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Definición1
2 Propiedades
Integrales Iteradas
Integrales en coordenadas cartesianas
3
4
1
Aplicaciones: Volúmenes5
INTEGRALES TRIPLESSe definen de manera
análoga a las integrales
dobles.
Se considera una función de
tres variables f(x; y; z) continua
en una región solida acotada
Q. Si Q se divide
en un grupo de cubos, el
volumen del i-ésimo cubo es:
∆V =∆xi∆yi∆z
Si en cada cubo se
eligen un punto ( 𝑥𝑖, ,
𝑦𝑖, , 𝑧𝑖,), se forma la suma
de Riemann
Tomando el límite
cuando el numero de
cubos n→∞, se llega a
la definición de la
integral triple
Para evaluar la integral, existen
seis ordenes diferentes de
integración.
Dxdydz, dydzdx ,dzdxdy, dzdydx,
dydxdz, dydzdx
Si f es una función
continua definida en una
región solida definida Q
Donde h1, h2, g1, g2 son funciones
continuas, Entonces:
Para determinar los límites que
definen la región Q, se determinan
primero los límites de la integral
interior, estos límites pueden ser
funciones de las variables
exteriores de la integral, una vez
definidos, se hace una proyección
del solido sobre el plano de las dos
variables exteriores de la integral y
se definen sus límites.
1.
2.
3.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣 =
𝑠
( (
𝜑2(𝑥)
𝜑1(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧)𝑑𝑦)𝑑𝑥
𝜑2(𝑥,𝑦)
𝜑1(𝑥,𝑦)
1.
Cálculo del Volumen por Integral Triple
Así como la integral doble puede interpretarse como la medida
del ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA cuando F(x,y)=1, la
Integral Triple se puede interpretar como la medida del
VOLUMEN DE UNA REGIÓN TRIDIMIENSIONAL cuando
F(x,y,z)=1. Así tenemos:
La integral triple es la medida del VOLUMEN DE LA REGIÓN
R.
 
Rv
dzdydxdvVVOLUMEN
Cálculo del Volumen por Integral Triple
Por ejemplo supongamos que la región V está limitada:
 Superiormente por la superficie z=f2(x,y)
 Inferiormente por la superficie z=f1(x,y)
 Lateralmente por un cubo de generatrices paralelas al eje Z.

A
yxf
yxf
dAVVOLUMEN
),(
),(
2
1
Z=f1(x,y)
Z=f2(x,y)
x
y
z
v
Si A representa la región cubierta por la
Proyección Ortogonal del sólido sobre el
plano XY (determinada por el cubo) el
VOLUMEN DE LA REGIÓN V puede
calcularse por la Integral Triple Iterada:
A
Analizando el Volumen del Sólido
Cálculo del Volumen por Integral Triple
Los límites de integración para z
indican que para cada (x,y) de la región
A, z se extiende desde la superficie
inferior z=f1(x,y) a la superficie superior
z=f2(x,y).Z=f1(x,y)
Z=f2(x,y)
x
y
z
v
A
Analizando el Volumen del Sólido
(Los Límites de Integración)
Los límites de integración para x e y se
extienden a la región A (se determina
en forma análoga para las integrales
dobles). En la práctica, es conveniente
dibujar la Región A para ver más
fácilmente cuales son los límites de
integración.
Ejemplo 01:
Ejemplo
Solución: Para resolver la integral triple de la función f se debe
seleccionar primero el orden de integración:
Calculemos el Volumen del sólido que tiene como
techo al paraboloide hiperbólico z = 8 + x2 - y2 y como piso al
paraboloide z=x2+y2 sobre el rectángulo  .22,22/),(  yxyxR

v
dvVVOLUMEN
Usando la fórmula:
Ejemplo
Solución: Haciendo un esbozo del sólido:
La integral triple para el volumen sería:
Ejemplo 2:
Ejemplo
Ahora para definir la región R, determinaremos la curva de intersección
entre las superficies:
Igualando, tenemos:
Ejemplo
Colocando los límites de integración, tenemos:
Ejemplo 03: Determine el volumen del sólido B acotado por las
superficies: x = 0, y = x , y = 2− x, z =1 y z = 5 -
Ejemplo
Solución: Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la
integral triple B dV ∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B
acotado por las superficies mencionadas en el ejemplo 4 y
adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la
entrada y la salida del recinto B.
:
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
Ejemplo
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha
proyección se muestra en la figura.
Entonces la región D, está definida como:
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Aplicaciones de las Integrales Triples ccesa007

  • 1.
  • 2. Definición1 2 Propiedades Integrales Iteradas Integrales en coordenadas cartesianas 3 4 1 Aplicaciones: Volúmenes5
  • 3.
  • 4.
  • 5. INTEGRALES TRIPLESSe definen de manera análoga a las integrales dobles. Se considera una función de tres variables f(x; y; z) continua en una región solida acotada Q. Si Q se divide en un grupo de cubos, el volumen del i-ésimo cubo es: ∆V =∆xi∆yi∆z Si en cada cubo se eligen un punto ( 𝑥𝑖, , 𝑦𝑖, , 𝑧𝑖,), se forma la suma de Riemann Tomando el límite cuando el numero de cubos n→∞, se llega a la definición de la integral triple Para evaluar la integral, existen seis ordenes diferentes de integración. Dxdydz, dydzdx ,dzdxdy, dzdydx, dydxdz, dydzdx Si f es una función continua definida en una región solida definida Q Donde h1, h2, g1, g2 son funciones continuas, Entonces: Para determinar los límites que definen la región Q, se determinan primero los límites de la integral interior, estos límites pueden ser funciones de las variables exteriores de la integral, una vez definidos, se hace una proyección del solido sobre el plano de las dos variables exteriores de la integral y se definen sus límites.
  • 6.
  • 8.
  • 9. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣 = 𝑠 ( ( 𝜑2(𝑥) 𝜑1(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧)𝑑𝑦)𝑑𝑥 𝜑2(𝑥,𝑦) 𝜑1(𝑥,𝑦)
  • 10. 1.
  • 11.
  • 12.
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  • 15.
  • 16. Cálculo del Volumen por Integral Triple Así como la integral doble puede interpretarse como la medida del ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA cuando F(x,y)=1, la Integral Triple se puede interpretar como la medida del VOLUMEN DE UNA REGIÓN TRIDIMIENSIONAL cuando F(x,y,z)=1. Así tenemos: La integral triple es la medida del VOLUMEN DE LA REGIÓN R.   Rv dzdydxdvVVOLUMEN
  • 17. Cálculo del Volumen por Integral Triple Por ejemplo supongamos que la región V está limitada:  Superiormente por la superficie z=f2(x,y)  Inferiormente por la superficie z=f1(x,y)  Lateralmente por un cubo de generatrices paralelas al eje Z.  A yxf yxf dAVVOLUMEN ),( ),( 2 1 Z=f1(x,y) Z=f2(x,y) x y z v Si A representa la región cubierta por la Proyección Ortogonal del sólido sobre el plano XY (determinada por el cubo) el VOLUMEN DE LA REGIÓN V puede calcularse por la Integral Triple Iterada: A Analizando el Volumen del Sólido
  • 18. Cálculo del Volumen por Integral Triple Los límites de integración para z indican que para cada (x,y) de la región A, z se extiende desde la superficie inferior z=f1(x,y) a la superficie superior z=f2(x,y).Z=f1(x,y) Z=f2(x,y) x y z v A Analizando el Volumen del Sólido (Los Límites de Integración) Los límites de integración para x e y se extienden a la región A (se determina en forma análoga para las integrales dobles). En la práctica, es conveniente dibujar la Región A para ver más fácilmente cuales son los límites de integración.
  • 19. Ejemplo 01: Ejemplo Solución: Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar primero el orden de integración: Calculemos el Volumen del sólido que tiene como techo al paraboloide hiperbólico z = 8 + x2 - y2 y como piso al paraboloide z=x2+y2 sobre el rectángulo  .22,22/),(  yxyxR  v dvVVOLUMEN Usando la fórmula:
  • 20. Ejemplo Solución: Haciendo un esbozo del sólido: La integral triple para el volumen sería: Ejemplo 2:
  • 21. Ejemplo Ahora para definir la región R, determinaremos la curva de intersección entre las superficies: Igualando, tenemos:
  • 22. Ejemplo Colocando los límites de integración, tenemos:
  • 23. Ejemplo 03: Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: x = 0, y = x , y = 2− x, z =1 y z = 5 - Ejemplo Solución: Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple B dV ∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por las superficies mencionadas en el ejemplo 4 y adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del recinto B. :
  • 24. Por lo tanto el volumen se obtiene como: Ejemplo Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha proyección se muestra en la figura. Entonces la región D, está definida como:
  • 25. Ejemplo Entonces la región D, está definida como: