R2 b9 cuadráticas

Bloque 9

Funciones cuadráticas:
Su representación gráfica y algunas aplicaciones

Desarrollo del pensamiento algebraico

Bloque 9

Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones

Los propósitos centrales de las actividades de este bloque son los si-
guientes:

(i) Estudiar las representaciones algebraica, gráfica y tabular de
funciones cuadráticas de la forma ax2+bx+c.

(ii) Identificar la parábola como la representación gráfica de fun-
ciones cuadráticas de la forma ax2+bx+c.

(iii) Explorar el comportamiento gráfico de funciones cuadráticas
de las formas y=ax2, y=ax2+c, y=a(x+b)2+c, y=ax2+bx

(iv) Desarrollar nociones de los conceptos de crecimiento, decre-
cimiento y máximo y mínimo de una función, a través de es-
tudiar su comportamiento gráfico.

(v) Introducir el concepto de regresión a través de encontrar “la
parábola que mejor se aproxima” y “la recta que mejor se
aproxima”, para estudiar el comportamiento de una nube de
puntos.

En este bloque se aborda el estudio de funciones de la forma ax2+bx+c; a las gráficas de
esas funciones se les llama parábolas, el vértice de estas curvas determina sus valores
mínimo o máximo, lo cual depende de que la parábola decrezca y después crezca y vice-
versa. Las actividades que aquí se incluyen inducen el establecimiento de relaciones entre
los parámetros de esas funciones y el comportamiento de sus gráficas. Esto conduce a
identificar formas para producir diversas transformaciones en la parábola, como su trasla-
ción vertical y horizontal, la abertura de sus “ramas” o que “abra hacia arriba” o “hacia
abajo”. Las hojas de trabajo presentan situaciones que pueden modelarse mediante una
función cuadrática que refuerzan el trabajo que se hizo con las actividades del bloque an-
terior.

El uso de los ambientes gráfico, algebraico y tabular de la calculadora permite pasar de la
representación algebraica o tabular de una función a su representación gráfica, lo cual
favorece el desarrollo de habilidades para establecer relaciones entre estas formas de re-
presentación y estrategias de traducción entre ellas. El hecho de que la calculadora permi-
ta la producción de una gran cantidad de distintas representaciones en corto tiempo pro-
mueve que el estudiante acuda a estrategias de ensayo y error, y con el tiempo puede
llegar a perfeccionar esos acercamientos intuitivos hasta llegar a crear métodos propios
muy cercanos a los convencionales.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz


HOJA DE TRABAJO 85
Un punto muy importante de la parábola
1. La gráfica que se muestra en la figura de
la derecha es una parábola. Al punto que
se ha destacado en la gráfica se le llama
vértice de esa parábola. ¿Cuáles son las
coordenadas del vértice de esa parábola?
_______________________________

2. Construye esa gráfica en tu calculadora
usando la ecuación y = x2.
3. Construye también el punto que corres-
ponde al vértice de esa parábola.

4. Construye cuatro parábolas de manera que cada una tenga como vértice uno de los siguien-
tes puntos: (x=0, y=3.5), (x=0, y=4.2), (x=0, y=−2.45). ¿Cuáles son las ecuaciones que usas-
te? ________________________________________________________________

5. ¿Qué cambios observas en las gráficas que construiste? _________________________
___________________________________________________________________

6. ¿A qué crees que se deban los cambios que observas en las gráficas que construiste? Explí-
calo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.
___________________________________________________________________
7. Supongamos que el punto (x=0, y=k) es el vértice de una parábola. De acuerdo con esta
información, ¿cuál es una ecuación que produce esa parábola? ______________________
8. Observa que la gráfica de la ecuación y=x2 “decrece” cuando los valores de x son negativos,
y “crece” cuando los valores de x son positivos. La Fig. 59 muestra la gráfica de y =−x2.
Fig. 59 a) ¿Para qué valores de x “crece” la gráfica
de y=−x2? ____________________
______________________________
b) ¿Para qué valores de x “decrece” la
gráfica de y=−x2? ________________
c) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice
de esta parábola? ________________
9. Construye en la calculadora una parábola cuyo vértice esté en el punto (0,3.5), de ma-
nera que primero “crezca” y después “decrezca”. Escribe la ecuación que usaste y di-
bújala en el siguiente plano cartesiano.

y= ____________



HOJA DE TRABAJO 86
Más sobre parábolas

1. Reproduce en la calculadora la gráfica que
se muestra a la derecha.

2. Construye tres parábolas cuyo vértice
esté arriba del vértice de la gráfica que
acabas de construir y tres cuyo vértice
esté debajo. Anota las ecuaciones que
usaste. __________________________
_______________________________
_______________________________
3. ¿Cuáles son las ecuaciones de las gráficas de la Fig. 1? __________________________
¿Cuáles son las ecuaciones de las gráficas de la Fig. 2? __________________________
Fig. 1 Fig. 2

4. Construye en tu calculadora tantas gráficas como sea necesario, de manera que práctica-
mente se vea negro el espacio que hay entre las gráficas de la Fig. 2. Escribe a continua-
ción las ecuaciones de seis de las gráficas que construiste. _______________________
___________________________________________________________________
5. Un estudiante construyó en la calculadora la gráfica de la expresión y = x2 − 15 y dice que
no tiene vértice, ¿estás de acuerdo con él? _____ Justifica tu respuesta. ____________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6. Una estudiante dice que la gráfica de la
7. En caso de que no estés de acuerdo, dibuja
expresión y = x2 + 13 no existe, ya que al
la gráfica a continuación. Haz las anotacio-
construirla en la calculadora no apareció
nes necesarias.
ninguna gráfica en la pantalla, ¿estás de
acuerdo con ella? _____ Justifica clara-
mente tu respuesta.
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________



HOJA DE TRABAJO 87
El vértice de una parábola

1. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y=x2 y y=(x−2)2. ¿Cuáles son
las coordenadas del vértice de cada parábola? __________________________

2. En el plano de la derecha traza “a mano”
una parábola cuyo vértice sea el punto
(x=4, y=0). ¿Qué ecuación usarías para
construir en la calculadora una parábola
como esa? _____________________

3. ¿Puedes construir una parábola cuyo
vértice sea el punto (x=−4, y=0)?
_________ ¿Qué ecuación usarías para
construir esa parábola? ___________

4. La parábola de la figura de la dere-
cha se construyó usando la ecuación
y=(x+4)2−3. ¿Cuáles son las coorde-
nadas de su vértice. ________
___________________________

5. ¿Puedes construir una parábola cuyo vértice sea el punto (x=−2, y=4)? ______ ¿Qué
ecuación usarías para construir esa parábola? _________________ ¿Por qué? ____

_______________________________________________________________
6. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice
de la parábola que se muestra a la dere-
cha? _________________________

7. Encuentra una ecuación que te permita
construir la gráfica del inciso (6). ¿Cuál
es esa ecuación? _________________

Verifica tu respuesta construyendo esa
parábola en la calculadora.



HOJA DE TRABAJO 88
¿Qué ecuaciones producen esas parábolas?
1. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y escribe sobre las líneas la ecuación
que utilizaste en cada caso.

Ecuación: _______________ Ecuación: _______________
Ecuación: _______________

Ecuación: _______________ Ecuación: _______________
Ecuación: _______________
2. En las siguientes actividades se plantean algunos retos. Verifica tus respuestas usando la
calculadora.
a) Construye una parábola que crezca para valores negativos de x y que decrezca para
valores positivos de x. Esa parábola debe tener vértice en el punto (x=−3, y=4). ¿Qué
ecuación usarías para hacer esto? _____________________________________
b) Construye una parábola que decrezca para valores negativos de x y que crezca para
valores positivos de x. El vértice de esa parábola debe ser el punto (x=4, y=2). ¿Qué
ecuación produce una parábola como esa? ________________________________
c) ¿Qué ecuación produce una parábola que tiene vértice en el punto (x=0, y=−6.5) y es
creciente para valores negativos de x, y decreciente para valores positivos de x?
_______________________________________________________________
d) Construye dos parábolas que tengan como vértice el punto (x=5, y=0), de manera que
donde una de ellas crece la otra decrece. ¿Qué ecuaciones usaste para construir
esas parábolas? ___________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 89
Simetría

Nota que la escala en las siguientes gráficas es 1 para los dos ejes cartesianos.
1. Encuentra las ecuaciones que te permitan reproducir las siguientes gráficas en la calcula-
dora. Explica cómo lo lograste.

y = ____________ y = ____________

2. Encuentra las ecuaciones que producen las siguientes gráficas y anótalas a continuación.

Ecuaciones:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________

Ecuaciones:
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________

3. Agrega a la ecuación y=(x + 2)2 lo que sea
necesario para que produzcas una gráfica
como la de la derecha. Anota la ecuación
que usaste.
y =_____________

4. Reproduce en la calculadora gráficas como
las que se muestran en la figura de la de-
recha. ¿Qué ecuaciones usaste?
_______________________________
_______________________________



HOJA DE TRABAJO 90
¿Cuál parábola “crece” más rápido?

La figura de la derecha muestra dos gráfi-
cas. La parábola con línea gruesa corres-
ponde a la ecuación y=x2, y la otra a la
ecuación y=2x2.

1. ¿Cuál es el valor de y cuando x=2 en la
gráfica de y=x2? _______________
2. ¿Cuál es el valor de y cuando x=2 en la
gráfica de y=2x2? ____________
3. ¿Cuál gráfica “crece” más rápido? ____
_____________________________

4. ¿Puedes construir una gráfica que crezca más rápido que la de y=2x2? _________
¿Qué ecuación produce una gráfica que crece más rápido? __________________

5. En figura de la derecha, la gráfica con
línea gruesa corresponde a y=x2, la otra
gráfica se construyó con la ecuación
y=0.5x2. ¿Cuál de ellas “crece” más
rápido? __________________ ¿Por
qué? _________________________
_____________________________
_____________________________

6. ¿Puedes construir una gráfica que
crezca más lentamente que esas dos?
______ ¿Qué ecuación usarías? _____
_____________________________

7. En figura de la derecha muestra la
gráfica de y=0.8x2. Constrúyela en tu
calculadora y haz lo que se indica a con-
tinuación.

a) Construye dos parábolas que crezcan más rápido que y=0.8x2. ¿Qué ecua-ciones usaste?
___________________________________________________________
b) Construye dos gráficas que crezcan más lentamente que y=0.8x2. ¿Qué ecuaciones
usaste? ___________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 91
Anchas y angostas

1. Construye en tu calculadora la gráfica
de la ecuación y = 0.3(x + 2)2+1, y di-
bújala en la pantalla de la derecha.

2. ¿Qué sucede con la gráfica si en la ecuación anterior utilizas 6 en lugar de 0.3?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________

3. Si construyera las gráficas de las
ecuaciones: y=2.8(x+2)2+1 y
y=3(x+2)2+1, ¿qué ecuaciones podría
usar para construir cinco gráficas que
estén entre éstas y que sus vértices
estuvieran en el mismo punto? ______
_____________________________

Dibújalas en el plano de la derecha.

4. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas.

5. Explica cómo encontraste las ecuaciones para reproducir estas pantallas en tu calculadora.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 92
¿Qué parábolas pasan por esos puntos?
1. Construye en tu calculadora los dos puntos Fig. 82
que se muestran en la Fig. 82. Después
construye una parábola tal que su vértice
sea el punto A y que además pase por el
punto B.
Sugerencia: Primero construye una parábola
que tenga como vértice el punto A y después
haz ajustes a la ecuación hasta que la gráfica
pase por el punto B.

2. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y =−18x2+24x tiene su vértice en el
punto (x=2/3, y=8) y que pasa por el punto (x=0, y=0). ¿Estás de acuerdo con ella? Cons-
truye esa parábola en tu calculadora para fundamentar tu respuesta. ______________
_________________________________________________________________
3. Otro alumno dice que las gráficas de ese tipo de ecuaciones siempre pasan por el punto
(x=0, y=0). ¿Estás de acuerdo con él? _______ Construye varios ejemplos de esto en tu
calculadora y escribe tus conclusiones a continuación. _________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4. En cada uno de los siguientes casos construye en la calculadora una gráfica que tenga
como vértice al punto A y que además pase por los puntos B y C (o se aproxime a ellos
tanto como puedas). Verifica tu aproximación usando una tabla de valores para x y y .

Ecuación: ________________________ Ecuación: _________________________
Fig. 85 Fig. 86

Ecuación: ________________________ Ecuación: _______________________



HOJA DE TRABAJO 93
¿A qué altura está la pelota?

Los puntos que se muestran en la
figura de la derecha se construyeron
con datos que se tomaron cuando un
jugador de béisbol lanzó una pelota
hacia arriba y se registró la altura
que alcanza en diferentes momentos.
En el eje X se registró el tiempo en
segundos que duró la pelota en el
aire. En el eje Y se muestra a qué
altura estaba la pelota cada medio
segundo.
Escala en X: 1 ; escala en Y: 3.
Las coordenadas de los puntos de la gráfica son las siguientes:
Tiempo (segundos) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Altura (metros) 0 14 19 24 20 14 0

1. Construye una gráfica en tu calculadora de manera que se aproxime tanto como puedas a
los puntos dados. Verifica qué tan precisa es tu aproximación construyendo una tabla
con los valores que arroja tu ecuación, y compara tu tabla con las coordenadas de los
puntos dados. ¿Qué ecuaciones usaste? ___________________________________
Coordenadas que obtienes con tu ecuación:
Tiempo 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Altura

2. Compara la tabla que completaste con los valores dados, ¿en qué punto encuentras la
mayor diferencia? __________________ ¿Es importante esa diferencia en términos
del problema que estás resolviendo? _______ ¿Por qué? _______________________

_________________________________________________________________
3. Usa la ecuación que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzó la pelota? __________________ ¿Cuántos se-
gundos transcurrieron para que la pelota alcanzara la altura máxima? ____________
b) ¿Qué altura alcanzó la pelota cuando habían transcurrido 1.7 segundos? __________
c) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando la pelota chocó con el suelo? _______
4. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias? ________ ¿A qué
crees que se deban? ____________________________________________________
___________________________________________________________________

¿Son importantes esas diferencias en términos del problema que estás resolviendo?
______ ¿Por qué? _____________________________________________________
___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 94

¿Qué tan rápido va ese automóvil?
Durante 8 segundos se registró la distancia que recorrió un automóvil desde su arranque. La tabla y
la gráfica que se muestran a continuación describen los datos.

En el eje X se representa el tiempo trans-
currido, en segundos. En el eje Y se mues-
tra cuántos metros por segundo había
avanzado el auto.

Escala en X: 1
Escala en Y: 50

Coordenadas de los puntos en la gráfica:

Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(segundos)
Distancia 0 10 46 112 185 290 425 580 765
(metros)

1. Construye en tu calculadora una gráfica que se aproxime tanto como puedas a los puntos que se
muestran en la figura del inicio. ¿Qué ecuación usaste para construirla?
_______________________ Explica con detalle qué información obtuviste de la gráfica para
construir esa ecuación. _________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Completa la siguiente tabla usando la ecuación que construiste y compárala con la tabla de coor-
denadas de los puntos dados en la gráfica.

Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(segundos)
Distancia
(metros)

3. ¿Observas diferencias grandes entre tu tabla y la tabla dada? _________________ ¿Puedes
hacer ajustes en tu ecuación para obtener mejores aproximaciones? _______ ¿Construiste una
ecuación que te permita una mejor aproximación? _________________ ¿Cuál es esa ecuación?

_______________________________________________________________________

4. ¿Qué distancia recorrería ese automóvil si se mantuviera acelerando de la misma manera duran-
te 12 segundos? ___________ ¿Qué hiciste para obtener esta respuesta?
_______________________________________________________________________

¿Qué distancia habrá recorrido al término de 16 segundos? __________________________

5. ¿Cuál es la velocidad promedio (en metros por segundo) durante los primeros 8 segundos?
______________ ¿Cómo obtuviste esta respuesta? ______________________________
______________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 95
¿Qué prefieres: grados Fahrenheit o centígrados?
En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura y en otros
países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre
esas escalas.

Grados Fah- −13 −4 5 32 100
renheit
Grados −25 −20 −15 0 37.77
Centígrados

1. Usa los datos de esa tabla Construye la gráfica en el siguiente espacio.
para hacer una gráfica de
puntos. En el eje X repre-
senta los valores en gra-
dos Fahrenheit y en el eje
Y los valores en grados
centígrados.
2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a
ellos? _________ ¿Qué tipo de gráfica construirías? ________________________
¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica_____________________________
3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores
que obtuviste con la tabla de valores dados.

X (Fahrenheit) −13 −4 5 32 100
Y (centígrados)

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que
se te dio, ajusta tu ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. ¿Obtuviste una
nueva ecuación? _________ ¿Cuál es? _____________________________________
4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.
a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? _____________
b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen −12 grados Fahrenheit? _____________
c) ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? _____________
d) Si el agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve en grados Fahrenheit? ____
5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?
_______ ¿A qué crees que se deban esas diferencias? _______________________
6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encon-
trar una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados
centígrados? ________ ¿Cómo lo harías? __________________________ Si pudis-
te hacerlo, completa la siguiente fórmula: ° F = _________________________



HOJA DE TRABAJO 96
Si modifico el perímetro ¿también cambia el área?
María quiere construir un jardín como el que
se muestra en la figura de la derecha, pero
sólo tiene material para construir una cerca
de 20 metros de longitud total.
Además, quiere que su jardín tenga la mayor
área posible. La figura muestra una manera
de hacerlo, pero hay muchas otras formas
de lograrlo. ¿Cuál es el área del jardín?
_____________m2
1. Encuentra otras medidas para hacer una cerca que limite los tres lados del terreno. Haz
dibujos que ilustren tus ideas y completa la siguiente tabla con los datos que obtengas.

Ancho 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Largo 18 12
Área 18 48

2. Construye una gráfica que te permita encontrar las medidas del largo y el ancho que María
debe elegir para que su jardín tenga la mayor área posible. ¿Qué puedes hacer para cons-
truir esa gráfica? __________________________________________________¿Cuál
fue la ecuación que usaste para construirla? ______________________ ¿Cuáles son las
medidas para el ancho y el largo del terreno que hacen que éste tenga la mayor área posi-
ble? _______________________________________________________________

3. En en plano de la derecha dibuja “a mano”
la gráfica que construiste. Para hacer esto
considera que la escala en los ejes es 1 en
X y 5 en Y.

4. Juan va a utilizar 24 metros de cerca para rodear los cuatro lados de su terreno rectangu-
lar y quiere hacer su jardín lo más grande posible. ¿Puedes encontrar una ecuación que te
permita encontrar las dimensiones del terreno que quiere Juan? ¿Qué harías para resolver
este problema? _______________________________________________________

___________________________________________________________________
5. ¿Encontraste una ecuación para encontrar qué medidas deben tener el largo y el ancho del
terreno de Juan? _______ ¿Cuál es la ecuación que encontraste? __________________
¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho que hacen que su terreno tenga área máxima?
___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 97
Chofer, ¿no podría ir más rápido?

Un automóvil viaja a velocidad constante. Fig. 91
En el eje Y se muestra la distancia que
recorre (en metros); en el eje X se re-
gistró el tiempo del recorrido en interva-
los de 2 segundos.
Escala en el eje X: 1
Escala en el eje Y: 2

Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.
1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? _______________
2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos? ____________

3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? _________________

¿Y al término de 7 segundos? __________________________________________
4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? ____________ ¿Cuánto
le tomó recorrer 110 metros? __________________________________________
5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para cons-
truirla? ______________________________________________ ¿Qué hiciste
para encontrar esa ecuación?__________________________________________
________________________________________________________________
6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.

a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante
2 minutos? ________________ ¿En una hora? __________________ ¿En una
hora y 20 minutos? _______________________________________________
b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? _______________________
c) ¿A qué velocidad se está moviendo ese automóvil? ______________________
¿Qué hiciste para responder esta pregunta? _____________________________
______________________________________________________________
7. Un alumno afirma que la ecuación y =20x le permite representar el movimiento de este
automóvil, ¿estás de acuerdo con lo que dice? _________________ ¿Por qué?
________________________________________________________________
________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 98
¿Mi peso es distinto en la Luna?

1. La siguiente figura muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un
objeto que está en la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en la Luna. Como
sabes, las diferencias se deben a que la fuerza de gravedad de la Tierra y la Luna son dis-
tintas. En el eje Y se muestra el peso en la Luna (en Kg); en el eje X se registró el peso
en el planeta Tierra (en Kg).

2. Completa la tabla de acuerdo con los datos 3. Construye en tu calculadora una gráfica
que proporciona la gráfica del inciso (1). que pase por tantos de esos puntos como
Peso en la Peso en la sea posible. Anota la ecuación que utilizas-
Tierra Luna te en el siguiente recuadro y explica cómo
(kg) (kg) la encontraste.
3
1
15 __________________________________
18 __________________________________
4.5 __________________________________

4. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y comprueba que pase por los mismos
puntos que los que registraste en la tabla del inciso (2). Usa la gráfica que construiste
para responder a continuación.

a) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 6.25 kg? ______________
b) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 25 kg? _______________
c) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 5 kg? ________________

d) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 0.75 kg? ______________
e) Explica cómo es que contestaste las preguntas 6 y 7. _______________________

______________________________________________________________

5. Construye una gráfica que en el eje Y mues-
tre el peso de una persona en la Tierra (en
Kg) y en el eje X su peso en la Luna (en Kg).
¿Qué diferencias encuentras entre esta gráfica
y la anterior? _________________________
___________________________________



HOJA DE TRABAJO 99
¿Cuánto pesas si estás en Júpiter?

1. La siguiente gráfica corresponde a la relación entre el peso que tiene un objeto que
está en la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en Júpiter. En el eje Y
se muestra el peso en el planeta Júpiter (en Kg); en el eje X se registró el peso en el
planeta Tierra (en Kg).

2. Completa la siguiente tabla de acuerdo 3. Construye en tu calculadora una gráfica
con los datos que proporciona la gráfica que pase por esos puntos. Anota la ecua-
del inciso (1). ción que utilizaste en el siguiente espa-
Peso en la Peso en cio y explica cómo la encontraste.
Tierra Júpiter
(kg) (kg)
2
4
12.5 _______________________________
6 _______________________________
20 _______________________________

4. Usa la gráfica que construiste para responder lo que se pide a continuación.
a) ¿Cuál es el peso en Júpiter, de una persona que en la Tierra pesa 40 kg? _____
b) ¿Cuál es el peso en Júpiter, de una sandía que en la Tierra pesa 3 kg? _______
c) ¿Cuál es el peso en la Tierra, de una bolsa de papas que en Júpiter pesa 1.5 kg?
_____________________
d) ¿Cuál es el peso en la Tierra, de una bolsa de azúcar que en Júpiter pesa 6.25
kg? ______________________

5. Construye una gráfica que en el eje Y
muestre el peso en la Tierra (en Kg) y en
el eje X el peso en Júpiter (en Kg).
¿Qué diferencias encuentras entre esta
gráfica y la anterior? _______________
_________________________________



HOJA DE TRABAJO 100
¿Tan rápido viaja la luz?

La siguiente gráfica muestra la distancia que recorre la luz (en
kilómetros) en un cierto tiempo (segundos). El eje Y muestra la
distancia recorrida por la luz (miles de Km); el eje X el tiempo (en
segundos).

Fig. 94

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo a 2. Construye en tu calculadora una gráfica
la gráfica. que pase por esos puntos. Anota la ecua-
Tiempo Distancia reco- ción que utilizaste en el siguiente recua-
(segundos) rrida dro y explica cómo la encontraste.
(miles de km)
0.5
1
3.5 _______________________________
1500 _______________________________
2700 _______________________________

3. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y contesta a continuación.
4. ¿Qué distancia recorre la luz en 4 segundos? ____________________________
5. ¿En cuánto tiempo recorre la luz 1 millón 650 mil km? _____________________
6. Un estudiante dice que la luz recorre 3 millones 500 mil kilómetros en 12 segundos,
¿estás de acuerdo con él? _______________ Justifica claramente tu respuesta.

___________________________________________________________
7. ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? _________________________
¿En una hora? ________ ¿En un día? ____________ ¿En un año? _________
8. Explica con detalle qué hiciste para responder las preguntas del inciso (7).
___________________________________________________________



A la distancia que recorre la luz en un año se le llama año luz; es una unidad de
longitud utilizada en astronomía para medir grandes distancias.
HOJA DE TRABAJO 101
¿Una ecuación para desalojar la escuela?

1. La siguiente gráfica de puntos muestra el número de estudiantes que quedan
dentro de una escuela durante un simulacro en diferentes tiempos. El eje Y
muestra el número de estudiantes dentro de la escuela; el eje X el tiempo
(en segundos).
Fig. 95

2. Escribe una ecuación que produzca una gráfica que pase por todos los puntos que
muestra la gráfica del inciso (1) y escríbela a continuación.

Explica cómo encontraste la ecuación. _________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Responde las siguientes preguntas y explica claramente tus respuestas.
a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?
___________ Explicación: ______________________________________
__________________________________________________________
b) ¿Cuántos estudiantes estaban aun dentro de la escuela cuando habían transcurrido
30 segundos del simulacro? ________________________________________
Explicación: _________________________________________________
c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido 55
segundos del simulacro? ___________________________________________
Explicación:____________________________________________________
_____________________________________________________________
d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?
____________ Explicación: _______________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________

e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela? _________________
Explicación:__________________________________________________
__________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 102
¿Quién lanza más alto la pelota?
La siguiente ecuación corresponde al recorrido de una pelota que es
lanzada hacia arriba. El punto donde la gráfica interseca con el eje
vertical corresponde a la altura desde la que se lanzó la pelota.

y = −0.5x2 + 3x + 1.5
1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación anterior y reprodúcela a continua-
ción. Usa la escala que se sugiere para los ejes cartesianos.

2. Usa la información que da la gráfica para contestar lo que se pide a continuación.
a) ¿Qué forma tiene la gráfica de la pelota lanzada hacia arriba? ______________ ¿A
qué crees que se deba que la gráfica tenga esa forma? ________________________
________________________________________________________________
b) ¿Desde qué altura se lanzó la pelota? _____________________________________
c) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota? ____________________________
d) ¿En cuánto tiempo alcanzó la pelota su altura máxima? ________________________
e) ¿Cuánto tiempo se mantuvo en el aire la pelota? _____________________________
f) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 2 segundos? __________________
g) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 10 segundos? _________________
3. Haz una modificación en la ecuación y = −0.5x2 + 3x + 1.5 para que la pelota alcance una
altura máxima de 7 metros. Anota la ecuación y comprueba en la calculadora. ¿Desde
qué altura fue lanzada la pelota? _______________________________________

4. ¿Cómo queda la ecuación si la pelota alcanza 5 metros de altura máxima? __________
5. Comprueba en la calculadora. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota? ____________
6. ¿Y para una altura máxima de 4.5 metros, cómo queda la ecuación? ______________
7. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota? _________________________________
8. ¿Cuál es la altura máxima en el caso de que la ecuación sea y = −0.5x2 + 3x + 4?
_________________ Comprueba en la calculadora.

9. ¿Cómo son entre sí las gráficas construidas en la calculadora? _____________________
10. ¿A qué crees que se deba? _______________________________________________



HOJA DE TRABAJO 103
¿Puedes calcular el tiempo y la distancia en caída libre?

Un objeto se deja caer desde cierta altura. La siguiente
gráfica de puntos nos da información sobre la distancia
y el tiempo durante su recorrido. El punto donde se
cortan la gráfica y el eje Y corresponde a la altura des-
de la que se dejó caer el objeto.
El eje Y muestra la altura a la que se encuentra el ob-
jeto con respecto al piso (en metros) y el eje X el tiem-
po (en segundos).

1. Construye la gráfica en la calculadora, para ello debes completar la siguiente
ecuación.
y = − 4.9x2 + _________

2. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y responde las siguientes preguntas.
a) ¿Desde qué altura se dejó caer al objeto? ____________________________
b) ¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando el objeto estaba a 3 metros de altura?
__________________________________________________________
c) ¿A qué distancia del piso se encontraba el objeto después de 0.5 segundos?
__________________________________________________________
d) ¿A qué distancia del piso estaba el objeto cuando habían transcurrido 3 segun-
dos? ______________________________________________________
e) ¿Cuánto tiempo tardó el objeto en estrellarse contra el piso? ______________
3. ¿Desde qué altura debe dejarse caer el objeto para que tarde 1 segundo en llegar
al piso? __________________________
¿Cuál ecuación corresponde a esta situación? ___________________________
Verifica en la calculadora tus respuestas.
Explica cómo razonaste para responder las dos preguntas anteriores. _________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 104
¿Es correcto lo que me cobran?
Un estacionamiento para autos cobra $4.00 por la primera hora, y de ahí en adelante,
cobra $1.00 más por cada cuarto de hora o fracción siguiente.
Contesta las siguientes preguntas de acuerdo con esa información. Justifica tus respuestas.
1. ¿Cuánto debe pagar de estacionamiento una persona que deja su auto a las 4:00 p.m. y lo
recoge a las 5:25 p.m.? ________________________________________________

_________________________________________________________________
2. ¿Cuánto debe pagar alguien que deja su auto a las 8:55 A.M. y lo recoge a las 12:17 p.m.?

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

3. ¿Cuánto debe pagarse por los siguientes intervalos?

De las 2:00 p.m. a las 3:14 p.m. __________________________________________

De las 2:00 p.m. a las 3:18 p.m. __________________________________________
De las 2:00 p.m. a las 3:25 p.m. __________________________________________

De las 2:00 p.m. a las 3:30 p.m. __________________________________________

De las 2:00 p.m. a las 3:33 p.m. __________________________________________

4. Un compañero dice que hay muchos intervalos de tiempo para los que se cobran $9.00
de estacionamiento, ¿estás de acuerdo con él? _____________________________

Justifica tu respuesta y muestra algunos ejemplos. ___________________________

_________________________________________________________________
5. Escribe 5 ejemplos de intervalos de tiempo para los que se cobran $7.00. __________
_________________________________________________________________

6. Construye en la calculadora una gráfica que represente el cobro del estacionamiento,
explica claramente cómo la construiste y reprodúcela “a mano” a continuación.

Explicación. _______________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 105

¡Viajar en taxi cuesta!
1. La siguiente gráfica muestra diferentes tarifas que se aplican cuando viajas
en un taxi. La tarifa depende de la distancia que recorre. El eje Y muestra el
cobro por viaje ($) y el eje X la distancia recorrida (Km).

2. Responde lo que se pide en cada caso de acuerdo con la información que da la
gráfica. Explica tus respuestas.

a) ¿Cuánto debe pagar una persona que hace un recorrido de 7 km?
____________ Explicación: ___________________________________
________________________________________________________
b) Anota 5 distancias diferentes por las que la tarifa sea $13.50. ____________
________________________________________________________
c) Un compañero dice que por un recorrido de 43 km el cobro es de $14.00, ¿estás
de acuerdo con él? ___________ Justifica claramente tu respuesta.
________________________________________________________
________________________________________________________
3. De acuerdo con la gráfica, ¿cómo se determina la tarifa a pagar por un viaje
en taxi? __________________________________________________
________________________________________________________
4. Construye en la calculadora y reproduce “a mano” la gráfica de un taxi cuya
tarifa se determina con un cobro de $7.00 por abordarlo más $1.00 cada
250 metros.



Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. Describe la secuencia didáctica propuesta en este bloque para desarrollar el tema de
la función cuadrática, prepara una presentación y preséntala en tu grupo.
2. Elabora en equipo un mapa conceptual que muestre la conexión entre los contenidos
matemáticos que aborda este bloque. Discútelo con tus compañeros.
3. Construye en la calculadora una parábola que pase por los puntos que se indican en
cada uno de los siguientes incisos.
a. Por el punto (-2,-3).
b. Por los puntos (-4,0) y (4,0).
c. Por los puntos (1,0), (3,4) y (6,2).
Compara con tus compañeros las ecuaciones que usaron, ¿son todas iguales?, ¿es
única la ecuación que usaron?, ¿en qué caso es única la ecuación que se puede cons-
truir?
4. Investiga fundamentos matemáticos que expliquen por qué uno de los casos tiene
ecuación única.
5. Realiza una investigación en diversas fuentes acerca de la función cuadrática y la
parábola, prepara una presentación y preséntala a tus compañeros.
6. Realiza las siguientes actividades.
a. Construye un tablero como el que se ilustra a continuación, en vez de estacas
puedes usar canicas u otro material, y juega de acuerdo a las siguientes ins-
trucciones. (Puedes buscar el juego en versión virtual en la dirección
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html)

b. El propósito del juego es que las estacas de color azul ocupen el lugar de las
rojas y a su vez las rojas el de las azules.
c. Las reglas son:
i. Las estacas de cada color se mueven en el sentido en el que se encuentra
el orificio vacío, ocupando el espacio vacío y saltando sólo estacas de co-
lor diferente, con un movimiento a la vez.
ii. No se debe retroceder, ni saltar más de una estaca u orificio a la vez y
tampoco intercambiar estacas contiguas en un sólo paso.
d. Realiza el juego hasta que logres culminarlo y dominarlo, entonces juégalo pa-
ra tres estacas de cada color, dos y una e incluso hasta de cinco.
e. Cuenta todos los movimientos que necesitas realizar para completar el juego
para cada uno de los casos.



f. Completa tablas como las siguientes:
Total de Número de movi- Total de Número de movi-
canicas mientos para comple- canicas de un mientos para com-
tar el juego color pletar el juego
2 1
4 2
6 3
8 4
10 5
g. Determina la ecuación y gráfica de las tablas.
h. Responde y justifica cuestionamientos como:
i. ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un
total de 14 canicas?
ii. ¿Cuántos movimientos se requieren para completar el juego con un
total de 10 canicas de un color?
iii. ¿Hay algún caso que requiera de 255 movimientos para completar el
juego?
iv. ¿Qué tipo de relación existe entre el número de canicas y movimientos
para completar el juego?
7. Realiza una investigación del tema regresión cuadrática. ¿Qué relación encuentras en-
tre este tema y las actividades del bloque? Prepara una presentación al respecto.
8. Investiga situaciones que contengan variables cuya relación sea una función cuadráti-
ca y elabora secuencias didácticas.


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