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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
                   “FRANCISCO DE MIRANDA”
                 DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
                    CÁTEDRA: ESTADÍSTICA

       TEMA Nº 2. TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES


ESPACIO MUESTRAL:

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y
se denota por “S”.


Ej.:   - Lanzamiento de una moneda al aire              S = {cara, sello}

       - Lanzar un dado al aire y ver el número que tiene la cara superior
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

       - Lanzar un dado al aire y ver si el número es par o none            S   =
{par, none}


En algunos experimentos será de utilidad anotar sistemáticamente los
elementos del espacio Muestral por medio de un Diagrama de Árbol. Por
ejemplo:

       - Lanzar dos veces al aire una moneda
                                          Cara



                           Cara



                                           Sello
                                           Cara


                           Sello



                                           Sello


       Entonces, el espacio muestral S = {CC, CS, SC, SS}
- Lanzar una moneda al aire, y si se obtiene cara, entonces lanzar un
dado


                                                1
                                                2
                                                3
                                Cara
                                                4
                                                5
                                                6
                                Sello


        Entonces, el espacio muestral S = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S}



EVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral.

Ej.: - Lanzar un dado al aire y ver el número que tiene la cara superior

                                                S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

        Evento 1: Escoger los números pares                    E1: {2, 4, 6}

        Evento 2: Escoger los números impares                  E2: {1, 3, 5}



      - Lanzar dos veces al aire una moneda

                                                S = {CC, CS, SC, SS}

        Evento A: Que ocurra al menos 1 vez cara                         A: {CC, CS,
SC}


OPERACIONES CON EVENTOS:

UNIÓN DE EVENTOS:

Es el evento que está formado por todos los resultados contenidos en
cualquiera de los dos eventos o en ambos. Se denota: A B (Resultado de A
ó B).


INTERSECCIÓN DE EVENTOS:
Es el evento que está formado por los resultados contenidos en ambos
eventos, es decir, en A y B. Se denota por: A B

COMPLEMENTO DE UN EVENTO:

Es el conjunto de resultados del Espacio Muestral que no están contenidos en
el vento especificado. Se denota: A’ (Complemento de A).

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos en común, es
decir, A B

Ej.: Se tiene el siguiente Espacio Muestral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y se
definen los siguientes eventos:

      A: Números pares               A: {2, 4, 6, 8, 10}

      B: Números menores o iguales que 5                   B: {1, 2, 3, 4, 5}


Entonces,     A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

              A B = {2, 4}

             A’ = {1, 3, 5, 7, 9}

            A y B no son mutuamente excluyentes porque si poseen
elementos en común


DIAGRAMA DE VENN:

Es un gráfico que permite expresar la relación entre eventos y el espacio
muestral correspondiente. A continuación se presentan algunos diagramas que
ilustran: Unión, Intersección, Complemento y Eventos Mutuamente excluyentes
A                 B




           A                   B




                               A B
A B



                      A                   B




                               A’

                  A




                           A   B
      A’


PROBABILIDAD:

Es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del
Espacio Muestral cuando un experimento se lleva a cabo.

También puede definirse como, Un número entre 0 y 1, inclusive, que mide la
ocurrencia que se tiene de que llegue a ocurrir un evento específico que sea
resultado de un experimento.
El término Probabilidad se emplea muy a menudo en conversaciones
corrientes. Al describir un suceso como Probable damos a entender que es
posible, o que es de esperarse o que es seguro. Muchas veces se afirma:

      “Probablemente lloverá mañana”
      “La probabilidad de que llueva mañana es del 50%”


DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD:

Sea S un Espacio Muestral cualquiera y E un evento cualquiera de S, se
llamará función de Probabilidad sobre S a P(E) si se satisface:

      1) P(E) 0
      2) P(S) = 1
      3) Para dos eventos E1 y E2 con E1       E2      , se tiene que: P( E1   E2 ) =
         P(E1) + P(E2)


PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD:

          La Probabilidad de un evento se encuentra entre los valores 0 y 1,
          toma este valor cuando es seguro que ocurra, sino va a ocurrir,
          entonces su probabilidad es 0 (cero).

          La suma de las probabilidades de que un evento ocurra y no ocurra
          es igual a la unidad, esto es:

                                    P(A) + P(A’) = 1


PROBABILIDAD DE UN EVENTO A:

Es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A; 0        P(A)     1

Para hallar la Probabilidad de un evento se utilizará la siguiente fórmula clásica:

                               Número de resultados favorables
             Probabilidad
                                 Número total de resultados



Ej.: Los resultados posibles de un experimento aleatorio son: {a, b, c, d} con
Probabilidades 0,1; 0,3; 0,5; 0,1, respectivamente.

Sean: El evento A: {a, b}
      El evento B: {b, c, d}
      El evento C: {d}
Entonces,     P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4
              P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9
              P(C) = 0,1

              P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6


REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN:

Para aplicar la regla especial de la Adición, los eventos deben ser mutuamente
excluyentes. Recuérdese que “mutuamente excluyentes” significa que cuando
ocurre un evento ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Por
ejemplo, al lanzar un dado y cae un “dos”, ninguna de las otras caras (1, 3, 4, 5,
6) puede estar arriba al mismo tiempo.

“Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la Regla Especial de la
Adición indica que la Probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos es
igual a la suma de sus Probabilidades”

                             P(A    B) = P(A) + P(B)

Para tres eventos mutuamente excluyentes,

                       P(A   B     C) = P(A) + P(B) + P(C)


REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN:

Para aplicar la regla general de la Adición, los eventos no deben ser
mutuamente excluyentes.

“Si se tienen dos eventos A y B que no son mutuamente excluyentes, la Regla
General de la Adición indica que la Probabilidad de que ocurra uno u otro de
los eventos es igual a la suma de sus Probabilidades menos la Probabilidad de
que ocurran ambos”

                       P(A    B) = P(A) + P(B) – P(A    B)

Para tres eventos no excluyentes,

P(A   B     C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A    B) - P(A   C) - P(B   C) - P(A   B
                                       C)


Ej: Un sistema contiene dos componentes X y Y, los cuales se conectan de
manera que éste funcione si cualquiera de los dos componentes funcionan. La
probabilidad de que X funcione es P(X) = 0,40 y la de Y es P(Y) = 0,80 y la
probabilidad de que ambos funcionen es P(X Y) 0,32 . Determine la
probabilidad de que el sistema funcione.
El sistema trabaja si funciona X o Y o ambos, entonces:

                 P(X o Y) = P(X     Y) = P(X) + P(Y) – P(X     Y)

                      P(X     Y) = 0,40 + 0,80 – 0,32 = 0,88


PROBABILIDAD CONDICIONAL:

A la Probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que algún otro
evento A se ha presentado se llama Probabilidad Condicional y se escribe
P(B/A). Se lee Probabilidad de B dado A.

“Sean A y B dos eventos cualesquiera que se encuentran en un espacio
muestral S de manera tal que P(A)>0. La Probabilidad Condicional de B al
ocurrir el evento A, es el cociente de la probabilidad de A y B con respecto a la
probabilidad de A”, de esta manera se tiene que:

                                          P(A B)
                                 P(B/A)
                                            P(A)


La definición de Probabilidad Condicional puede extenderse para incluir
cualquier número de eventos que se encuentren en el espacio muestral S.

Sean A, B y C eventos de S, entonces:

                               P(A B C)
                P(C/A    B)             ,         con P(A      B)>0
                                 P(A B)


                                 P(A     B C)
                  P(B   C/A)                  ,    con P(A)>0
                                       P(A)


Ej: La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a
tiempo es P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la de que
despegue y llegue a tiempo es P(D     A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de
que un avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.

Utilizando la fórmula de Probabilidad Condicional se tiene:

La probabilidad de que llegue a tiempo dado que despegó a tiempo sería: P(A /
D), entonces,

                                  P(A D)   0,78
                        P(A/D)           =           0,94
                                    P(D)   0,83
REGLA MULTIPLICATIVA:

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces:

                    P(A   B) = P(A)   P(B/A) = P(B)     P(A/B)


EVENTOS ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTES:

Dos eventos A y B son estadísticamente independientes si se cumple:

   i)     P(A / B) = P(A)
   ii)    P(B / A) = P(B)
   iii)   P(A B) = P(A) x P(B)


Si hay dos eventos independientes A y B, la Probabilidad de que ocurran A y B
se obtiene al multiplicar ambas probabilidades. Dos eventos son
independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado
del primero.

                       P(A y B) = P(A      B) = P(A)   P(B)

Ej: A continuación se presenta el resultado obtenido al analizar 84 muestras de
aire con la finalidad de detectar dos moléculas raras:

                                                   Molécula 1
                                                    Presente
                                              NO       SI     Total
                                    NO        32       24      56
                  Molécula 2
                                    SI        16       12      28
                   Presente
                                   Total      48       36      84


Sea A: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 1
Sea B: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 2

Entonces: P(A) = 36 / 84 y P(B) = 28 / 84


                     P(B A)   12 84  1
Así mismo, P(B/A)           =       = = 0,33
                       P(A)   36 84  3

Por otro lado se tiene que: P(B/A) = P(B) = 0,33


                          P(A B)      12 84   3
Trabajando con P(A/B)                              0,43 y P(A/B) = P(A) = 0,43
                            P(B)      28 84   7
1 3           1
Finalmente, P(A       B) = P(A) x P(B) =
                                           3 7           7


En conclusión A y B son independientes.


TEOREMA DE BAYES:

Desarrollado por Thomas Bayes (1700) y es un teorema clave en el desarrollo
de la Inferencia Estadística en la que se emplea la interpretación subjetiva de la
Probabilidad. A primera vista no es más que una aplicación de las
probabilidades condicionales.

Sea A un evento del Espacio Muestral S y B1, B2,… BK una partición de S, con
 k
      P(B i ) 1, entonces:
i 1



                                            P(Bj ) P(A/B j )
                              P(Bj /A)     k
                                                 P(Bi ) P(A/Bi )
                                           i 1




                      S
                                                    B5             B4
                             B1
                                           A

                             B2                              B3



Ej: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre
el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos
los fumadores de quienes se sospeche que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo
tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la
proporción de fumadores es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente
con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador?


Sea B1: el evento en que el paciente es Fumador
B2: el evento en que el paciente es No fumador
A: el evento en que el paciente tiene cáncer pulmonar
Se sabe que, P(A / B1) = 0,90 y P(A / B2) = 0,05. Además, P(B1) = 0,45 y P(B2)
= 0,55. Se desea determinar la probabilidad a posteriori de seleccionar un
fumador puesto que el paciente tiene cáncer pulmonar, es decir, P(B 1 / A).

                                     P(B1 ) P(A/B1 )
                   P(B1/A)
                             P(B1 ) P(A/B1 ) P(B 2 ) P(A/B 2 )


                                  0,45 0,90
                  P(B1/A)                              0,9364
                             0,45 0,90 0,55 0,05

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Probabilidad

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CÁTEDRA: ESTADÍSTICA TEMA Nº 2. TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y se denota por “S”. Ej.: - Lanzamiento de una moneda al aire S = {cara, sello} - Lanzar un dado al aire y ver el número que tiene la cara superior S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Lanzar un dado al aire y ver si el número es par o none S = {par, none} En algunos experimentos será de utilidad anotar sistemáticamente los elementos del espacio Muestral por medio de un Diagrama de Árbol. Por ejemplo: - Lanzar dos veces al aire una moneda Cara Cara Sello Cara Sello Sello Entonces, el espacio muestral S = {CC, CS, SC, SS}
  • 2. - Lanzar una moneda al aire, y si se obtiene cara, entonces lanzar un dado 1 2 3 Cara 4 5 6 Sello Entonces, el espacio muestral S = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S} EVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral. Ej.: - Lanzar un dado al aire y ver el número que tiene la cara superior S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento 1: Escoger los números pares E1: {2, 4, 6} Evento 2: Escoger los números impares E2: {1, 3, 5} - Lanzar dos veces al aire una moneda S = {CC, CS, SC, SS} Evento A: Que ocurra al menos 1 vez cara A: {CC, CS, SC} OPERACIONES CON EVENTOS: UNIÓN DE EVENTOS: Es el evento que está formado por todos los resultados contenidos en cualquiera de los dos eventos o en ambos. Se denota: A B (Resultado de A ó B). INTERSECCIÓN DE EVENTOS:
  • 3. Es el evento que está formado por los resultados contenidos en ambos eventos, es decir, en A y B. Se denota por: A B COMPLEMENTO DE UN EVENTO: Es el conjunto de resultados del Espacio Muestral que no están contenidos en el vento especificado. Se denota: A’ (Complemento de A). EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos en común, es decir, A B Ej.: Se tiene el siguiente Espacio Muestral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y se definen los siguientes eventos: A: Números pares A: {2, 4, 6, 8, 10} B: Números menores o iguales que 5 B: {1, 2, 3, 4, 5} Entonces, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} A B = {2, 4} A’ = {1, 3, 5, 7, 9} A y B no son mutuamente excluyentes porque si poseen elementos en común DIAGRAMA DE VENN: Es un gráfico que permite expresar la relación entre eventos y el espacio muestral correspondiente. A continuación se presentan algunos diagramas que ilustran: Unión, Intersección, Complemento y Eventos Mutuamente excluyentes
  • 4. A B A B A B A B A B A’ A A B A’ PROBABILIDAD: Es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del Espacio Muestral cuando un experimento se lleva a cabo. También puede definirse como, Un número entre 0 y 1, inclusive, que mide la ocurrencia que se tiene de que llegue a ocurrir un evento específico que sea resultado de un experimento.
  • 5. El término Probabilidad se emplea muy a menudo en conversaciones corrientes. Al describir un suceso como Probable damos a entender que es posible, o que es de esperarse o que es seguro. Muchas veces se afirma: “Probablemente lloverá mañana” “La probabilidad de que llueva mañana es del 50%” DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD: Sea S un Espacio Muestral cualquiera y E un evento cualquiera de S, se llamará función de Probabilidad sobre S a P(E) si se satisface: 1) P(E) 0 2) P(S) = 1 3) Para dos eventos E1 y E2 con E1 E2 , se tiene que: P( E1 E2 ) = P(E1) + P(E2) PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD: La Probabilidad de un evento se encuentra entre los valores 0 y 1, toma este valor cuando es seguro que ocurra, sino va a ocurrir, entonces su probabilidad es 0 (cero). La suma de las probabilidades de que un evento ocurra y no ocurra es igual a la unidad, esto es: P(A) + P(A’) = 1 PROBABILIDAD DE UN EVENTO A: Es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A; 0 P(A) 1 Para hallar la Probabilidad de un evento se utilizará la siguiente fórmula clásica: Número de resultados favorables Probabilidad Número total de resultados Ej.: Los resultados posibles de un experimento aleatorio son: {a, b, c, d} con Probabilidades 0,1; 0,3; 0,5; 0,1, respectivamente. Sean: El evento A: {a, b} El evento B: {b, c, d} El evento C: {d}
  • 6. Entonces, P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4 P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9 P(C) = 0,1 P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6 REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN: Para aplicar la regla especial de la Adición, los eventos deben ser mutuamente excluyentes. Recuérdese que “mutuamente excluyentes” significa que cuando ocurre un evento ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, al lanzar un dado y cae un “dos”, ninguna de las otras caras (1, 3, 4, 5, 6) puede estar arriba al mismo tiempo. “Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la Regla Especial de la Adición indica que la Probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos es igual a la suma de sus Probabilidades” P(A B) = P(A) + P(B) Para tres eventos mutuamente excluyentes, P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN: Para aplicar la regla general de la Adición, los eventos no deben ser mutuamente excluyentes. “Si se tienen dos eventos A y B que no son mutuamente excluyentes, la Regla General de la Adición indica que la Probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos es igual a la suma de sus Probabilidades menos la Probabilidad de que ocurran ambos” P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Para tres eventos no excluyentes, P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) - P(A B C) Ej: Un sistema contiene dos componentes X y Y, los cuales se conectan de manera que éste funcione si cualquiera de los dos componentes funcionan. La probabilidad de que X funcione es P(X) = 0,40 y la de Y es P(Y) = 0,80 y la probabilidad de que ambos funcionen es P(X Y) 0,32 . Determine la probabilidad de que el sistema funcione.
  • 7. El sistema trabaja si funciona X o Y o ambos, entonces: P(X o Y) = P(X Y) = P(X) + P(Y) – P(X Y) P(X Y) = 0,40 + 0,80 – 0,32 = 0,88 PROBABILIDAD CONDICIONAL: A la Probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que algún otro evento A se ha presentado se llama Probabilidad Condicional y se escribe P(B/A). Se lee Probabilidad de B dado A. “Sean A y B dos eventos cualesquiera que se encuentran en un espacio muestral S de manera tal que P(A)>0. La Probabilidad Condicional de B al ocurrir el evento A, es el cociente de la probabilidad de A y B con respecto a la probabilidad de A”, de esta manera se tiene que: P(A B) P(B/A) P(A) La definición de Probabilidad Condicional puede extenderse para incluir cualquier número de eventos que se encuentren en el espacio muestral S. Sean A, B y C eventos de S, entonces: P(A B C) P(C/A B) , con P(A B)>0 P(A B) P(A B C) P(B C/A) , con P(A)>0 P(A) Ej: La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la de que despegue y llegue a tiempo es P(D A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo. Utilizando la fórmula de Probabilidad Condicional se tiene: La probabilidad de que llegue a tiempo dado que despegó a tiempo sería: P(A / D), entonces, P(A D) 0,78 P(A/D) = 0,94 P(D) 0,83
  • 8. REGLA MULTIPLICATIVA: Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces: P(A B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) EVENTOS ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTES: Dos eventos A y B son estadísticamente independientes si se cumple: i) P(A / B) = P(A) ii) P(B / A) = P(B) iii) P(A B) = P(A) x P(B) Si hay dos eventos independientes A y B, la Probabilidad de que ocurran A y B se obtiene al multiplicar ambas probabilidades. Dos eventos son independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Ej: A continuación se presenta el resultado obtenido al analizar 84 muestras de aire con la finalidad de detectar dos moléculas raras: Molécula 1 Presente NO SI Total NO 32 24 56 Molécula 2 SI 16 12 28 Presente Total 48 36 84 Sea A: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 1 Sea B: el evento donde todas las muestras de aire contienen la molécula 2 Entonces: P(A) = 36 / 84 y P(B) = 28 / 84 P(B A) 12 84 1 Así mismo, P(B/A) = = = 0,33 P(A) 36 84 3 Por otro lado se tiene que: P(B/A) = P(B) = 0,33 P(A B) 12 84 3 Trabajando con P(A/B) 0,43 y P(A/B) = P(A) = 0,43 P(B) 28 84 7
  • 9. 1 3 1 Finalmente, P(A B) = P(A) x P(B) = 3 7 7 En conclusión A y B son independientes. TEOREMA DE BAYES: Desarrollado por Thomas Bayes (1700) y es un teorema clave en el desarrollo de la Inferencia Estadística en la que se emplea la interpretación subjetiva de la Probabilidad. A primera vista no es más que una aplicación de las probabilidades condicionales. Sea A un evento del Espacio Muestral S y B1, B2,… BK una partición de S, con k P(B i ) 1, entonces: i 1 P(Bj ) P(A/B j ) P(Bj /A) k P(Bi ) P(A/Bi ) i 1 S B5 B4 B1 A B2 B3 Ej: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospeche que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador? Sea B1: el evento en que el paciente es Fumador B2: el evento en que el paciente es No fumador A: el evento en que el paciente tiene cáncer pulmonar
  • 10. Se sabe que, P(A / B1) = 0,90 y P(A / B2) = 0,05. Además, P(B1) = 0,45 y P(B2) = 0,55. Se desea determinar la probabilidad a posteriori de seleccionar un fumador puesto que el paciente tiene cáncer pulmonar, es decir, P(B 1 / A). P(B1 ) P(A/B1 ) P(B1/A) P(B1 ) P(A/B1 ) P(B 2 ) P(A/B 2 ) 0,45 0,90 P(B1/A) 0,9364 0,45 0,90 0,55 0,05