El documento describe un proyecto para resolver ecuaciones algebraicas utilizando un Sistema Algebraico por Computadora (SAC). El proyecto tiene los objetivos de aprender a utilizar un SAC y fomentar el trabajo en equipo. Se presentan varios ejemplos de ecuaciones algebraicas resueltas utilizando el SAC, incluyendo encontrar las soluciones de las ecuaciones mediante representaciones gráficas y ampliaciones sucesivas.

1. Introducción
El proyecto consiste en la ejecución de un Sistema Algebraico por Computadora (SAC) para diver-
sos ejercios en los cuales ponen a prueba los conocimientos adquiridos por el estudiante. En su
preparacion como futuro ingeniero, tambien para hacer uso de las nuevas tecnologia e ignobar el
aprendizaje de los nuevos estudiantes.
Objetivos
- Aprender a utlizar un SAC para la ejecucion de problemas algebraicos.
- Fomentar el trabajo en equipo.
Solución de Problemas
Problema 1: Solución de ecuaciones
1. Exprese la ecuacion en la forma F(x) = f(x) - g(x) = 0
1.1.
x2
3
+ 48
x2
= 10  x
3
- 4
x

f[x_] :=
x2
3
+
48
x2
g[x_] := 10
x
3
-
4
x
F[x_] := f[x] - g[x]
F[x]
-10 -
4
x
+
x
3
+
48
x2
+
x2
3
2. Dibuje la representacion grafica de la funcion F(x)

2. Plot-10 -
4
x
+
x
3
+
48
x2
+
x2
3
, {x, -8, 10}
-5 5 10
20
40
60
80
3.Las soluciones de la ecuacion se encuentran los valores en donde la grafica intersecta al eje x.
Para encontrar estos valores con la precision requerida pueden hacerse ampliaciones sucesivas en
los puntos de interseccion, hasta que tengamos la solucion con tantos decimales como sea nece-
sario
Plot[F[x], {x, -2.1, -1.9}, PlotRange → {-0.2, 0.2}]
(*Grafica No.1 Interseccion 1 lado izquierdo*)
Plot[F[x], {x, -1.7, -1.57}, PlotRange → {-0.2, 0.2}]
(* Grafica No. 2 intersecion 1 lado izquierdo*)
-2.05 -2.00 -1.95 -1.90
-0.2
-0.1
0.1
0.2
-1.68 -1.66 -1.64 -1.62 -1.60 -1.58
-0.2
-0.1
0.1
0.2
2 Proyecto MB1.nb

3. Plot[F[x], {x, 5.9, 6.1}, PlotRange → {-0.4, 0.4}]
(*Interseccion No.1 lado derecho*)
5.95 6.00 6.05 6.10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Show[%38, ImageSize → Large]
5.95 6.00 6.05 6.10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Plot[F[x], {x, 7.50, 7.6}, PlotRange → {-0.5, 0.5}]
(*Interseccion No.2 Lado Derecho *)
7.52 7.54 7.56 7.58 7.60
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Proyecto MB1.nb 3

4. Show[%41, ImageSize → Large]
7.55 7.60 7.65 7.70
-0.4
-0.2
0.2
0.4
1. Exprese la ecuacion en la forma F(x)=f(x)-g(x)=0
1.2
x - 1 + 2 x - 2 + x - 1 - 2 x - 2 = 2
f[a_] := a - 1 + 2 a - 2 + a - 1 - 2 a - 2
g[a_] := 2
F[a_] := f[a] - g[a]
F[a]
-2 + -1 - 2 -2 + a + a + -1 + 2 -2 + a + a
2. Dibuje la representacion grafica de la funcion F(x)
Plot[f[a], {a, -8, 8}]
-5 5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
3.Las soluciones de la ecuacion se encuentran los valores en donde la grafica intersecta al eje x.
Para encontrar estos valores con la precision requerida pueden hacerse ampliaciones sucesivas en
4 Proyecto MB1.nb

5. los puntos de interseccion, hasta que tengamos la solucion con tantos decimales como sea nece-
sario
Plot[F[a], {a, 2, 4}, PlotRange → {-0.4, 3}](*Grafica No.1 Lado derecho*)
2.5 3.0 3.5 4.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Show[%66, ImageSize → Full] (*Zoom de la grafica No.1 del lado derecho*)
2.5 3.0 3.5 4.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1. Exprese la ecuacion en la forma F(x)=f(x)-g(x)=0
1.3
x+1
x-2
+ 2
x-2
x+1
= 3
f[x_] :=
x + 1
x - 2
+ 2
x - 2
x + 1
g[x_] := 3
F[x_] := f[x] - g[x]
Proyecto MB1.nb 5

6. F[x]
-3 + 2
-2 + x
1 + x
+
1 + x
-2 + x
2. Dibuje la representacion grafica de la funcion F(x)
Plot[F[x], {x, -8, 8}]
-5 5
0.5
1.0
1.5
2.0
3.Las soluciones de la ecuacion se encuentran los valores en donde la grafica intersecta al eje x.
Para encontrar estos valores con la precision requerida pueden hacerse ampliaciones sucesivas en
los puntos de interseccion, hasta que tengamos la solucion con tantos decimales como sea nece-
sario
Plot[F[x], {x, -20, 6}, PlotRange → {-0.4, 2}]
-20 -15 -10 -5 5
0.5
1.0
1.5
2.0
6 Proyecto MB1.nb

7. Plot[F[x], {x, -2000, -1200}, PlotRange → {-0.001, 0.001}]
-1800 -1600 -1400 -1200
-0.0010
-0.0005
0.0005
0.0010
Plot[F[x], {x, -20, 0}, PlotRange → {-0.2, 0.2}]
(*Zoom Grafica 1, lado izquierdo no hay interseccion en -x*)
-20 -15 -10 -5
-0.2
-0.1
0.1
0.2
1. Exprese la ecuacion en la forma F(x)=f(x)-g(x)=0
1.4
2 x2 - 9 x - 5= 3x-5
f[x_] := Abs2 x2
- 9 x - 5
g[x_] := 3 x - 5
F[x] := f[x] - g[x]
F[x]
5 +
48
x2
- 3 x +
x2
3
2. Dibuje la representacion grafica de la funcion F(x)
Proyecto MB1.nb 7

8. Plot[F[x], {x, -14.396, 18.5315}]
-15 -10 -5 5 10 15
50
100
150
Plot [F[x], {x, 15, 0}, PlotRange → {-50, 150}]
(*Grafica de la función lado derecho*)
2 4 6 8 10 12 14
-50
50
100
150
Plot [F[x], {x, 2.4, 8}, PlotRange → {-1, 1}]
(*Intersección lado derecho, no hay intersección*)
4 5 6 7 8
-1.0
-0.5
0.5
1.0
8 Proyecto MB1.nb

9. Plot [F[x], {x, -1, -10}, PlotRange → {0, 30}]
(*Grafica de la función lado izquierdo*)
-10 -8 -6 -4 -2 0
5
10
15
20
25
30
Plot [F[x], {x, -15, -1}, PlotRange → {-15, 50}]
(*Intersección lado izquierdo no hay interseccion en -x*)
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10
10
20
30
40
50
Para las siguientes ecuaciones
i) utilice el procedimiento descrito para encontrar las soluciones de cada ecuacion con almenos de
dos decimales
ii)Encuentre las soluciones de las ecuaciones utilizando los comandos apropiados del programa de
computo utilizado
iii) Resuelva las ecuacion utilizando procedimientos algebraicos
1.1
x2
3
+ 48
x2
= 10  x
3
- 4
x

NSolve48  x2
+ x2
 3 ⩵ 10 (x / 3 - 4 / x), x, 3
{{x → -2.00}, {x → 6.00}, {x → -1.58}, {x → 7.58}}
Simplificando
Proyecto MB1.nb 9

10. Simplify
x2
3
+
48
x2
- 10
x
3
-
4
x

144 + 120 x - 10 x3 + x4
3 x2
Factorizando
Factor
x2
3
+
48
x2
- 10
x
3
-
4
x

(-6 + x) (2 + x) -12 - 6 x + x2
3 x2
1.2
x - 1 + 2 x - 2 + x - 1 - 2 x - 2 = 2
NSolve x - 1 + 2 x - 2 + x - 1 - 2 x - 2 == 2, x, 3
{{}}
Reduce[Sqrt[-1 - 2 Sqrt[-2 + x] + x] + Sqrt[-1 + 2 Sqrt[-2 + x] + x] ⩵ 2, x, Reals]
2 ≤ x ≤ 3
Factorizando
Element[Factor[Sqrt[-1 - 2 Sqrt[-2 + x] + x] + Sqrt[-1 + 2 Sqrt[-2 + x] + x] ⩵ 2], Reals]
-1 - 2 -2 + x + x + -1 + 2 -2 + x + x ⩵ 2 ∈ Reals
1.3
x+1
x-2
+ 2
x-2
x+1
⩵ 3
NSolve
x + 1
x - 2
+ 2
x - 2
x + 1
⩵ 3, x, 3
{{x → 3.00}}
Factorizando.
Factor
x + 1
x - 2
+ 2
x - 2
x + 1
⩵ 3 // ExpandAll
1
-2 + x
+
x
-2 + x
+ 2 -
2
1 + x
+
x
1 + x
⩵ 3
1.4
2 x2
- 9 x - 5 = 3 x - 5
NSolveAbs2 x2
- 9 x - 5 ⩵ 3 x - 5, x, 3
{{x → 6.00}, {x → 4.19}}
1.5 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones dibujando en el mismo sistema de coordenadas
las representaciones graficas de las ecuaciones y luego haciendo aproximaciones hasta obtener
10 Proyecto MB1.nb

11. las coordenadas aproximadas de los puntos de interseccion.
x2
+ xy + y2
= 4
x+xy+y=2
Solvex2
+ x * y + y2
⩵ 4, {y}
Solve[x + x y + y ⩵ 2, {y}]
y →
1
2
-x - 16 - 3 x2
, y →
1
2
-x + 16 - 3 x2

y →
2 - x
1 + x

o[x_] :=
1
2
-x - 16 - 3 x2
P[x_] :=
1
2
-x + 16 - 3 x2
q[x_] :=
2 - x
1 + x
Plot[{o[x], p[x], q[x]}, {x, -10, 10}, PlotStyle → {Blue, Black, Purple}]
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
2 Un problema de
los círculos tangentes
2.1. Datos
r1= radio del circulo c1
F[x]= diametro
Solve(1 + r1)2
== 1 + (1 - r1)2
, {r1}
r1 →
1
4

Proyecto MB1.nb 11

12. d[r1_] := 2 r1 (* d[r1] es el diametro del circulo*)
d[1 / 4]
1
2
2.2
Solve(1 + r2)2
⩵
1
2
- r2
2
+ 1, {r2}
r2 →
1
12

f[R2_] := 2 R2
f[1 / 12]
1
6
2.3
a[x_] :=
1
1 (2)
a[x]
1
2
b[x_] :=
1
2 (3)
b[x]
1
6
c[x_] :=
1
3 (4)
c[x]
1
12
d[x_] :=
1
4 (5)
d[x]
1
20
e[x_] :=
1
5 (6)
e[x]
1
30
12 Proyecto MB1.nb

13. h[x_] :=
1
6 (7)
h[x]
1
42
H[x_] := a[x] + b[x] + c[x] + d[x] + e[x] + h[x]
H[x]
6
7
2.4
Sum[H[x], {n, 0, Infinity}]
Sum::div : Sum does not converge. 

n=0
∞ 6
7
La tabla siguiente contiene las concentraciones de anhídrido carbónico CO2 obtenidas durante el
crecimiento de plantas de trigo en la camara de un laboratorio. Los resultados en partes por millon
(ppm) han sido tabulados paraun periodo de 3 dias. Los datos en la parte sombreada corresponde
a ciclos oscuros de 4 horas durante los cuales la iluminacion ha sido suprimida.
Table
Proyecto MB1.nb 13

14. 3.1
Utilice su programa de cómputo para dibujar una representacion grafica de los datos.
Grafica 1. Aumento de Co2
Fuente: elaboracion en hoja de excel
Grafica 2. Acercamiento de la grafica del aumento de Co2 desde la hora 1 hasta la hora 21.
Fuente: elaboracion en hoja de excel
Grafica 3. Acercamiento de la grafica del aumento de CO2 desde la 23 horas hasta la hora 45.
14 Proyecto MB1.nb

15. Fuente: elaboracion en hoja de excel
Grafica 4. Acercamiento de la grafica del aumento de CO2 desde 49 hora hasta la hora 72
Fuente: elaboracion en hoja de excel
3.2
Utilizando un SAC, experimente con los polinomios de diferentes grados para tratar de
determinar una función que modele los datos. Dibuje la répresentacion grafica de los datos y de
los modelos obtenidos. ¿Qué modelo parece ajustar mejor los datos?
Grafica circular.
Proyecto MB1.nb 15

16. Grafica de lineas.
Grafica de barras.
Grafica de dispersion
16 Proyecto MB1.nb

17. 3.4 Utilice un SAC, únicamente con los datos que se pueden ajustar a una recta horizontal.
Obtenga la ecuación de la recta horizontal.
Y = 1400
3.5 Durante los ciclos oscuros aumenta la concentración de CO2 en la cámara. Estos incrementos
en la concentración pueden ser modelados utilizando tres funciones lineales. Obtenga las ecuaciones
de las tres funciones lineales que describen el incremento de concentración de CO2 durante los
ciclos oscuros. ¿Que significado tiene la pendiente de esta recta?
Donde:
función a) y2=1640, y1=1180, x2=12, x1=9, m=pendiente de la función a y f(x)=función a=Y
función b)y2=1620, y1=1160, x2=36 y x1=33 y m2=pendiente de la función b y g(x)=función b=Y1
función c)y2=1620, y1=1160, x2=60 y x1=57 m3=pendiente de la funció y h(x)=función b=Y2
m =
y2-y1
x2-x1
ecuación dos puntos pendiente
y-y1=m(x-x1) ecuación punto pendiente
Proyecto MB1.nb 17

18. Calculo de la función a
Solve
1640 - 1180
12 - 9
⩵ m, {m}
m →
460
3

Solvey - 1180 ==
460
3
(x - 12), {y}
y →
20
3
(-99 + 23 x)
f (x) =
460
3
x - 660
Caculo de la función b
Solve
1620 - 1160
36 - 33
⩵ m2, {m2}
m2 →
460
3

Solvey - 1160 ==
460
3
(x - 33), {y}
y →
20
3
(-585 + 23 x)
g (x) =
460
3
x - 3900
Caculo de la función c
Solve
1620 - 1160
60 - 57
⩵ m3, {m3}
m3 →
460
3

Solvey - 1160 ==
460
3
(x - 57), {y}
y →
20
3
(-1137 + 23 x)
h (x) =
460
3
x - 7580
La pendiente significa un crecimiento.
3.6 Obtenga tres ecuaciones lineales que describan el decaimiento en la concentración de CO2
durante los periodos inmediatamente siguientes a los ciclos oscuros, cuando las plantas utilizan el
dióxido de carbono para la fotosíntesis. ¿Cuál es el significado de la pendiente de estas rectas?
Donde:
ecuación a) y2=1020, y1=1520, x2=16, x1=13, m=pendiente de la función a y ecuación a=Y
ecuación b)y2=1030, y1=1490, x2=40 y x1=37 y m2=pendiente de la función b y ecuación b=Y1
ecuación c)y2=1030, y1=1500, x2=64 y x1=61 m3=pendiente de la funció y ecuación c=Y2
18 Proyecto MB1.nb

19. m =
y2-y1
x2-x1
ecuación dos puntos pendiente
y-y1=m(x-x1) ecuación punto pendiente
Calculo de la ecuación a
Solve
1020 - 1520
16 - 13
⩵ m, {m}
m → -
500
3

Solvey - 1520 ⩵ -
500
3
(x - 13), {y}
y → -
20
3
(-553 + 25 x)
Y = -
500
3
x +
11 060
3
Calculo de la ecuación b
Solve
1030 - 1490
40 - 37
⩵ m, {m}
m → -
460
3

Solvey1 - 1490 ⩵ -
460
3
(x - 37), {y1}
y1 → -
10
3
(-2149 + 46 x)
Y1 = -
460
3
x +
21 490
3
Calculo de la ecuación c
Solve
1030 - 1500
64 - 61
⩵ m, {m}
m → -
470
3

Solvey2 - 1500 ⩵ -
470
3
(x - 61), {y2}
y2 → -
10
3
(-3317 + 47 x)
Y2 = -
470
3
x +
33 170
3
La pendiente significa un decrecimiento.
3.6 Escriba la formula de la función por partes que describe la concentración ce CO2 en a cámara
durante los tres días que duró el experimento.
F (x) = y = 1400
Proyecto MB1.nb 19

20. Conclusiones
Podemos decir que todo lo realizado en el siguiente documento es para beneficio del futuro profe-
sional guatemalteco a quien no solo realizara una practica en papel sino tambien tomando en
cuenta el uso de la tecnologia como apoyo definido para su desempeño.
Forma parte de toda la formacion de los estudiantes de ingenieria por lo cual es definido como una
forma de complementar su aprendizaje.
20 Proyecto MB1.nb