Cálculo integral en varias variables

UNIDAD 5: INTEGRACION
CALCULO VECTORIAL 1
ÍNDICE
UNIDAD 5 INTEGRACIÓN
Objetivo………………………………………………………………………………..………2
5.1 Introducción a la integración……………………………………………………………….3
5.2 Integral de línea…………………………………………………………………..…………5
5.3 Integrales iteradas dobles y triples………………………………………………………...14
5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema……………………………………………..21
5.5 Integral doble en coordenadas polares…………………………………………………….30
5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas……………………………………………………….35
5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas………42
Conclusión…………………………………………………………………..……………….44
Anexo 1: Cuestionario…………………………………………………………………..…….45
Anexo 2: Problemario…………………………………………………………………..……..49
Anexo 3: Sopa de letras…………………………………………………………………..…...53
Glosario…………………………………………………………………..……………………55
Bibliografía…………………………………………………………………..………………..58

CALCULO VECTORIAL 2
OBJETIVO
El objetivo de la unidad es estudiar las integrales de funciones del tipo 𝑓 = 𝑈 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ
sobre algunos subconjuntos D de U, así como algunas de las aplicaciones de estas integrales
en problemas de geometría (cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos en el plano y en el
espacio).
 Objetivo general:
Manejar y dominar los métodos y conceptos básicos de la integración en cálculo vectorial
y visualizar a este campo una herramienta que le permita dar un esquema lógico de
razonamiento a nivel vectorial, a través del estudio de los conceptos de integrabilidad para
campos vectoriales.
 Objetivos específicos:
 Proporcionar conceptos a cálculo integral para funciones de varias variables.
 Proporcionar conceptos de integrales dobles, triples, de línea.
 Utilizar los conceptos del cálculo integral en varias variables para modelar e interpretar
problemas.
 Plantear y resolver problemas relacionados con cálculo integral en varias variables.

CALCULO VECTORIAL 3
INTRODUCCIÓN
En esta unidad estudiaremos el cálculo integral de las funciones de varias variables. A
manera de introducción, recordemos que una de las ideas que acompañaron al cálculo integral
de funciones de una sola variable 𝑓: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ fue la del "área bajo la curva". En efecto, en
el primer curso de cálculo se vio que" en determinadas circunstancias", la integral de la
función 𝑦 = 𝑓(𝑥) sobre el intervalo [ 𝑎, 𝑏] se podía interpretar como el cálculo del área de la
figura en el plano, limitada por las rectas 𝑥 = 𝑎 (por la izquierda), 𝑥 = 𝑎 (por la derecha),
𝑥 = 0 (por abajo) y la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) (por arriba). Nos referíamos entonces a
esta área como" el área bajo la curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre a y b". Las "circunstancias"
anteriormente mencionadas eran que la función tenía que ser positiva (su gráfica debía quedar
por encima del eje x) y continua.
En la generalización que haremos de este concepto para integral es de funciones de dos
variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), integrales que se harán ahora no sobre "partes de la recta" (como el
intervalo [ 𝑎, 𝑏] ) como se hacía para funciones de una sola variable, sino sobre “partes del
plano" (una parte del dominio de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)), la idea análoga que surgirá será la
de "volumen bajo la superficie". Más en concreto, si tenemos una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
(supongamosla por el momento definida en todo ℝ2
) continua y positiva (que la superficie
que representa su gráfica esté por encima del plano xy), entonces la integral que definiremos
de esta función sobre un subconjunto 𝐷 ⊆ ℝ2
será el volumen del "cilindro" limitado por el

CALCULO VECTORIAL 4
plano 𝑥𝑦 (por abajo), la gráfica de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (por arriba), y la frontera de 𝐷
marcando la parte lateral del cuerpo resultante. A esta integral la representaremos como
∬ 𝑓( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
En la primer parte veremos integrales de línea y posteriormente las integrales dobles. Se
hará al comienzo una presentación "matemáticamente decente" del concepto de integral doble,
la cual es de hecho la misma que se hace después para las integrales triples y para las n-
múltiples en general. Como suele suceder en matemáticas, una vez establecido el concepto de
integral doble, con todos los detalles teóricos que la buena educación matemática demanda, se
verá que aunque muy bien sustentado el concepto, su definición resulta cierta mente inútil para
calcular tales integrales (como llega a suceder con las integrales de funciones de una sola
variable: la definición de la integral como límite de sumas de Riemann resulta impráctica para
calcular esas integrales. El Teorema Fundamental del Cálculo nos rescata de tal situación y
nos proporción a un modo mucho más agradable de efectuar cálculos de integrales definidas).
En la sección se verá que la situación no es tan grave como parece; en la práctica, las
integrales dobles no se calculan con la definición dada (¡afortunadamente!). Se verá que las
integrales dobles de muchas funciones importantes se podrán calcular como "dos integrales
simples" (donde "integral simple" quiere decir "integral de una función de una sola variable" y
entonces, con el Teorema Fundamental del Cálculo se podrán hacer estos cálculos de manera
sencilla). Hacia el final se estudiarán algunas de las aplicaciones de las integrales dobles y
posteriormente se estudian las integrales triples como su aplicación.

CALCULO VECTORIAL 5
5.2 Integrales de línea
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de
una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada
también se le denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral
curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por
alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un
campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva).
Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas
sobre intervalos.
Definición. Sea 𝐹: 𝑈 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
, 𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛) un campo vectorial continuo y sea
𝜆:[ 𝑎, 𝑏] → ℝ 𝑛
, 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2,… 𝜆 𝑛) un camino de clase ℘1
cuya traza está contenida en U, es
decir, 𝜆 [ 𝑎, 𝑏] ⊂ 𝑈. La integral de línea del campo 𝐹 a lo largo del (o sobre el) camino 𝜆, se
define denotada por
∫ 𝑭
𝜆
, ∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀, 𝑜 ∫ 𝐹1 ( 𝑥) 𝑑𝑥1 + 𝐹2 ( 𝑥) 𝑑𝑥2 + ⋯ + 𝐹𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑛
𝜆
como
∫ 𝐹. 𝑑𝝀 =
𝝀
∫ 𝐹(𝝀( 𝒕)). 𝝀´( 𝒕) 𝒅𝒕
𝑏
𝑎
(donde. es el producto punto) o bien, de modo más explicito como
∫ 𝐹. 𝑑𝝀 = ∫ (𝑭 𝟏(
𝒃
𝒂𝝀
𝝀( 𝒕))𝝀´ 𝟏( 𝒕)+ (𝑭 𝟐(𝝀( 𝒕))𝝀´ 𝟐( 𝒕)+ ⋯+ (𝑭 𝒏(𝝀( 𝒕))𝝀´ 𝒏( 𝒕)) 𝒅𝒕

CALCULO VECTORIAL 6
= ∫ ∑ 𝐹𝑖(𝝀
𝑛
𝑖=1
(𝑡)
𝑏
𝑎
)𝝀´𝑖( 𝑡) 𝑑𝑡 = ∑ ∫ 𝐹𝑖(𝝀
𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=1
(𝑡))𝝀´𝑖( 𝑡) 𝑑𝑡
Nótese entonces que para calcular la integral del campo F a lo largo del camino 𝝀, evaluamos
la función n en los puntos (imágenes) del camino (es decir, en los puntos de la curva 𝝀. Esto es
posible, pues hemos pedido que las imágenes de 𝝀 se encuentren dentro del dominio del
campo F) y hacemos el producto punto con el vector velocidad 𝝀´(𝑡) del camino 𝝀. El
resultado es una función real de la variable real t, que integramos entre a y b (donde se define
𝝀).
Cuando el camino 𝝀 es cerrado, se suele usar la notación
∮ 𝐹 . 𝑑𝝀
𝝀
𝑜 ∮ 𝐹1 ( 𝑥) 𝑑𝑥1
𝝀
+ 𝐹2( 𝑥) 𝑑𝑥2 + ⋯+ 𝐹𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑛
para indicar la integral delinea del campo F a lo largo de 𝝀 .Nótese que siendo continuo el
campo F, la existencia de la integral de línea de F a lo largo de cualquier camino de clase ℘1
está asegurada, pues en tal caso el integrando 𝐹(𝝀( 𝒕)). 𝝀´( 𝒕) es una función continua en el
intervalo [ 𝑎, 𝑏] y por lo tanto su integral en tal intervalo existe.
Tomaremos como ejemplo sobre todo campos en ℝ2
o ℝ3
. Por ejemplo, el campo 𝐹: 𝑈 ⊆
ℝ2
→ ℝ2
lo escribimos como 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝐹1( 𝑥, 𝑦), (𝐹2( 𝑥, 𝑦)) y el camino 𝝀: [ 𝑎, 𝑏] → ℝ2
(tal
que 𝝀([ 𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝑈) como 𝝀( 𝒕) = (𝒙( 𝒕), 𝒚( 𝒕)), de modo que la integral de F a lo largo de 𝝀 se
ve en este caso como

CALCULO VECTORIAL 7
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 =
𝝀
∫ (𝐹1 (𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡))𝑥´( 𝑡) + 𝐹2 (𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡))𝑦´( 𝑡)) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Del mismo modo, escribimos el campo en ℝ3
, 𝐹: 𝑈 ⊆ ℝ3
→ ℝ3
como 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(𝐹1( 𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝐹2( 𝑥, 𝑦, 𝑧),(𝐹3 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧)), y el camino 𝝀: [ 𝑎, 𝑏] → ℝ3
(de modo que 𝝀([ 𝑎, 𝑏]) ⊂
𝑈)) como 𝝀( 𝒕) = ( 𝒙( 𝒕), 𝒚( 𝒕), 𝒛(𝒕)), para que en este caso la integral de F a lo largo de 𝝀 se
ve como
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝐹2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝐹3 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧
𝝀
= ∫ ( 𝐹1 ( 𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝑥´( 𝑡) + 𝐹2( 𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝑦´(𝑡)+ 𝐹3( 𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧(𝑡)) 𝑧´( 𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Ejemplo 1: Sea 𝐹:ℝ2
→ ℝ2
el campo 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) y sea 𝝀: [0,1] → ℝ2
el camino
𝝀( 𝑡) = ( 𝑡, 𝑡2). la integral de F a lo largo de 𝝀 es
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ (( 𝑡 + 𝑡2)( 𝑡)´ + ( 𝑡2)( 𝑡2)´)𝑑𝑡
1
0𝝀
= ∫ ( 𝑡 + 𝑡2
+ 2𝑡3) 𝑑𝑡
1
0
=
1
2
+
1
3
+
1
2
=
4
3
Ejemplo2. Consideremos el mismo campo del ejemplo anterior, 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) y
tomemos el camino 𝜇:[0, 𝑘−1] → ℝ2
dado por 𝜇( 𝑡) = ( 𝑘𝑡, 𝑘2
𝑡2), donde k es un número
positivo. Obsérvese que este nuevo camino es una reparametrización del camino 𝝀
considerado en el ejemplo anterior (de hecho se tiene 𝜇 = 𝝀 o 𝜙, donde 𝜙:[0,1] → [0,1] es
𝜙( 𝑡) = kt). Calculemos la integral de F a lo largo de 𝜇. Esta es
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2 ( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ (( 𝑘𝑡 + 𝑘2
𝑡2)( 𝑘𝑡)´ +
𝑘−1
0𝜇
𝑘2
𝑡2( 𝑘2
𝑡2)´)𝑑𝑡
= ∫ (
𝑘−1
0
𝑘2
𝑡 + 𝑘3
𝑡2
+ 2𝑘4
𝑡3
)𝑑𝑡

