Este documento presenta los conceptos básicos de relaciones y funciones matemáticas. Define términos como par ordenado, producto cartesiano, dominio, rango e inversa de una relación. También explica cómo graficar ecuaciones mediante la identificación de intersecciones con los ejes, asíntotas, simetrías y extensión del dominio y rango. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Funciones [Lineales, Cuadráticas, Polinomiales, Racionales, Exponenciales y L...RfigueroaS
Este es un breve documento creado con información recopilada de distintas fuentes que habla sobre las funciones y sus tipos, espero que te sirva de mucho.
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Funciones [Lineales, Cuadráticas, Polinomiales, Racionales, Exponenciales y L...RfigueroaS
Este es un breve documento creado con información recopilada de distintas fuentes que habla sobre las funciones y sus tipos, espero que te sirva de mucho.
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Este material está pensado para todos aquellos jóvenes que quieren iniciar en el estudio de funciones, contiene ejercicios desde el nivel básico hasta llegar a ejercicios de nivel avanzado.
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Se denomina motor de corriente alterna a aquellos motores eléctricos que funcionan con alimentación eléctrica en corriente alterna. Un motor es una máquina motriz, esto es, un aparato que convierte una forma determinada de energía en energía mecánica de rotación o par.
Una señal analógica es una señal generada por algún tipo de fenómeno electromagnético; que es representable por una función matemática continua en la que es variable su amplitud y periodo en función del tiempo.
libro conabilidad financiera, 5ta edicion.pdfMiriamAquino27
LIBRO DE CONTABILIDAD FINANCIERA, ESTE TE AYUDARA PARA EL AVANCE DE TU CARRERA EN LA CONTABILIDAD FINANCIERA.
SI ERES INGENIERO EN GESTION ESTE LIBRO TE AYUDARA A COMPRENDER MEJOR EL FUNCIONAMIENTO DE LA CONTABLIDAD FINANCIERA, EN AREAS ADMINISTRATIVAS ENLA CARREARA DE INGENERIA EN GESTION EMPRESARIAL, ESTE LIBRO FUE UTILIZADO PARA ALUMNOS DE SEGUNDO SEMESTRE
1. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 48 y funciones
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 1
II RELACIONES Y FUNCIONES
2.1 PAR ORDENADO. Es (a, b) donde a es la primera componente y b la
segunda componente.
2.2 PRODUCTO CARTESIANO. A ´ B = {(a, b) / a Î A, b Î B}
Ejemplo 1. El producto cartesiano de A = {p, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}
es A´B = {(p; e), (p; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2), (1/3; e), (1/3; 0.2)}
Ejemplo 2. Si A = ℝ, B = ℝ, entonces A´B = ℝ´ℝ = ℝ2
2.3 DEFINICIÓN DE RELACIÓN
R es una relación de A en B Û R Ì A´B
Esto es: R = {(a, b) Î A´B / a R b}
Ejemplo 1. El conjunto R = {(p; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2)} es una relación de A en B,
según definido A y B como en el ejemplo 1 del tema anterior.
Ejemplo 2. El conjunto R = {(x, y)Îℝ2 / x – y < 1} es una relación de ℝ en ℝ.
2.4 CASO PARTICULAR. R es una relación en A Û R Ì A´A
2.5 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
El conjunto: DR = { aÎA / (a, b) ÎR } se llama dominio de R.
El conjunto: RR = { bÎB / (a, b) Î R } se llama rango de R.
Ejemplo 1. Si A = {p, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}y la relación está definida por
R = {(p; 0.2), (-2; 0.2)} entonces su dominio y rango son, respectivamente,
DR = {p, -2}, RR = {0.2}
Ejemplo 2. Para la relación R = {(x, y)Îℝ2 / x2– y = 1}
Dominio = ℝ, Rango = [-1, +¥>
2.6 RELACIÓN INVERSA
Si R = {(a,b) Î A´B / aR b } ⇒ R -1 = { (b,a) Î B´A / aR b }
Dominio de R -1 = Rango de R
Rango de R -1 = Dominio de R
Ejemplo. La inversa de la relación R = {(p; 0.2), (-2; 0.2)}
es R -1= {(0.2; p), (0.2; -2)}
2.7 CRITERIOS PARA GRAFICAR UNA ECUACIÓN
i. Intersecciones con los ejes.
a) Eje x: se hace y = 0 en la ecuación y se despeja x.
b) Eje y: se hace x = 0 en la ecuación y se despeja y.
ii. Extensión. Hallar el dominio y rango.
iii. Simetrías.
2. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 2 y funciones
a) Existe simetría con el eje x, si la ecuación no cambia al reemplazar y por
-y.
b) Existe simetría con el eje y si la ecuación no varía al cambiar x por -x.
c) Existe simetría con el origen si la ecuación no varía al cambiar x por -x e y
por -y.
iv. Asíntotas.
a) Se obtienen asíntotas horizontales, si existe, después de despejar x en
términos de y e igualar a cero el denominador.
b) Se obtienen asíntotas verticales, si existe, al igualar a cero el denominador
después de despejar y en términos de x.
v. Tabulación y gráfica.
Ejemplo1. Graficar y2(x2 - 4) = x2
Solución
Intersecciones:
Si x = 0 ⇒ y = 0
Si y = 0 ⇒ x = 0
Luego, (0, 0) es el único punto de intersección.
Extensión:
Dominio. Despejamos "y":
x
y
x
2
2 4
= ±
-
(1)
2
2
x
D : 0 x 4 0
R 2
x 4
³ Û - >
-
DR = <-¥, -2> È <2, +¥>
Rango. Despejamos "x":
2
4y
2
x
y 1
= ±
-
(2)
2
4y
R : 0
R 2
y 1
³
-
Û y2 – 1 > 0
RR = <-¥, -1> È <1, +¥>
Asíntotas. De (1) y (2) se tiene que x = -2, x = 2 son asíntotas verticales y
y = -1, y = 1 son asíntotas horizontales.
Tabulación y gráfica.
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 47
III.
- x2 , x Î< -¥ , 0
>
=
g(x) 1
Î< ¥ >
, x 0,
x
tiene inversa.
32. Dada la función f (x) = x + x2 + 9 con xÎ[-4, 4]. Halle f -1, si existe.
33. Sea
x2 8x 12, x 6, 4
f (x) x 2, x [ 2,1
x 5
, x [1, 4]
3 3
+ + Î< - - >
= + Î - >
+ Î
Determine f -1, si existe
34. Si
f (x) = 1+ x, -1£ x £ 2
< =
2
x , x 0
g(x)
- ³
x 1, x 0
Grafique f g
35. Un empresario organiza un tour a Huaraz. El costo por persona es de 300 soles,
si participan hasta 25 personas. Por cada persona adicional hace una rebaja de
10 soles a cada una. Si x representa el número de personas y C(x) el ingreso
total, el modelo matemático que describe la situación planteada es
a)
£
=
-
300x, 0 x 25
c(x)
300 x, x 25
b)
£
=
-
300x, 0 x 25
c(x)
x 300, x 25
£
=
300x, 0 x 25
c(x)
c) 2
-
300x x , x 25
d)
£
=
-
300x, 0 x 25
c(x)
500 x, x 25
e)
300x, 0 x £
25
=
-
c(x)
(550 10x)x, x 25
3. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 46 y funciones
22. Hallar el rango de la función:
x 4
= - Î
f (x) , x [5, 29]
+
x 2
23. Dada la función definida por f (x) = x2 - 2x + 4 . Hallar el conjunto formado
por todos los valores x tal que f (x)Î -5,12] .
24. En el conjunto de los números reales, definimos:
- ³
=
x 1, x 2
2
f (x)
-
x 1, x 2
Si a0, calcular af (3- a) + f (2a)
25. ¿Cuál es el valor de la suma de las imágenes según P(x) = x2 - 2x +1 de los
números que son raíces de Q(x) = x2 + x -1 ?
26. Si el mínimo valor de f(x)=x2+bx+5 es 1, hallar el valor de b.
27. La resistencia de un material del aluminio está dado por la función:
10
= - . Siendo x el peso ejercido sobre el material. ¿Para qué
f (x) x(12 x)
9
peso la resistencia es máxima?
28. Halle el rango de la función: f (x) = 8x - 2x2 + 3
29. Dadas las funciones
= + = -
f
= + = -
g
1
f (x) x , D [ 1, 1]
2
1
g(x) x , D [ 1, 1]
2
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. f es par.
II. g es impar.
f y g son pares
x 3 1
= - + Î
f (x) , x 1, 2
30. Dada la función 2
- -
x 1 (x 1)
Es cierto que:
I. Es inyectiva.
II. Es creciente.
III. Posee inversa
31. Indique el valor de cada una de las proposiciones:
f : [ 1,1 , 0]
I. x 1
x f (x) +-
x 1
- ® -¥
® =
es sobreyectiva
II. f (x) = 5 - 5 - x2 + 2x, xÎ -1, 0 es inyectiva.
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 3
Ejemplo 2. Graficar x2 + y2 = 22
Solución
2
Y
-2 2
-2
X
Ejemplo 3. Graficar x2 - y2 = 22
Solución
Y
Ejemplo 4. Graficar 4x2 + 25y2 =100 Û
x2 y2
1
+ =
25 4
Solución
-2 2 X
-1
-2
1
2
X
Y
x y
1.1 ± 3. 3
5 ± 1 . 1
10 ± 1 . 02
4. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 4 y funciones
2
-5 5
Ejemplo 5. Graficar 4x2 - 25y2 = 100 Û
x2 y2
1
- =
25 4
Solución
-5 5 X
Ejemplo 6. Graficar
(x 2)2 (y 1)2
1
+ + - =
25 4
Solución
3
(-2, 1) 1
-7 3
Ejemplo 7. Graficar
(x 2)2 (y 1)2
1
+ - - =
25 4
Solución
-1
X
Y
-2
Y
-2
X
Y
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 45
5. Hallar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la función
definida por: f (x) = -x2 + 4x + 5 con el eje X.
6. Dada la función definida por f (x) = (x + a)2 - 6a
Hallar el mínimo valor de f(x) para que 8a - 21 sea la imagen de 2.
7. Sea la función f (x) = x2 -1cuyo dominio es Df = [-4;-2]È[-1;1]
Determinar su rango.
8. Dada la función f (x) = 6x - x2 , cuyo dominio es el intervalo [0;8]. Halle su
rango.
9. Dadas las funciones f (x) = -x2 + 3x +1, g(x) = 3x2 + 2x +1. Hallar Rf ÇRg
10. Si f (x - 3) = x2 - 7x + a y f(6) = 8. Hallar el mínimo valor de f.
11. Hallar el dominio de la función
2
= + - -
4 1 x
f (x) x 2
x
12. Dada la función
+
=
+ ³
5x 2, x 2
f (x)
x 3, x 2
Calcular: 5 5f (a2 + 2) + f (1- a2 ); a Îℝ
13. Hallar a+b si la función f (x) = 4x - x2 , x Î[0;7] tiene como rango [a; b]
2x -
1
14. Hallar el dominio de la función: f (x)
= 2
-
2 x
15. Hallar el rango de la función:
= +
5x 3
f (x)
+
x 6
16. Hallar el rango de la función:
x
2
2
f (x)
5x 64
=
+
17. Si f es una función cuadrática tal que {(0;3), (1;2), (2;3)}Ì f . Hallar f(5)
18. Si f = {(2;a -1), (3;5), (2;7), (a;4)}
g = {(4;b2 - 6), (4;b), (b;5), (3;b2 ), (3;c + 5)} son funciones. Hallar a+b+c
19. Dadas las funciones: f (x) = 7x + 5, xÎ -3;12 ;
g(x) = 3x - 20, xÎ -1;8 Hallar Rf ÇRg
20. Determinar las gráficas de:
1) f (x) = 2(x -1)2 + 3 2) f (x) = 3x2 -1
3) f (x) = -2(x + 3)2 4) f (x) = -2(x -1)2 - 3
5) y2 - 4y = 2x -8 6) -2y + y2 = 4x -1
21. Calcular el dominio de la función:
= -
x 1
f (x)
-
2 x
5. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 44 y funciones
1.3) 4y2 = x2 - 4x 1.4) yx2 + 4y -1 = 0
1.5) xy2 - 3y2 -1 = 0 1.6) y2 (x2 - 4) = x + 2
1.7) y2 (x2 - 4) = x2 1.8) 5yx2 - yx - 7 = 0
1.9)
2
2 x
y
3 x
=
-
1.10) yx = 2x2 - 3x - 5
1.11) x2y2 - x2 + y2 = -1 1.12) x2y2 + 4x2 = 4y2
1.13) y2x2 - 4x2 = y2 1.14) xy - 2x - y = 2
1.15) y2 (x +1) = 4 1.16) xy2 + xy - 6x = 3
1.17)
2
2
4x
2
y
x 4
=
-
1.18)
2
= - +
3x 8x 4
2
y
x
1.19)
2
= +
x 1
2
y
- +
2x 5x 2
1.20) x3 + xy2 - y2 = 0
1.21)
= +
x(x 3)
y
+ -
(x 2)(x 2)
1.22) yx2 - 25y - x = 0
1.23) 2 2 2 xy - 4x - 3y + 12x = 0 1.24) y3x4 - y3x2 - x5 = 0
1.25) xy2 - 2y2 - 4x = 0 1.26) x2y2 - 2y2 = x
1.27) y x3 1.28)
2
x 2
y 1
4
-
1.29)
2
x 2
y 1
4
+ 1.30) (y - x )(x - y2 ) 0
1.31) y = sen2x 1.32) y = 3senx
1.33) f (x) = cos(2x - p3 ) 1.34) f (x) = sen(3x + p6 )
1.35) y = ln(x-2) 1.36) f(x) = ln(3 - x)
1.37) y = ln(x + 1) 1.38) y = (x+1)2
3 ex
1.39) y = (2-x)1.40)
y
x
=
1.41)
sen x
f (x)
= 1.42)
x
1
f (x) x sen
x
=
2. Dada la función definida por: f (x) = 3x2 +12x -5 . Hallar su rango
3. Las funciones: f (x) = 3x + 5a , g(x) = ax2 + 5x + 7
tienen como uno de sus puntos de intersección (2;b), hallar el valor de b.
4. Calcular el valor absoluto de la diferencia entre los ceros de la función
f (x) = -x2 + bx + c , si esta toma como valor máximo 9.
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 5
Y
1
-7 -2 3
X
Ejemplo 8. Graficar (y -1)2 = 4(x + 2)
Solución
Y
(-2, 1) 1
-2 X
2.8 GRÁFICAS DE INECUACIONES
1. Primero se grafica la ecuación. Después, en el caso que la curva divida al
plano cartesiano en dos regiones, se elige un punto que pertenece a una de
ellas. Si el punto satisface la inecuación, la región solución, a sombrearse será
donde pertenece el punto; caso contrario, será la otra región.
2. Si la curva no divide al plano cartesiano en dos partes, se aplica propiedades
de desigualdades.
3. Si la inecuación es ó , a la región solución no corresponde los puntos de la
curva. En este caso la curva se dibuja punteada. Si fuera £ o ³ los puntos de la
curva pertenecen a la región solución.
Ejemplo 1. Graficar la solución de la inecuación: x2 + 4y2 4.
Solución
Primero graficamos la ecuación x2 + 4y2 = 4.
1
-2 2
-1
Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que
divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica
solución de la inecuación es
6. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 6 y funciones
Ejemplo 2. Graficar (y -1)2 4(x + 2)
Solución
Primero graficamos la ecuación (y -1)2 = 4(x + 2)
Y
(-2, 1) 1
-2 X
Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que
divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica
solución de la inecuación es
2.9 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una relación especial.
f es una función de A en B Û
i) f es una relación de A en B.
ii) Para xÎA, existe un único yÎB tal que (x, y) Î f.
o también se define como un conjunto de pares ordenados cuyas primeras
componentes todas son diferentes.
Ejemplos:
1) {(-3; 0), (2; 1), (-3; 7)} no es función
2) {(2; 5), (-4; 5), (-3; 1)} si es función
3) {(x, y) Îℝ´ℝ / y = x3} si es función
4) {(x, y) Îℝ2 / y2 = 3x – 1} no es función
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 43
iii) Determinaremos f g-1 . Sean
1
2
2
= - - =
f (x) x 1, x 1:D
1 f
2
= + ³ -
2 f
f (x)
f (x) x 1, x 1:D
1
+
h (x) , x , 1 D
2
x 1
1 1 2 h
2
2 h
g (x)
h (x) x , x [0, D
-
= Î -¥ - = =
= Î +¥ =
iii-1) D f
h = { x / x1 1
Î -¥, -1 Ù x + 1
2 Î -¥,-1 } Û x Î -¥, -3
f1 h1 D = -¥, -1 Ç -¥, - 3 = -¥, - 3
x 1 2
1 1 1 1 2 (f h )(x) = (f (h (x)) = ( + ) -1
iii-2) { 2
1 2
} f h D = x / xÎ[0, +¥ Ù x Î -¥, -1 = Æ
iii-3) D f
h = { x / x2 1
Î -¥, -1 Ù x + 1
2 Î[-1, +¥ } Û xÎ [-3, +¥
f2 h1 D = -¥, -1 Ç[-3, +¥ = [-3, -1
(f2h1)(x) = ((x+1)/2)2 + 1
iii-4) { 2
2 2
} f h D = x / xÎ[0, + ¥ Ù x Î[-1, + ¥ = [0, + ¥
(f2h2)(x) = x4 + 1
Luego,
+
- Î -¥ -
x 1
2
( ) 1, x , 3
- +
1 x 1
(f g )(x) ( ) 1, x 3, 1
2
4
x 1, x [0,
= + Î - -
+ Î +¥
-3 -1
2
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Graficar
1.1) yx2 - y =1 1.2) xy3 + x = 1
7. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 42 y funciones
ii) y = 5x - x2 - 4 Û 24x2 + (-10y)x + (y2 + 4) = 0
5y y2 96
Û x
= (4)
± -
24
De la función original, para x = 2 ⇒ y = 10
Luego, reemplazando en (4)
5(10) 100 = ± -
96
2
24
La igualdad se cumple con el signo -. Luego, la regla de correspondencia de la
función inversa es
2
- - -
1 5y y 96
f (y)
24
=
2
- = - -
1 5x x 96
f (x)
24
32. Dadas las funciones
2
- - =
x 1, x 1
2
f (x)
+ ³ -
x 1, x 1
=
2x, x 0
g(x)
³
x, x 0
Hallar, si existe f g-1 y graficarlo
Solución
i) Primero demostraremos que existe g -1. Para ello, probaremos que g es inyectiva.
En efecto, Sean g1(x) = 2x – 1, 2 g (x) = x
Si g1(a) = g1(b) ⇒ 2a – 1 = 2b – 1 Û a = b
Si 2 2 g (a) = g (b) ⇒ a = b Û a = b
Si x 0 ⇒ 2x – 1 -1 Û g1(x) -1 Û
g1 R = -¥, -1
Si x ³ 0 ⇒ x ³ 0 Û g2(x) ³ 0
g2 Û R = [0, + ¥
Luego,
g1 g2 R ÇR = Æ
Por lo tanto, g es inyectiva. Así que $ g -1
ii) Hallaremos g -1
Sea y = 2x – 1 Û x = (y+1)/2 Û 1 y 1
1 2 g- (y) = +
2 g- (y) = y
Sea y = x Û x = y2 Û 1 2
Luego,
+
x 1
1 2
2
, x , 1
g (x)
x , x [0,
-
Î -¥ - =
Î +¥
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 7
Cuando el conjunto es escrito por comprensión, nos damos cuenta que la parte (x,
y) Îℝ2 se repite, por consiguiente, solamente se escribe la fórmula
5) y = sen(x-1)
6) x2 + y2 = 4
7) y = log3 (x2 - 1)
8) y = tan(2x)
9) y = x-2
10) y = |x+1|
NOTACIONES
1) Si f es una función de A en B, se denota por f :A¾¾®B .
2) (x, y) Î f, se denota por y = f(x)
y = f(x) se llama regla de correspondencia.
x se denomina variable independiente.
y se denomina variable dependiente.
2.10 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El conjunto: Df = {xÎA / y = f(x)} se llama dominio de la función f.
El conjunto: Rf = {yÎB / y = f(x)} se llama rango de la función f.
2.11 GRÁFICAS CON EL SOFTWARE DERIVE
2
1. Graficar con el software DERIVE la función
= -
x 1
2
y
-
x 4
Solución
La pantalla principal del Derive es
La función se ingresa de la siguiente manera, pero antes hay que presionar el icono
de grafica bidimensional
8. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 8 y funciones
Después se presiona enter ( ¿ ) y el icono de la gráfica, se obtiene
2. Con el Derive, graficar y = sin2x – log(3x2 + 1) + ex – 1
Solución
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 41
2 2 4 f - (y) = - + y +
1 1 1
v – 3) Si y = x3 -1 Û x = 3 y +1
1 3
3 f - (y) = y +1
x 4, x [0, 4]
Por lo tanto, 1 1 1
f (x) x , x 20 2 5, 30]
2 4
3
x 1, x 9, 1]
-
+ Î
= - + + Î -
+ Î - -
31. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si
f (x) = 5x - x2 - 4 , xÎ[9, 11]
Solución
i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva.
