Transformaciones de Funciones

1. 1
Transformaciones de Funciones:
Técnicas de Trazado de Gráficas

2. 2
Objetivos:
1. Definir, hallar e identificar las traslaciones
verticales y horizontales.
2. Definir, hallar e identificar las contracciones
y estiramientos verticales y horizontales.
3. Definir, hallar e identificar reflexiones de
funciones con respecto a los ejes coordenados.

3. 3
2
2
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de ( ) 2?
f x x
g x x
=
= +
x
-2
-1
0
1
2
MOTIVACIÓN
f(x) g(x)
4 6
1 3
0 2
1 3
4 6

4. 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=
( ) 2
2g x x= +
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(0, 2)
(1, 3)
(2, 6)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-2, 6)
(-1, 3)
x
2−
1−
0
1
2
( )f x
4
1
0
1
4
( )g x
6
3
2
3
6
Observación: La gráfica subió dos unidades

5. 5
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=
( ) 2
2g x x= +
Gráfica con animaciones

6. 6
Teorema 1:
Si un número real c es sumado al lado derecho
de una función y = f (x), la gráfica de la nueva
función y = f (x) + c, es igual a la gráfica de f pero
movida o trasladada verticalmente hacia arriba
por unidades sí c > 0, o trasladada
verticalmente hacia abajo por unidades sí
c < 0.
c
c

7. 7
2
2
Use la gráfica de ( ) para obtener
la gráfica de ( ) 3
f x x
g x x
=
= −
x f(x) g(x)
-2 4 1
-1 1 -2
0 0 -3
1 1 -2
2 4 1
Ejemplo:

8. 8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
( )f x x=
2
( ) 3f x x= −

9. 9
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
xy =
2
3y x= −
Gráfica con animaciones

10. 10
MOTIVACIÓN
( )
2
2
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de
Ejemplo
( ) 2
:
?
=
= +
f x x
g x x
x f(x) g(x)
-3 9 1
-2 4 0
-1 1 1
0 0 4
1 1 9
2 4 16

11. 11
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=( ) ( )
2
2f x x= +
x f(x) g(x)
-3 9 1
-2 4 0
-1 1 1
0 0 4
1 1 9
2 4 16

12. 12
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
( ) ( )
2
2g x x= +
Gráfica con animaciones
( ) 2
f x x=

13. 13
Teorema 2
Si un número real c es restado del argumento
(o valor del domino) x de una función y = f (x),
la gráfica de la nueva función y = f (x - c) es
igual a la gráfica de f(x) pero movida o
trasladada horizontalmente a la derecha
por si c > 0, o a la izquierda por si c < 0.cc
Observación: El movimiento es opuesto al signo
del número restado o sumado a la variable.

14. 14
Ejemplo:
Describe las transformaciones y dibuja la gráfica de la
función .( ) 23)(
2
−+= xxf
Las transformaciones de la función son:
Traslación de 3 unidades a la izquierda.
Traslación de 2 unidades hacia abajo.

15. 15
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
La gráfica se mueve tres unidades a la izquierda
y dos unidades hacia abajo.
2
y x=( )
2
3y x= +
( ) ( )
2
3 2f x x= + −

16. 16
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
( )
2
( ) 3 2f x x= + −
2
y x=( )
2
3y x= +
Gráfica con animaciones

17. 17
x f(x) g(x)
-2 2 4
-1 1 2
0 0 0
1 1 2
2 2 4
MOTIVACIÓN:
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de ( ) 2 ?
=
=
f x x
g x x

18. 18
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x f(x) g(x)
-2 2 4
-1 1 2
0 0 0
1 1 2
2 2 4
( )f x x=
( ) 2g x x=
¿Qué efecto puedes observar?
Gráfica con animaciones
( ) 2g x x=
( )f x x=( )f x x=

19. 19
Teorema 3:
Cuando el lado derecho de una función
y = f (x) se multiplica por un número positivo k,
la gráfica de la nueva función y = k f (x) es igual
a la gráfica de y = f (x) pero se contrae o
comprime verticalmente si 0 < k < 1, o se estira
verticalmente si k > 1 .

20. 20
Ejercicio:
Dibuja las gráficas de las funciones en el mismo sistema
de coordenadas.
2
2
2
( )
( ) 4
1
( )
4
f x x
g x x
h x x
=
=
=

21. 21
2
( )f x x= 2
( ) 4g x x= 21
( )
4
h x x=
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)

22. 22
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
1 xy =
2
1 4y x= 2
1
1
4
y x=

23. 23
Teorema 4
Cuando el argumento de una función
y = f (x) se multiplica por un número positivo k,
la gráfica de la nueva función y = f (k x) es igual
a la gráfica de y = f (x) pero estirada
horizontalmente si 0 < k < 1 o contraída
horizontalmente si k > 1.
¿Existe alguna relación entre los estiramientos
y contracciones verticales con los estiramientos y
contracciones horizontales?

24. 24
xxf
2
1
3)( =
Ejemplo:
Identifica las transformaciones y traza la
gráfica de
Las transformaciones son:
Estiramiento vertical por 3 unidades
Estiramiento horizontal por 2 unidades
Observación: El estiramiento queda definido
por el recíproco del coeficiente de la variable x.

25. 25
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
x
1
( ) 3
2
f x x=
( ) 3f x x=
xxf =)(
(4,2)
(4,6)
(8,6)

26. 26
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x
Gráfica con animaciones
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x

27. 27
Teorema 5
Cuando el lado derecho de una función
y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica de la nueva
función y = -f (x) es una reflexión en el eje de x de la
gráfica de y = f(x).

28. 28
2
2
Use la gráfica de ( ) para obtener la
gráfica de ( )
=
= −
f x x
g x x
x f(x) g(x)
-2 4 -4
-1 1 -1
0 0 0
1 1 -1
2 4 -4
Ejemplo:

29. 29
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
2
y x=
2
y x= −
Gráfica con animaciones

30. 30
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
Ejemplo:
Dada la gráfica de f(x), dibuja la gráfica de –f(x).

31. 31
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
La gráfica de –f(x) es;

32. 32
Teorema 6
Cuando la variable independiente de una
función, y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica
de la nueva función y = f(-x) es una reflexión
alrededor del eje y de la gráfica de
y = f (x).

33. 33
Use la gráfica de ( ) para obtener la
gráfica
Ejemplo
de (
:
) .
=
= −
f x x
g x x
x f(x) g(x)
- 4 No está definida 2
-1 No está definida 1
0 0 0
1 1 No está definida
4 2 No está definida

34. 34
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
(4, 2)
(1, 1)
y x=
(-1, 1)
(-4, 2)
(0, 0)
Reflexión en el eje de y
( )f x x= −

35. 35Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la
función.
f x x( ) = − −
Reflexión en
el eje de x
Reflexión en
el eje de y
Observación: La función básica es la raíz cuadrada.

36. 36
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(1,1)
(4,2)
y x=

37. 37
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-4, 2)
(-1, 1)
y x= −
Reflexión en eje de y

38. 38
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-1, -1)
(-4, -2)
y x= − −
Reflexión en eje de x

39. 39
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
Gráfica con animaciones
y x=
y x= −
y x= − −

40. 40
Ejemplos:
1. Si el punto ( 2,4) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto
corespondiente en la gráfica de 4 ( 2) 3.
f x
f x
−
− +
Respuesta: ( 2 2,4(4) 3) (0,19)− + + =
2. Si el punto ( 3,2) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto
corespondiente en la gráfica de 3 ( 4) 3.
f x
f x
−
− + −
Respuesta: ( 3 4,2( 3) 3) ( 7, 9)− − − − = − −
3. La gráfica de ( ) se refleja en el eje de , se traslada 4 unidades
hacia arriba y tres unidades a la derecha. Si el punto ( 5,2) esta en la
gráfica de ( ) encuentra el punto corespondiente en la
f x x
f x
−
gráfica
transformada.
Respuesta: ( 5 3,2( 1) 4) ( 2,2)− + − + = −

41. 41
Ejercicios:
Describa las transformaciones realizadas a la
función básica y trace la gráfica.
2
1) ( ) 3f x x= +
1)()2 2
−= xxf
( )2
3)()3 −= xxf
( )2
1)()4 += xxf
3
)()5 xxf −=
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

42. 42
xxf −=)()6
( )
3
7) ( ) 2 1f x x= −
( )
31
8) ( ) 1 1
4
f x x= + +
9) ( ) 2 4g x x= − + +
10) ( ) 2 2 3f x x= + − Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

43. 43
1)1()()11 3
−+= xxg
( )12) ( ) 2 6f x x= − +
13) ( ) 2f x x= − +
14) ( ) 3 1h x x= − − +
1
15) ( )
3
g x
x
=
−
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

44. 44
1
16) ( )
4
f x
x
= −
+
Solución

45. 45
Ejercicios Resueltos:
Describa las transformaciones realizadas a la
función básica y trace la gráfica.
2
1) ( ) 3f x x= +
Traslación vertical de tres unidades hacia
arriba.
Ejercicios

46. 46
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
xy =
2
3y x= +
Ejercicios

47. 47
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
3y x= +
Ejercicios

48. 48
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
1)()2 2
−= xxf Traslación vertical de una
unidad hacia abajo.
Ejercicios

49. 49
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)
x
2
xy =
2
1y x= −
1)()2 2
−= xxf Traslación Vertical de una unidad
hacia abajo.
Ejercicios

50. 50
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)
x
2
1y x= −
1)()2 2
−= xxf Traslación Vertical de una unidad
hacia abajo.
Ejercicios

51. 51
( )2
3)()3 −= xxf Traslación horizontal
de tres unidades hacia la derecha.
Ejercicios
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 f(x)
x

52. 52
( )2
1)()4 += xxf
Traslación horizontal
de una unidad hacia la izquierda.
Ejercicios
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x

53. 53
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
3
)()5 xxf −= Reflexión con respecto al eje de x.
Ejercicios
3
( )f x x= − 3
( )f x x=

54. 54
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
xxf −=)()6
( )f x x=( )f x x= −
Ejercicios

55. 55
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )
3
7) ( ) 2 1f x x= −
Ejercicios

56. 56
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )
31
8) ( ) 1 1
4
f x x= + +
Ejercicios

57. 57
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
9) ( ) 2 4g x x= − + +
Ejercicios

58. 58
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
32)()10 −+−= xxf
Ejercicios

59. 59
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
1)1()()11 3
−+= xxg
Ejercicios

60. 60
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )12) ( ) 2 6f x x= − +
Ejercicios

61. 61
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
13) ( ) 2f x x= − +
Ejercicios

62. 62
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
14) ( ) 3 1h x x= − − +
Ejercicios

63. 63
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
1
15) ( )
3
g x
x
=
−
Ejercicios

64. 64
1
16) ( )
4
f x
x
= −
+
Ejercicios
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x