42푥+2푦−3푧=0 3푥−4푦− 푧+푤= 36푥+6푦+3푧−2푤=5 9푥−8푦−5푧+2푤= 26푥−4푦−4푧+푤=1
13) 14) 15) 푥 + 푦− 푧 = 04푥−푦+5푧=06푥+푦+3푧=0 2푥+4푦+6푧=04푥+5푦+6푧=03푥+푦−2푧 =0 푥 −2푦 − 푧 =03푥−3푦+2푧 =0−푥−11푦+6푧=0
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna
Sistema Dado
Forma escalonada del sistema de ecuaciones lineales.
Sistema Equivalente
Solución del sistema
1)
2)

20
Algebra Superior
Unidad 5
III. En cada uno de los sistemas dados, aplique el Teorema de Rouché-Frobenius. Identifique si los sistemas son compatibles o no. De su solución si es compatible determinado y una solución si posee infinitas soluciones.
1) 2) 3) 3푥−4푦+ 푧 =42푥+푦−5푧=8 푥+2푦+3푧 =14 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=3 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=11
4) 5) 6) 5푥+3푦=13푥−4푦=188푥+7푦 =−5 3푥+2푦+푧=43푥+푦−3푧=−3 푥+푦+4푧=9 5푥+6푦−푧=−104푥−7푦+2푧=249푥+푦−3푧=48x+3y−z=5
7) 8) 9) 3푥−4푦− 푧+푤= 36푥+6푦+3푧−2푤=5 9푥−8푦−5푧+2푤= 26푥−4푦−4푧+푤=1 푥+푦−2 푧+4푤= 102푥+2푦+3푧−푤=−3 3푥+3푦+푧+2푤= 64푥+4푦−푧+6푤=16 푥+2푦+3푧+푢+3푤= −52푥−7푦+6푧+4푢−5푤=32푥+4푦−푧−3푢+5푤=3
10) 11) 12) 푥+푦− 푧 =02푥+3푦+2푧=1−4푥+푦+2푧 =2 푥+푦+ 푧 =0 푥+2푦+3푧=0−푥 +6푧 =0 푥−푦+ 푧 =−22푥+푦−푧=82푥+3푦+3푧 =−3
13) 14) 15) 4푥−2푦+ 푧 =63푥−푦+5푧=45푥−3푦−3푧 =5 3푥+2푦+ 푧 =42푥+푦−3푧=−3 푥+푦+4푧 =9 4푥−푦+4 푧 =22푥+3푦+5푧=27푥−2푦+6푧 =5
16) 17) 18) 푥+푦+푧−푤= 82푥−3푦−푧+5푤=−13 −푥+6푦+2푧−푤= 1121푥+4푦−5푧−2푤=0 푥+푦−2푧+4푤= 102푥+2푦+3푧−푤=−3 3푥+3푦+푧+2푤= 64푥+4푦−푧+6푤=16 −3푥−2푦+4푧−2푤= −36푥+4푦−8푧+4푤=6 −2푥+3푦−푧+5푤=18푥+푦−7푧−푤=5

21
Unidad 5
19) 20) 21)
2 3 3 3
3 5 4 5
2 3
  
  
  
x y z
x y z
x y z
2 3 10
4 4
2 3 11
  
  
  
x y z
x y z
x y z
5 49
2 3 13
2 5 6
  
  
   
x y z
x y z
x y z
22) 23) 24)
6 4 4 1
9 8 5 2 2
6 6 3 2 5
3 4 3
   
   
   
   
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
8 3 5
9 3 4
4 7 2 24
5 6 10
  
  
  
   
x y z
x y z
x y z
x y z
2 4 3 5 3
2 7 6 4 5 3
2 3 3 5
    
    
     
x y z u w
x y z u w
x y z u w
25) 26) 27)
2x  y  5z  4
2 6 10 4
3 5 2
  
  
x y z
x y z
2 3 3 3
3 5 4 5
2 3
  
  
  
x y z
x y z
x y z
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.
Sistema Dado Forma escalonada del
sistema de ecuaciones
lineales.
Sistema Equivalente Solución
del
sistema
1)
2)
3)
4)

22
Algebra Superior
Unidad 5
IV. ¿En cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos se presentan soluciones no triviales? Indique el caso en donde sólo se posea solución trivial.
1) 2) 3) 3푥−2푦+4푧=02푥 +푦−3푧 =0 푥−3푦+7푧 = 0 푥 + 푦− 푧 = 04푥−푦+5푧=06푥+푦+3푧=0 2푥+4푦+6푧=04푥+5푦+6푧=03푥+푦−2푧 =0
4) 5) 6) 푥 −2푦 − 푧 =03푥−3푦+2푧 =0−푥−11푦+6푧=0 5푥 −6푦 − 4푧 =0 푥 + 2푦+ 4푧 =03푥 +2푦 +6푧 =0 푥+ 푦 + 푧 +푤+푢=0 푥−푦+푧−푤+푢 =02푥+5푦−4푧−3푤−푢=0
7) 8) 푥 + 푦− 푧 = 02푥−4푦+3푧=0−5푥+13푦−10푧=0 푥 + 푦− 푧 = 04푥−2푦+7푧=0
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.
Sistema Dado
Forma escalonada del sistema de ecuaciones lineales.
Sistema Equivalente
Solución del sistema
1)
2)
3)
4)

23
Unidad 5
V. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales mediante:
a) Matriz inversa.
b) Eliminación de Gauss.
c) Gauss-Jordan.
1)
2 3 10
4 4
2 3 11
  
  
  
x y z
x y z
x y z
2)
5 49
2 3 13
2 5 6
  
  
   
x y z
x y z
x y z
3)
6 4 4 1
9 8 5 2 2
6 6 3 2 5
3 4 3
   
   
   
   
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
VI. Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
VII. Determine el valor del parámetro k de modo que el sistema dado sea
consistente determinado
푥 − 푦 + 푧 = 6
−3푥 + 2푦 + 푘푧 = −10
2푥 + 푦 − 3푧 = −9































7
4
5
1 2 4
1 3 3
1 2 3
z
y
x

24
Algebra Superior
Unidad 5
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 5 Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se plantea en cada caso.
1. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , A corresponde a la matriz: a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
2. Una sistema es homogéneo cuando: a)El resultado es un numero entero b) Termino independiente es distinto de cero c) Termino independiente es cero d) Posee infinitas soluciones
3. Un sistema homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene : a) Solución No trivial b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
4. Un sistema homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de incógnitas tiene : a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
5. Un sistema no homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene : a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
6. Un sistema no homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de incógnitas tiene : a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
7. ¿Cómo se llama el método que permite reducir la matriz ampliada a la forma escalonada : a) Gauss-Jordan b) Rouche Frobenius c) Cramer d) Gauss
8. Un sistema homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee: a) A = 1 b) B = 0 c) B≠0 d) Ninguna Anterior

25
Algebra Superior
Unidad 5
9. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , X corresponde a la matriz: a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
10. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , B corresponde a la matriz: a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
11. Un sistema no homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee: a) A = 1 b) B = 0 c) B≠0 d) Ninguna Anterior 12. un sistema de ecuaciones posee solución única si: a) Número de ecuaciones es igual al número de incógnitas b) Número de ecuaciones difiere del número de incógnitas c) Número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas d) Ninguna Anterior
13. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de Ecuaciones lineales tenga solución según el Teorema de Rouche –Frobenius es que:
a) Tenga solución única b) La matriz ampliada y la de los coeficientes tengan igual rango c) La matriz ampliada y la de los coeficientes difieran en el rango d) Posea infinitas soluciones
14. El método que reduce la matriz ampliada a la forma escalonada reducida es: a) Teorema de Rouche Frobenius b) Equivalencia de Sistemas c) Gauss-Jordan d) Gauss
15. La matriz que formamos agregando la columna formada por los términos independientes a la matriz de los coeficientes del sistema es la matriz: a) Adjunta b) Cofactores c) Coeficientes del sistema d) Ampliada
16. ¿Cuál es la solución del sistema 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 =2 3푥+3푦−2푧=7
a) (x, y ,z) = ( 1, 1, 1) b) (x, y ,z) = ( 7/5, 6/5, 2/5) c) (x, y ,z) = ( 1/5, 6/5, 3/5) d) (x, y ,z) = ( 7/5, 1/4, 2/5)
17. ¿ Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 = 2 3푥+3푦−2푧=7
a) [ 1231−1311−2] b) [ 1112−1133−2] c) [ 3112−1173−2] d) [ 13122137−2]

26
Algebra Superior
Unidad 5
18. ¿Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 푥−푦−5푧 = 1 2푥+4푦+푧 = 3 4푥+2푦−7푧=3
a) [ 1−1−534132−7] b) [ 124−142−51−7] c) [ 3112−1173−2] d) [ 1−1−524142−7]
19. Un sistema de valores numéricos (푥1,푥2,푥3,…,푥푛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama: a) Sistema Determinado b) Sistema homogéneo c) Matriz ampliada d) Solución del sistema
20. El rango o característica de la matriz [ 1−1−50111/6001] es:
a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna Anterior
21. El rango o característica de la matriz [ 1−1−50111/6000] es:
22. El rango o característica de la matriz [ 1−1−5000000] es:
23. Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando:
a) Difieren en las soluciones b) Toda solución de uno es también solución del otro c) Toda solución de uno no es también solución del otro d) Ninguna anterior
24. En un sistema AX=B Si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene: a) Varias soluciones b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior 25. La solución trivial existe en un sistema homogéneo cuando el número de ecuaciones independientes es: a)Al termino independiente b) Igual al número de incógnitas c) a y b son correctas d) Mayor al número de incógnitas 26. Un sistema de valores numéricos (푥1,푥2,푥3,…,푥푛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama: a) Ecuación b) Incógnita c) Solución d) Todas las anteriores son verdaderas

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Algebra Superior
Unidad 5
27. ¿Cuándo un sistema de Ecuaciones lineales es homogéneo: a) Cuando sus términos poseen infinitas soluciones b) Al sumar una matriz tenemos una variable c) Cuando su término independiente es nulo d) Ninguna anterior
28. ¿Qué sistema posee solución única no trivial? a) Indeterminado b) Determina do c) Homogéneo d) Ninguna anterior
29. ¿Cuál es la matriz ampliada de 2푥−푦+2푧 = 8 3푥+2푦−2푧 = −1 5푥+3푦−3푧 = −1
a) [ 2−1232−253−3] b) [ 2−1232−253−3 푥 푦 푧 ] 푐) [ 2−1232−253−3 −1−18] d) [ 2−1232−253−3 8−1−1]
30. ¿Cuál es rango de la matriz 2푥−푦+2푧 = 8 3푥+2푦−2푧 = −1 5푥+푦+푧 = 7
a) 2 c) 3 d) 1 d) Ninguna anterior
31. ¿Cuál es rango de la matriz 푥−푦−5푧 = 1 2푥+4푦+푧 = 3 3푥+3푦−4푧=4
a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior
32. ¿Cuál es rango de la matriz 푥− 푦− 5푧 = 1 − 2푥+2푦+10푧 = −2 3푥−3푦− 15푧 = 3
33. Si en un Sistema de Ecuaciones Lineales el conjunto solución (x, y, z) es (0,0,0) su solución se conoce como una solución: a) Inversa b) Compatible c) No trivial d) Trivial
34. El número de variables libres en un sistema de ecuaciones lineales es igual a: a) Número de ecuaciones más el número de incógnitas b) Número de ecuaciones menos el número de incógnitas c) Número de ecuaciones por el número de incógnitas d) Numero de incógnitas menos el número de ecuaciones

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Algebra Superior
Unidad 5
35. ¿Cuál es rango de la matriz 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 =2 3푥+3푦−2푧=7
36. ¿Cuál es la matriz traspuesta de la matriz de los coeficientes de: 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 =2 3푥+3푦−2푧=7
a) [ 1112−1133−2] b) [ 3112−1173−2] c) [ 1231−1311−2] d) Ninguna anterior
37. ¿Cuál es la matriz traspuesta de los términos independiente en el sistema : 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 =2 3푥+3푦−2푧=7
a) [327] b) [ 327] c) [ 푥 푦 푧 ] d) Ninguna anterior
38. ¿Cuál es la matriz traspuesta de las incógnitas en el sistema : 푥+푦+푧 =3 2푥−푦+푧 =2 3푥+3푦−2푧=7
a) [ 327] b) [ 푥 푦 푧 ] c)[푥푦푧] d) Ninguna anterior
39. La solución trivial será solución única en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuando el número de ecuaciones independientes sea igual a: a) Número de ecuaciones b) Número de incógnitas c) Número de variables libres d) Ninguna Anterior
40. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 3x – 4y + z = 4 2x + y – 5z = 8 x + 2y + 3z = 14 a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
41. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10 x -2y + z = 1 5x - y - 4z = 3 a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior

29
Unidad 5
42. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10
x -2y + z = 1
5x - y - 4z = 11
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
43. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado x + 3y –5z + w = 4
2x +5y –2z + 4w = 6
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
44. ¿Cuál es la solución del sistema x + y – z = 7
4x – y + 5z = 4
2x +2y –3z = 0
a) ( x, y, z ) = ( -5 , 15,7 ) b) ( x, y, z) = ( 1 , 30,14 ) c) ( x, y, z) = (-9 , 30 , 1 ) d) (x , y, z) = (-9 ,30 , 14 )
2x +5y –2z + 4w = 6
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
2x +5y –2z + 4w = 0
47. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado si z= w = 0
x + 3y –5z + w = 0
2x +5y –2z + 4w = 0
48. ¿Cómo se expresa El sistema dado en forma matricial
2 6 10 4
3 5 2
  
  
x y z
x y z
a) [
1 −3
2 −6
] [
푥
푦] = [
2 −5푧
4 −10푧
] b) [
1 −3
2 −6
] [
푥
푦] = [
2 −5푧
4 −10푧
]
c) [
1 −3
2 −6
5
10
−2
−4
] [
푥
푦
푧
] = [
0
0
] d) [
1 −3
2 −6
5
10
] [
푥
푦
푧
] = [
2
4
]
49. La matriz conocida 




7 8
2 4
A posee:
a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero

30
Unidad 5




4 8
2 4
A posee:
a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero




7 8
2 4
A posee:
a) Rango tres b) Rango dos c) Inversa nula d) Determinante cero
52. Según Rouche Frobenius la ecuación formada por 2x  y  5z  4 posee:
a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
53. Según Rouche Frobenius el sistema formada por las ecuaciones
2 6 10 4
3 5 2
  
  
x y z
x y z
posee:
a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
54. Al resolver el sistema
2 3 10
4 4
2 3 11
  
  
  
x y z
x y z
x y z mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que
obtenemos son:
a) Diferentes b) Semejantes c) Idénticas d) Ninguna anterior
55. Al resolver el sistema
5 49
2 3 13
2 5 6
  
  
   
x y z
x y z
x y z
mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que
obtenemos son:
a) Idénticas b) Semejantes c) Diferentes d) Ninguna anterior
56. ¿Cuál es rango de la matriz
5 49
2 3 13
2 5 6
  
  
   
x y z
x y z
x y z
57. ¿Cuál es rango de la matriz
2 3 10
4 4
2 3 11
  
  
  
x y z
x y z
x y z
58. Si decimos que dos sistemas poseen la misma solución entonces son:
a) Mónicos b) Equivalentes c) Homogéneos d) Ninguna anterior

31
Algebra Superior
Unidad 5
59. Si decimos que dos sistemas poseen solución trivial entonces son: a) Mónicos b) Equivalentes c) No Homogéneos d) Ninguna anterior
60. Si decimos que dos sistemas no poseen solución trivial entonces son: a) Mónicos b) Homogéneos c) No Homogéneos d) Ninguna anterior

32
Algebra Superior
Unidad 5
Cuestionario No. 5
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que corresponde a cada una.
1. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que no es homogéneo?
2. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que es homogéneo?
3. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representan: A, X,B?
4. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representa : A' , y cómo se forma?
5. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es consistente o compatible?
6. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente o incompatible?
7. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss?
8. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss-Jordan?
9. Cómo se identifican las soluciones en los sistemas homogéneos?
10. Para qué se utiliza el Teorema de Rouché Frobenius y en qué se fundamenta su uso?
11. Cuando decimos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes?
12. Ponga algún ejemplo sobre la aplicación o uso de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

33
Algebra Superior
Unidad 5
Bibliografía Consultada
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).
Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.
Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana.
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.
Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.
Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson.
Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.
Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.
Notas de Cátedra de:
Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.
Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.
Direcciones Electrónicas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_lineales

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