Albbanys Campos 25569567

1. Autor:
Albbanys Campos
CI.25569567

2. Las situaciones aleatorias son aquellas que no se pueden
predecir con certeza. Sin embargo, probabilidad, una medida de
qué tan probable es que una situación aleatoria resultará de una
manera particular, podemos ser capaces de hacer algunas
predicciones sobre esas situaciones. Por ejemplo, muchos juegos
usan dados o ruletas para generar números aleatoriamente. Si
entendemos cómo calcular las probabilidades, podemos tomar
decisiones informadas sobre cómo jugar esos juegos conociendo
las probabilidades de varios resultados.
INTRODUCCIÓN

3. Primero necesitamos introducir algunos términos. Cuando trabajamos con
probabilidad, una acción aleatoria o serie de acciones se llama experimento.
Un resultado es la consecuencia de un experimento, y un evento es una colección
particular de resultados. Los eventos usualmente son descritos usando una
característica común de los resultados.
Apliquemos este lenguaje para ver cómo funcionan los términos en la práctica.
Algunos juegos requieren lanzar un dado de seis lados, numerado del 1 al 6. La tabla
siguiente ilustra el uso de experimento, resultado, y evento en ese juego:
DEFINIENDO EVENTOS

4. Un evento simple es un evento con un solo resultado. Sacar un 1 sería un evento
simple, porque existe sólo un resultado que funciona: 1. Sacar más que 5 también sería un
evento simple, porque el evento incluye sólo al 6 como un resultado válido. Un evento
compuesto es un evento con más de un resultado. Por ejemplo, lanzar un dado de 6 lados y
sacar un número par: 2, 4, y 6.
Cuando lanzamos muchas veces un dado de 6 lados, no debemos esperar que un resultado
ocurra más frecuentemente que otro. Los resultados en esta situación se dice que
son igualmente probables. Es muy importante reconocer cuándo los resultados son igualmente
probables cuando calculamos probabilidades. Como cada resultado en el experimento de lanzar
los dados es igualmente probable, esperaríamos obtener cada resultado de los
lanzamientos. Eso es, esperaríamos que salga 1 en de los lanzamientos, 2 en de los
lanzamientos, 3 en de los lanzamientos y así sucesivamente.

7. Un evento es normalmente descrito usando características comunes de los
resultados, si es posible, como lanzar un dado un número par de veces. El espacio de
eventos, sin embargo, es una lista de todos los resultados en un evento, como {2, 4, 6}.
El espacio muestral consiste de todos los resultados posibles, no sólo aquellos del
evento.
PROBABILIDAD DE EVENTOS
La probabilidad de un evento es la frecuencia con que se espera que
ocurra. Cuando todos los resultados posibles de un experimento son igualmente
probables, la probabilidad es la relación entre el tamaño del espacio de eventos (los
resultados en el evento) y el espacio muestral (todos los posibles resultados del
experimento). La probabilidad de un evento E normalmente se escribe P(E).

9. Cuando un experimento consiste en más de un elemento aleatorio, el
número de resultados en el espacio muestral es igual al producto de el número de
resultados para cada elemento aleatorio.
Ejemplos
· Lanzar dos dados de 6 lados: Cada dado tiene 6 resultados igualmente
probables, entonces el espacio muestral es 6 • 6 o 36 resultados igualmente
probables.
· Lanzar tres monedas: Cada moneda tiene 2 resultados igualmente
probables, por lo que el espacio muestral es 2 • 2 • 2 u 8 resultados igualmente
probables.
· Lanzar un dado de 6 lados y una moneda: El espacio muestral es 6 • 2 o 12
resultados igualmente probables
EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

10. EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

11. PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A)
expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la
probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en
dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea
águila.
Auxiliándonos de
un diagrama de
árbol.
⅓
A
S
A
S
A
S
A1
S1
A2
S2
A2
S2
⅓
⅓
⅔
⅔
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

12. PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de
este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135
desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos
características cuando se los piden a sus ayudantes, su
longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona
en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición
de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:
Evento A1 A2 Total
B1 40 60 100
B2 15 20 35
Total 55 80 135
Eventos Característica
A1 Largo
A2 Corto
B1 Punta plana
B2 Punta de Cruz

13. Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta
plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el
número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la expresión
siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los eventos Bj, por
ejemplo de B1, P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa que el subíndice
correspondiente al evento B permanece constante en la suma del numerador n11+n21.
.
Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier evento Bj puede calcularse
P(Bj)=Ʃi=1
nnij/ns, pero Ʃi=1
nnij/ns=Ʃi=1
nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1
nP(Ai∩Bj).
En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual a la suma de
probabilidades conjuntas del evento Bj y los eventos Ai, la suma se realiza sobre
los eventos Ai.
También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier evento Ai:
P(Ai)=Ʃj=1
nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobre los eventos Bj.
Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los eventos Ai,
o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a continuación:
P(A1)=55/135=0.4075 y
P(A2)=80/135=0.5925
Por lo tanto Ʃi=1
2P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1
P(B1)=100/135=0.74 y
P(B2)=35/135=0.26
Por lo tanto Ʃi=1
2P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

14. PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B). Si los eventos A y B son
independientes entre sí, esto significa que la ocurrencia de uno no depende de la
ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad condicional sería igual a la
probabilidad de ocurra cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).
Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta, tenemos
P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean eventos independientes entre sí y
se le denomina Ley de multiplicación de eventos independientes.
Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para la final, la probabilidad de que den en el
blanco son 1/2, 1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por arquero. Calcular la probabilidad
de que:
a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en el blanco y el tercero no y c)
Ninguno da en el blanco.
Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco, se establecen los siguientes eventos:
A={Sólo un arquero da en el blanco}, Ai={El arquero Ai da en el blanco} y Ai
c={El arquero Ai
c
no da en el blanco}.
P(A)=P[(A1∩A2
c∩A3
c)U(A1
c∩A2∩A3
c)U(A1
c∩A2
c∩A3)] =
P(A1)P(A2
c)P(A3
c)+P(A1
c)P(A2)P(A3
c)+P(A1
c)P(A2
c)P(A3)
P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722
b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco y el tercero falla}
P(B)=P(A1∩A2∩A3
c)=P(A1)P(A2)P(A3
c) P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388
c) B={El primero, el segundo y el tercer
arqueros fallan} P(C)=P[(A1
c ∩ A2
c
∩A3
c)=P(A1
c)P(A2
c)P(A3
c)=(1/2)(2/3)(5/8)
P(C)=10/36=0.277

15. TEOREMA DE BAYES
Considerando P(Ai) como la probabilidad a priori de los eventos Ai, y se
requiere conocer una probabilidad a posteriori de cada uno de ellos, dado que ya
conocemos el evento B, Ak representa a cualquiera de los eventos Ai.
P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B), como P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak) y la probabilidad total de B es
P(B)=Ʃi=1
nP(Ai∩B), tenemos: P(Ak|B)=[P(Ak)P(B|Ak)]/[Ʃi=1
nP(Ai)P(B|Ai)]
Esta última expresión se conoce como Teorema de Bayes, que establece la
probabilidad de un evento particular Ak de los eventos Ai, dado que ya sucedió el
evento B, expresada en términos de probabilidad condicional.
Ejemplo: En una escuela el 5% de los hombres y el 2% de las mujeres tienen más de
1.8m de estatura. Además el 60% de los estudiantes son mujeres. Se selecciona al
azar un estudiante para que realice una determinada función en el comité de seguridad
del plantel, ¿Qué probabilidad hay de que: a) sea estudiante con estatura mayor de
1.8m? b) ¿sea mujer dado que tiene una estatura mayor de 1.8m?
Solución: Se define los eventos A1={estudiante mujer}, A2={estudiante hombre} y
B={estatura mayor a 1.8m}
Datos: P(A1)=0.6, P(A2)=0.4, P(B|A1)=0.02 y P(B|A2)=0.05.

16. Gracias por
su
atención