R2 b14 función racional

Bloque 14

Función Racional: discontinuidad y asíntotas

Desarrollo del pensamiento algebraico

Bloque 14

Función Racional: Discontinuidad y asíntotas
Los propósitos del bloque son:

(i) Determinar el dominio y contradominio de funciones
racionales.
(ii) Usar el concepto de intervalo para describir el dominio y
contradominio de funciones racionales.
(iii) Identificar los puntos donde no está definida una función
racional.
(iv) Identificar asíntotas horizontales y verticales.
(v) Realizar variaciones en los coeficientes de las reglas de
correspondencia de las funciones para efectuar
traslaciones y reflexiones.

Las actividades del bloque acuden a la visualización de las
gráficas y ecuaciones de funciones racionales para identificar su
dominio y contradominio. El uso del concepto de intervalo en este
contexto conlleva a la introducción de los conceptos de intervalo,
intervalo abierto y unión de intervalos.

forma 𝑓(𝑥) = con 𝑄(𝑥) ≠ 0, la restricción 𝑄(𝑥) ≠ 0 se percibe visualmente
𝑃(𝑥)
Las funciones racionales que se incluyen en las hojas de trabajo son de la
𝑄(𝑥)
como “rompimientos” de la gráfica, lo cual da lugar a la revisión de conceptos
como la división entre cero, continuidad de una función, asíntota, asíntota
horizontal, asíntota vertical y aproximación a una discontinuidad por la derecha y
por la izquierda.
Las hojas de trabajo incluyen actividades que indican la
variación de los coeficientes en la regla de correspondencia de una
función para identificar sus efectos en su gráfica.
La calculadora ofrece retroalimentación inmediata a las
conjeturas formuladas por el estudiante, lo cual le proporciona
oportunidades para realizar un amplio trabajo de exploración que le
facilita reconocer hechos matemáticos relacionados con las funciones
racionales. Es importante que el futuro docente dedique tiempo a
formalizar los hallazgos derivados de dichas exploraciones.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz


HOJA DE TRABAJO 138
HIPÉRBOLAS
La ecuación y =
1
x
1. produce una gráfica
distinta a las que hasta ahora has
construido. Constrúyela en la
calculadora y dibújala en el plano de la
derecha.

Esta ecuación se puede editar en la La gráfica que construirás con esa
calculadora en estas dos formas: y=1/x o ecuación se llama hipérbola.
y=1÷x
2. La hipérbola consta de dos partes. Describe cómo se despliega cada una en la
pantalla de la calculadora. _________________________________________
_____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. ¿En qué valor de x la gráfica se “rompe”? ___________________________
4. ¿A qué crees que se deba que la gráfica se “rompa” en ese valor de x? ______
__________________________________________________________
__________________________________________________________

multiplicado por cero dé por resultado 1. Esto significa que la función 𝑦 =
1
Observa que el cociente 1÷0 no está definido porque no hay ningún número que

𝑥
no es
continua en x=0.

5. Observa la parte de la gráfica que está a la izquierda de x=0.
a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x=0 por la izquierda?
_______________________________________________________
6. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x=0.
a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x=0 por la derecha?
_______________________________________________________
b) ¿Cómo son los valores de y al alejarse de x=0 por la derecha y por la
izquierda? _______________________________________________

7. ¿Cuál es el dominio de la función 𝑦 =
1
𝑥
? Exprésalo como intervalo.

8. ¿Cuál es el contradominio de la función 𝑦 =
1
__________________________________________________________

𝑥
? Exprésalo como intervalo.
__________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 139
ASÍNTOTAS HORIZONTALES

1. Construye en la
calculadora la gráfica de
1
la ecuación y = +2 y
x
dibújala en el plano de la
derecha. La línea horizontal punteada no aparece al construir
la gráfica en la calculadora, la mostramos para que te
sirva como “guía” al dibujarla.
1
2. ¿En qué valor de x “se rompe” la gráfica de y = + 2 ? _________________
x
3. Observa la parte de gráfica que está la izquierda de x=0. ¿Cómo son los valores
1
de la función y = + 2 cuando recorres la gráfica hacia la izquierda alejándote
x
de x=0? _____________________________________________________
4. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x=0. ¿Cómo son los
1
valores de la función y = + 2 cuando recorres su gráfica hacia la derecha
x
alejándote de x=0? _____________________________________________
5. ¿Qué relación encuentras entre las respuestas de los incisos (3) y (4) y la
ecuación de la recta horizontal que te sirvió de guía para trazar la gráfica en el
inciso (1)? ____________________________________________________
____________________________________________________________

Si una función tiende a un valor real L cuando el valor de x tiende a infinito o a menos
infinito, entonces la gráfica de la función se aproxima a la recta y=L, la cual se llama
asíntota horizontal de la gráfica. La recta y=2 es una asíntota horizontal de la gráfica
1
de y = +2.
x

6. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que
utilizaste.
a) b) c)

y =_________ y =_________ y =_________
7. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de cada función del inciso (6)?
____________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 140
SIMETRÍA

1. Agrega lo necesario a la ecuación
1
y = + 1 para construir en la
x
calculadora la hipérbola que se
muestra en la figura de la derecha.