En efecto:
Si f (a) = f (b) ⇒ 5a - a2 - 4 = 5b - b2 - 4
Û 5(a - b) = a2 - 4 - b2 - 4
2 2
= -
a b
2 2
- + -
a 4 b 4
a + b
Û - - =
(a b) 5 0
2 2
a - 4 + b - 4
(1)
Como a, bÎ[9, 11] ⇒ 18 £ a+b £ 22 (2)
a, bÎ[9, 11]
1 1 1
2 177 a 4 b 4 2 77
Û £ £
2 2
- + -
1 1 1
2 77 a 4 b 4 177
Û - £ - £ -
2 2
- + -
(3)
De (2) y (3), se tiene
- £ - + £ -
22 a b 9
2 77 a 2 4 b 2
4 177
- + -
22 a b 9
» - £ - + £ - »
3.7 5 5 5 4.3
2 77 a 2 4 b 2
4 177
- + -
Luego,
a b
- + ¹
5 0
2 2
- + -
a 4 b 4
a, b Î [9, 11]
Por consiguiente, tomando en cuenta este resultado en (1), resulta
a – b = 0 Û a = b
9. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 40 y funciones
i) Demostraremos que 2
1 f (x) = x - 4 es inyectiva. En efecto:
Si 2 2
1 2 f (a) = f (b) ⇒ a - 4 = b - 4
Û a2 = b2
Û a = b, pues a y b son positivos en [2, 2 2]
ii) Demostraremos que f2(x) = x + x2 es inyectiva. En efecto
Si f2(a) = f2(b) ⇒ a + a2 = b + b2
Û (a-b)(1+a+b) = 0 (1)
Como a, bÎ 2 5, 5] ⇒ 1+ 4 5 1+ a + b £ 11. Luego, 1+a+b ¹ 0.
Luego, de (1), se tiene a = b
iii) Demostraremos que f3(x) = x3 -1 es inyectiva. En efecto
Si f2(a) = f2(b) ⇒ a3 – 1 = b3 – 1 Û a = b
iv) Ahora, hallaremos su rango.
Si
1
2
xÎ[2, 2 5] ⇒ 0 £ x - 4 £ 4 Û Rf = [0, 4]
Si
1 2 1
2 4 f xÎ 2 5, 5] ⇒ 20 - 2 5 (x + ) - £ 30 Û R = 20 - 2 5, 30]
2
Si x Î -2, 0] ⇒ -9 x3 -1 £ -1 Û
f3 R = -9, -1]
Luego,
f1 f2 f1 f3 f3 f2 R ÇR = Æ, R ÇR = Æ, R ÇR = Æ
Por lo tanto, de i) – iv), se concluye que existe la inversa de la función f.
v) Ahora, hallaremos la regla de correspondencia de la función inversa.
v -1) Si y = x2 - 4 ⇒ x = ± y2 + 4 (1)
Si x = 2 ⇒ y = 0
De (1)
Si y = 0 ⇒ 4
2 2 = ±
2 = 2 (la igualdad, se obtiene con el signo +)
1 f - (y) = y + 4
1 2
v – 2) Si 2 1 2 1 1 1
2 4 2 4 y = x + x Û y = (x + ) - Û x = - ± y + (2)
Si x = 5 ⇒ y = 30
De (2)
Si y = 30 ⇒ 1 1
2 4 5 = - ± 30 +
5 = 5 (la igualdad, se obtiene con el signo +)
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 9
2.12 FUNCIONES ESPECIALES
1. FUNCION IDENTIDAD
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
2. FUNCIÓN CONSTANTE
®
x f (x) c, c
f :
® = Î
ℝ
ℝ ℝ
D
R {c}
f
f
=
=
ℝ
3. FUNCIÓN LINEAL O AFÍN
®
x f (x) a x b, a, b
f :
® = + Î
ℝ
ℝ ℝ
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
Primer caso: Cuando a 0
y = c
X
Y
y = x
X
Y
10. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 10 y funciones
Segundo caso: Cuando a 0
4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
D
f
R [0,
f
=
ℝ
= ¥
5. FUNCIÓN SIGNO
ℝ®ℝ
x f (x) sign(x)
f :
® =
D
R {-1, 0,1}
f
f
=
=
ℝ
y y=sign(x)
1
6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO
®
x f (x) x
f :
® =
ℝ ℝ
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℤ
x
- 1
X
Y
y=|x|
y=ax+b
X
Y
a 0
y=ax+b
x
a 0
y
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 39
4
Û - - = +
(b a) 1 0
b a
(1)
Como a, b Î 0, 1] ⇒ 0 a £ 1, 0 b £ 1
Û
£
£
+ £
0 a 1
0 b 1
0 a b 2
Û
1 1
³
a b 2
+
Û
4
- £ -
1 1
+
a b
Luego,
4
- ¹ Î
1 0, a,b 0,1]
+
a b
De (1), se obtiene que a = b Lqqd.
$ f -1
Por otro lado, sea
y = 4 x - x Û 16x = (y + x)2
Û x2 + (2y -16)x + y2 = 0
16 2y (2y 16)2 4y2
Û x
=
Û x = 8 - y ± 64 -16y
- ± - -
2
En la función original, si x = 1 ⇒ y = 3
Al reemplazar en al última expresión, se tiene
1 = 5 ± 16
1 = 5 ± 4
La igualdad se cumple con el signo menos. Luego, la función inversa es
f -1(y) = 8 - y - 64 -16y o f -1(x) = 8 - x - 64 -16x
30. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si
2
- Î
= + Î
x 4, x [2, 2 5]
2
f (x) x x , x 2 5, 5]
3
- Î -
x 1, x 2, 0]
Solución
11. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 38 y funciones
Luego,
f g 2 2 D = [0, 2 Ç[1, = [1,
2 1
3 3
(f2g1) = f2(g1(x)) = 3
iv) D 2
f 2
g x / x [2, 3] x 21,2] 2
= { ÎÙ + Î} -1 x2 £ 0
x = 0
Luego,
f2 g2 D = [2, 3]Ç{0} = Æ
2 (f g)(x) = 3, xÎ[1,
Por lo tanto, 3
28. Hallar, si existe la inversa de f (x) = x2 - 4 , xÎ[4, 10]
Solución
i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva.
En efecto:
Si f (a) = f (b) ⇒ a2 - 4 = b2 - 4
Û a2 = b2
Û a = b Por ser a, b Î[4, 10]
ii) Sea y = x2 - 4 Û x = ± y2 + 4 (1)
Para determinar la regla de correspondencia de la función inversa en este caso,
elegimos un punto de la función, tal como:
Si x = 5 ⇒ y = f (5) = 21
Ahora, sustituimos en (1)
5 = ± 21+ 4
5 = ±5
La igualdad se cumple con el signo +. Luego, la regla de correspondencia de la
función inversa es con el signo +:
f -1(y) = y2 + 4
f -1(x) = x2 + 4
29. Demostrar que f (x) = 4 x - x , x Î 0, 1] posee inversa y hallarla.
Solución
Sabemos que si f es inyectiva, entonces posee inversa. En efecto:
Si f (a) = f(b) ⇒ 4 a - a = 4 b - b
Û b - a = 4( b - a )
Û - = -
4(b a)
b a
+
b a
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 11
3
7. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
f
f
0,
0,
D
R
¥
¥
=
=
y
x
8. FUNCIÓN CUADRÁTICA
f :
x f (x) ax + + ¹
2 bx c, a 0
®
® =
ℝ ℝ
Completando cuadrados el segundo miembro se obtiene:
2 2
b 4ac - b
= + +
2
f (x) a x
2a 4a
Luego,
=
= ¥
D
f
ℝ
R - ,
Si a 0, ⇒ 2
4ac b
f 4a
b 4ac b2
,
2a 4a
- -
X
Y
O
O
O
O
O
O
1
-1
-2
2
0
12. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 12 y funciones
=
= -¥
D
f
ℝ
R , -
Si a 0, ⇒ 2
4ac b
f 4a
b 4ac b2
,
2a 4a
- -
Y
9. FUNCIÓN CÚBICA
ℝ®ℝ
3 x f (x) x
f :
® =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
y = x3
X
Y
10. FUNCIÓN POLINÓMICA
n 1
n
®
X
x f (x) a x a x a x a
n n 1 1 0
f :
-
® = + - + ⋯
+ +
ℝ ℝ
f D = ℝ
Su rango no se puede determinar para el caso general, pues depende del grado
del polinomio y de sus coeficientes.
11. FUNCIÓN RACIONAL
P(x)
Q(x)
ℝ®ℝ
x f (x)
f :
® =
donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 37
Û
- Î -
1 1
2 2
1 3
2 2
2, x [ ,
0, x [ ,
Î
=
Î
- + Î
32
(g f )(x)
2, x [ , 2]
2 x 4, x 2, 4]
27. Si
Î - - =
x , x [ 5, 1]
f (x)
Î
3, x 1, 2]
Î =
2
2x , x [0, 2
g(x)
+ Î
x 2, x [2, 3]
Hallar f g, si existe.
Solución
Sean
= Î - - = =
f (x) x , x [ 5, 1] D
1 f
1
2
= Î =
2 f
f (x)
f (x) 3, x 1, 2] D
= Î = =
1
g (x) 2x , x [0, 2 D
1 g
2
2
= + Î =
2 g
g(x)
g (x) x 2, x [2, 3] D
f g f1 g1 f1 g2 f2 g1 f2 g2 D = D ÈD ÈD ÈD
i) { } f1 g1 D = x / xÎ[0, 2 Ù 2x Î[-5, -1]
-5 £ 2x £ 0
-5 £ 2x 0
-5/2 £ x 0
Luego,
f g 2 D = [0, 2 Ç[- , 0 = Æ
1 1
5
ii) D 2
f 1
g 2
= { x / xÎ[2, 3] Ù x + 2Î[-5, -1] } -5 £ x2 +2 £ -1
-7 £ x2 £ -3
Æ
Luego,
f1 g2 D = [2, 3]ÇÆ = Æ
iii) { } f2 g1 D = x / xÎ[0, 2 Ù 2x Î1, 2]
1 2x 2
2 £ 2x 3
1 £ x 3/2
13. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 36 y funciones
Luego, ( ) 1 1
17 1 1 17 1
g f 2 2 2 2 2 D = [0, 2]Ç - , - ]È[ , = [ , 2]
(g 1 f 1 )(x) = g 1 (f (x)) = 2f (x) = 22 x - 1
1 1 2
ii) { } g1 f2 D = x / xÎ 2, 4] Ù x - 2 Î -1, 3]
-1 x - 2 £ 3
0 £ x - 2 £ 3
0 £ x - 2 £ 3 Ú -3 £ x - 2 £ 0
0 £ x £ 25 Ú 0 £ x £ 4
x Î [0, 25]
Luego,
g1 f2 D = 2, 4]Ç[0, 25] = 2, 4]
1 2 1 2 2 (g f )(x) = (g (f (x)) = 2f (x) = 2 x - 2
iii) D 2 1
g 2
f 1
= { x / xÎ[0, 2] Ù x - 4
Î 3, 5] } 3 x 2 - 1
4 £ 5
2 1
4 4 £ x - 6
5 17 17 5
2 2 2 2 xÎ - , - ]È[ ,
Luego, ( 5 17 17 5
2 1
) g f 2 2 2 2 D = [0, 2]Ç - , - ]È[ , = Æ
iv) { } g2 f2 D = x / x Î 2, 4] Ù x - 2 Î 3, 5]
3 x - 2 £ 5
3 x - 2 £ 5 Ú - 5 £ x - 2 -3
x Î 25, 49]
Luego,
g2 f2 D = 2, 4]Ç 25, 49] = Æ
Por lo tanto, en resumen, la función compuesta es
-
Î - =
1 1
2 2 2 x , x [ , 2]
(g f )(x)
- Î
2 x 2 , x 2, 4]
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 13
{ } f
D x = - Q(x) = 0 ℝ
12. FUNCIÓN SENO
ℝ®ℝ
x f (x) sen(x)
f :
® =
D
R [ 1,1]
f
f
=
ℝ
= -
Y
1
p 2 p
2 p
3
2
-
-p 2p
-2p
- p
3
2
-1
13. FUNCIÓN COSENO
ℝ®ℝ
x f (x) cos(x)
f :
® =
p
D
R [ 1,1]
f
f
=
ℝ
= -
-p
2 p
- p
3
2
1
Y
-2p -
p
2 -1
2.13 CLASES DE FUNCIONES
1. FUNCIÓN PAR
p
X
2p
p
3
2
X
f :ℝ®ℝ es par en Df Û f (-x) = f (x), x Î Df
Ejemplos
1) f(x) = x2 x Î -3, 3 es par.
2) f(x) = x2 x Î -2, 3 no es par.
3) f(x) = cos x, xÎℝ es par.
4) f(x) = |x| xÎ [-5, 5] es par.
2. FUNCIÓN IMPAR
f :ℝ®ℝ es impar en Df Û f (-x) = -f (x), x Î Df
Ejemplos
1) f(x) = x3 x Î -3, 3 es impar.
2) f(x) = x3 x Î -2, 3 no es impar.
14. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 14 y funciones
3) f(x) = sen x, xÎℝ es impar.
3. FUNCIÓN PERIÓDICA
f :ℝ®ℝ es periódica en ℝ Û $ 0 ¹ p Î ℝ / f(x+p) = f(x)
El menor valor positivo p se llama período.
Ejemplos
1) f(x) = sen x, xÎℝ es periódica de periodo 2p.
2) f(x) = cos x, xÎℝ es periódica de periodo 2p.
3) f(x) = tan x, xÎℝ es periódica de periodo p.
4) f(x) = sen 2x, xÎℝ es periódica de periodo p.
5) f(x) = cos 3x, xÎℝ es periódica de periodo 2p/3.
4. FUNCIÓN CRECIENTE
f :ℝ®ℝ es creciente en Df Û 1 2 1 2 1 2 f x x ⇒f (x ) £ f (x ), x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = sen x es creciente en [0, p/2
2) f(x) = cos x es creciente en [-p/2, 0]
3) f(x) = x3 es creciente en ℝ
5. FUNCIÓN DECRECIENTE
f :ℝ®ℝ es decreciente en Df Û
1 2 1 2 1 2 f x x ⇒f (x ) ³ f (x ), x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = sen x es decreciente en [p/2, p]
2) f(x) = cos x es decreciente en [0, p]
3) f(x) = x2 es decreciente en -¥, 0
6. FUNCIÓN INYECTIVA
f :ℝ®ℝ es inyectiva en Df Û
1 2 1 2 1 2 f f (x ) = f (x ) ⇒ x = x , x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = x3 es inyectiva en ℝ
2) f(x) = x2 no es inyectiva en ℝ, pero si es inyectiva en -¥, 0.
7. FUNCIÓN SOBREYECTIVA
f :ℝ®ℝ es sobreyectiva en Df Û Ran(f ) = ℝ
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 35
Hallar f+g y graficarlo
Solución
1 - x + x 2
- 3, x Î [ - 2, - 1 Ç -¥ , 0
1 - x - 3, x Î [ - 2, - 1 Ç [0, p
]
2
(f g)(x)
3 senx x 3, x 0, , 0
3 senx 3, x 0, [0, ]
+ =
+ + - Î +¥ Ç -¥
+ - Î + ¥ Ç p
x2 - x - 2, x Î [ - 2, - 1
+ =
Î p (f g)(x)
senx , x 0, ]
-2 -1 p/2 p
26. Hallar fg, si
2 - 1
Î =
4 x , x [0, 2]
f (x)
- Î
x 2 , x 2, 4]
,
Î -
=
- Î
2x, x 1, 3]
g(x)
4, x 3, 5]
Solución
Sean
1
2
= 2 - 1
Î = =
f (x) x , x [0, 2] D
1 4 f
= - Î =
2 f
f (x)
f (x) x 2 , x 2, 4] D
= Î - =
=
g (x) 2x, x 1, 3] D
1 g
1
2
= - Î =
2 g
g(x)
g (x) 4, x 3, 5] D
D f g = D f1 g1 ÈD f1 g2 ÈD f2 g1 ÈD f2
g2 i) D g x / x[0, 2] x 2 1
1, 3] 1
f 1
= { ÎÙ - 4
Î -} -1 x 2 - 1
4 £ 3
-1 x 2 - 1 Ù x 2 - 1
4 4 £ 3
2 1 2 1
4 4 0 £ x - Ù x - 4
17 1 1 17
2 2 2 2 xÎ - , - ]È[ ,
1
15. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 34 y funciones
Luego, el rango es Rf = {-2} È -2, 2 È {2} = [-2, 2]
22. Dadas las funciones f (x) = 3x2 + 6x + 2 ,
4 x2
g(x)
= -
-
x 2
Hallar el complemento de Rf – Dg
Solución
Sea y = 3x2 + 6x + 2 Û 3x2 + 6x + 2 - y = 0
Despejando x:
- ± - -
=
6 36 12(2 y)
x
6
Rf : 36 – 12(2 - y) ³ 0 Û 2 – y £ 3 Û y ³ -1
Rf = [-1, +¥
Por otro lado, Dg : 4 – x2 ³ 0 Ù x ¹ 2 Û x2 – 4 £ 0 Ù x ¹ 2
Dg = [-2, 2] – {2} = [-2, 2
Luego, Rf – Dg = [-1, +¥ - [-2, 2 = [2, +¥
(Rf – Dg)c = -¥, 2
23. Dadas las funciones f(x) = - x2 + 3x + 1, g(x) = 3x2 + 2x + 1
Hallar Rf Ç Rg
Solución
Completando cuadrados
f (x) = -[x 2 -3x + ( 3 ) 2 ]+1+ ( 3 ) 2
= -(x - 3 2 2 2 2 ) + 13 4 £
13
4 13
4 g f (x)Î -¥, ] = R
g(x) = 3(x 2 + 2 x + ( 1 ) 2 ) +1- 3( 1 ) 2
= 3(x + 1 2 2 2
3 3 3 3 ) + 3 ³
3 2
3 g g(x)Î[ , +¥ = R
f g 4 3 3 4 R ÇR = -¥, ]È[ , +¥ = [ , ]
Luego, 13 2 2 13
24. ¿La función f(x) = ln[sen2(3x)] es par en su dominio?
Solución
Df = ℝ - {0}
f(-x) = ln[sen2(-3x)] = ln[(-sen3x)2] = ln[sen2(3x)] = f(x)
la función es par.
25. Si
1 - x, x Î [ - 2, - 1
=
+
³ f (x)
3 senx , x 0
- =
x2 3, x 0
g(x)
- Î p
3, x [0, ]
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 15
8. FUNCIÓN BIYECTIVA
f :ℝ®ℝ es biyectiva en Df Û f es inyectiva y sobreyectiva
2.14 ALGEBRA DE FUNCIONES
Sean f :Df Ì ℝ®ℝ y g :Dg Ì ℝ®ℝ ⇒
1. (f + g)(x) = f (x) + g(x), xÎDf+g = Df ∩Dg
2. (f - g)(x) = f (x) - g(x), xÎDf-g = Df ∩Dg
3. (fg)(x) = f (x)g(x), xÎDfg = Df ∩Dg
4. (f / g)(x) = f (x) / g(x), xÎDf/g = Df ∩Dg -{x / g(x)=0}
5. (f g)(x) = f[g(x)], xÎDf g = {x / xÎDg Ù g(x)ÎDf }
A esta última operación se le llama composición de funciones.
2.15 FUNCIÓN INVERSA
Si f :ℝ®ℝ es inyectiva en Df ⇒
1 $ f -
Método para hallar 1 f - : De y = f(x) se despeja “x” en términos de “y”. Esto es
y = f (x) Û x = f -1(x)
2.16 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a
x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) a
D
f
R 0,
f
=
ℝ
= ¥
0 a 1
2. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e
x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) e
D
f
R 0,
f
=
ℝ
= ¥
y
x
1
a 1
y
x
1
y
x
1
16. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 16 y funciones
3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE a
a x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) log
D f
0,
R
f
= ¥
= ℝ
y
x
a 1
x
y
0 a 1
Propiedades
1) x
a y = a Û x = log y
2) loga (MN) = loga M + loga N
M
log log M log N
3) a a a
N
= -
4) r
log a (M ) = r log a M
4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE e
ℝ®ℝ
x f (x) loge x ln x
f :
® = =
D f
0,
R
f
= ¥
= ℝ
x
y
2.17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. FUNCIÓN TANGENTE
sen x
cos x
f :
ℝ®ℝ
x ® f (x) = tan x
=
= - p p Î
=
D ℝ { +n / n ℤ
}
R
ℝ
f 2
f
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 33
18. Hallar el dominio de
2
= - +
x 5x 6
2
f (x)
- -
7x x 12
Solución
2
- + ³
- -
x 5x 6
D : 0
f 2
7x x 12
2
2
x 5x 6
Û - + £
0
- +
x 7x 12
Û ( x - 3 )(x 2)
( x 3
-
-
0
)(x 4)
£
-
x 2
Û - £ ¹
0, x 3
-
x 4
Df = [2, 4 - {3}
19. Hallar el dominio de f (x) = x - 2 - 3
Solución
Df : x - 2 - 3 ³ 0 Û x - 2 ³ 3
Û x - 2 ³ 3 Ú x - 2 £ -3 Û x ³ 5 Ú x £ -1
Df = -¥, -1] È[5, +¥
20. Si el rango de f(x) = x2 / (x2 + 1) es [a, b, hallar a+b
Solución
x
2
Sea
2
y
x 1
=
+
Despejando x, se tiene
y
x
1 y
= ±
-
Luego, el rango es f
y
R : 0
1 y
³
-
Û
y
0
y 1
£
-
+ - +
-¥ 0 1
+¥
Rf = [0, 1 = [a, b
Luego, a+b = 0+1 = 1
21. Calcular el rango de la función
- 2, x £ - 1
= - -
³
f (x) x 1, 1 x 3
2, x 3
Solución
Si x £ -1 ⇒ f(x) = -2
Si -1 x 3 ⇒ -2 x – 2 2 ⇒ -2 f(x) 2
Si x ³ 3 ⇒ f(x) = 2
17. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 32 y funciones
Luego, si xÎ[-1, 0 ⇒ f(x) = sen(px/2) - 1 Î [-2, -1
Por lo tanto, en resumen de i) y ii), se tiene que
Rango(f) = [-2, -1 È [-1, 0 = [-2, 0
p
sen 2
x, x Î [ - 1, 0
=
p
- Î - -
2
f (x)
sen x 1, x [ 2, 1
Su gráfica es
-1
-2
-2 -1
15. Hallar el dominio de
4 x 3
= + - -
f (x) 49
+ 2
+
(x 1) x 1
Solución
+ - - ³
4 x 3
D : 49 0
f 2
+ -
(x 1) x 1
Û
2
+ - + - + ³
4 (x 3)(x 1) 49(x 1)
2
0
+
(x 1)
Û 12x2 +25x +12 £ 0, x ¹ -1 Û (4x + 3)(3x + 4) £ 0, x ¹ -1
Luego, 4 3 { }
f 3 4 D = - , - - -1
16. Si f (x) = 2x + x +1 , xÎ[3, 99, hallar su rango.
Solución
Como la función es creciente, entonces Rf = [f(3), f(99) = [8, 209
17. Hallar el dominio de f (x) = 1- 1- x2
Solución
2 2
Df : 1- 1- x ³ 0 Ù 1- x ³ 0 Û 1- x2 £ 1 Ù x2 -1 £ 0
2
Û 1- x2 £ 12 Ù (x -1)(x +1) £ 0 Û x2 ³ 0 Ù xÎ[-1, 1]
Û x Îℝ Ù xÎ[-1,1]
Df = ℝ Ç [-1, 1] = [-1, 1]
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 17
-3p / 2 - p / 2 p / 2 3p / 2 X
2. FUNCIÓN COTANGENTE
cos x
sen x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) c tg x
D {n / n }
R
f
f
ℝ p ℤ
ℝ
= - Î
=
-p p 2p X
3. FUNCIÓN SECANTE
1
cos x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) sec x
= - p p Î
= -¥ - È +¥
D ℝ { +n / n ℤ
}
R , 1] [1,
f 2
f
Y
1
-3p / 2 - p / 2 p / 2 3p / 2 X
-1
Y
0
Y
18. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 18 y funciones
4. FUNCIÓN COSECANTE
1
sen x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) csc x
D {n / n }
R , 1] [1,
f
f
= ℝ - p Î
ℤ
= -¥ - È + ¥
-p 3p / 2
2.18 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1. FUNCIÓN ARCOSENO
f -1(x) = arcsen x , f 1
D - = [-1,1] ,
R - ,
f
= - p p 1 2 2
2. FUNCIÓN ARCOCOSENO
D - = [-1,1] , [ ] f 1
f -1(x) = arccos x , f 1
R - = 0, p
3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE
f -1(x) = arctan x , f 1
= - p p
D - = ℝ , R f
- 1 2 ,
2 - p / 2
p / 2
X
Y
1
-1
p 2p
-1
p /2
1
y
x
arcSenx
- p /2
-1
p
1
arcCosx
0
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 31
La solución general es
14. Hallar el rango y la grafica de la función
( ) ( ) 2 2 f (x) = sen p x + sen p x , xÎ[-2, 0
Solución
Para xÎ[-2, 0, x = -2, -1
i) Si x = -2 ⇒ -2 £ x -1 Û -p £ px/2 -p/2
Por ser la función seno decreciente en este intervalo, se obtiene
sen(-p) ³ sen(px/2) sen(-p/2) Û -1 £ sen(px/2) 0
Û sen(px/2) Î [-1, 0
Por otro lado, sen(px/2) = sen(p(-2)/2) = 0
Luego, si xÎ[-2, -1 ⇒ f(x) = sen(px/2) Î [-1, 0
ii) Si x =-1 ⇒ -1 £ x 0 Û -p/2 £ px/2 0
Por ser la función seno creciente en este intervalo, se obtiene
sen(-p/2) £ sen(px/2) sen(0) Û -1 £ sen(px/2) 0
Û sen(px/2) Î [-1, 0
Por otro lado, sen(px/2) =sen(-p/2) = -1
19. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 30 y funciones
Luego, la solución general es
13. Graficar la solución de x2 2 2 2
4 ( + y -1)(x - y -1) £ 0
Solución
La inecuación es equivalente a
x 2
2 2 2
4
+ - £ Ù - - ³ Ú
2
y 1 0 x y 1 0
x 2 2 2
4
+ y - 1 ³ 0 Ù x - y - 1 £ 0
Las gráficas de las ecuaciones son
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 19
p / 2
- p / 2
4. FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE
f -1(x) = arc ctg x , f 1
D - = ℝ ,
R , 1 - = 0 p
f
p
5. FUNCIÓN ARCOSECANTE
f -1(x) = arcsec x
] f 1
= p p p ∪
∪ , ] f 1
D , 1 1, - = -¥ - +¥
R - 0, 2 2 ,
6. FUNCIÓN ARCOCOSECANTE
f -1(x) = arccsc x , ] f 1
D , 1 1, - = -¥ - +¥
∪ ,
R f - 1
2 ,0 0, 2
= - p p ∪
X
Y
p / 2
X
Y
X
Y
p
p / 2
-1 1
20. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 20 y funciones
2.19 FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1. FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO
ex e x
2
ℝ®ℝ
x f (x) senh x
f :
- - ® = =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
2. FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO
x x
f :
e e
x f (x) cosh x
2
-
®
® = = +
ℝ ℝ
D
f
R 1,
f
=
ℝ
= ¥
y
1 x
3. FUNCIÓN TANGENTE HIPERBÓLICO
senh x
®
® =
f :
ℝ ℝ
x =
f (x) tanh x cosh x
D
f
R 1,1
f
=
ℝ
= -
X
Y
X
Y
-p / 2
p / 2
-1 1
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 29
12. Graficar la solución de (|x - 2| - y)(y – x2 - 1) 0
Solución
La inecuación es equivalente a
- - Ù - 2
-
x 2 y 0 y x 1 0
2
x 2 y 0 y x 1 0
Ú
- - Ù - -
y – x2 - 1 = 0
1
|x-2| - y = 0
2
21. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 28 y funciones
x2 - 4y – 8 = 0
Luego, la solución general es
y + |x| = 0
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 21
1
4. FUNCIÓN COTANGENTE HIPERBÓLICO
f :
cosh x
x f (x) co t g h x
senh x
®
® = =
ℝ ℝ
{ } f
D 0
R , 1 1,
f
= ℝ
-
= -¥ - ∪
¥
1
5. FUNCIÓN SECANTE HIPERBÓLICO
f :
x f (x) sech x 1
cosh x
®
® = =
ℝ ℝ
D
f
R 0,1
, f
]
=
=
ℝ
6. FUNCIÓN COSECANTE HIPERBÓLICO
f :
x f (x) csch x 1
sen h x
®
® = =
ℝ ℝ
{ }
{ }
f
f
D
R
0
0
= ℝ
-
= ℝ
-
X
Y
1
X
Y
-1
X
Y
-1
22. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 22 y funciones
y
x
7. FUNCIÓN SENO INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f -
1
(x) arcsen h x
1
1
f
f
D
R
ℝ
ℝ
-
-
=
=
8. FUNCIÓN COSENO INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) arccos h x
D 1
1,
R 0,
1
f
f
-
-
= ¥
= ¥
9. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f -
1(x) arctanh x
D 1
1,1
R
1
f
f
-
-
= -
= ℝ
- 1 1 X
X
Y
1
1
X
Y
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 27
i) Intersecciones. Si x=0 ⇒ y=0; si y=0 ⇒ x=0.
Luego, (0, 0) es el único punto de intersección
ii) Extensión.
Dominio:
2
4x
2
y
x 1
= ±
-
(1)
2
4x
D : 0
f 2
x 1
³
-
Û x2 – 1 0
Df = -¥, -1 È 1, +¥
Rango:
y
2
2
x
y 4
= ±
-
(2)
2
y
R : 0
f 2
y 4
³
-
Û y2 – 4 0
Rf = -¥, -2 È 2, +¥
iii) Simetría. Existen con los ejes X e Y y con el origen.
iv) Asíntotas. De (1) y (2), se tiene que x = 1, x = -1 son asíntotas verticales; y =
2, y = -2 son asíntotas horizontales.
v) Tabulación y gráfica
-1
x y
1.2 ± 4. 8
2 ± 2 . 3
5 ± 2 . 1
10 ± 2 . 01
11. Graficar (x2 – 4y -8)(y + |x|) ³ 0
Solución
La inecuación es equivalente a
x2 – 4y – 8 ³ 0 Ù y + |x| ³ 0
Ú
2
-2
1 X
Y
x2 – 4y – 8 £ 0 Ù y + |x| £ 0
Para graficar esto, primero se grafican las ecuaciones:
x2 – 4y – 8 = 0, y + |x| = 0
23. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 26 y funciones
9. Graficar y2x2 - 2xy2 + y2 - x = 0
Solución
i) Intersecciones. En la ecuación: Si x=0⇒ y=0 ; Si y=0 ⇒ x=0
Luego, (0,0) es un punto de intersección.
ii) Extensión.
x
Dominio. Despejando “y”: y
2
(x 1)
= ±
-
x
: ³ Ûx ³ 0 , x ¹ 1
D 0
f 2
(x-1)
Df = 0,¥ - {1}
Rango. Despejando “x”:
2 2
+ ± +
2y 1 4y 1
2
x
2y
=
Analizando ésta fórmula y la expresión original, se obtiene f R = ℝ
iii) Simetría. Analizando mentalmente en la ecuación original, obtenemos que
existe simetría con el eje X.
iv) Asíntotas. y = 0 es una asíntota horizontal y x =1 es una asíntota vertical.
v) Tabulación y gráfica
y=0
x=1
10. Graficar y2x2 – 4x2 = y2
Solución
X
Y
x=0
x=4
y=0
X
Y
x=0
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 23
10. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) ar c cot g h x
D , 1 1,
R 0
{ }
1
1
f
f
-
-
= -¥ - ∪
¥
= ℝ
-
y
x
-1 1
11. FUNCIÓN SECANTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) arcsech x
D 1
0, 1]
R [0,
1
f
f
-
-
=
= +¥
X
Y
1
12. FUNCIÓN COSECANTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) ar ccsch x
D 1
{0}
R {0}
1
f
f
-
-
= ℝ
-
= ℝ
-
Y
EJERCICIOS RESUELTOS
X
1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones?
24. Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 24 y funciones
I. {(2,1), (1,5), (0, 0), (6, 2)}
II. {(-3,1), (-3, 0), (4, 2), (7, 5)}
III. {(-5, 2), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
IV. {(0, 2),(0.6,1.5),(5,2),(7,2),(0.5,0.5)}
Solución
I. Si es
II. No es, por (-3,1), (-3,0)
III. Si es
IV. Si es
2. Indique el rango de la función f, si f tiene como dominio {-1,3,6,7} y como
regla de correspondencia
2 f (x) = x - 2x
Solución
{3, 24, 35}
3. Si f es la función {(1,5), (2,6), (-2,2), (3,7)} , calcular f (1) + f (2) + f (3)
Solución
f (1) + f (2) + f (3) = 5 + 6 + 7 = 18
4. ¿Para qué valores de “a” y “b” la relación
{(2,5),(-1,-3),(2,2a - b),(-1,b - a),(a + b,a)} es una función?
Solución
2a - b = 5
b - a = -3
Resolviendo este sistema, se obtiene que a = 2, b = -1
5. Si el conjunto {(1,5),(a,6),(3,a2 ),(3,2a + 3)} representa una función, dar su
rango
Solución
Para que el conjunto sea una función debe cumplir:
a2 = 2a + 3 Û(a - 3)(a +1) = 0
a = 3, a = -1
Si a=3 ⇒ {(1, 5),(3, 6),(3, 9)} no es una función
Si a= -1 ⇒ {(1,5),(-1,6),(5,1)} si es una función
Luego, su rango es {5,6,1}
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 25
6. Si f (x -1) = (x - 2)3 + 7(x - 2)2 +17(x - 2) +15 . Hallar f(x)
Solución
Sea x-1 = w ⇒ x = w+1
Reemplazando
f (w) = (1+ w - 2)3 + 7(1+ w - 2)2 +17(1+ w - 2) +15
f (w) = (w -1)3 + 7(w -1)2 +17(w -1) +15
Û f (x) = (x -1)3 + 7(x -1)2 +17(x -1) +15
7. Si f (x) = x2 + 2x + 2 , hallar g(x) tal que f [g(x)] = x2 - 4x + 5 ...(1)
Solución
Si f (x) = x2 + 2x + 2 ⇒ f [g(x)] = [g(x)]2 + 2g(x) + 2 ...(2)
Luego, de (1) y (2), se tiene
[g(x) +1]2 = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
Ûg(x) +1= ±(x - 2)
Ûg(x) = x - 3 Ú g(x) = -x +1
8. Graficar yx2 - 4yx +1= 0
Solución
i) Intersecciones. En la ecuación: Si x= 0⇒ 1= 0 ; Si y= 0⇒ 1=0
Luego, no existen intersecciones con los ejes.
ii) Extensión.
-
1
Dominio. Despejando “y”: y
= 2
-
x 4x
{ } f D = ℝ - 0, 4
Rango. Despejando “x”:
4y 16y2 4y
x
± -
2y
=
2
f R : 16y - 4y ³ 0 Û y(4y -1) ³ 0 , y ¹ 0
Aplicando el método de los signos se tiene
] 1
f 4 R = -¥, 0 È ,¥ - {0}
iii) Simetría: No existe
iv) Asíntotas: De las fórmulas despejadas se obtiene que:
x = 0, x=4 son asíntotas verticales y
y = 0 es una asíntota horizontal
v) Tabulación y gráfica