CALCULO VECTORIAL 8
=
1
2
𝑘2
(𝑘−1
)2
+
1
3
𝑘3
(𝑘−1
)3
+
1
2
𝑘4
(𝑘−1
)4
=
4
3
Que es el mismo resultado obtenido en el ejemplo anterior. Esta es una propiedad general de
las integrales de línea que estudiaremos en esta sección. Establece que una integral de línea es
invariante por reparametrizaciones del camino sobre el que se integra el campo F.
Ejemplo 3. Tenemos nuevamente el campo de los dos ejemplos anteriores 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 +
𝑦, 𝑦) e integrando ahora sobre el camino inverso al camino dado en el ejemplo 1. Este es
−𝝀: [0,1] → ℝ2
, −𝝀( 𝑡) = (1 − 𝑡, (1 − 𝑡)2). La integral de F a lo largo de −𝝀 es
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ ([(1 − 𝑡) + (1 − 𝑡)2](1− 𝑡)´ + (1 − 𝑡)2
((1− 𝑡)2)´)
1
0
𝑑𝑡
−𝝀
= ∫ (−(1 − 𝑡) −
1
0
(1 − 𝑡)2
− 2(1 − 𝑡)3
)𝑑𝑡
=
1
2
(1 − 𝑡)2
+
1
3
(1 − 𝑡)3
+
1
2
(1 − 𝑡)4
]
0
4
= −
1
2
−
1
3
−
1
2
= −
4
3
Nótese que
∫ 𝑭. 𝑑𝝀 = −
−𝝀
∫ 𝑭. 𝑑𝝀
−𝝀
Esta será otra de las propiedades de las integrales de línea que estudiaremos: la integral de
línea de un campo F sobre el camino inverso −𝝀 es el negativo de la integral de línea del
campo F sobre 𝝀.
Ejemplo 4. Con el mismo campo F de los ejemplos anteriores 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦), hagamos
ahora la integral de línea de F a lo largo del camino 𝒗: [0,1] → ℝ2
, 𝑣( 𝑡) = ( 𝑡, 𝑡3). Se tiene

CALCULO VECTORIAL 9
∫ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ (( 𝑡 + 𝑡3)( 𝑡)´ + ( 𝑡3)( 𝑡3)´)
1
0𝑣
𝑑𝑡
= ∫ ( 𝑡 + 𝑡3
+ 3𝑡5) 𝑑𝑡 =
1
0
1
2
+
1
4
+
1
2
=
5
4
Préstese atención a los resultados obtenidos en el ejemplo anterior y en el ejemplo 1.
Obsérvese que los caminos 𝝀 (del ejemplo 1) y 𝑣 (del ejemplo 4) comparten su punto inicial
𝝀( 𝟎) = 𝑣(0) = (0,0) Y Su punto final 𝝀( 𝟏) = 𝑣(1) = (1,1). El camino 𝝀 recorre el arco de
parábola 𝑦 = 𝑥2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, y el camino 𝑣 recorre el arco de parábola cúbica 𝑦 = 𝑥3
,0 ≤ 𝑥 ≤
1. Sin embargo, los resultados de las integrales son diferentes. Esto hace suponer que el valor
de la integral de línea de un campo F sobre un camino dado, no depende solamente de los
puntos inicial y final del camino, sino de la función misma que lo define.
Después de estos ejemplos preliminares, en los que se han calculado algunas integrales de
línea y anunciado ya algunas de las propiedades de éstas, estudiaremos de modo formal dichas
propiedades, las cuales nos descubrirán el comportamiento de las integrales. Ya que las
integrales de línea se calculan finalmente en términos de integrales "simples" de funciones
reales de variable real, es de esperarse que la propiedad de linealidad de estas últimas se
herede a las integrales de línea. En efecto, si 𝑭, 𝑮: 𝑈 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
son dos campos continuos y
𝝀: [ 𝑎, 𝑏] → ℝ 𝑛
, 𝝀 ([ 𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝑈, un camino de clase ℘1
, se tiene que
∫ (𝑭 + 𝑐𝑮
𝝀
). 𝑑𝝀 = ∫ 𝑭. 𝑑𝝀 + 𝒄
𝝀
∫ 𝑮. 𝑑𝝀
𝝀
Donde 𝑐 ∈ ℝ, y el campo 𝑭 + 𝑐𝑮: 𝑈 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
, es ( 𝑭 + 𝑐𝑮)( 𝒙) = 𝑭( 𝒙) + 𝑐𝑮( 𝒙), 𝒙 ∈ 𝑼.
En el siguiente teorema se resumen las otras propiedades (menos obvias que la linealidad) que
posees las integrales de línea.
Teorema: sea 𝑭: 𝑈 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
un campo vectorial y 𝝀:[ 𝑎, 𝑏] → ℝ 𝑛
un camino de clase ℘1
tal que 𝝀 ([ 𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝑈. Supongamos que F es continuo (con lo cual la integral de F a lo largo
de 𝝀 existe).

CALCULO VECTORIAL 10
a. Sea 𝜙: [𝑐, 𝑑 → [ 𝑎, 𝑏]] una función sobreyectiva de clase ℘1
, y sea 𝝁: [ 𝑐, 𝑑] → ℝ 𝑛
el
camino 𝝁 = 𝝀 o 𝜙.
a1. Si 𝜙( 𝑐) = 𝑎 y 𝜙( 𝑑) = 𝑏, entonces
∫ 𝑭 𝑑𝝁
𝜇
= ∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀
a2. Si 𝜙( 𝑐) = 𝑏 y 𝜙( 𝑑) = 𝑎, entonces
∫ 𝑭 𝑑𝝁
𝜇
= − ∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀
En particular, si 𝝁 es una reparametrización de 𝝀, entonces
a1. ∫ 𝑭 𝑑𝝁𝜇
= ∫ 𝑭𝜆
. 𝑑𝝀 Si 𝝁 conserva la orientación de 𝝀.
a2. ∫ 𝑭 𝑑𝝁𝜇
= − ∫ 𝑭𝜆
. 𝑑𝝀 Si 𝝁 invierte la orientación de 𝝀. En particular se tiene
∫ 𝑭 𝑑𝝁
−𝜆
= − ∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀
a) Si 𝝀 = 𝝀 𝟏 + 𝝀 𝟐
∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆
= ∫ 𝑭
𝜆1
. 𝑑𝝀 + ∫ 𝑭
𝜆2
. 𝑑𝝀
Demostración:
a) Usaremos la fórmula de cambio de variable en la integral de Riemann: Si 𝐹:[ 𝑎, 𝑏] →
ℝ es continua, y 𝐺: [ 𝑐, 𝑑] → ℝ es de clase ℘1
y de modo que 𝐺 ([ 𝑐, 𝑑]) ⊆ [ 𝑎, 𝑏],
entonces
∫ 𝐹( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹(𝐺( 𝑡))𝐺´( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑑
𝑐
𝐺(𝑑)
𝐺(𝑐)
a1) supongamos que 𝜙( 𝑐) = 𝑎 y 𝜙( 𝑑) = 𝑏. Así se tiene

∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆
= ∫ 𝑭(
𝑏
𝑎
𝝀(𝑡)). 𝝀´(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡=𝜙(𝑠)
→
= ∫ 𝑭(
𝑑
𝑐
𝝀(𝝓(𝑠))).𝝀´(𝝓(𝒔))𝝓´(𝑠)𝑑𝑠 = ∫ 𝑭(
𝑑
𝑐
(𝝀 𝐨 𝝓)(𝑺))(. 𝝀 𝐨 𝝓)´(𝑠)𝑑𝑠
= ∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆o𝜙
= ∫ 𝑭
𝜇
. 𝑑𝝀
a2) de igual modo, si 𝜙( 𝑐) = 𝑏, 𝜙( 𝑑) = 𝑎, se tiene
∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆
= ∫ 𝑭(
𝑏
𝑎
𝝀(𝑡)). 𝝀´(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡=𝜙(𝑠)
→
= ∫ 𝑭(
𝑑
𝑐
𝝀(𝝓(𝑠))). 𝝀´(𝝓(𝒔))𝝓´(𝑠)𝑑𝑠 = −∫ 𝑭(
𝑑
𝑐
(𝝀 𝐨 𝝓)(𝑺))(. 𝝀 𝐨 𝝓)´(𝑠)𝑑𝑠
= − ∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆o𝜙
= − ∫ 𝑭
𝜇
. 𝑑𝝀
b) Supongamos que 𝜆1está definido en [ 𝑎, 𝑐] y 𝜆2 en [ 𝑐, 𝑏]. Entonces 𝝀:
𝝀( 𝒕) = {
𝜆1( 𝑡) 𝑠𝑖 𝑡 ∈ [ 𝑎, 𝑐]
𝜆2( 𝑡) 𝑠𝑖 𝑡 ∈ ( 𝑐, 𝑏]
Y la integral de F sobre 𝝀 es
∫ 𝝀𝑭 . 𝒅𝝀 = ∫ 𝑭(𝝀( 𝑡)). 𝝀´( 𝑡) 𝑑𝑡
𝒃
𝒂
= ∫ 𝑭(𝝀( 𝑡)). 𝝀´( 𝑡) 𝑑𝑡 +
𝒄
𝒂
∫ 𝑭(𝝀( 𝑡)). 𝝀´( 𝑡) 𝑑𝑡 =
𝒃
𝒂
∫ 𝑭𝜆1
. 𝑑𝝀 + ∫ 𝝀 𝟐 𝑭. 𝒅𝝀 Q.E.D
La propiedad del teorema anterior nos permite definir la integral de un campo F sobre un
camino 𝝀 seccionalmente ℘1
.En este caso podemos escribir 𝝀 = 𝜆1 + 𝝀 𝟐 + ⋯ + 𝝀 𝒌 donde 𝝀𝒊
es un camino de clase ℘1
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑘. Entonces definimos la integral de F a lo largo de 𝝀
como
∫ 𝑭 𝑑𝝀
𝜆
= ∑ ∫ 𝑭. 𝑑𝝀
𝑦1
𝑘
𝑖=1

Por otra parte, una consecuencia muy importante de la propiedad del inciso a del teorema
anterior (propiedad que se ilustra con los ejemplos 1 y 2 vistos anteriormente) es que para
calcular una integral de línea de un campo F sobre un camino 𝝀 es suficiente con tener la
información de la traza del camino (con la información correspondiente de dónde comienza,
dónde termina, y cómo se recorre tal traza) para poder calcular la integral. En efecto, basta con
seguir UN CAMINO (CUALQUIERA) concreto 𝝀 que tenga la traza dada para poder hacer el
cálculo de la integral: cualquier reparametrización de 𝝀 producirá el mismo valor de la integral
buscada. Entonces tiene sentido hablar de la integral de un campo F sobre una curva 𝝀 (el
conjunto de imágenes del camino landa).
Más aún, la propiedad del inciso a acepta composiciones del camino 𝝀 (a lo largo del cual se
calcula la integral) con funciones 𝝓 tales que 𝜇 = 𝝀 no es una reparametrización de 𝝀 (lo
único que se pide es que 𝝓 sea sobreyectiva y que los puntos extremos de 𝜇 coincidan con
los correspondientes de 𝝀). Esto significa que el nuevo camino 𝜇 que recorre la traza de 𝝀,
puede hacerlo no solo con velocidad distinta y con diferente orientación, sino que éste puede
"sufrir regresos múltiples" en su trayecto (fenómeno que está prohibido en una
reparametrización de un camino), y aún así la integral se mantiene invariable (cambiando de
signo en el caso de que se inviertan los puntos inicial y final del camino). Este hecho descubre
que el valor de una integral de línea de un campo F no es acumulativo, en contraste, por
ejemplo, con el valor de la longitud de la curva descrita por el camino. Por ejemplo,
consideremos la integral de línea calculada en el ejemplo 1, con el campo 𝐹: ℝ2
→ ℝ2
,
𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) y el camino 𝝀: [0,1] → ℝ2
, 𝝀( 𝑡) = ( 𝑡, 𝑡2). En el ejemplo 2 se calculó
nuevamente la integral con reparametrizaciones de 𝝀 que conservan la orientación.
Sea 𝝓: [−
𝝅
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟐
] → [ 𝟎, 𝟏] la función 𝝓( 𝒔) = 𝟎. 𝟓 ( 𝒔𝒆𝒏 𝒔 + 𝟏). Esta es una función
sobreyectiva de modo que 𝝓(−
𝝅
𝟐
) = 𝟎, 𝝓 (
𝟓𝝅
𝟐
) = 𝟏 , la cual "recorre su imagen tres veces"
(ver figura2). La composición 𝜇 = 𝝀 𝐨 𝝓: [−
𝝅
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟐
] → ℝ2
, 𝜇( 𝑠) = (0.5( 𝑠𝑒𝑛 𝑠 +
1),(0.5(𝑠𝑒𝑛 𝑠 + 1))2) es un camino (que no es una reparametrización de 𝝀) que parte del
punto (0,0), va hacia el punto (1,1) por la parábola 𝑦 = 𝑥2
, regresa al (0,0) y, finalmente, va
de nuevo al (1,1).

La integral del campo F a lo largo de 𝜇 es
∫ 𝑭 𝑑𝝁
𝜇
= ∫ [(0.5(𝑠𝑒𝑛 𝑠 + 1)
5𝜋 /2
−𝜋/2
+ (0.5( 𝑠𝑒𝑛 𝑠 + 1))2)(0.5cos 𝑠)
+ ((0.5(𝑠𝑒𝑛 𝑠 + 1))2)( 𝑠𝑒𝑛 𝑠 − 1)(0.5cos 𝑠)] 𝑑𝑠
=∫ (
1
8
𝑠𝑒𝑛3
𝑠 +
1
2
𝑠𝑒𝑛2
𝑠 +
7
8
𝑠𝑒𝑛 𝑠 +
1
2
)cos 𝑠 𝑑𝑠
5𝜋 /2
−𝜋/2
= [
1
32
𝑠𝑒𝑛4
𝑠 +
1
6
𝑠𝑒𝑛3
𝑠 +
76
1
𝑠𝑒𝑛2
𝑠 +
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑠]
−𝜋/2
5𝜋/2
= (
1
32
+
1
6
+
7
16
+
1
2
) − (
1
32
−
1
6
+
7
16
−
1
2
) =
4
3
Que es el mismo valor obtenido en los ejemplos 1 y 2.

5.3 Integrales iteradas dobles y triples.
INTEGRALES DOBLES COMO VOLÚMENES.
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región
rectangular r como el volumen del prisma sólido limitado abajo por r y arriba por la superficie
z = f(x, y). Cada termino 𝑓 (𝑥𝑘, 𝑦𝑘) "ak en la suma sn
𝑓 (𝑥𝑘, 𝑦𝑘)
‘’𝑎𝑘’’ es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción
del sólido que está directamente arriba de la base "𝑎𝑘. La suma sn aproxima entonces a lo que
llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑙 𝑚𝑆𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
Teorema de fubini para calcular integrales dobles.
Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano 𝑧 = 4 − 𝑥 − 𝑦 sobre la región
rectangular
𝑅 ∶ 0 𝑥 2,0 𝑦 1
en el plano 𝑥𝑦. Entonces el volumen es:
𝑥 = 2 , 𝑥 = 0 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥
Donde 𝑎(𝑥) es el área de la sección transversal en 𝑥. Para cada valor de 𝑥 podemos calcular
𝑎(𝑥) como la integral
𝐴(𝑥) = 𝑦 = 1 , 𝑦 = 0 (4− 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦

que es el área bajo la curva 𝑧 = 4 − 𝑥 − 𝑦 en el plano de la sección transversal en 𝑥. Al
calcular 𝑎(𝑥), 𝑥 se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a 𝑦. al combinar (4) y (5),
vemos que el volumen de todo es sólido es:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 = 2, 𝑥 = 0 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 = 2, 𝑥 = 0 (4 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦
= 𝑥 = 2, 𝑥 = 0 4𝑦 − 𝑥𝑦 − 2 𝑑𝑥 = 7/2 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − 2 = 5
Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo
ninguno de las integraciones, podríamos escribir
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = (4 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
Si deseamos integrar funcion f definida dentro de una región, generalmente lo haríamos
evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los
métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares.
Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares
(p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se
vuelve algo complicada.
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado
que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares. Recordemos las ecuaciones que
relacionan coordenadas polares con rectangulares.
Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está definida como, el
diferencial de área se definiría como y la integral quedaría como la solución de la misma.
El objetivo de esta sección es establecer el concepto de integral doble para determinado tipo
de funciones sencillas llamadas funciones escalonadas. Ciertamente este tipo de funciones no
aparecen frecuentemente en la práctica, pero su estudio nos permitirá, por una parte, captar la
esencia del concepto de una integral doble y por otra parte basándonos en las integrales de
estas funciones se construirá el concepto de integral doble para funciones más generales.

Comencemos por introducir los dominios sobre los que están definidas las funciones
escalonadas, que será también las regiones sobre las cuales integraremos estas funciones.
Un rectángulo en R2 que denotaremos por Q se define como el producto cartesiano de dos
intervalos de R, digamos I1 e I2 es decir
𝑄 = 𝐼1 𝑥 𝐼2 = {(𝑥, 𝑦) € 𝑅2 𝑋€ 𝐼1 𝑦 € 𝐼2})
Los intervalos I1 e I2 pueden ser abiertos, cerrados, etc. (y en cada caso se dice que el
rectángulo Q correspondiente es abierto, etc.) La diferencia entre el rectángulo cerrado 𝑄 =
(𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑐, 𝑑) es, digámoslo así, ‘’la orilla’’ del rectángulo. Las funciones que vamos a
estudiar en esta sección estarán definidas en rectángulos y para la teoría a desarrollar, el valor
de tales funciones en las orillas de los rectángulos en que están definidas es completamente
irrelevante. Aquí solo para fijar ideas, vamos a considerar siempre rectángulos cerrados
𝑆𝑖 𝐼1 = (𝑎, 𝑏) 𝑒 𝐼2 = (𝑐, 𝑑) 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑄 = 𝐼1 𝑥 𝐼2 𝑒𝑠:
𝑄 = (𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑐, 𝑑) = {(𝑥, 𝑦) € 𝑅2 𝑥€ (𝑎, 𝑏) 𝑦 € (𝑐, 𝑑)}
La integral doble de una función ƒ (𝑥, 𝑦) definida en un rectángulo 𝑄 de 𝑅2
. La clase de
funciones que vamos a considerar para esta definición es la de las funciones acotadas,
recuerde que la función ƒ: 𝑈 𝑅2 se dice ser acotada en 𝑈 si se da una constante 𝑀 ˃ 0 de modo
que ƒ (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑀 €𝑈 definida en el rectángulo 𝑄 es atrapar a esta funcion por encima y por
debajo con funciones escalonadas, acerca de las cuales ya se definió en la sección anterior el
concepto de integral doble sobre 𝑄 y considerar las integrales de todas estas funciones. Si nos
queda algo en medio de todas las integrales dobles (sobre 𝑄)de las funciones escalonadas que
están por debajo de ƒ (𝑥, 𝑦) en 𝑄.
Para proceder de esta manera, es necesario primero convencerse de que dichas funciones
escalonadas (que atrapan a ƒ) en realidad existen. Esto queda garantizado por el hecho de que
ƒ es acotada.

Las funciones 𝜙, ѱ: 𝑄 – 𝑅 definidas como 𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝑀, ѱ(𝑥, 𝑦) = 𝑀 son funciones
escalonadas de hecho constantes sobre 𝑄 y atrapan ƒ por debajo y por encima, pues 𝜙(𝑥, 𝑦) ≤
ѱ(𝑥, 𝑦)
Establecemos la condición siguiente:
Sea ƒ: 𝑄 𝑅2
– 𝑅 una función acotada definida en el rectángulo 𝑄 de 𝑅2
, si hay un único
número real
∬ 𝑄 = ϕ(x, y) 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ I ≤ ∬ 𝑄 = ѱ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Por todas las funciones escalonadas 𝜙, ѱ: 𝑄 𝑅2
– 𝑅 según lo cual
𝜙(𝑥, 𝑦) ≤ ƒ(𝑥, 𝑦) ≤ ѱ(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦)𝑄
se dice que la funcion ƒ es integrable sobre 𝑄, entonces al número ‘’𝑖’’ se le llama integral
doble de ƒ sobre 𝑄 y se escribe 𝐼 = ∬ ƒ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Como ya habíamos mencionado en la introducción del capítulo, la definición anterior presenta
de una manera sumamente decente desde el punto de vista matemático lo que es una integral
doble de una función acotada en un rectángulo. Sin embargo resulta muy poco practica para
calcular integrales de este tipo de funciones (resulta poco practica hasta poner un ejemplo
concreto que ilustre la existencia de la integral doble de una de dichas funciones).
El teorema siguiente nos empieza a dar luz en cuanto al cálculo práctico de estas integrales. Es
un resultado de suma importancia que nos dice que, en efecto, una integral doble se puede ver,
como su nombre lo sugiere, como una operación que se realiza sobre la función

correspondiente calculando dos integrales (de las que conocemos de nuestro primer curso de
cálculo)
Teorema. Sea ƒ ∶ 𝑄 𝑦 𝑅 una función acotada e integrable en el rectángulo 𝑄 =
(𝑎, 𝑏) 𝑥 (𝑐, 𝑑). Supongamos que para cada una exista la función ƒ es decir la función ƒ =
(𝑥, 𝑦) vista como funcion de la variable x es integrable si la funcion 𝑄 es integrable en (𝑐, 𝑑)
y su integral es igual a el doble de ƒ(𝑥, 𝑦) sobre 𝑄, con lo que se tiene:
∬ƒ = ( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑔( 𝑦) 𝑑𝑦 = ∬ 𝑏𝑎 ƒ = ( 𝑥, 𝑦)
De igual modo, si existe para cada 𝑥(𝑎𝑏), la función ‘’𝑎𝑏’’ definida como ℎ = 𝑥 es decir la
funcion ƒ = (𝑥, 𝑦) vista como funcion de la variable y es integrable.
∬ƒ = (x, y)dxdy = ∬ ℎ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∬ 𝑏𝑎 ƒ = (x,y)
Demostración. Sean 𝜙(𝑥, 𝑦) y ѱ(𝑥, 𝑦) dos funciones escalonadas en 𝑄 tales que 𝜙(𝑥, 𝑦) ≤
ƒ = ( 𝑥, 𝑦) ≤ ѱ(𝑥, 𝑦) 𝑄. Ciertamente las funciones escalonadas son funciones que, vistas
con una de sus variables fijas, dependiendo solamente de la otra variable, son integrables (pues
vistas así resultan ser las funciones escalonadas que se estudian es los cursos de cálculo de una
sola variable, los cuales sabemos que son integrables).
Viendo entonces la desigualdad anterior como una desigualdad entre tres funciones integrables
que depende de la variable 𝑥 (con la y fija), podemos integrar cada una de ellas en el intervalo
(𝑐, 𝑑) y conservar el sentido de las desigualdades quedándonos:
∬ba ϕ(x,y) dx ∬ ƒ = (x,y) 𝑑𝑥 ∬ 𝑏𝑎 ѱ(x,y)

INTEGRALES ITERADAS TRIPLES.
Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de 𝑅3
: 𝑅 =
[𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑒, ℎ] = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 𝑅3: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑒 ≤ 𝑧 ≤ ℎ}
Donde 𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 𝑑, 𝑒 < ℎ son números reales fijos.
Sean: 𝐷1 _ [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] 7! [𝑒, ℎ] dos funciones continuas tales que ≤ (𝑥, 𝑦) ≤ (𝑥, 𝑦) para
todo (𝑥, 𝑦) 2 𝐷1, donde 𝐷1 es un dominio simple (respecto de 𝑥 o respecto de 𝑦) en el
rectángulo [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] del plano 𝑥, 𝑦.
Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧: el dominio 𝐷1 está en el
plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las
funciones ≤ (𝑥, 𝑦) 𝑦 (𝑥, 𝑦).
Consideremos el dominio 𝐷 (tridimensional) contenido en el prisma rectangular 𝑅 =
[𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑒, ℎ] definido como:
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) 2 𝐷1,≤ (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ (𝑥, 𝑦)}
En el dibujo realizado antes 𝐷 es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones ≤
y, que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano 𝐷1 del plano 𝑥, 𝑦.
Para cada (𝑥, 𝑦) fijos en el dominio plano 𝐷1, el segmento (bastón) vertical _(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤
(𝑥, 𝑦) está contenido en el sólido 𝐷. Al mover el punto (𝑥, 𝑦) 2 𝐷1, este bastón vertical
“barre” el sólido 𝐷.
Definición. El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple Respecto
de 𝑥, 𝑦, si su proyección 𝐷1 sobre el plano 𝑧 = 0 es simple respecto de 𝑥; 𝑦 se llama
dominio (tridimensional) simple respecto de 𝑦, 𝑥 si su proyección 𝐷1 sobre el plano 𝑧 = 0 es
simple respecto de 𝑦.
El análisis del solido 𝐷 a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales,
consideremos primero el dominio (bidimensional) simple 𝐷1, simple respecto de 𝑥. Entonces,

Adquiere la forma siguiente:
𝐷 = {𝑎 𝑥 𝑏, (𝑥) 𝑦 𝜇(𝑥), (𝑥, 𝑦) 𝑧 (𝑥, 𝑦)} (1𝑏)
Se puede mirar a 𝐷 de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado
por Bastones verticales para cada (𝑥, 𝑦) fijo en 𝐷1, que recorren 𝐷 cuando (𝑥, 𝑦) se mueve en
D1.
Para cada 𝑥 = 𝑥0 2 [𝑎, 𝑏] fijo, la intersección del solido 𝐷 con el plano vertical 𝑥 = 𝑥0 (este
plano es perpendicular al eje de las 𝑥) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al
cortarlo con un plano vertical, que tiene por ecuación:
𝐷 {𝑥 = 𝑥0} = {(𝑦, 𝑧) ∶ (𝑥0) 𝑦 𝜇(𝑥0),(𝑥0, 𝑦) 𝑧 (𝑥0, 𝑦)} (1𝑐)

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de
problemas
MÉTODO GRÁFICO Y ANALÍTICO.
Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por
ejemplo2𝑘𝑔 + 5𝑘𝑔 = 7𝑘𝑔; 20𝑚2
+ 10𝑚2
= 35𝑚2
; 3ℎ + 4ℎ = 7ℎ.Sin embargo, para sumar
magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos
utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero
ambos casosse consideran además dela magnitud del vector, sudirección ysusentido.
Resolución de problemas de suma de vectores
Un jinete ysucaballo cabalgan 3km alnorte ydespués 4kmal oeste.
Calcular:
 ¿Cuál es la diferencia total que recorren?
 ¿Cuál es sudesplazamiento?
Solución:
Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente
las dosdistancias:
𝐷𝑡 = 𝑑1 + 𝑑2 = 3𝑘𝑚 + 4𝑘𝑚 = 7𝑘𝑚

Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia
medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama
vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1,
después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen
del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los
dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su
extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la
escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma.
Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.
Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o
menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el
procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el
procedimiento se denomina composición.
En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de
coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea
perpendicular hacia el eje de las 𝑋 y otra hacia el eje de las 𝑌, los vectores a 𝑥 y a 𝑦 así formados, reciben el
nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes
forman entre si un ángulo (90º).

Sellama componentes deun vector aquellas que los sustituyen enla composición.
Un ejemplo: encontrar gráfica yanalíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.
Solución por método grafico
Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos
que establecer una escala. Para este casopuede ser: 1cm =10N
Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector,
trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las 𝑋 y otra hacia el eje de las 𝑌. En el punto de interseccióndel
eje 𝑋 quedara el extremo del vector componente 𝐹𝑥. En el punto de intersección del eje 𝑌 quedara el extremo
del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, elcual
estamos descomponiendo:
Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de
acuerdo conla escala encontrar suvalor. En este casomide aproximadamente 3.4cmque representan 34N.
Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y
según la escala encontrar su valor que eneste casoesde casi2.0cm., esdecir, de20N.
Solución por método analítico
Calculo de 𝐹𝑦:
𝑠𝑒𝑛 30°=cateto opuesto = 𝐹𝑦
Hipotenusa F
Despejemos 𝐹𝑦: 𝐹𝑦 =F 𝑠𝑒𝑛 30°==40N x0.5=20N
Calculo de 𝐹𝑥: Cos30º=cateto adyacente = Fx Hipotenusa F
Despejemos𝐹𝑥: 𝐹𝑥=Fcos30°=40N x0.8660=34.64N
Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica,
encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes
gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En

cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor
precisión
Aplicaciones de las integrales dobles
En esta sección presentamos varios ejemplos de aplicación de las integrales dobles en
problemas de geometría y de mecánica.
Volúmenes de cuerpos en el espacio
Si la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)es continua y no negativa, se ha visto que la integral doble
∫∫ 𝑓( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
Nos da el volumen bajo la superficie de la gráfica de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) sobre la región ℝ ⊂
ℝ2
Más aún, si 𝑔(𝑥, 𝑦)es otra función tal que 𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) para toda (𝑥, 𝑦) en ℝ, la
integral
∫∫(𝑓( 𝑥, 𝑦) − 𝑔( 𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
Nos da el volumen atrapado entre las dos superficies z = f(x, y) y z = g(x, y) sobre la región R
(sin importar si este volumen queda por encima o por debajo del plano xy).
Ejemplo. Se quiere calcular el volumen del cuerpo limitado por los planos
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1,
𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 donde a, b, c son 3 números positivos dados. Obsérvese que se trata de un
tetraedro, una de cuyas caras está en el plano
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1, y las otras tres están en los planos
coordenados En forma esquemática el cuerpo se ve como

Despejando z de la ecuación
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1, obtenemos la función 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑐(1 −
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
), de la cual queremos obtener el volumen bajo su gráfica sobre la región que este tetraedro
proyecta sobre el plano xy. Esta región es un triángulo con vértices en (0,0), (𝑎,0) y (0, 𝑏), y
puede quedar descrita como una región del tipo 1como
𝑅 = {(𝑥, 𝑦 = |0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏(1 − 𝑥 𝑎⁄ )}
Así pues, el volumen procurado es
𝑉 = ∬ 𝑐
𝑅
(1 −
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑐 (1 −
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏(1−𝑥 𝑎⁄ )
0
𝑎
0
= 𝑐 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦
𝑏(1−𝑥 𝑎⁄ )
0
−
𝑐
𝑎
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑎
𝑜
∫ 𝑑𝑦
𝑏(1−𝑥 𝑎⁄ )
0
𝑎
0
−
𝑐
𝑏
∫ 𝑑𝑥
𝑎
0
∫ 𝑦𝑑𝑦
𝑏(1−𝑥 𝑎⁄ )
𝑜
= 𝑐 ∫ 𝑏(1 − 𝑥 𝑎⁄ ) 𝑑𝑥 −
𝑐
𝑎
𝑎
0
∫ 𝑏(1 − 𝑥 𝑎⁄ ) 𝑑𝑥 −
𝑐
2𝑏
∫ 𝑏2
(1 − 𝑥 𝑎⁄ )2
𝑑𝑥
𝑎
0
𝑎
0
𝑐𝑏 (𝑥 −
𝑥2
2𝑎
)
𝑎
0
−
𝑐𝑏
𝑎
(
𝑥2
2
−
𝑥3
3𝑎
)
𝑎
0
+
𝑐𝑏𝑎
2
(
(1 − 𝑥 𝑎⁄ )3
3
)
𝑎
0
= 𝑐𝑏 (
𝑎
2
) −
𝑐𝑏
𝑎
(
𝑎2
6
) +
𝑐𝑏𝑎
2
(
−1
3
) =
𝑎𝑏𝑐
6
Nótese que el resultado se puede escribir como 𝑉 =
1
3
(
𝑎𝑏
2
) 𝑐, que corresponde a la fórmula que
conocemos del volumen de un tetraedro como un tercio del área de su base por su altura. l1li
Ejemplo: Se quiere calcular el volumen del cuerpo limitado por el cilindro 𝑧 = 5 − 2𝑥2
, los
planos coordenados y el plano 2𝑥 + 𝑦 = 1. Obsérvese que se trata de calcular el volumen bajo
la superficie 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 5 − 2𝑥2
sobre el triángulo formado por los ejes 𝑥 e 𝑦 y la recta
2𝑥 + 𝑦 = 1 (ahora nos referimos a esta ecuación como una recta pues estamos "hablando en
ℝ2
"; al comienzo del problema nos referimos a esta misma ecuación como un plano, pues
estábamos "hablando en ℝ3
") Así, la región de integración puede ser vista como la región del
tipo II siguiente

𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑦 ≤ 1,0 ≤ 𝑥 ≤ (1 − 𝑦)/2}
De modo que el volumen procurado se calcula como
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ (5 − 2𝑥2) 𝑑𝑥𝑑𝑦
(1−𝑦)/2
0
1
0
= ∫ (5𝑥 −
2
3
1
0
𝑥3
)
(1 − 𝑦)/2
0
𝑑𝑦 = ∫ (
5
2
(1 − 𝑦) −
1
12
(1 − 𝑦)3
) 𝑑𝑦
1
0
= (−
5
4
(1 − 𝑦)2
+
1
48
(1 − 𝑦)4
)
1
0
=
5
4
−
1
48
=
59
48
(Este es el número de unidades cúbicas que da el volumen procurado).
Centros de masa y momentos de figuras planas las integrales dobles se usan para calcular
algunas magnitudes físicas de cuerpos que ocupan una región R en el plano" Comenzamos por
introducir el concepto de "momento estático" de un punto de masa m respecto de un eje f
dado" Este momento, que denotaremos por Me, se define como el producto de la masa m del
cuerpo por su distancia d al eje f. Es decir, Me = md, Si tenemos k cuerpos (puntuales) en el
plano de masas mi cuya distancia al eje e es d" i = 1, 2"… "k, entonces el momento estático de
este sistema de cuerpos respecto del eje es
Me =𝑚1 𝑑1 + 𝑚2 𝑑2 …+ 𝑚 𝑘 𝑚 𝑘 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑑𝑖
𝑘
𝑖=𝑙
Supongamos que el i-ésimo de estos cuerpos se encuentra en el punto 𝑃𝑖 = (𝑥 𝑖, 𝑦𝑖) del plano.
Entonces los momentos estáticos respecto del eje x y respecto del eje y son
𝑀 𝑥 = ∑ 𝑚 𝑖, 𝑦𝑖
𝑘
𝑖=𝑙
𝑀 𝑌 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖
𝐾
𝐼 =𝐿

Centro de masa
El centro de masa del sistema es un punto (𝑥̅, 𝑦̅) tal que si en él se concentrara toda la masa del
sistema, los momentos estáticos de este punto respecto de los ejes coordenados son los
mismos que los correspondientes de todo el sistema, Se debe tener entonces que
(Masa total del sistema) (𝑦̅) = 𝑀 𝑥= ∑ 𝑚 𝑖, 𝑦𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
(Masa total del sistema) (𝑥̅)= 𝑀 𝑌 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
De donde 𝑥̅ =
∑ 𝑚𝑖 𝑥 𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
∑ 𝑚𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
, 𝑦̅ =
∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
∑ 𝑚𝑖
𝑘
𝑖=𝑡
Si en lugar de considerar un sistema discreto, como el anterior, consideramos un sistema
continuo en el que un cuerpo plano ocupa una región R del plano x y, el centro de masa del
sistema se calcula con fórmulas similares donde "las sumatorias son sustituidas por integrales"
Más aún: empecemos por establecer cómo se calcula la masa total de un cuerpo plano que
ocupa una región R de 𝑅2
(diremos: "el cuerpo R"), Suponemos que, en general, el cuerpo no
es homogéneo, Esto significa que hay una función densidad p: R ....... R tal que a cada punto
(x, y) Є R asocia el valor de la densidad p (x, y) del cuerpo en ese punto (en unidades de masa
por unidades de área, por ejemplo gr/cm²).
De manera intuitiva se puede pensar -como lo hacen los físicos- que si se multiplica la
densidad p(x, y) por el "elemento de área dx dy", se obtiene la masa puntual del cuerpo en el
punto (x, y).
En forma dimensional resulta aceptable este razonamiento, pues tomando a las coordenadas x,
y en cm y pensando en dx y dy como "medidas infinitamente pequeñas de las coordenadas del
punto (x. y)", se tendría que el producto de p (x. y) en gr/cm² por dx dy en cm² es
efectivamente la cantidad p(x, y) dx dy dada en gr. Para obtener la masa total del cuerpo R hay
que sumar de manera continua todas estas masas puntuales sobre la región R; esto es lo que
significa hacer la integral doble de p(x, y)dxdy sobre R),
No será difícil aceptar entonces que los momentos estáticos del cuerpo R respecto de los ejes
coordenados son

VALOR MEDIO DE UNA FUNCION.
Consideremos una función f: R - R2 continua definida en una región R del plano xy. El valor
medio de la función f sobre la región R, denotado por fR se define por
𝑓𝑓 =
∬ 𝑓𝑓( 𝑓, 𝑓) 𝑓𝑓𝑓𝑓
∬ 𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓
Nótese que el denominador de esta expresión es el área de la región R El valor R es una
medida del promedio de los valores de la función sobre la región R. Así, si f(x, y) es, por
ejemplo, una función de densidad (como las funciones p(x, y) de la subsección anterior), R es
una medida de la densidad media del cuerpo sobre la región R.
Podemos ser más precisos en el contenido de la fórmula para R: el valor R lo toma la función
f en un punto (a, b) de la región R. En realidad, este es un resultado análogo al Teorema del
Valor Medio para Integrales, estudiado en nuestro primer curso de cálculo y que establecemos
a continuación
Teorema 6.5.1 (Teorema del valor medio para integrales dobles) Sea f: R e R2 R una función
continua definida en la región R Hay pues un punto (a, b) E R tal que
𝑓( 𝑓, 𝑓) = 𝑓𝑓 =
∬ 𝑓( 𝑓, 𝑓) 𝑓𝑓𝑓𝑓
∬ 𝑓𝑓𝑓𝑓
La demostración de este resultado requiere algunos detalles técnicos sobre funciones continuas
definidas en conjuntos compactos del plano. Aunque no la presentamos con todos los detalles,
la idea general es la siguiente: la función f alcanza su máximo y mínimo absoluto (M y m
respectivamente) en R, de modo que 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑀
Para toda (x, y) en R. Aplicando la propiedad b. del teorema 6.3.1, podemos escribir entonces
que
∬ 𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓 ≤ ∬ 𝑓 ( 𝑓, 𝑓) 𝑓𝑓𝑓𝑓 ≤ ∬ 𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓

De donde
m≤
∬ 𝑓( 𝑓,𝑓) 𝑓𝑓𝑓𝑓
∬ 𝑓𝑓𝑓𝑓
El valor R que se encuentra en esta desigualdad es un valor entre el máximo y mínimo
absolutos de la función f en R. Se puede demostrar entonces que éste es un valor que toma la
función f en algún punto (a, b) de R, con algunas propiedades tanto de la continuidad de f
como de las características topológicas de la región R. Con esto concluye el teorema. Si la
función es no negativa, este resultado tiene una interpretación geométrica interesante (análoga
a la de su símil para funciones de una variable): se da un cilindro de base R y altura IR cuyo
volumen (que es igual a c R) 1JRdx dy) es el mismo que el volumen bajo la superficie de f(x,
y) sobre R (que es R f(x, y) dx dy).
Ejemplo: El valor medio de una función constante (x, y) = e en cualquier región R es
Obviamente c. El valor medio de la función
F (x, y) = √R2 - x2 - y2
Sobre la región T = {(x, y)x2 + y2, R2} lo podemos calcular fácilmente con argumentos
geométricos. El numerador de la fórmula que define a Ir es el volumen bajo la superficie de
f(x, y) sobre T. Este es la mitad del volumen de una esfera de radio R, es decir TR3. El
denominador de tal fórmula es el área de la región T, o sea el área de un círculo de radio R,
que es TR2 Así pues, el valor medio de f sobre T es
𝑓𝑓 =
2
3
𝑓R2
=
2
3
𝑓

5.5 Integral dobles en coordenadas polares
Ahora demostraremos como se puede definir la integral doble de una función en una
región cerrada en el plano coordenado polar. Empecemos considerando la región de tipo más
simple. Sea R la región limitada por las semirrectas (o rayos) 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽 y por kas
circunferencias 𝑟 = 𝑎 𝑦 𝑟 = 𝑏. Luego se ∆ una partición de esta región, la cual se obtiene
trazando rectas a través del polo y las circunferencias con centro en el polo. Esto se ve en la
figura 1. Obtendremos una red de subregiones que llamamos rectángulos “curvados”. La
norma II ∆ II de la partición es la longitud de la diagonal más grande de los rectángulos
“curvados”. Sea 𝑛 el número de subregiones y ∆𝑖𝐴 la medida del área del 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜
rectángulo “curvado”. Ya que el área de la 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 subregión es la diferencia de las áreas
de dos sectores circulares,
∆𝑖 𝐴 =
1
2
𝑟𝑖
2( 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1) −
1
2
𝑟𝑖−1
2( 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1)
=
1
2
( 𝑟𝑖 − 𝑟𝑖−1)( 𝑟𝑖 + 𝑟𝑖−1)( 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1)
Sea =
1
2
( 𝑟𝑖 + 𝑟𝑖−1), ∆𝑖𝑟 = 𝑟𝑖 − 𝑟𝑖−1, 𝑦 ∆𝑖𝜃 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1 entonces ∆𝑖𝐴 =
𝑟𝑖
→∆𝑖𝑟∆𝑖𝜃
Tomamos el punto ( 𝑟−
, 𝜃−) en la i- esima subregión, donde 𝜃𝑖−1 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 𝜃𝑖 , y formamos la
suma
∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖,
𝑛
𝑖=1
) ∆𝑖 𝐴 = ∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖,
𝑛
𝑖=1
) 𝑟̅𝑖 ∆𝑖 𝑟 ∆𝑖 𝜃
Se puede demostrar si 𝑓 es continua en la región 𝑅, entonces el limite de esta suma, cuando
II∆II tiende a cero, existe, y este límite será la integral doble de 𝑓 de 𝑅. Escribiremos entonces

lim
II∆II→0
∑ 𝑓(𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖,)∆𝑖 𝐴 = ∬ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑑𝐴
𝑅
𝑛
𝑖=1
Obsérvese que, en coordenadas polares, 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃.
Se puede demostrar que la integral doble es igual a una integral iterativa que tiene una de las
dos formas posibles:
∬ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑏
𝑎
𝛽
𝛼
= ∫ ∫ 𝑓
𝛽
𝛼
( 𝑟, 𝜃) 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
Podemos definir la integral doble de una función continua 𝑓, de dos variables, en regiones
cerradas del plano polar, distintas de la región que se consideró anteriormente. Por ejemplo,
tomemos la región 𝑅 limitada por 𝑟 = ∅1(∅) 𝑦 𝑟 = ∅2(∅), donde ∅1 y ∅2 son funciones
alisadas, y por las rectas 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽. Veamos la figura 2. En la figura ∅1( 𝜃) ≤ ∅2( 𝜃)
para toda 𝜃 en el intervalo cerrado [a, 𝛽]. Entonces se puede demostrar que la integral doble de
𝑓 en 𝑅 existe y es igual a una integral iterativa y así
∬ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
∅2
∅1
𝛽
𝛼

Si la región 𝑅 esta limitada por las curvas 𝜃 = 𝑥1( 𝑟) 𝑦 𝜃 = 𝑥2(𝑟) donde 𝑥1 y 𝑥2 son
funciones alisadas, y por las circunferencias 𝑟 = 𝑎 𝑦 𝑟 = 𝑏, como se muestra en la figura 3,
donde 𝑥1(𝑟) ≤ 𝑥2(𝑟) para toda 𝑟 del intervalo cerrado [a, b], entonces
Puede interpretarse la integral doble de una función, en la región cerrada en el plano
coordenado polar, como la medida del volumen de un sólido usando coordenadas cilíndricas.
La figura 4 muestra un sólido que tiene como base una región 𝑧 = 𝑓(𝑟, 𝜃), donde 𝑓 es
continua en 𝑅 y 𝑓( 𝑥, 𝑦 ) ≥ 0 𝑒𝑛 𝑅 . Tomamos una partícula de 𝑅 que nos da una red de 𝑛
rectángulos “curvados”. Construimos los 𝑛 solidos para los cuales el 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 solido tiene
como base el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 rectángulo “curvado”.
Y 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖 ) como la medida de su altura, donde ( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖 )está en la 𝑖 −ésima subregión.
La figura 4 muestra el i-ésimo sólido. La medida del volumen del i-ésimo solido es .
𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖)∆ 𝑖 𝐴 = 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖) 𝑟̅𝑖 ∆ 𝑖 𝑟 ∆ 𝑖 𝜃

La suma de las medidas de los volúmenes de los 𝑛 solidos es
∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖) 𝑟̅𝑖 ∆𝑖 𝑟 ∆𝑖 𝜃
𝑛
𝑖=1
Si 𝑉 es la medida del volumen del solido dado, entonces
𝑉 = lim
II∆II→0
∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖) 𝑟̅𝑖 ∆𝑖 𝑟 ∆𝑖 𝜃
𝑛
𝑖=1
= ∬ 𝑓( 𝑟, 𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑅
Ejemplo: Obtener el volumen del sólidos en el primer octante limitado por él como 𝑧 =
𝑟 cilindro 𝑟 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 .
Solución: el sólido y el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 elemento se muestran en la figura 5. Usando la formula (1)
con el 𝑓( 𝑟, 𝜃) = 𝑟, tenemos, donde el 𝑉 unidades cubicas es el volumen del solido dado,
𝑉 = lim
II∆II→0
∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖) 𝑟̅𝑖 ∆𝑖 𝑟 ∆𝑖 𝜃
𝑛
𝑖=1
= ∬ 𝑟2
𝑅
𝑑𝑟 𝑑𝜃

= ∫ ∫ 𝑟2
𝑑𝑟 𝑑𝜃
3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
0
𝜋/2
0
= 9∫ [
1
3
𝜋/2
0
𝑟3
]0
3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝜃
= 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝜃 𝑑𝜃
𝜋/2
0
= −9 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 3 𝑐𝑜𝑠3
𝜃]0
𝜋/2
= 6
Por lo tanto el volumen es de 6 unidades cúbicas.
Ejemplo: Determinar la masa de la lámina que tiene la forma de la región dentro de la
circunferencia 𝑟 = 𝑎 cos 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤
1
2
𝜋, cuya densidad superficial en cualquier punto es
proporcional a la medida de su distancia al polo. La masa se mide en kilogramos y la
distancia, en metros.
Solución: La fig. 6 muestra un croquis de la lámina y el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 rectángulo “curvado”. La
densidad superficial en el punto ( 𝑟, 𝜃 ) es 𝑘𝑟( 𝑒𝑛
𝑘𝑔
𝑚2 ), donde k es una constante. Si 𝑀 es la
masa de la lámina, entonces
𝑀 = lim
II∆II→0
∑(𝑘𝑟̅̅̅𝑖)𝑟̅𝑖 ∆ 𝑖 𝑟 ∆ 𝑖 𝜃
𝑛
𝑖=1
=
2
9
𝑘𝑎3
Por lo tanto, la masa vale
2
3
𝑘𝑎3
(en kilogramos).

5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Introducimos tres nuevas coordenadas para un punto 𝑃 = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑛 𝑅3
, denotadas por
𝑟, 𝜃, 𝑧,según las formulas
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, 𝑧 = 𝑧
O en su forma equivalente, consideramos la función de transformación de coordenadas 𝑓:∩
´ → 𝑅3
, dada por
𝑓 = ( 𝑟 , 𝜃, 𝑧) = ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 )
A la tercera ordenada ( 𝑟 , 𝜃, 𝑧), se le llama coordenadas cilíndricas del punto P. Nótese que la
tercera coordenada z del sistema cartesiano es la misma que la tercera coordenada del sistema
de coordenadas cilíndricas (que denotamos con la misma letra z). Para que la función 𝑓 sea
inyectiva, se debe perdir que su dominio sea [ 0,+ ∞]∗ [0,2𝜋) ∗ 𝑅. Es decir, el espacio
𝑅3
queda abierto con las coordenadas cilíndricas ( 𝑟 , 𝜃, 𝑧) con
0 ≤ 𝑟 < +∞, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, − ∞ < 𝑧 < ∞
Nótese además que las dos primeras coordenadas de un punto 𝑃´ = ( 𝑟 , 𝜃, 𝑧) en el sistema de
coordenadas cilíndricas, corresponden a las coordenadas polares de la proyección en el plano
𝑥, 𝑦 del correspondiente punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el sistema cartesiano, en tanto que la tercera
coordenada queda igual. En otras palabras, para cambiar del punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el sistema
cartesiano al cilíndrico, consideramos las coordenadas polares del punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 0) =
proyección de 𝑃 al plano 𝑥, 𝑦, quedando entonces que 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 (estas son las
fórmulas de transformación del punto (𝑥, 𝑦) en el plano al sistema polar), y dejamos la
coordenada 𝑧 sin variar. Esto se ve así en un esquema

Entonces la ecuación del cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
(que es un cilindro circular recto con el eje z
como eje de simetría), se ve, en el sistema cilíndrico, como 𝑟 = 𝑅. Por otra parte, en este
sistema las ecuaciones del tipo 𝜃 = 𝑐𝑡𝑒. Corresponden a planos perpendiculares al plano 𝑥𝑦
que contienen al eje z, es decir, planos de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0 (¿por qué?). Por último, es
claro que los planos del tipo 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒. Se ven igual en los dos sistemas de coordenados (planos
paralelos al plano 𝑥𝑦, o al 𝑟𝜃 en su caso). De modo pues que los paralepipedos rectangulares
en el espacio 𝑟𝜃𝑧 del tipo
∩ ´ = { ( 𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝐼 𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅2 , 𝜃1 ≤ 𝜃2, , 𝑧1 ≤ 𝑧2}
Se transforman inyectivamente por la función de transformación de coordenadas𝐹( 𝑟, 𝜃, 𝑧) =
(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧), en paralelepípedos "cilíndricos", como se muestra en la figura 2.
El jacobiano de la transformación 𝐹( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧), en este caso

det ( 𝑟, 𝜃, 𝑧) =
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)
= det [
cos 𝜃 −𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 0
0 0 1
]
de modo que la fórmula de cambio de variables x, y, z a coordenadas cilíndricas r,𝜃, 𝑧 en una
integral triple se ve como
∭ 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∩
∭ 𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, 𝑧) 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
∩´
donde ∩,
es la región del espacio 𝑟𝜃𝑧 transformada en ∩ por la función 𝐹. Aunque no hay
una regla general que nos diga cuándo debemos hacer el cambio de variables en una integral
triple al sistema cilíndrico, normalmente éste resulta útil cuando la región de integración
consta de cilindros y/o planos de los anteriormente mencionados, cuya descripción en
coordenadas cilíndricas es muy sencilla.
Ejemplo: Calculemos la integral triple de la función 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 + (𝑥2
+ 𝑦2
)sobre la
región ∩ limitada por el cono 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 y el plano 𝑧 = 2. Aunque este problema se puede
hacer directamente en coordenadas cartesianas, en cuyo caso las operaciones que habría que
hacer se verían
∫ (∫ ∫ [∫ [1 + ( 𝑥2
+ 𝑦2
)2] 𝑑𝑧
2
√𝑥2
+𝑦2
] 𝑑𝑦) 𝑑𝑥
√4−𝑥2
−√4−𝑥2
2
0
2
−1
(Verifique e "intente" comenzar éstas) resulta mucho más sencillo si hacemos la
transformación a coordenadas cilíndricas En tal caso, la función a integrar se ve como
𝑓( 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧) = 1 + ( 𝑟2
)2
= 1 + 𝑟4
. La región de integración queda limitada en la
coordenada 𝑧 por el cono 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 cuya ecuación se ve como 𝑧 = 𝑟 y por el plano 𝑧 =
2 (cuya ecuación se ve igual); la proyección de la región ∩ en el plano 𝑥𝑦 , que es 𝑥2
+ 𝑦2
≤
4 (interior de la intersección del cono con el plano), se describe como 0 ≤ 𝑟 ≤ 2,0 ≤ 𝜃 ≤
2𝜋.Entonces la integral procurada es

∫ (∫ [∫ (1 + 𝑟4 ) 𝑟 𝑑𝑧
2
𝑟
] 𝑑𝑟)𝑑𝜃 = ∫ (∫ (1 + 𝑟4) 𝑟
2
0
(2 + 𝑟) 𝑑𝑟)
2𝜋
0
2
0
2𝜋
0
𝑑𝜃
= ∫ (∫ (2𝑟 − 𝑟2
+ 2𝑟5
− 𝑟6) 𝑑𝑟
2
0
) 𝑑𝜃 =
92
21
𝜋
2𝜋
0
Ejemplo: Calculemos la integral triple de la función 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 (
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 ) + 1 sobre la
región ∩ 𝑑𝑒 𝑅3
encerrada por la superficie
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧4
𝑐4
= 1
Un análisis simple de las simetrías de esta superficie nos muestra que se trata de una superficie
cerrada simétrica a todos los ejes y a todos los planos coordenados (la ecuación no sufre
modificación alguna al sustituir en ella 𝑥 por – 𝑥, y/o por – 𝑦, y o 𝑧 𝑝𝑜𝑟 − 𝑧). Pasando las
coordenadas cilíndricas generalizadas 𝑟, 𝜃𝑧̆n según las formulas 𝑥 = 𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 =
𝑏𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑐𝑧̆, la región ∩ corresponde ala región ∩ ´ ( en el espacio 𝑟𝜃𝑧̆)limitada por la
superficie que contiene a la ecuación
𝑟2
+ 𝑧̆ 4
= 1, 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑧̆ = ∓√1 − 𝑟24
Limitada entonces por 0 ≤ 𝑟 ≤ 1(observece el dominio de la función 𝑧̆ = 𝑧̆( 𝑟)),0 ≤ 𝜃 ≤
2𝜋, −√1− 𝑟24
≤ 𝑧̆ ≤ √1− 𝑟24
. El nuevo integrando es
𝑓(𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑏𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑐𝑧̆ = 𝑘𝑟2
+ 1
De modo que la integral requerida es
∫ (∫ [∫ ( 𝑘𝑟2
+ 1) 𝑎𝑏𝑐𝑟𝑧̆] 𝑑𝑟) 𝑑𝜃
√1−𝑟24
− √1−𝑟24
1
0
2𝜋
0
= 2𝜋𝑎𝑏𝑐 ∫ 2√1 − 𝑟24
1
0
( 𝑘𝑟2
+ 1) 𝑟 𝑑𝑟
= 4𝜋𝑎𝑏𝑐 (
8𝑘 + 18
45
)

COORDENADAS ESFÉRICAS
Introducimos tres nuevas coordenadas para un punto 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑛 𝑅3
, denotadas por
𝑟, 𝜃, ∅ según las formulas
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑦 = 𝑟sen 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅
A la tercera ordenada (𝑟, 𝜃, ∅) se le llama coordenadas esféricas del punto P. es fácil ver que
los parámetro 𝑟, 𝜃, ∅ de las formulas anteriores corresponden, repectivamnete, a la distancia 𝑟
del punto 𝑃´ = ( 𝑥, 𝑦, 0) = proyección de 𝑃 en el plano 𝑥, 𝑦, al angulo que forma el segmento
que une el origen con el punto𝑃 con la parte positiva del eje 𝑧, como se muestra en la figura
siguiente.
Para que la función 𝐹 sea inyectiva, los rangos de variación del las coordenadas esféricas
𝑟, 𝜃, ∅ se toman como
𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋
En el sistema de coordenadas esféricas la ecuación de la esfera concentro en el origen y radio
𝑅, 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑅2
, se ve como
𝑅2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= ( 𝑟cos 𝜃𝑠𝑒𝑛∅)2
+ (𝑟 sen 𝜃𝑠𝑒𝑛∅)2
+ (𝑟𝑐𝑜𝑠∅)2
= 𝑟2
𝑠𝑒𝑛2
∅( 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) + 𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
∅ = 𝑟2( 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃) = 𝑟2

Es decir, como 𝑟 = 𝑅. Por otra parte, puesto que la coordenada 𝜃 en el sistema esférico es la
misma que en sistema cilíndrico, los planos de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0 corresponden a
ecuaciones del tipo ∅ = 𝑐𝑡𝑒. Por último, las ecuaciones del tipo ∅ = 𝑐𝑡𝑒. Corresponden a
ecuaciones del tipo ∅ ≠ 𝜋/2 es la ecuacion del plano 𝑥𝑦) del tipo 𝑧 = ∓√𝑥2 + 𝑦2(verifique).
De tal modo entonces que el paralelepípedo rectangular en el espacio 𝑟𝜃∅
∩ ´ = {( 𝑟, 𝜃, ∅)I𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅2, 𝜃1 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃2, ∅1 ≤ ∅ ≤ ∅2}
Es transformado, por medio de la función de transformación de coordenadas 𝐹( 𝑟, 𝜃, ∅) =
(𝑟 cos 𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑟sen 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑟𝑐𝑜𝑠∅) en un paralelepípedo “esférico” como se muestra en la
siguiente figura
El jacobiano de la función de transformación a coordenadas esféricas 𝐹( 𝑟, 𝜃, ∅) =
(𝑟 cos 𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑟sen 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑟𝑐𝑜𝑠∅) es
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑟, 𝜃, ∅)
= 𝑑𝑒𝑡 (
cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ −𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠∅
cos∅ 0 −𝑟 𝑠𝑒𝑛∅
)
= 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑑𝑒𝑡 [
−𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅
𝑟 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠∅
] − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ∅det [
cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ −𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅ 𝑟 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅
]
= 𝑐𝑜𝑠∅(−𝑟2
𝑠𝑒𝑛∅ cos∅) − 𝑟𝑠𝑒𝑛 ∅( 𝑟 𝑠𝑒𝑛2
∅) = −𝑟2
𝑠𝑒𝑛 ∅
De modo que la fórmula de cambio de variables en el caso de las coordenadas esféricas se ve
como

∭ 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
∩
∭ 𝑓(
∩′
𝑟cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅)𝑟2
𝑠𝑒𝑛 ∅ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅
Ejemplo: Retomemos el ejemplo 2. Se quiere calcular la integral
∭√ 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2
∩
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Donde ∩ es la región limitada por la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑅2
. Esta región de integración se
ve así en coordenadas esféricas
Donde ∩ ´ = {( 𝑟, 𝜃, ∅)I0 ≤ r ≤ R,0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ∅ ≤ π}
El integrando 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 se ve en las nuevas coordenadas como
𝑓(𝑟 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛∅ , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑒𝑛∅, 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅ = √𝑅2 − 𝑟2
De modo que la integral por calcular queda
∭√ 𝑅2 − 𝑟2 𝑟2
∩
𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅ = ∫ (∫ [∫ √ 𝑅2 − 𝑟2 𝑟2
𝜋
0
𝑠𝑒𝑛∅ 𝑑∅] 𝑑𝜃
2𝜋
0
) 𝑑𝑟
𝑟
0
=
1
4
𝜋2
𝑅4
Como se obtuvo en el ejemplo 2.

5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas
cartesianas, cilíndricas y esféricas
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
En este sistema de coordenadas, el sólido más simple es un bloque cilíndrico.
Para obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integrar triple, supongamos que Q
es una región solida cuya proyección R sobre el plano x, y puede describirse en coordenadas
polares. Esto es.
𝑄 = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) ∶ ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑅. ℎ 1 ( 𝑥, 𝑦 ) < 𝑧 ( ℎ2 ( 𝑥, 𝑦 )
𝑅 = ( 𝑟, 𝑄) 0,= < 0 < 02 𝑔,( 0 ) < 𝑅 < 𝐺2 ( 0)
Si f es una función continua sobre el sólido Q, podemos escribir la integrar triple de f sobre Q
como.
𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 𝑑 𝑉 = / 𝑅 / [ / ℎ2 ( 𝑥, 𝑦) 𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 𝑑 𝑍 ] 𝑑 𝐴
ℎ2 ( 𝑥, 𝑦 )
Donde la integrar doble sobre R se calcula en polares. Es decir, R es una región plana r simple
o 0 simple. Si R es r simple, la forma iterada de la integrar triple en forma cilíndrica es.
𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) 𝑑 𝑉 / 02 ( 0)/ ℎ 2 ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 0, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ( 0) 𝑓 ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 0 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 0, 𝑧 ) 𝑟 𝑑 𝑧 𝑑 𝑧 𝑑𝑟 𝑑0
𝑄 02 𝑔 2 ( 0) ℎ 1 ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠,0, 𝑟 𝑠𝑒𝑛, ( 0)
Ejemplo: Calculo de la masa en coordenadas cilíndricas
Hallar la masa de la porción del solido elipsoidal Q dado por 4×2 + 4×2 + z2 = 16, que está por
encima del plano x, y, supuesto que la densidad en un punto del solido es proporcional a su
distancia al plano x, y.

Solución: La función densidad es p (r, 0, z) = k z. Los límites para z son
16 – 4 × 2 – 4𝑦2
= 16 – 4 𝑟2
= 2 4 – 𝑟2
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS
Las integrales triples que involucran esferas o conos sueles ser más fáciles de calcular en
coordenadas esféricas. Recordemos que las ecuaciones de conversión de coordenadas
rectangulares a esféricas son
𝑋 = 𝑝 𝑠𝑒𝑛 0 𝑐𝑜𝑠 0
𝑌 = 𝑝 𝑠𝑒𝑛 0 𝑠𝑒𝑛 0
𝑍 = 𝑝 𝑐𝑜𝑠 0
En este sistema de coordenadas, la región mas simple es un bloque esférico determinado por
( 𝑝,0, 0 ): 𝑝1 < 𝑝2 01 < 0 < 02 01 < 0 < 02)
Donde 𝑝1 > 0,02 – 01 < 2 𝑝𝑖, 𝑦 0 < 01 < 02 < 𝑝𝑖. 𝑆𝑖 ( 𝑝,0, 𝑞, ) es un punto interior
del bloque, el volumen del bloque se puede aproximarse por 𝐴𝑉 = 𝑝 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑝 𝐴𝑄 𝐴0
Por el proceso habitual de tomar una partición interior, sumar y pasar al límite se llega a la
siguiente versión de una integrar triple en coordenadas esféricas para una función continua f
definida sobre el sólido Q.
Calcular el volumen de la región solida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono
𝑧 2
= 𝑥2
+ 𝑦2
y por arriba por la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 9

CONCLUSIÓN
De acuerdo a los temas que hemos podido estudiar en esta unidad, hemos logrado
comprender mucho mejor los diferentes conceptos que conlleva estudiar el cálculo vectorial,
además de que las aplicaciones incluidas en los diferentes temas son básicas adecuadas a las
competencias previas de los estudiantes. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con
la identificación, por parte del alumno de los diferentes conceptos y formulas de esta unidad.
Esta unidad tiene unos temas muy interesantes que a los estudiantes les podría interesar y les
ayudara a desarrollarse mejor en el ámbito escolar, por ejemplo sabemos que es una integral
de línea y como las podemos ocupar para resolver problemas entre otras cosas. Todos los
temas fueron investigados a partir de libros que se pueden encontrar casi en cualquier
biblioteca o se pueden encontrar en internet, y además porque son los que más fáciles de
interpretar.

Anexo 1
CUESTIONARIO:
1.- ¿Qué es una integral de línea?
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una
curva.
2.- ¿Cómo se denota la integral de línea del campo 𝑭 a lo largo del (o sobre el) camino 𝝀?
∫ 𝑭
𝜆
, ∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀, 𝑜 ∫ 𝐹1 ( 𝑥) 𝑑𝑥1 + 𝐹2 ( 𝑥) 𝑑𝑥2 + ⋯ + 𝐹𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑛
𝜆
3.- ¿Que notación se suele utilizar cuando el camino 𝝀 es cerrado?
∮ 𝐹 . 𝑑𝝀
𝝀
𝑜 ∮ 𝐹1 ( 𝑥) 𝑑𝑥1
𝝀
+ 𝐹2( 𝑥) 𝑑𝑥2 + ⋯+ 𝐹𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑛
4.- Menciona algunas propiedades generales de las integrales de línea
Establece que una integral de línea es invariante por reparametrizaciones del camino sobre el
que se integra el campo F. La integral de línea de un campo F sobre el camino inverso −𝝀 es
el negativo de la integral de línea del campo F sobre 𝝀.
5.- ¿Que nos dice que teorema de Fubini?
El teorema de Fubini, llamado así en honor del matemático italiano Guido Fubini,
afirma que si la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio AXB
puede ser escrita como: Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una
integral en el producto de dos intervalos.

6.- ¿Que significa el área transversal de una figura bajo un plano?
El área transversal está dada por el promedio del diámetro de cualquier figura bajo un
determinado plano.
7.- ¿Que nombre reciben las funciones dadas por integrales dobles?
Funciones escalonadas.
8.- ¿De qué manera se trabajan las coordenadas polares en los sistemas de integrales
dobles?
Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado
que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares. Recordemos las ecuaciones que
relacionan coordenadas polares con rectangulares.
9.- ¿Qué es un sistema continuo?
Se define la posición del centro de masa o sistema continuo al sistema continuo de partículas,
se realizan dos cálculos de una función.
10.- ¿Qué son los centros de masa?
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico
que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de
las fuerzas externas al sistema.
11.- ¿Qué significa momentos de figuras planas?
El segundo momento de área, también denominado momento de inercia o momento de de
área, es una propiedad geométrica a las figuras de la sección transversal de elementos
estructurales.
12.- ¿Cuál es el teorema de valor medio?

Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
13.- ¿Es la diferencia de las áreas de dos sectores circulares?
R… Área de la 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 subregión
14.- ¿Qué es la norma 𝐈𝐈 ∆ 𝐈𝐈 de la partición?
Es la longitud de la diagonal más grande de los rectángulos “curvados”.
15.- ¿Cómo puede interpretarse la integral doble de una función, en la región cerrada en
el plano coordenado polar?
Como la medida del volumen de un sólido usando coordenadas cilíndricas.
16.- ¿Cuál es la fórmula para la suma de las medidas de los volúmenes de los 𝒏 solidos?
∑ 𝑓( 𝑟̅𝑖, 𝜃̅𝑖) 𝑟̅𝑖 ∆𝑖 𝑟 ∆𝑖 𝜃
𝑛
𝑖=1
17.- ¿A qué se le llama coordenadas cilíndricas del punto P.?
A la tercera ordenada ( 𝑟 , 𝜃, 𝑧).
18.- ¿A se le llama coordenadas esféricas del punto P?
A la terna ordenada (𝑟, 𝜃, ∅)
19.- ¿Para que la función 𝑭 sea inyectiva, como se toman los rangos de variación de las
coordenadas esféricas 𝒓, 𝜽, ∅?
𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋

20.- En el sistema de coordenadas esféricas la ecuación de la esfera concentro en el origen
y radio 𝑹, 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
= 𝑹 𝟐
, ¿Cómo se ve?
R…𝑅2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= ( 𝑟cos 𝜃𝑠𝑒𝑛∅)2
+ (𝑟sen 𝜃𝑠𝑒𝑛∅)2
+ (𝑟𝑐𝑜𝑠∅)2
= 𝑟2
𝑠𝑒𝑛2
∅( 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) + 𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
∅ = 𝑟2( 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃) = 𝑟2
21.- Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio
mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del
eje.
Coordenadas cilíndricas
22.- Producen integrales triples difíciles de calcular
Esferas, elipsoides, conos, paraboloides
23. ¿Cuáles son las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a
esféricas?
𝑥 = 𝑝 𝑠𝑒𝑛 0 𝑐𝑜𝑠 0
𝑦 = 𝑝 𝑠𝑒𝑛 0 𝑠𝑒𝑛 0
𝑧= 𝑝 𝑐𝑜𝑠0
24. Las integrales triples que involucran esferas o conos sueles ser más fáciles de calcular
en:
Coordenadas esféricas

Anexo 2
PROBLEMARÍO
1.- Consideremos el campo 𝐹: ℝ2→
ℝ2
,𝐹( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 4𝑦, 𝑎𝑥 + 𝑦) donde a es una constante.
Realice la integral de F a lo largo del círculo 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
, recorrido una vez en sentido
antihorario. Podemos tomar el camino 𝝀: [0,2𝜋] → ℝ2
, 𝝀( 𝒕) = ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡) como
parametrización del círculo. Así
∮ 𝐹1( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2 ( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑥2
+𝑦2
=𝑟2
= ∫ (𝑟 cos 𝑡 + 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡)(−𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡) + (𝑎𝑟 cos 𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡)( 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
∫ ( 𝑎𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
𝑡 − 4𝑟2
𝑠𝑒𝑛2
𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜋𝑟2
(𝑎 − 4)
2𝜋
0
2.- Consideremos ahora el campo en ℝ3
, 𝐹: ℝ3
→ ℝ3
dado por 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑦𝑧, 𝑥𝑧, 𝑥𝑦) y
sea 𝝀: [0,
𝜋
4
] → ℝ3
el camino 𝝀( 𝒕) = (𝒄𝒐𝒔 𝒕, 𝒔𝒆𝒏 𝒕, 𝒕). En forma geométrica 𝝀 ([0,
𝜋
4
])
corresponde a la octava parte de una vuelta de una hélice dibujada sobre el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
=
1 comenzando en el punto (1,0,0). La integral de línea del campo F a lo largo de la curva 𝝀
es
∫ 𝑭
𝜆
. 𝑑𝝀 = ∫ 𝑭(𝜆( 𝑡)). 𝜆´( 𝑡) 𝑑𝑡
𝝅
𝟒
𝟎
= ∫ ( 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡 cos 𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡) (– 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 1) 𝑑𝑡
𝜋
4
0
= ∫ (−𝑡 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 + 𝑡 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡
𝜋/4
0

= ∫ ( 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
4
0
= [ 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 cos 𝑡]0
𝜋/4
=
𝜋
8
3.- Sea la integral doble: ∫ ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
1+𝑥
√𝑥
1
0
∫ ∫ (2𝑥𝑦 𝑑𝑦) 𝑑𝑥
1+𝑥
√𝑥
1
0
∫(2𝑥. 𝑦/2
1
0
∫ 𝑑𝑥
1+𝑥
√𝑥
∫(𝑥𝑦 2
1
0
∫ 𝑑𝑥
1+𝑥
√𝑥
∫ 𝑥(1 + 𝑥)2 − 𝑥(√ 𝑥)2 𝑑𝑥
1
0
∫( 𝑥 + 2𝑥2
+ 𝑥3
− 𝑥2) 𝑑𝑥
1
0
∫( 𝑥 + 𝑥3
+ 𝑥3) 𝑑𝑥
1
0
=
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+
𝑥4
4
1,0
=
𝟏
𝟐
+
1
𝟑
+
1
𝟒
– (0)
=
13
𝟏𝟐
4.- Hallar el centro de masa de un cubo de lado 1 que tiene un vértice inferior en el origen de
coordenadas, sabiendo que en punto (x, y, z) la densidad es proporcional al cuadro de su
distancia al origen.
Solución: Como la densidad en cada punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de un
distancia a (0, 0, 0) se tiene 𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
) donde k es cierta constante.
En primer lugar tenemos:
𝑚 = ∫ 𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑑𝑦
1
𝑢
∫ 𝑘(𝑥2
1
𝑢
+ 𝑦2
)𝑑𝑧 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
1
0
∫( 𝑥2
+ 𝑦2) 𝑧 +
𝑧
3
]
1
𝑢
1
0
𝑑𝑦

= 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
1
0
∫(𝑥2
| 𝑦2
|
1
3
)
1
0
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2
𝑦|
𝑦3
3
|
1
0
𝑦
3
)|
1
0
𝑑𝑟
= 𝑘 ∫(𝑥2
+
2
3
1
0
)𝑑𝑥 = 𝑘(
𝑥3
3
+
2𝑥
3
) |
1
0
= 𝑘
Por otra parte,
𝑀 𝑦𝑧 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑑𝑦
1
0
∫ 𝑥(𝑥21
0
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)𝑑𝑧 = 𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
𝑛
[∫ 𝑑𝑦 ∫ (𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
)𝑑𝑧
1
0
1
0
]
Como se comprueba fácilmente, la integral entre corchetes se calculo más arriba, con lo cual,
𝑀 𝑦𝑧 = 𝐾 ∫ 𝑥
1
𝑛
(𝑥2
|
2
3
) 𝑑𝑥 = 𝑘 (
𝑥4
1
|
𝑥3
3
)|
1
0
=
7 𝑘
12
De lo que sigue:
𝑥 =
𝑀 𝑦𝑧
𝑚
=
7𝑘/12
𝑘
=
7
12
Finalmente, por la naturaleza de y la simetría de la figura se tiene que x= y =z y por y por
consiguiente el centro de masa esta en el punto (
7
12
,
7
12
,
7
12
).
5.- Recordatorio 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Evaluar:
∬(3𝑥 + 4𝑦2) 𝑑 𝐴
Donde r es la región del semi-plano superior limitado por los círculos

𝑥2
+ 𝑦2
= 1 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
𝑅 = {( 𝑥, 𝑦)}I ≤ 𝑟 ≤ 2,0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}
∫ ∫ 3𝑟 cos( 𝜃) + 4𝑟2( 𝜃) 𝑑𝜃𝑑𝑟𝜃 = 84𝜋
2𝜋
0
4
1
6.-Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha
expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie:
r = 6Sen .
r = 6Sen . (r)
𝑟2
= 6rSen .
𝑥2
+ 𝑦2
= 6y.
𝑥2
+ (y - 3)2 = 9.
Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano x, y es la circunferencia con
centro (0, 3) y radio 3.

Anexo 3
SOPA DE LETRAS
Encuentre las siguientes palabras en la sopa de letras.
 Integral
 Transversal
 Diferencial
 Desigualdad
 Intervalo
 Áreas
I A B F Z D I F E R E N C I A L B Z
N Ñ Q G X C T Z Ñ T M Q F V U M D Ñ
T R A N S V E R S A L V T D J U C P
E T I Z K R U E G Ñ O J L B T Z X E
G H Y R S B S O P Ñ M N I F X Ñ A L
R D K Ñ G F E L H R T V U Ñ D R Z P
A B I N T E G R A L D O B L E Q V I
L Z D R W E X E U X G I Z A S X T R
R O W N Y Ñ O J T Q Z N S D I T Q T
E Z I D G S L R B W S T R X G N E L
Ñ T F M E Y K Q E Y W E Q H U E U A
W Q N S H R D Z Q M H R Y W A R X R
S R Y C S A F Ñ T Y A V F G L P H G
Z J C O O R D E N A D A S Y D N X E
V Y J V N U A Z I O P L L H A B Z T
H C V F U N C I O N K O T B D P K N
T H S W A Q B T Y P I G R Z Ñ E R I
Ñ I N T E G R A L D E L I N E A V Q
 Función
 Integral doble
 Integral triple
 Integral de línea
 Teorema
 Coordenadas

Solución:
A B F Z D I F E R E N C I A L B Z
N Ñ Q G X C T Z Ñ T M Q F V U M D Ñ
T R A N S V E R S A L V T D J U C P
E T I Z K R U E G Ñ O J L B T Z X E
G H Y R S B S O P Ñ M N I F X Ñ A L
R D K Ñ G F E L H R T V U Ñ D R Z P
A B I N T E G R A L D O B L E Q V I
L Z D R W E X E U X G I Z A S X T R
R O W N Y Ñ O J T Q Z N S D I T Q T
E Z I D G S L R B W S T R X G N E L
Ñ T F M E Y K Q E Y W E Q H U E U A
W Q N S H R D Z Q M H R Y W A R X R
S R Y C S A F Ñ T Y A V F G L P H G
Z J C O O R D E N A D A S Y D N X E
V Y J V N U A Z I O P L L H A B Z T
H C V F U N C I O N K O T B D P K N
T H S W A Q B T Y P I G R Z Ñ E R I
Ñ I N T E G R A L D E L I N E A V Q

GLOSARIO
Integración: Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es
decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Integral: es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. La integral de una
función arroja datos relevantes de áreas determinadas por curvas y formas aun no concluidas.
Función: una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro
conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio
le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también
llamado rango o ámbito).
Campo vectorial: Un campo vectorial en n ℝ es una función 𝐹: 𝐴 ⊆ ℝ 𝑛
→ ℝ 𝑛
que asigna a
cada punto 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) de su dominio A un vector 𝐹( 𝑋) = (𝐹1 ( 𝑥), 𝐹2( 𝑥),… , 𝐹𝑛( 𝑥)).
Teorema: afirmaciones que pueden ser demostradas como verdaderas dentro de un marco
lógico a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación.
Variable: Una variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no
especificado comprendido en un conjunto. Se llaman así porque varían, y esa variación es
observable y medible.
Notación: es el lenguaje simbólico formal que sigue convenciones propias. Los símbolos
permiten representar conceptos, operaciones y todo tipo de entidades matemáticas.
Transversal: Significa aquello que cruza, corta o atraviesa.
Paraboloide: Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se
describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo: a/b
Elipsoide: Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres
secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que
contienen dos ejes cartesianos.

Diferencial: El diferencial de una función es un objeto matemático que representa
una linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente.
Acotar: Señalar y representar los limites de alguna función sobre un plano.
Desigualdad. Es un tipo de expresión algebraica que utiliza los símbolos "mayor que" (>) y
"menor que" (<).
Intervalo: Es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre
dos valores dados.
Desplazamiento: En física se define como el cambio de posición de un cuerpo entre dos
instantes o tiempos bien definidos.
Magnitud vectorial. Es aquella que cumple con 3 condiciones esenciales, que posea
magnitud, dirección y sentido, y que por consiguiente pueda representarse gálicamente en un
plano cartesiano.
Momento Estático. El primer momento de área (también momento estático o de primer
orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana.
Integración Doble. Integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región de
un plano x, y.
Paraboloide: es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante
ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:(
𝑥
𝑎
)2
± (
𝑦
𝑏
)
2
− 𝑧 = 0
Elipsoide: es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son
elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.
Cono: recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y
al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
Esfera: es una superficie de revolución o el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos
equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud

del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie
esférica se llama bola cerrada.
Sistema de coordenadas: es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para
determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.

BIBLIOGRAFÍA
Louis,L. (1992). El calculo con gometria analitica. Mexico:HARLA.
Ruiz,C. P.(1994). Calculo vectorial. MexicoDF: PRENTICE-HALLHISPANOAMERICANA S.A.

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