2. ¿Qué modificación debiste realizar a la ecuación para obtener esa gráfica?
____________________________________________________________

3. Observa la gráfica y describe detalladamente el comportamiento que tiene la
hipérbola por la izquierda y la derecha de x=0 __________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________

4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función del inciso (1)? Exprésalos como
intervalos. ____________________________________________________
____________________________________________________________
5. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las expresiones que
utilizaste.

y = ________ y = ________ y = ________
6. Construye en la calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el
segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica.
Después dibuja las gráficas en el plano de la derecha.
x +1
a) y =
x

3x − 1
b) y =
x



HOJA DE TRABAJO 141
COEFICIENTES

1. Construye en la calculadora las gráficas de las funciones que se muestran

abajo y dibújalas en el plano. Los valores , , y son los coeficientes

de en esas funciones.

y =    y =    y =
65  1 
y =
2 1 5 1 1  1 
           
 3  x   2  x   3  x   10  x 

2. Describe cómo cambia cada gráfica de acuerdo a los valores del coeficiente

de . ____________________________________________________

_________________________________________________________
3. Construye en la calculadora tres hipérbolas que se ubiquen entre las gráficas
de y =    y y =    . Anota las expresiones que usaste.
1 1 34 1
     
 2  x   3  x 

y=______________ y=______________ y=______________
7. Construye en la calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el
segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica.
Dibuja las gráficas en el plano de la derecha.

2x + 3
c) y =
x

x −5
d) y =
x



HOJA DE TRABAJO 142
TRASLACIONES HORIZONTALES

1. Construye en la calculadora la gráfica de la
1
función y = y dibújala en el plano de la
x −3
derecha, utiliza La línea vertical como guía.

Considera que debe escribirse en la

calculadora como y=1/(x-3) o como y=1÷(x-3).
Cuando la gráfica de una función diverge a infinito positivo o infinito negativo
conforme los valores de x se aproximan a un valor c por la derecha o la izquierda,
entonces la gráfica de la función se aproxima a la línea vertical que pasa por el punto
(c, 0), la cual se llama asíntota vertical. La línea vertical que pasa por (3, 0) y usaste
1
de guía es la asíntota vertical de la función y = .
x −3
2. ¿Qué cambios observas en esta gráfica respecto a las que has construido en las
hojas de trabajo anteriores? _____________________________________
1
3. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función y = ?
x −3
____________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ___________________________________________
____________________________________________________________

4. Construye en la calculadora, para cada inciso, una hipérbola cuya asíntota sea la
línea vertical que se muestra. Anota las ecuaciones usadas.

y= _____________ y = _____________

5. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (-6.3, 0).
______________________________
6. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (5.8, 0).
______________________________



HOJA DE TRABAJO 143
TRASLACIONES VERTICALES

1. Construye en la calculadora una hipérbola
cuya asíntota pase por el punto (3,0), anota
la ecuación que usaste y dibuja la gráfica en
el plano de la derecha.

y = _________________

2. Modifica la expresión que utilizaste en el
inciso (1) de tal modo que la hipérbola tenga,
además de una asíntota vertical, una asíntota
horizontal determinada por la recta y=2.5.
Constrúyela en la calculadora y dibújala en el
plano de la derecha.

y = _________________

3. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función del inciso (2)? ____________
____________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ___________________________________________
____________________________________________________________

4. Ahora construye una hipérbola que 5. Agrega lo que sea necesario a la
tenga como asíntota vertical la que ecuación del inciso (4) para que la
se muestra en el plano de abajo. gráfica tenga la asíntota horizontal que
Anota la ecuación y dibuja su se muestra en el plano de abajo. Anota
gráfica. tu ecuación y dibuja su gráfica.

y = _________________ y = _________________

5. Escribe la ecuación de una hipérbola que tenga como asíntota vertical una
recta que pase por el punto (4.4, 0) y como asíntota horizontal la gráfica de la
ecuación y=2.9. Construye en la calculadora la gráfica correspondiente para
comprobar que tu expresión es correcta.

y=___________________



HOJA DE TRABAJO 144
¿Y ESTAS GRÁFICAS?

1. Construye en la calculadora la
1
gráfica de la función y = 2 y
x
dibújala en el plano de la
derecha.

1
2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función y = ? _____________
x2
__________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ________________________________________
__________________________________________________________

3. Construye la gráfica de la
siguiente función y reprodúcela a
continuación.
1
y = 2
x −9

1
4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función y = ? ___________
x 2 −9
__________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ________________________________________
__________________________________________________________
1
5. Construye la gráfica de y = 2 . ¿Cuáles son sus asíntotas? _____
x − 5x + 4
_________________________________________________________

6. ¿Cuál es una ecuación para la
siguiente gráfica? La asíntota y= ___________________
vertical de la derecha es el eje Y.
Comprueba en la calculadora tu
respuesta. ¿Qué hiciste para
encontrar la ecuación? ________
__________________________
__________________________
__________________________
1
7. Anticipa cómo es la gráfica de la función y = y descríbela. ____
( x + 2) 2
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Comprueba tu descripción construyendo la gráfica en la calculadora.



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Elabora una descripción de las funciones racionales (la apariencia de sus
gráficas, su dominio, contradominio, puntos de discontinuidad, asíntotas,
periodicidad, crecimiento, comportamientos locales, etc.). Discútela en
equipo y realiza los ajustes necesarios.
2. Indaga en diferentes fuentes matemáticas acerca de las funciones
racionales. Prepara una presentación y exponla a tu grupo.
3. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de “los ceros de una función” y
elabora un resumen. Discútelo con tus compañeros y tu profesor.
4. Determina los ceros y las asíntotas verticales de la siguiente función

(𝑥 + 4)(𝑥 − 7)2 (𝑥 + 10)
racional:

𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)(𝑥 − 7)(𝑥 + 10)2
5. Indaga en fuentes bibliográficas lo siguiente:
a. División por cero.
b. Discontinuidad de una función racional.
c. Asíntota.
6. Discute en equipo las ventajas que ofrece el uso de la calculadora en el
estudio de las funciones racionales.
7. Bajo la perspectiva de tu formación profesional como futuro docente,
elabora un ensayo acerca la pertinencia y limitaciones de las actividades
de este bloque como recurso didáctico. Discútelo con tus compañeros y tu
profesor.


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