Mata tic día 4

1. 3.er grado: Matemática
SEMANA 4
Resolvemos situaciones empleando
funciones cuadráticas
DÍA 4

2. Los recursos que utilizaremos serán:
Cuaderno de trabajo de matemática:
Resolvamos problemas 3_día 4, las páginas 35, 36, 37 y 38.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Días 3 y 4:

3. Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las
situaciones de las páginas 35, 36, 37 y 38 de tu cuaderno de
trabajo Resolvamos problemas 3 (disponible en la sección
“Recursos” de esta plataforma)

4. Situación 1 – Página 35
A Rubén le gusta jugar tiro al blanco y quiere saber cómo podría calcular el área de cada círculo del tablero. Su
profesor le dice: “El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio de la circunferencia
y el valor de pi (π) sería la constante”. A partir de esta información, ¿cuál es la representación matemática de
la función área del círculo A(c) que Rubén debe emplear para encontrar el área de cada círculo?
a) A(r) = πr2 b) A(r) = πr3 c) A(x) = 2π d) A(x) = πr3
Solución
A partir de la afirmación del texto:
“El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio de la circunferencia y el valor de pi (π) sería la
constante”. Representamos la expresión de la siguiente manera: A(r) = πr2.
Respuesta: La representación matemática es: A(r) = πr2.
Por lo tanto, la alternativa correcta es la clave a).

5. Situación 2 – Página 36
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función cuadrática: g(x) =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐?
g(x) =
1
2
𝑥2
Si x = 0:
g(0) =
1
2
∙ 02
g(0) = 0
a) b) c) d)
g(x) =
1
2
𝑥2
Si x = 2:
g(2) =
1
2
∙ 22
g(2) = 2
g(x) =
1
2
𝑥2
Si x = –2:
g(–2) =
1
2
∙ (−2)2
g(– 2) = 2
Solución
Damos 3 valores a x, por ejemplo, cuando x = 0, cuando x = –2 y cuando x = 2. A este proceso se
denomina evaluar una función g(x).
Respuesta: Algunos puntos de la parábola son:
(0; 0), (2; 2) y (–2; 2).
Por lo tanto, la alternativa correcta
es la clave b).
Recuerda:
Para cualquier
valor de x, positivo o
negativo, x2, siempre
será positivo.
Ejemplo:
(–5)2 es positivo
(+5)2 es positivo
!

6. Situación 3 – Página 37
Identifica la tabla o tablas
de valores que pueden
ser funciones cuadráticas. Justifica tu
respuesta.
1.°
→ tenemos: ax2 + bx + c = y;
x = 0, y = 3
→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 3
→ c = 3
Reemplazamos los valores
obtenidos en la función cuadrática:
f1(x) = ax2 + bx + c, obtenemos:
f1(x) = 2x2 – 3x + 3.
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6
Gráfica de la función
Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática
f1(x) = ax2 + bx + c que corresponde a la Tabla a).
Y = {3; 2; 5; 12; 23}
A B
C
D
E
Tabla a)
2.°
x = 1, y = 2, c = 3, entonces:
a ∙ 12 + b ∙ 1 + 3 = 2
a + b = − 1 → b = − 1 − a
Además, como x = 2, y = 5, c = 3, entonces:
a ∙ 22 + b ∙ 2 + 3 = 5
4a + 2b = 2 → 2a + b = 1
Reemplazamos el valor de b y tenemos:
2a + (− 1 − a) = 1 → 2a − 1 −a = 1
a = 2
3.° Como b = − 1 − a y
a = 2
→ b = − 1 − 2 ⟶ b = –3
f1(x) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c = y;
X 0 1 2 3 4
f1(x) 3 2 5 12 23
A = (0,3)
B = (1,2)
C = (2,5)
D = (3,12)
E = (4,23)

7. Situación 3 – Página 37
Reemplazamos los valores obtenidos
en la función cuadrática:
resulta que es una función lineal:
f2(x) = – 4x + 1.
Gráfica de la función
Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática f2(x) = ax2 + bx + c
que corresponde a la Tabla b).
Tabla b)
1.°
→ tenemos:
ax2 + bx + c = y; x = 0, y = 1
→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 1
c = 1
2.°
x = 1, y = –3, c = 1, entonces:
a ∙ 12 + b ∙ 1 + 1 = –3
a + b = − 4 → b = − 4 − a
Además, como x = 2, y = –7,
c = 1, entonces:
a ∙ 22 + b ∙ 2 + 1 = – 7
4a + 2b = – 8 → 2a + b = – 4
Reemplazamos el valor de b y tenemos:
2a + (− 4 − a) = –4 → 2a − 4 −a = – 4
a = 0
3.° Como b = − 4 − a
y a = 0
→ b = − 4 − 0 → b = –4
f2(x) = ax2 + bx + c
X 0 1 2 3 4
f2(x) 1 –3 –7 11 –15
F = (0,1)
G = (2,7)
H = (3,-7)
I = (3,-11)
J = (4,-15)
ax2 + bx + c = y;
ax2 + bx + c = y,

8. CV
CV
Situación 3 – Página 37
Respuesta: Solo la Tabla a) es una
función cuadrática (parábola).
Sin embargo cuando x = 3, f3(x) = (3)2 – 2(3)
+ 5 = 8 y no cumple con el dato que dice
que es – 4.
También cuando x = 4, f3(x) = (4)2 – 2(4) + 5
= 13 y no cumple con el dato que dice que
es – 11.
Encontramos los coeficientes a, b y c de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c
que corresponde a la Tabla c).
Tabla c)
2.°
x = 1, y = 4, c = 5, entonces:
a ∙ 12 + b ∙ 1 + 5 = 4
a + b = –1 → b = − a – 1
Además, como x = 2, y = 5, c = 5,
entonces:
a ∙ 22 + b ∙ 2 + 5 = 5
4a + 2b = 0 → 2a = –b
Reemplazamos el valor de b y
tenemos:
2a = −( −a – 1 ) → 2a = a + 1
→ a = 1
3.° Como b = − a − 1
y a = 1 → b = − 1− 1
→ b = –2
Reemplazamos los valores obtenidos en la
función cuadrática:
obtenemos: f3(x) = x2 – 2x + 5.
X 0 1 2 3 4
f3(x) 5 4 5 –4 –11
1.°
tenemos:
ax2 + bx + c = y; x = 0, y = 5
→ a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 5
→ c = 5
f3(x) = ax2 + bx + c
ax2 + bx + c = y;
f3(x) = ax2 + bx + c,

9. Situación 4 – Página 37
Dada la siguiente función:
donde a es un número real mayor
que
𝟕
𝟑
pero menor que 100,34, ¿hacia dónde
sería la orientación de la parábola?, ¿por qué?
Solución
Dada la función:
Recuerda el trinomio cuadrado perfecto:
(p + q)2 = p2 + 2pq + q2
Tenemos: donde:
7
3
< a < 100,34.
Es equivalente a:
Los valores de a2 , que es el coeficiente de la función
cuadrática, están entre:
(
7
3
) 2 < a2 < (100,34) 2 Respuesta: La orientación de la función f(x) es hacia arriba.
Análisis:
• Recordar que todo número
real (positivo o negativo)
elevado al cuadrado es
positivo.
• No interesa el valor que
toma a, igual al elevar al
cuadrado será positivo.
Entonces:
Cuando es positivo el valor
que acompaña al x2, la
parábola se abre hacia arriba.
f(x) = (ax + m)2 ,
f(x) = a 2 x2 + 2axm + m 2,
f(x) = a2 x 2 + 2axm + m2 ,
f(x) = (ax + m) 2 ,

10. Situación 5 – Página 38
¿Qué sucedería con la gráfica de una función cuadrática
sabiendo que n es un número natural, si aumentáramos el valor de n en cinco unidades?
a) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia abajo en el eje de las ordenadas.
b) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas.
c) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la derecha en el eje de las abscisas.
d) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la izquierda en el eje de las abscisas.
g(x) = (x + 1)2 + n,

11. x g(x) = x2
+ 2x + 1 g(x) = x2
+ 2x + 1+ 5
–5 16 21
–4 9 14
–3 4 9
–2 1 6
x = –1 y = 0 y = 5
0 1 6
1 4 9
2 9 14
3 16 21
4 25 30
5 36 41
Gráfica de las funciones
Respuesta: El vértice de la parábola se desplazaría cinco
unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas.
Alternativa b).
Damos valores para x:
Resolución
n = 0 n = 5
g(x) = x2 + 2x + 1 + n g(x) = x2 + 2x + 1 + 0
g(x) = x2 + 2x + 1
g(x) = x2 + 2x + 1 + 5
g(x) = x2 + 2x + 6
En la función g(x) = (x + 1)2 + n = x2 + 2x + 1+ n
Analizamos cuando n = 0 y luego cuando n = 5, para ver qué sucede
con la función.
g(x) = x2 + 2x + 1 g(x) = x2 + 2x + 6

12. Situación 6 – Página 38
Con 40 m de malla metálica se quiere cercar un terreno que tiene forma de un rectángulo
donde se construirá una casa. ¿Cuál es la mayor área que podría tener la casa?
a) 40 m2 b) 80 m2 c) 100 m2 d) 120 m2
Ancho del terreno: x
Largo del terreno: y
El área: A = x ∙ y
Perímetro: 2x + 2y
2x + 2y = 40
x + y = 20
y = 20 – x
Solución
Respuesta: La mayor área que podría tener la casa es
100 m2, y esa área se produce si el ancho x = 10 m.
La alternativa correcta es la clave c).
Área como notación funcional:
A = x(20 − 𝑥)
A(x) = x(20 − 𝑥).
A(x) = – x2 + 20x
Se pide hallar el área máxima. Entonces, como estrategia utilizaremos la fórmula para hallar el
vértice, ya que este punto será el valor máximo de la función:
si a = –1, b = 20 y c = 0.
V = (
−𝑏
2𝑎
;
−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎
)=(
−(20)
2∙(−1)
;
−202+4(−1)(0)
4(−1)
) = (10; 100 )
x
y
Lado
Área

13. ¿Qué procedimiento realizaste para dar respuesta a las preguntas de las
situaciones?
Respuesta libre:
Comprendí e identifiqué los
desafíos o preguntas que
debo responder en cada
situación.
Identifiqué los datos
principales para
responder a las
preguntas.
Seleccioné y apliqué
estrategias, procedimientos y
operaciones, de acuerdo a
cada situación.
Utilicé tablas, representaciones
numéricas y otros que me
ayudaron a resolver las
situaciones.
Identifiqué mis errores, dudas y
aciertos, los corregí al momento
de verificar
las respuestas en las seis
situaciones.
Registré todos mis
trabajos o
producciones en mi
portafolio.

14. Gracias