2. •
•
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto
de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores son no nulos y cero si
uno de los dos vectores es nulo.
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma
bilineal, hermética y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática
definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:
donde (V); es un espacio vectorial y (K) es el cuerpo sobre el que está definido (V);. La función
(que toma como argumentos dos elementos de (V); , y devuelve un elemento del cuerpo (K)
debe satisfacer las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
Linealidad por la izquierda:
derecha:
Hermiticidad:
Definida positiva:
y linealidad conjugada por la
y
si y sólo si x = 0

3. Donde
son vectores de V
representan escalares del cuerpo
y
el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g, R), la propiedad de ser sesquilineal se
convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por:
es
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o
dotado de un producto escalar se denomina
espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un
espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá
que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es
finita) se dirá que es un espacio unitario.

4. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo
que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y
por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

5. Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del
vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será.
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse
como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores:
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente
entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la multiplicación de
un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

Vectores ortogonales:
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el
producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

6. ya que el

Vectores paralelos o en una misma dirección:
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes
(0 grados) o de π radianes (180 grados).
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el
producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

1)
2)
3)
Propiedades del producto escalar:
Conmutativa:
Distributiva:
Asociatividad:
respecto a la suma vectorial.
respecto al producto por un escalar m.

7. Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares,
tomando la base canónica en
formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma: