Este documento define una recta en el espacio como la intersección de dos planos y presenta las ecuaciones paramétricas y la ecuación simétrica de una recta. Explica que dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares, cortarse o cruzarse, y proporciona las condiciones necesarias para cada caso.

1. RECTAS EN EL
ESPACIO
Geometría Analítica del espacio
Curso: CÁLCULO VECTORIAL
Rafael D. Méndez A.

2. Definición
Antes de empezar a hablar de superficies más complejas que el
plano, es importante dedicarle una parte del estudio a un
elemento muy importante en el tema de las superficies: La recta
en el espacio, la cual es considerada como la intersección de dos
planos. Por definición:
“Sea L una recta en el espacio, tal que contenga un punto dado P0
y sea paralela a las representaciones de un vector dado R. La recta
L es el conjunto de puntos P tal que el vector es paralelo al
vector R”

3. z
y
x
De lo cual se puede concluir que:

4. Finalmente:
Ecuaciones paramétricas de la recta
en el espacio
Donde:

5. De las ecuaciones paramétricas tenemos:
Finalmente,
Ecuación de la recta
en forma simétrica

6. Si tenemos dos rectas en el espacio:
Según su relación geométrica, estas pueden ser entre sí:
1
En este caso sus números direccionales serán proporcionales, así:
Condición necesaria para que
dos rectas sean paralelas

7. 2
En este caso el producto punto de sus vectores direccionales es
igual a cero, así:
Entonces:
Condición necesaria para que
dos rectas sean perpendiculares

8. 3
Los otros dos casos que pueden darse, es que las rectas se corten o
se crucen, en el primer caso entre ambas habrá un punto de
intersección. Lo cual indica que si las rectas no son entre sí paralelas
ni perpendiculares, se comprueba si hay entre ellas un punto en
común, en ese caso se cortan, si no hay tal punto en común se
cruzan, así:
Con estas dos ecuaciones se hallan
los valores de
Se reemplazan los valores hallados
en la tercera ecuación, si la satisface
las rectas SE CORTAN, si no SE
CRUZAN.
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