Proyecto de Matematicas-Ecuaciones lineales-Universidad de Guayaquil-Facultad de Ing. Industrial Gracias a la Licda. Johanna Galarza por haber compartido sus conociemitos en esta Nivelacion.

1. Facultad de Ingeniería Industrial
Carrera: Licenciatura en Sistemas de Información
Tema: “SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES”
Materia: Matemáticas
Integrantes:
 María Fernanda Chiquito Barreto
 Cinthia Hernández
 Ingrid Franco Rivera
 Jefferson Palacios
Grupo de Nivelación Nº 19 Nocturno
Profesora: Lic. Johana Galarza

2. INDICE:
1.- Introducción
2.- Objetivo General
3.- Objetivos Específicos
4.- Elaboración del Proyecto
5.- Conclusiones
6.- Recomendaciones
7.- Anexos
8.- Bibliografía

3. 1.- INTRODUCCION:
La Universidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniería Industrial, dentro su
programa de enseñanza ha visto conveniente la realización del presente
trabajo con la intención de brindar a los estudiantes una ayuda encaminada a
facilitar la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO Y SEGUNDO GRADO. Esperando que sea aplicado todos los
consejos y pasos para un correcto aprendizaje.
Una sólida formación en Matemáticas contribuye a reflexionar sobre los
distintos aspectos de una situación, a afirmar el espíritu de análisis y a
reforzar el poder de síntesis. De esta forma los adolescentes adquieren una
estructura de pensamiento que les permite distinguir, de forma lógica y
razonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las causas, los
medios de los objetivos, etc.

4. 2.- OBJETIVO GENERAL
Diseñar una estrategia de enseñanza – aprendizaje a los estudiantes de la
Universidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniera Industrial, que permita
desarrollar habilidades en la formulación y solución de sistemas de
ecuaciones lineales, acordes con la exigencia del nivel.
3.- OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Desarrollar la actividad mental y favorecer así la imaginación, la
intuición y la invención creadora.
 Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas
adquiridas a situaciones de la vida diaria.
 Usar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse
de manera clara, concisa, precisa y rigurosa.
 Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos
(calculadoras, programas informáticos), de forma que supongan una
ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de las
Matemáticas
 Adquirir hábitos racionales de trabajo, tanto individual como en equipo,
y elaborar estrategias para analizar situaciones, recoger datos,
organizarlos, tratarlos y resolver problemas.

5. 4.- ELABORACIÓN DEL PROYECTO
Ecuaciones Lineales
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni
multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es
una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan
una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su
representación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas
representaciones puede observarse en la figura:
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es
decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales.
Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

6. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de
la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan
incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos
independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar
simplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugar
de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan
TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas
soluciones.
TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números
reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que
tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:
* INCOMPATIBLES (No tienen solución)→ S.I.
*COMPATIBLES Tienen solución

7. Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y
2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:
* Reducción
Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las
incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una
ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).
Resumamos los pasos que debemos dar:
1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que
convenga).
2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
3º. Se resuelve la ecuación resultante.
4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
5º. Se obtiene, así, la solución.
En los que ya no nos entretendremos.
Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente
como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la
posición de 2 rectas en el plano
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar.
Resolver e interpretar el sistema:
x + 2y = −3
−2x + y = 1
Por reducción:

8. 2x+4y=-6
-2x+ y=1
5y=-5
De donde y = -1 y sustituyendo x + 2· (-1) = -3, x = -1.
Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el
sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,
precisamente el (-1,-1):
* Igualación
Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones
e igualar las expresiones resultantes.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una
incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las
que aparecía despejara la otra incógnita.
5º. Se ha obtenido así la solución.
Resolver e interpretar el sistema:
x + 2y = −3

9. −2x − 4y = 5
Por igualación:
x = −3 − 2y
x = 5+4y
−2
lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema
incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente:

10. * Sustitución
Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar
una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo
una ecuación con una sola incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la
incógnita despejada.
5º. Se ha obtenido, así, la solución.
Resolver e interpretar el sistema:
x + 2y = −3
3x + 6y = −9
Por sustitución:
Como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, por
tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene
infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la
misma.

11. Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.
Así si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos
la solución como:
x = −2λ − 3
y = λ
y como λ puede ser cualquier número real, hay infinitas soluciones. Estos son
los ´únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y
su interpretación geométrica
Discusión de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,
No estamos ante un sólo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de
a, y cada sistema ser a distinto en función del valor que tome dicha letra
(llamada parámetro). Para estudiarlo, se resuelve el sistema como

12. habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por
ejemplo, por reducción:
Por tanto, x(6 +a) = 23. Entonces, si 6 +a = 0 no podremos despejar x, es
decir si a = −6, obtenemos una ecuación del tipo 0 = 23, es decir, imposible
Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.
En cualquier otro caso, podemos despejar y se puede sacar y
sustituyendo, por tanto, si a −6, el sistema es compatible determinado.
Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones
Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas
cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con
3, 4, 5 o más ecuaciones.
En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos
reseñados anteriormente.
Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno
de los tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene
aplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.
Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz
ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones
tengamos.
Analizaremos tan sólo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.

13. La matriz ampliada genérica es:
Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones
elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada
siguiente:
Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la
matriz (ecuaciones del sistema) eran:
T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.
Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitas
se utilizaran el ya conocido método de Gauss.
Ahora partiremos de la matriz ampliada:

14. Para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:
Utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en
ocasiones anteriores.
Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del número de
soluciones son los reseñados en apartados anteriores. Al aplicar el método de
Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:
* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema
es compatible determinado, tiene solución ´única.
* Si se obtiene una o más filas en las que todos los elementos sean cero, el
sistema tiene infinitas soluciones, y hay que despejar una o varias incógnitas
en función de otras, es un sistema compatible indeterminado.
* Si se obtiene una o más filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al
término independiente, que es distinto de cero, digamos k, entonces como la
fila en cuestión correspondería a una ecuación del tipo 0 = k, lo que es
imposible, el sistema no tiene solución y por tanto es incompatible.

15. 5.- CONCLUSIONES
 Las consultas, a nivel nacional, enriquecen y fortalecen la veracidad
del trabajo presentado, confirmando bajos niveles de equivocación y la
acción participativa, cooperativa y comprometida de la sociedad civil.
 Se ha analizado a profundidad y objetivamente, las fuentes
curriculares y libros de texto al reconocer sus beneficios, bondades,
fortalezas y debilidades para poder ofrecer una crítica constructiva.
 El proyecto Aula supone un cambio importante en la forma de
abordar la enseñanza y sus conclusiones pueden ser aplicadas en
cualquier entorno educativo, siempre que cumpla las condiciones
mínimas ya establecidas en lo que se refiere a condiciones
materiales.
 No solo nos ayuda a nosotros en nuestro aprendizaje, sino también a
los futuros estudiantes de Nivelación, para su reforzamiento.
 Todos los temas son importantes y aplicables en nuestra vida diaria, y
el buen conocimiento de estos nos facilitan los diversos problemas que
constantemente resolvemos en nuestro día a día.

16. 6.- RECOMENDACIONES
 Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto
externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta
llegar a la expresión ax+by=c.
 Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos
aprendidos:
 El método de sustitución es especialmente útil cuando una
de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las
ecuaciones.
 El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando
una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos
ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.
 Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos
conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción
para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es
especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas
son números grandes.

17. 7.- ANEXOS

19. 8.- BIBLIOGRAFIA
 http://www.stecyl.es/informes/curriculoeso/12curr
cyl_Matematicas.pdf
 http://www.bdigital.unal.edu.co/11768/1/43277729.
2013.pdf

20.  https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacio
nes_lineales
 http://algebralinealpolitecnica.blogspot.com/2010/
06/sistemas-de-ecuaciones-lineales.html
 http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PD
F/T07.pdf