calculo vectorial

1. Calculo vectorial
El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones
matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran
medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.
Magnitudes escalares y vectoriales
Se llame magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su
valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un
cuerpo, el volumen, etc.
Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su
dirección y sus sentidos. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan
gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la
velocidad, la aceleración, o la fuerza.
Definición de vector:
Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro
elementos diferenciadores, que son:
--Punto de aplicación u origen.
--Dirección o línea de acción, que es la recta que contiene al vector.
--Sentido del vector.
--Módulo del vector, que es su longitud.
Clasificacion de vectores
* Vectoreslibres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos
como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k,
perpendiculares entre sí y unitarios.
* Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio
manteniendo el módulo y el sentido constante y su dirección paralela.
Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que
representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie.
*Vectoresdeslizantes. Puedentrasladarsuorigenalo largo de su línea de acción y vienen
determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de
acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido.

2. *Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos
característicos;vienendadospuesporsumódulo,dirección,sentidoypuntode aplicación.
Comoejemplose puede citarlavelocidadde unapartículamóvil ola fuerzaaplicadaen un
punto.
*Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del
vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de
rotación,y el sentidodel vectorse hace corresponderconel sentidode giroa través de un
convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el
sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector.
La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de
vector axial.
Otras definiciones de vectores son las siguientes:
1.-Vectores equipolentes son aquellos vectores libres que tienen el mismo módulo, la
misma dirección y el mismo sentido.
2.- Los vectores de cualquier clase que tienen el mismo módulo, la misma dirección y
sentidos contrarios se llaman vectores opuestos.
Operaciones con vectores.
La suma o resultante de dos vectores v1 y v2 es el vector que se obtiene de unir el origen
de v1 con el extremo de v2, cuando éste se aplica en el extremo del primero.
La definiciónvistaparasumade vectoresse llama regla de paralelogramo. La diferencia de
dos vectores se define como el vector que resulta de sumar el primero con el opuesto del
segundo.
El producto de un número real k por un vector v es otro vector kv que tiene la misma
direcciónque v,el mismosentidoque voel contrario,segúnque k seapositivoonegativo,y
un módulo que resulta de multiplicar k por el módulo de v.
Todo vectorse puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que
tenga la misma dirección y el mismo sentido que él.
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el coseno del
ángulo que esos vectores forman entre sí.
El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector.
--El productoescalarde dos vectoresesigual que el producto escalar de uno de ellos por el
vector de proyección ortogonal del otro sobre él.

3. --El módulode la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b,
dividido por el módulo de b, cuando la proyección a y b tienen el mismo sentido.
--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son
perpendiculares.
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características:
--El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores
por el seno del ángulo que forman.
--La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b.
--El producto vectorial no es conmutativo.
Aplicaciones del producto vectorial
*Momento de un vector respecto de un punto. El momento se define como el producto
vectorial del vector de posición del origen del vector respecto de O por el propio vector.
*Momento de un par de vectores respecto de un punto. Se llama par de vectores al
conjunto formado por dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y
sentidos contrarios. La suma o resultante de ambos es el vector nulo.
*Momento de un vector con respecto a un eje. Se define como la proyección sobre dicho
eje del momentode ese vectorcon respecto a un punto cualquiera del eje. El momento es
independiente del punto elegido sobre el eje.
Derivación vectorial.
Cuandoa cada punto(x,y,z) del espaciose le puede asociarunescalarque depende de sus
coordenadas, F(x, y, z), se dice que hemos definido un campo escalar F. Un ejemplo de
campo escalar sería el definido por las temperaturas en cada punto de la tierra en un
instante determinado.
Cuandoun campoescalar esindependientedel tiempose llamacampoescalar permanente
o estacionario.
Cuando un campo vectorial es independiente del tiempo se llama campo vectorial
permanente o estacionario.
Varios
--Cuandodecimosde unafunciónque es derivable se quiere indicar que esa función tiene
las primeras derivadas parciales continuas.

4. Teorema de Green
En física y matemáticas,el teoremade Green da la relación entre una integral de línea alrededor
de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El
teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso
especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y
seaD laregiónlimitadaporC.Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta
que contiene D
A veces la notación
Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva la
curva cerrada C.
Relación con el teorema de Stokes
El teoremade Greenesun caso especial del clásicoteoremade Kelvin-Stokescuandoesaplicadoa
una región en el plano-xy.
Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la
componente zesconstantemente0.Escribiremos Fcomo una función vectorial .
Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:
Teorema de Kelvin-Stokes:
La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal
unitario apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las
definicionesde "orientaciónpositiva"paraambosteoremas(GreenyStokes).Se verifica.

5. De esta manera obtenemos el lado derecho del teorema de Green
Relación con el teorema de la divergencia
El teoremade Greenesequivalente alasiguienteanalogía bidimensional del teorema de Stokes:
Donde es el vector normal saliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación.
Como esun vectorapuntandotangencialmente a través de una curva, y la curva C
estáorientadade manerapositiva(esdecir,en contra del sentido de las agujas del reloj) a través
de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual
podría ser . El módulode este vectores . Por lo tanto
.
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en
Que por medio del teorema de Green resulta: