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1
Transformaciones de Funciones:
Técnicas de Trazado de Gráficas
2
Objetivos:
1. Definir, hallar e identificar las traslaciones
verticales y horizontales.
2. Definir, hallar e identificar las contracciones
y estiramientos verticales y horizontales.
3. Definir, hallar e identificar reflexiones de
funciones con respecto a los ejes coordenados.
3
2
2
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de ( ) 2?
f x x
g x x
=
= +
x
-2
-1
0
1
2
MOTIVACIÓN
f(x) g(x)
4 6
1 3
0 2
1 3
4 6
4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=
( ) 2
2g x x= +
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(0, 2)
(1, 3)
(2, 6)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-2, 6)
(-1, 3)
x
2−
1−
0
1
2
( )f x
4
1
0
1
4
( )g x
6
3
2
3
6
Observación: La gráfica subió dos unidades
5
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=
( ) 2
2g x x= +
Gráfica con animaciones
6
Teorema 1:
Si un número real c es sumado al lado derecho
de una función y = f (x), la gráfica de la nueva
función y = f (x) + c, es igual a la gráfica de f pero
movida o trasladada verticalmente hacia arriba
por unidades sí c > 0, o trasladada
verticalmente hacia abajo por unidades sí
c < 0.
c
c
7
2
2
Use la gráfica de ( ) para obtener
la gráfica de ( ) 3
f x x
g x x
=
= −
x f(x) g(x)
-2 4 1
-1 1 -2
0 0 -3
1 1 -2
2 4 1
Ejemplo:
8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
( )f x x=
2
( ) 3f x x= −
9
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
xy =
2
3y x= −
Gráfica con animaciones
10
MOTIVACIÓN
( )
2
2
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de
Ejemplo
( ) 2
:
?
=
= +
f x x
g x x
x f(x) g(x)
-3 9 1
-2 4 0
-1 1 1
0 0 4
1 1 9
2 4 16
11
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( ) 2
f x x=( ) ( )
2
2f x x= +
x f(x) g(x)
-3 9 1
-2 4 0
-1 1 1
0 0 4
1 1 9
2 4 16
12
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
( ) ( )
2
2g x x= +
Gráfica con animaciones
( ) 2
f x x=
13
Teorema 2
Si un número real c es restado del argumento
(o valor del domino) x de una función y = f (x),
la gráfica de la nueva función y = f (x - c) es
igual a la gráfica de f(x) pero movida o
trasladada horizontalmente a la derecha
por si c > 0, o a la izquierda por si c < 0.cc
Observación: El movimiento es opuesto al signo
del número restado o sumado a la variable.
14
Ejemplo:
Describe las transformaciones y dibuja la gráfica de la
función .( ) 23)(
2
−+= xxf
Las transformaciones de la función son:
Traslación de 3 unidades a la izquierda.
Traslación de 2 unidades hacia abajo.
15
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
La gráfica se mueve tres unidades a la izquierda
y dos unidades hacia abajo.
2
y x=( )
2
3y x= +
( ) ( )
2
3 2f x x= + −
16
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
( )
2
( ) 3 2f x x= + −
2
y x=( )
2
3y x= +
Gráfica con animaciones
17
x f(x) g(x)
-2 2 4
-1 1 2
0 0 0
1 1 2
2 2 4
MOTIVACIÓN:
¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la
gráfica de ( ) 2 ?
=
=
f x x
g x x
18
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x f(x) g(x)
-2 2 4
-1 1 2
0 0 0
1 1 2
2 2 4
( )f x x=
( ) 2g x x=
¿Qué efecto puedes observar?
Gráfica con animaciones
( ) 2g x x=
( )f x x=( )f x x=
19
Teorema 3:
Cuando el lado derecho de una función
y = f (x) se multiplica por un número positivo k,
la gráfica de la nueva función y = k f (x) es igual
a la gráfica de y = f (x) pero se contrae o
comprime verticalmente si 0 < k < 1, o se estira
verticalmente si k > 1 .
20
Ejercicio:
Dibuja las gráficas de las funciones en el mismo sistema
de coordenadas.
2
2
2
( )
( ) 4
1
( )
4
f x x
g x x
h x x
=
=
=
21
2
( )f x x= 2
( ) 4g x x= 21
( )
4
h x x=
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
22
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
1 xy =
2
1 4y x= 2
1
1
4
y x=
23
Teorema 4
Cuando el argumento de una función
y = f (x) se multiplica por un número positivo k,
la gráfica de la nueva función y = f (k x) es igual
a la gráfica de y = f (x) pero estirada
horizontalmente si 0 < k < 1 o contraída
horizontalmente si k > 1.
¿Existe alguna relación entre los estiramientos
y contracciones verticales con los estiramientos y
contracciones horizontales?
24
xxf
2
1
3)( =
Ejemplo:
Identifica las transformaciones y traza la
gráfica de
Las transformaciones son:
Estiramiento vertical por 3 unidades
Estiramiento horizontal por 2 unidades
Observación: El estiramiento queda definido
por el recíproco del coeficiente de la variable x.
25
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
x
1
( ) 3
2
f x x=
( ) 3f x x=
xxf =)(
(4,2)
(4,6)
(8,6)
26
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x
Gráfica con animaciones
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
x
27
Teorema 5
Cuando el lado derecho de una función
y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica de la nueva
función y = -f (x) es una reflexión en el eje de x de la
gráfica de y = f(x).
28
2
2
Use la gráfica de ( ) para obtener la
gráfica de ( )
=
= −
f x x
g x x
x f(x) g(x)
-2 4 -4
-1 1 -1
0 0 0
1 1 -1
2 4 -4
Ejemplo:
29
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
2
y x=
2
y x= −
Gráfica con animaciones
30
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
Ejemplo:
Dada la gráfica de f(x), dibuja la gráfica de –f(x).
31
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
La gráfica de –f(x) es;
32
Teorema 6
Cuando la variable independiente de una
función, y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica
de la nueva función y = f(-x) es una reflexión
alrededor del eje y de la gráfica de
y = f (x).
33
Use la gráfica de ( ) para obtener la
gráfica
Ejemplo
de (
:
) .
=
= −
f x x
g x x
x f(x) g(x)
- 4 No está definida 2
-1 No está definida 1
0 0 0
1 1 No está definida
4 2 No está definida
34
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
(4, 2)
(1, 1)
y x=
(-1, 1)
(-4, 2)
(0, 0)
Reflexión en el eje de y
( )f x x= −
35Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la
función.
f x x( ) = − −
Reflexión en
el eje de x
Reflexión en
el eje de y
Observación: La función básica es la raíz cuadrada.
36
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(1,1)
(4,2)
y x=
37
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-4, 2)
(-1, 1)
y x= −
Reflexión en eje de y
38
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
(-1, -1)
(-4, -2)
y x= − −
Reflexión en eje de x
39
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
Gráfica con animaciones
y x=
y x= −
y x= − −
40
Ejemplos:
1. Si el punto ( 2,4) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto
corespondiente en la gráfica de 4 ( 2) 3.
f x
f x
−
− +
Respuesta: ( 2 2,4(4) 3) (0,19)− + + =
2. Si el punto ( 3,2) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto
corespondiente en la gráfica de 3 ( 4) 3.
f x
f x
−
− + −
Respuesta: ( 3 4,2( 3) 3) ( 7, 9)− − − − = − −
3. La gráfica de ( ) se refleja en el eje de , se traslada 4 unidades
hacia arriba y tres unidades a la derecha. Si el punto ( 5,2) esta en la
gráfica de ( ) encuentra el punto corespondiente en la
f x x
f x
−
gráfica
transformada.
Respuesta: ( 5 3,2( 1) 4) ( 2,2)− + − + = −
41
Ejercicios:
Describa las transformaciones realizadas a la
función básica y trace la gráfica.
2
1) ( ) 3f x x= +
1)()2 2
−= xxf
( )2
3)()3 −= xxf
( )2
1)()4 += xxf
3
)()5 xxf −=
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
42
xxf −=)()6
( )
3
7) ( ) 2 1f x x= −
( )
31
8) ( ) 1 1
4
f x x= + +
9) ( ) 2 4g x x= − + +
10) ( ) 2 2 3f x x= + − Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
43
1)1()()11 3
−+= xxg
( )12) ( ) 2 6f x x= − +
13) ( ) 2f x x= − +
14) ( ) 3 1h x x= − − +
1
15) ( )
3
g x
x
=
−
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
44
1
16) ( )
4
f x
x
= −
+
Solución
45
Ejercicios Resueltos:
Describa las transformaciones realizadas a la
función básica y trace la gráfica.
2
1) ( ) 3f x x= +
Traslación vertical de tres unidades hacia
arriba.
Ejercicios
46
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
xy =
2
3y x= +
Ejercicios
47
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
2
3y x= +
Ejercicios
48
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
f(x)
x
1)()2 2
−= xxf Traslación vertical de una
unidad hacia abajo.
Ejercicios
49
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)
x
2
xy =
2
1y x= −
1)()2 2
−= xxf Traslación Vertical de una unidad
hacia abajo.
Ejercicios
50
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)
x
2
1y x= −
1)()2 2
−= xxf Traslación Vertical de una unidad
hacia abajo.
Ejercicios
51
( )2
3)()3 −= xxf Traslación horizontal
de tres unidades hacia la derecha.
Ejercicios
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 f(x)
x
52
( )2
1)()4 += xxf
Traslación horizontal
de una unidad hacia la izquierda.
Ejercicios
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
53
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
3
)()5 xxf −= Reflexión con respecto al eje de x.
Ejercicios
3
( )f x x= − 3
( )f x x=
54
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
xxf −=)()6
( )f x x=( )f x x= −
Ejercicios
55
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )
3
7) ( ) 2 1f x x= −
Ejercicios
56
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )
31
8) ( ) 1 1
4
f x x= + +
Ejercicios
57
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
9) ( ) 2 4g x x= − + +
Ejercicios
58
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
32)()10 −+−= xxf
Ejercicios
59
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
1)1()()11 3
−+= xxg
Ejercicios
60
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
( )12) ( ) 2 6f x x= − +
Ejercicios
61
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
13) ( ) 2f x x= − +
Ejercicios
62
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
14) ( ) 3 1h x x= − − +
Ejercicios
63
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6 f(x)
x
1
15) ( )
3
g x
x
=
−
Ejercicios
64
1
16) ( )
4
f x
x
= −
+
Ejercicios
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
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  • 2. 2 Objetivos: 1. Definir, hallar e identificar las traslaciones verticales y horizontales. 2. Definir, hallar e identificar las contracciones y estiramientos verticales y horizontales. 3. Definir, hallar e identificar reflexiones de funciones con respecto a los ejes coordenados.
  • 3. 3 2 2 ¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la gráfica de ( ) 2? f x x g x x = = + x -2 -1 0 1 2 MOTIVACIÓN f(x) g(x) 4 6 1 3 0 2 1 3 4 6
  • 4. 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 2 f x x= ( ) 2 2g x x= + (0, 0) (1, 1) (2, 4) (0, 2) (1, 3) (2, 6) (-1, 1) (-2, 4) (-2, 6) (-1, 3) x 2− 1− 0 1 2 ( )f x 4 1 0 1 4 ( )g x 6 3 2 3 6 Observación: La gráfica subió dos unidades
  • 5. 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 2 f x x= ( ) 2 2g x x= + Gráfica con animaciones
  • 6. 6 Teorema 1: Si un número real c es sumado al lado derecho de una función y = f (x), la gráfica de la nueva función y = f (x) + c, es igual a la gráfica de f pero movida o trasladada verticalmente hacia arriba por unidades sí c > 0, o trasladada verticalmente hacia abajo por unidades sí c < 0. c c
  • 7. 7 2 2 Use la gráfica de ( ) para obtener la gráfica de ( ) 3 f x x g x x = = − x f(x) g(x) -2 4 1 -1 1 -2 0 0 -3 1 1 -2 2 4 1 Ejemplo:
  • 8. 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 ( )f x x= 2 ( ) 3f x x= −
  • 9. 9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 xy = 2 3y x= − Gráfica con animaciones
  • 10. 10 MOTIVACIÓN ( ) 2 2 ¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la gráfica de Ejemplo ( ) 2 : ? = = + f x x g x x x f(x) g(x) -3 9 1 -2 4 0 -1 1 1 0 0 4 1 1 9 2 4 16
  • 11. 11 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 2 f x x=( ) ( ) 2 2f x x= + x f(x) g(x) -3 9 1 -2 4 0 -1 1 1 0 0 4 1 1 9 2 4 16
  • 12. 12 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x ( ) ( ) 2 2g x x= + Gráfica con animaciones ( ) 2 f x x=
  • 13. 13 Teorema 2 Si un número real c es restado del argumento (o valor del domino) x de una función y = f (x), la gráfica de la nueva función y = f (x - c) es igual a la gráfica de f(x) pero movida o trasladada horizontalmente a la derecha por si c > 0, o a la izquierda por si c < 0.cc Observación: El movimiento es opuesto al signo del número restado o sumado a la variable.
  • 14. 14 Ejemplo: Describe las transformaciones y dibuja la gráfica de la función .( ) 23)( 2 −+= xxf Las transformaciones de la función son: Traslación de 3 unidades a la izquierda. Traslación de 2 unidades hacia abajo.
  • 15. 15 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x La gráfica se mueve tres unidades a la izquierda y dos unidades hacia abajo. 2 y x=( ) 2 3y x= + ( ) ( ) 2 3 2f x x= + −
  • 16. 16 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 2 ( ) 3 2f x x= + − 2 y x=( ) 2 3y x= + Gráfica con animaciones
  • 17. 17 x f(x) g(x) -2 2 4 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 2 4 MOTIVACIÓN: ¿Cómo compara la gráfica de ( ) con la gráfica de ( ) 2 ? = = f x x g x x
  • 18. 18 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x f(x) g(x) -2 2 4 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 2 4 ( )f x x= ( ) 2g x x= ¿Qué efecto puedes observar? Gráfica con animaciones ( ) 2g x x= ( )f x x=( )f x x=
  • 19. 19 Teorema 3: Cuando el lado derecho de una función y = f (x) se multiplica por un número positivo k, la gráfica de la nueva función y = k f (x) es igual a la gráfica de y = f (x) pero se contrae o comprime verticalmente si 0 < k < 1, o se estira verticalmente si k > 1 .
  • 20. 20 Ejercicio: Dibuja las gráficas de las funciones en el mismo sistema de coordenadas. 2 2 2 ( ) ( ) 4 1 ( ) 4 f x x g x x h x x = = =
  • 21. 21 2 ( )f x x= 2 ( ) 4g x x= 21 ( ) 4 h x x= -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x f(x)
  • 22. 22 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 1 xy = 2 1 4y x= 2 1 1 4 y x=
  • 23. 23 Teorema 4 Cuando el argumento de una función y = f (x) se multiplica por un número positivo k, la gráfica de la nueva función y = f (k x) es igual a la gráfica de y = f (x) pero estirada horizontalmente si 0 < k < 1 o contraída horizontalmente si k > 1. ¿Existe alguna relación entre los estiramientos y contracciones verticales con los estiramientos y contracciones horizontales?
  • 24. 24 xxf 2 1 3)( = Ejemplo: Identifica las transformaciones y traza la gráfica de Las transformaciones son: Estiramiento vertical por 3 unidades Estiramiento horizontal por 2 unidades Observación: El estiramiento queda definido por el recíproco del coeficiente de la variable x.
  • 25. 25 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) x 1 ( ) 3 2 f x x= ( ) 3f x x= xxf =)( (4,2) (4,6) (8,6)
  • 26. 26 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 f(x) x Gráfica con animaciones -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 f(x) x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 f(x) x
  • 27. 27 Teorema 5 Cuando el lado derecho de una función y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica de la nueva función y = -f (x) es una reflexión en el eje de x de la gráfica de y = f(x).
  • 28. 28 2 2 Use la gráfica de ( ) para obtener la gráfica de ( ) = = − f x x g x x x f(x) g(x) -2 4 -4 -1 1 -1 0 0 0 1 1 -1 2 4 -4 Ejemplo:
  • 29. 29 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 y x= 2 y x= − Gráfica con animaciones
  • 30. 30 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x Ejemplo: Dada la gráfica de f(x), dibuja la gráfica de –f(x).
  • 31. 31 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x La gráfica de –f(x) es;
  • 32. 32 Teorema 6 Cuando la variable independiente de una función, y = f (x) se multiplica por -1, la gráfica de la nueva función y = f(-x) es una reflexión alrededor del eje y de la gráfica de y = f (x).
  • 33. 33 Use la gráfica de ( ) para obtener la gráfica Ejemplo de ( : ) . = = − f x x g x x x f(x) g(x) - 4 No está definida 2 -1 No está definida 1 0 0 0 1 1 No está definida 4 2 No está definida
  • 34. 34 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x (4, 2) (1, 1) y x= (-1, 1) (-4, 2) (0, 0) Reflexión en el eje de y ( )f x x= −
  • 35. 35Ejemplo: Dibuja la gráfica de la función. f x x( ) = − − Reflexión en el eje de x Reflexión en el eje de y Observación: La función básica es la raíz cuadrada.
  • 36. 36 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 (1,1) (4,2) y x=
  • 37. 37 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 (-4, 2) (-1, 1) y x= − Reflexión en eje de y
  • 38. 38 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 (-1, -1) (-4, -2) y x= − − Reflexión en eje de x
  • 39. 39 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x Gráfica con animaciones y x= y x= − y x= − −
  • 40. 40 Ejemplos: 1. Si el punto ( 2,4) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto corespondiente en la gráfica de 4 ( 2) 3. f x f x − − + Respuesta: ( 2 2,4(4) 3) (0,19)− + + = 2. Si el punto ( 3,2) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto corespondiente en la gráfica de 3 ( 4) 3. f x f x − − + − Respuesta: ( 3 4,2( 3) 3) ( 7, 9)− − − − = − − 3. La gráfica de ( ) se refleja en el eje de , se traslada 4 unidades hacia arriba y tres unidades a la derecha. Si el punto ( 5,2) esta en la gráfica de ( ) encuentra el punto corespondiente en la f x x f x − gráfica transformada. Respuesta: ( 5 3,2( 1) 4) ( 2,2)− + − + = −
  • 41. 41 Ejercicios: Describa las transformaciones realizadas a la función básica y trace la gráfica. 2 1) ( ) 3f x x= + 1)()2 2 −= xxf ( )2 3)()3 −= xxf ( )2 1)()4 += xxf 3 )()5 xxf −= Solución Solución Solución Solución Solución
  • 42. 42 xxf −=)()6 ( ) 3 7) ( ) 2 1f x x= − ( ) 31 8) ( ) 1 1 4 f x x= + + 9) ( ) 2 4g x x= − + + 10) ( ) 2 2 3f x x= + − Solución Solución Solución Solución Solución
  • 43. 43 1)1()()11 3 −+= xxg ( )12) ( ) 2 6f x x= − + 13) ( ) 2f x x= − + 14) ( ) 3 1h x x= − − + 1 15) ( ) 3 g x x = − Solución Solución Solución Solución Solución
  • 44. 44 1 16) ( ) 4 f x x = − + Solución
  • 45. 45 Ejercicios Resueltos: Describa las transformaciones realizadas a la función básica y trace la gráfica. 2 1) ( ) 3f x x= + Traslación vertical de tres unidades hacia arriba. Ejercicios
  • 46. 46 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 xy = 2 3y x= + Ejercicios
  • 47. 47 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 2 3y x= + Ejercicios
  • 48. 48 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 1)()2 2 −= xxf Traslación vertical de una unidad hacia abajo. Ejercicios
  • 49. 49 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f(x) x 2 xy = 2 1y x= − 1)()2 2 −= xxf Traslación Vertical de una unidad hacia abajo. Ejercicios
  • 50. 50 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f(x) x 2 1y x= − 1)()2 2 −= xxf Traslación Vertical de una unidad hacia abajo. Ejercicios
  • 51. 51 ( )2 3)()3 −= xxf Traslación horizontal de tres unidades hacia la derecha. Ejercicios -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 f(x) x
  • 52. 52 ( )2 1)()4 += xxf Traslación horizontal de una unidad hacia la izquierda. Ejercicios -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x
  • 53. 53 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 3 )()5 xxf −= Reflexión con respecto al eje de x. Ejercicios 3 ( )f x x= − 3 ( )f x x=
  • 54. 54 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x xxf −=)()6 ( )f x x=( )f x x= − Ejercicios
  • 55. 55 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 3 7) ( ) 2 1f x x= − Ejercicios
  • 56. 56 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( ) 31 8) ( ) 1 1 4 f x x= + + Ejercicios
  • 57. 57 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 9) ( ) 2 4g x x= − + + Ejercicios
  • 58. 58 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 32)()10 −+−= xxf Ejercicios
  • 59. 59 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 1)1()()11 3 −+= xxg Ejercicios
  • 60. 60 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x ( )12) ( ) 2 6f x x= − + Ejercicios
  • 61. 61 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 13) ( ) 2f x x= − + Ejercicios
  • 62. 62 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 14) ( ) 3 1h x x= − − + Ejercicios
  • 63. 63 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x 1 15) ( ) 3 g x x = − Ejercicios
  • 64. 64 1 16) ( ) 4 f x x = − + Ejercicios -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 f(x) x