El documento describe cómo calcular el área de una región delimitada por una curva en coordenadas polares. Explica que el área se determina dividiendo el intervalo angular en partes y sumando el área de cada sector circular pequeño, lo que equivale al cálculo de una integral definida de la función r2 entre los límites angular. El área total es igual a la mitad de la integral de r2 con respecto a θ en el intervalo dado.

1. ÁREA DE UNA REGIÓN EN
COORDENADAS POLARES

2. SEA LA 𝑟 = 𝑓 𝜃 LA ECUACIÓN DE UNA CURVA EN
COORDENADAS, DONDE 𝑓 𝜃 ES UNA FUNCIÓN CONTINUA
SOBRE EL INTERVALO ∝, 𝛽 .
EL ÁREA OAB A DETERMINARSE ESTA LIMITADA POR LA
CURVA 𝑟 = 𝑓 𝜃 Y DOS RAYOS Q FORMA UN ÁNGULO Α Y 𝛽
CON EL EJE POLAR.
PARA DETERMINAR EL ÁREA DEL SECTOR CURVILÍNEO OABO
SE DIVIDE EN N PARTES ARBITRARIAS EL SEGMENTO ∝, 𝛽 .

3. . 𝛼 = 𝜃0 < 𝜃1 < 𝜃2 < ⋯ < 𝜃𝑖−1 < 𝜃𝑖 < ⋯ < 𝜃 𝑛−1 < 𝜃 𝑛 = 𝛽
DESIGNADO CON ∆ 𝜃1, ∆ 𝜃2 , … , ∆ 𝜃 𝑛 LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LOS RAYOS TRAZADO EN LA FIGURA (RADIO DE VECTORES).
SEA 𝑟𝑖 LA LONGITUD DE UN RADIO VECTOR CORRESPONDIENTE A UN
ÁNGULO CUALESQUIERA Ѳ COMPRENDIDO ENTRE 𝜃I−1 𝑦 𝜃I
EL A REA DEL SECTOR CIRCULAR DE RADIO 𝑟𝑖 I EL ANULO CENTRAL
∆ 𝜃𝑖 ES IGUAL A
∆𝑄𝑖=
1
2
𝑟𝑖.
−2
∆𝜃𝑖

4. DEBIDO QUE OABO ESTÁ DIVIDIDO EN N SECTORES CIRCULARES,
ENTONCES EL ÁREA TOTAL ESTÁ DADA POR LA SUMA:
𝑄 =
1
2
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖
−2
∆𝜃𝑖 =
1
2
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝜃𝑖
2 𝑑𝜃𝑖
PUESTO QUE LA SUMA INDICADA CORRESPONDE A UNA SUMA
INTEGRAL PARA LA FUNCIÓN 𝑟2 = 𝑓 𝜃 2 EN EL SEGMENTO ∝< 𝜃 < 𝛽,
PASANDO AL LÍMITE, CUANDO MAX ∆𝜃𝑖 → 0 , ENTONCES LA INTEGRAL
DEFINIDA ES:
𝐴 =
1
2 ∝
𝛽
𝑓 𝜃 2
𝑑𝜃

5. ENCONTRAR EL ÁREA CONTENIDA POR LA
CURVA LA CUAL SE DEFINE EN
COORDENADAS POLARES CON LA SIGUIENTE
ECUACIÓN 𝑟 = 𝑎 COS 3𝜃
EN LOS INTERVALOS DE 0,
𝜋
6
.