R2 b10 factorización

Bloque 10

Factorización de expresiones cuadráticas:
“Un acercamiento visual”

Desarrollo del pensamiento algebraico

Bloque 10
Factorización de expresiones cuadráticas: “Un acercamiento visual”

El propósito de este bloque es introducir a los estudiantes al tema de factoriza-
ción de expresiones cuadráticas en una variable; se aprovechan los recursos que
ofrece la visualización de gráficas en el plano cartesiano y las habilidades que los
estudiantes han desarrollado para identificar la relación que hay entre los coefi-
cientes de una función cuadrática y el comportamiento de su gráfica.

Los casos de factorización que se abordan en este bloque corresponden al trino-
mio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de segundo grado y el
trinomio de segundo grado cuando el término independiente es cero. En particu-
lar, estos casos corresponden respectivamente a las expresiones canónicas
x2+bx+c, x2+2ax+a2, x2-a2 y x2+ax, donde a, b y c son números reales. En casi todas
las actividades de este bloque el coeficiente del término cuadrático es 1.

La factorización de expresiones cuadráticas en una variable introduce de manera
natural al estudio de la equivalencia entre expresiones algebraicas. En estas acti-
vidades el criterio para determinar si dos expresiones son equivalentes es que sus
gráficas cartesianas sean iguales, lo cual extiende el criterio de equivalencia que
se empleó en el Bloque 2, donde el criterio fue que dos expresiones algebraicas
son equivalentes si producen los mismos valores de salida para los mismos valo-
res de entrada.

Te invitamos a que completes las actividades de este bloque reflexionando cons-
tantemente sobre los aprendizajes que construyas a partir del análisis del com-
portamiento de este tipo de funciones y las competencias docentes que estarás
cultivando al enriquecer tus conocimientos con los contenidos del tema de facto-
rización algebraica que aquí presentamos.

Asimismo, es importante que contrastes este acercamiento didáctico al tema de
factorización con el acercamiento algebraico que estudiaste en la secundaria y el
bachillerato, que contrastes sus ventajas y limitaciones y las formas en que am-
bos acercamientos se complementan.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz


HOJA DE TRABAJO 106
El trinomio cuadrado perfecto

1. Construye en la calculadora la
gráfica de la ecuación y= (x+3)2 y
dibújala en el plano cartesiano de la
derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la
ecuación y= x2 + 6x + 9
y bosquéjala en el plano cartesiano
de la derecha.

3. Un estudiante afirma que las gráficas de los incisos (1) y (2) son iguales,
¿estás de acuerdo con él? _________ Explica qué crees que se deba que las
dos gráficas sean iguales. ______________________________________
4. Construye la gráfica de la ecuación y=(x+3)(x+3) y compárala con las gráficas
de los incisos (1) y (2). ¿Qué puedes concluir acerca de las expresiones (x+3)2,
x2+6x+9 y (x+3)(x+3)? _____________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
5. Encuentra otras dos expresiones como las anteriores, de manera que produz-
can la misma gráfica que (x+1)2. Anota esas expresiones y explica cómo las
obtuviste. __________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________

6. Encuentra las ecuaciones que se usaron para producir cada una de las siguien-
tes gráficas. Después construye dos ecuaciones equivalentes a cada una de
ellas.

y=__________ y=__________ y=__________ y=__________
y=__________ y=__________



HOJA DE TRABAJO 107
Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto

1. Una estudiante dice que la ecuación y=x2+1.52 produce la misma gráfica que
y=(x+1.5)2. ¿Estás de acuerdo con ella? _______ Explica tu respuesta.
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________

2. Comprueba tu respuesta trazando las
gráficas de las ecuaciones del inciso
(1).

3. Otro estudiante dice que y=(x-2)2 produce la misma gráfica que la de la ecua-
ción y=x2-2x-2x+4. ¿Estás de acuerdo con él?____________ Explica tu res-
puesta. _________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________

4. Construye en la calculadora las gráfi-
cas de las ecuaciones del inciso (3)
para comprobar tu respuesta y di-
bújalas en el plano cartesiano de la
derecha.

5. En cada uno de los siguientes incisos encuentra dos ecuaciones que produzcan
la misma gráfica que la ecuación que se da. Comprueba en la calculadora que
tus respuestas son correctas.
a) y= (x + 6)(x+6) y= ______________ c) y=16x2+40x+25
y= _______________
y= ______________
y= ________________

b) y= x2+8x+16 y= ______________
d) y=(x - 2.5)(x-2.5)
y= ______________ y= _______________

y= ________________



HOJA DE TRABAJO 108
Diferencia de cuadrados (1)
1. Construye en la calculadora la
gráfica de y = (x + 2.5)(x – 2.5) la
siguiente ecuación y dibújala en el
plano cartesiano de la derecha.

2. Ahora construye la gráfica de la
ecuación y = x2 – 6.25 y dibújala en
el plano cartesiano de la derecha.

3. ¿Cómo son las gráficas de las dos expresiones que acabas de construir en la
calculadora?________________________________________________
4. Explica a qué se debe que las dos gráficas sean iguales. ________________
_________________________________________________________

5. Encuentra una ecuación que produz-
ca la misma gráfica que y=(x+3)(x– ____________________________
3). Anótala la ecuación que encon- ____________________________
traste en el siguiente recuadro y ____________________________
explica cómo razonaste para formu- ____________________________
lar tu respuesta. ____________________________
____________________________
____________________________

4. Encuentra dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas.

y=__________ y=__________ y=__________ y=__________



HOJA DE TRABAJO 109
Diferencia de cuadrados (2)

1. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que la ecuación que se
da en cada uno de los siguientes incisos. Anota en el recuadro la ecuación que
encontraste y verifica tu respuesta construyendo las gráficas en la calculado-
ra. Traza en cada caso la gráfica (cuando sea necesario, específica la escala
que usaste para ver la gráfica en la calculadora).
a)

y= (x-3.5)(x+3.5)

ESCALA_______________________
b)

y= x2-36

ESCALA_______________________
c)

y= (3x-1)(3x+1)

ESCALA_______________________

2. Un estudiante no pudo encontrar la Otro estudiante dice que la expresión
ecuación que produce una gráfica y=(x-5)(x+5) produce la misma gráfica
igual a la de y=100x2-9. Encuéntrala que y=x+25. ¿Estás de acuerdo con él?
y explica cómo la encontraste. ______________ Explica tu respuesta.
Construye las gráficas en la calcula- ______________________________
dora para comprobar que tu res- ______________________________
puesta es correcta ______________________________
y= _____________________ ______________________________
_____________________________ ______________________________
_____________________________
_____________________________ Construye las gráficas en la calculadora
para comprobar que tu respuesta es co-
rrecta,.



HOJA DE TRABAJO 110
Trinomio de segundo grado (1)

1. Una estudiante construyó la si-
guiente gráfica en la calculadora.
Para ello utilizó una ecuación como
la siguiente. Encuentra los números
que faltan y completa la ecuación.
y= (x + )(x + )
Explica cómo razonaste para completar
la ecuación. ____________________
_____________________________
_____________________________

2. Ahora construye la gráfica de la expresión y=x2+6x+5, y compárala con la del
inciso anterior. ¿Cómo son ambas gráficas? ______________ ¿A qué se de-
be? _____________________________________________________
__________________________________________________________

3. Encuentra una ecuación que produz- _____________________________
ca la misma gráfica que ______________________________
y=(x+8)(x+3). Explica cómo la en- ______________________________
contraste ______________________________
______________________________

y=

4. Como en los incisos anteriores, encuentra dos ecuaciones que produzcan cada
una de las siguientes gráficas y anótalas en los recuadros.



HOJA DE TRABAJO 111
Trinomio de segundo grado (2)

1. Completa los espacios en blanco para construir parejas de ecuaciones que pro-
duzcan las mismas gráficas. Verifica tus respuestas construyendo las gráficas
correspondientes en la calculadora.
a)

y= (x- )(x+ ) y= x2- [ ] x- [ ]

b)

y= (x- )(x- ) y= x2- [ ] x + [ ]

c)

y= (x+ )(x- ) y= x2 + [ ] x- [ ]

2. Una estudiante dice que y=x2+40 3. Otro estudiante dice que las
produce la misma gráfica que y=(x- ecuaciones y=x2-5x+3x-15 y
5)(x-8). ¿Estás de acuerdo con ella? y=(x-5)(x+3) producen la misma
_________ Justifica tu respuesta. gráfica. ¿Estás de acuerdo con
___________________________ él? ____________ Justifica tu
___________________________ respuesta. ________________
___________________________ ________________________
___________________________ ________________________
___________________________ ________________________

4. Encuentra una ecuación para cons-
truir la gráfica de la derecha y anó-
tala.

y=_____________________



HOJA DE TRABAJO 112
Expresiones cuadráticas con un factor común
1. Encuentra una ecuación que te per-
mita reproducir en tu calculadora la
gráfica de la derecha. Anótala en el
recuadro y explica cómo la encon-
traste.
y= ________________

Explicación ____________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________

2. Encuentra otra ecuación que te permita reproducir la gráfica del inciso (1),
anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste.

Explicación__________________
y= __________________ __________________________
__________________________
__________________________
__________________________
3. Unos estudiantes crearon las ecuaciones y=x2-4x, y=(x+0)(x-4) y y= (x)(x-4)
para reproducir la gráfica del inciso (1). Compara esas ecuaciones y explica
por qué producen la misma gráfica.

Explicación____________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________

4. Otro estudiante dice que la ecuación __________________________
(x)(x+4) también produce la gráfica __________________________
que se muestra en el inciso (1). __________________________
¿Estás de acuerdo con él? _______ __________________________
Justifica tu respuesta. __________________________
__________________________



HOJA DE TRABAJO 113
Factorización y equivalencia algebraica (1)

1. Como las de la hoja de trabajo anterior, encuentra tres ecuaciones que pro-
duzcan cada una de las siguientes gráficas. Si es necesario, ajusta el rango de
la calculadora para que puedas ver las gráficas como aquí se presentan.

2. Una estudiante usó la ecuación y=
3x2-6x para construir la gráfica que
se muestra a la derecha. Encuentra
otras dos ecuaciones que produzcan
la misma gráfica.



HOJA DE TRABAJO 114
Factorización y equivalencia algebraica (2)

1. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes
gráficas.

y= 5x2-20x y=(x+0)(2x+3)

2. Encuentra dos ecuaciones equivalentes a y=2.5x2-15x. Anótalas en los recua-
dros y explica cómo razonaste para formular tu respuesta.

Explicación__________________
__________________________
__________________________
__________________________
__________________________
__________________________
3. En cada inciso encuentra otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica
que la ecuación que se da. Bosqueja a la derecha la gráfica correspondiente.
a)

y= 8x2 + 16x

b)

y= 4x2 + 5x



Actividades que se sugieren para los futuros docentes

1. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trino-
mio de segundo grado”. Indaga en fuentes bibliográficas la de-
finición de un trinomio cuadrado perfecto y las estrategias que
se sugieren para factorizarlo. Compara estas estrategias con las
que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe
un breve ensayo al respecto.

2. En la presentación de este bloque se hace referencia a “la dife-
rencia de cuadrados”. Indaga en fuentes bibliográficas la defini-
ción de “diferencia de cuadrados”. Compara estas estrategias
con las que experimentaste en las actividades de este bloque y
escribe un breve ensayo al respecto.

3. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trino-
mio cuadrado perfecto”. Indaga en fuentes bibliográficas la de-
finición de “trinomio cuadrado perfecto”. Identifica en qué
hojas de trabajo de este bloque se involucran trinomios cua-
drados perfectos y en qué se diferencian estos casos del caso
general que se presenta en la bibliografía que consultaste.

4. Elige tres hojas de trabajo de este bloque para que las apliques
en una sesión con alumnos de educación básica. Haz un reporte
de los resultados que obtuviste en términos de los aprendizajes
que lograron esos alumnos y de las dificultades que les ayudas-
te a resolver.


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