Descripción de probabilidades

1. ESTADÍSTICA Y DISEÑOS DE
EXPERIMENTOS

2. Reglas generales de la probabilidad
 Podremos modelizar fenómenos aleatorios más
complejos:

3. La independencia y la regla de la multiplicación
 Cuando dos sucesos A y B no pueden ocurrir al mismo
tiempo, la regla de la suma de sucesos disjuntos,
describe la probabilidad de que ocurra alguno de ellos.
Diagrama de Venn que muestra dos sucesos
A y B disjuntos

4. Diagrama de Venn que muestra dos sucesos
A y B que no son disjuntos. El suceso fA y Bg consta
de los resultados comunes a A y a B.

5.  A = el primer lanzamiento es cara
 B = el segundo lanzamiento es cara
 Los sucesos A y B no son disjuntos. Ocurren
simultáneamente siempre que los dos lanzamientos
dan cara. Queremos conocer la probabilidad del
suceso fA y Bg, es decir, la probabilidad de que los dos
lanzamientos den cara. El lanzamiento de monedas de
Buffon, Pearson y Kerrish descritos al principio del
capítulo 4 nos lleva a asignar una probabilidad de 1/ 2 a
la obtención de cara cuando lanzamos una moneda.

6. Regla de la multiplicación para sucesos independientes
 Dos sucesos A y B son independientes si el
conocimiento de que ha ocurrido uno de ellos no
cambia la probabilidad de que ocurra el otro. Si A y B
son independientes, P(A y B) = P(A)P(B)

7. Regla general de la suma
 Sabemos que si A y B son sucesos disjuntos, entonces
P(A o B) = P(A) + P(B). Esta regla de la adición se
puede generalizar para más de dos sucesos que sean
disjuntos en el sentido de que no haya dos sucesos que
tengan resultados en común. El diagrama de Venn de
la figura 2 muestra tres sucesos disjuntos A, B y C. La
probabilidad de que ocurra alguno de estos sucesos es
P(A)+ P(B)+ P(C). Si los sucesos A y B no son
disjuntos, pueden ocurrir simultáneamente. La
probabilidad de que ocurra uno de ellos es menor que
la suma de sus probabilidades.

8.  He aquí la regla de la suma para dos sucesos
cualesquiera, sean disjuntos o no.
La regla general de la suma

9. Regla general de la suma para dos sucesos cualesquiera
 Para dos sucesos cualesquiera A y B, P(A o B) = P(A) +
P(B) ¡ P(A yB) Si A y B son disjuntos, el suceso fA y Bg
de que ocurran los dos sucesos no contiene ningún
resultado y, por tanto, tiene una probabilidad de 0. En
consecuencia, la regla general de la suma incluye la
Regla 4, la regla de la suma para sucesos disjuntos.

10. EJEMPLO 2.4.1 ¿Quién será ascendido?
 Romeo y Julia trabajan en el Ministerio de Agricultura. Se está haciendo
una recalificación de los puestos de trabajo, y tanto Romeo como Julia
tienen posibilidades de ascender en la escala funcionarial. Romeo cree
que él tiene una probabilidad de 0,7 de ascender y que Julia tiene una
probabilidad de 0,5. (La asignación de probabilidades es arbitraria, es
lo que cree Romeo.) Para poder calcular la probabilidad de que al
menos uno de los dos ascienda, esta asignación de probabilidades no
nos proporciona suficiente información. Concretamente, la suma de las
dos probabilidades de promoción da un resultado imposible: 1,2. Si
Romeo cree además que la probabilidad de que ambos asciendan es 0,3,
entonces aplicando la regla general de la adición tenemos P(al menos
uno de los dos asciende) = 0,7 + 0,5 ¡ 0,3 = 0,9 La probabilidad de que
ninguno de los dos trabajadores ascienda es, según la Regla 3, 0,1. N Los
diagramas de Venn son de gran ayuda para hallar probabilidades, ya
que solamente tienes que pensar en sumar y restar áreas. La figura 5.5
ilustra sucesos y sus probabilidades correspondientes al ejemplo 5.5.
¿Cuál es la probabilidad de que Romeo ascienda y Julia no?

11.  El diagrama de Venn muestra que la probabilidad de
este suceso es igual a la probabilidad de que Romeo
ascienda menos la probabilidad de que ambos
asciendan, 0,7 ¡ 0,3 = 0,4.
 De forma similar, la probabilidad de que Julia ascienda
y Romeo no es 0,5 ¡ 0,3 = 0,2. Las cuatro
probabilidades que aparecen en la figura suman 1, ya
que corresponden a cuatro sucesos disjuntos que
abarcan todo el espacio muestral.

12. Diagrama de Venn y probabilidades. Para el ejemplo 2.4.1

13. Teorema de Bayes
 La interpretación más aceptada del teorema de Bayes,
es que su estructura permite el calculo de
probabilidades después de haber sido realizado un
experimento (probabilidades aposteriori).
 Continuando nuestro análisis sobre el teorema
de Bayes, la probabilidad condicional de Ai dado B,
para cualquier i, es:

14.  Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación
P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el
Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) +
P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la
ecuación que representa al:

15. Ejemplo 2.5
 Referente al problema de la fábrica que produce dos
tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la
aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total,
cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un
regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve
que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea
del tipo B?

16.  Solución
 En este caso el estudio se restringe a los reguladores
que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como
espacio muestral reducido, o sea como evento
condición. Por lo tanto, el planteamiento de la
pregunta es P(B | F).
 Los datos que se tienen son:
P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98
De acuerdo al Teorema de Bayes

17.  Podemos observar que el denominador corresponde al
resultado obtenido al aplicar el Teorema de
Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la
probabilidad condicional establece que. De esta forma
podemos ver que la Probabilidad
Total, es el denominador de la fórmula del Teorema de
Bayes. También podemos observar que aplicando los
conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de
Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema
de Bayes, Veamos: