trabajo

1. Regresión Líneal
Carlos Javier Jaimes
Ochoa.

2. Introducción.
En este capítulo, trataremos con muestras bivariantes cuantitativas, es decir con muestras
donde en cada unidad estadística se observan dos características cuantitativas medibles 𝑋
e 𝑌; por ejemplo, ingresos y gastos mensuales. El objetivo es estudiar la asociación entre
dos variables conocida también como asociación simple.

3. Diagrama de dispersión.
Sean 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 𝑛 valores de la variable bidimensional 𝑋 , 𝑌 ,
observados en una muestra, donde los 𝑥𝐼 son los valores de la variable 𝑋 y los
𝑦𝐼son los valores de la variable 𝑌.
Definición:
Se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos, a la gráfica
de los valores 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 de las variables 𝑋 e 𝑌 en el sistema cartesiano.

4. Diagramas de dispersión.
Ejemplos de diagramas de dispersión

5. Ejemplo 1.
Una compañía de seguros de automóvil arrojó la siguiente información
relacionada con la edad de un conductor y el número de accidentes registrados el
año previo. Diseñe un diagrama de dispersión con los datos y redacte un breve
resumen.

6. Covarianza.
La covarianza es una estadística que mide el grado de dispersión o variabilidad
conjunta de dos variables 𝑋 e 𝑌 con respecto a sus medias respectivas ҧ
𝑥, ത
𝑦 .
Definición.
La covarianza de 𝑛 valores 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 de una variable
bidimensional ( X , Y ) es el número COV 𝑥, 𝑦 o 𝑆𝑋𝑌que se define igual a la
media aritmética de los productos de las desviaciones de los datos con
respecto a sus correspondientes medias ҧ
𝑥, ത
𝑦 . Esto es,
𝑆𝑋𝑌 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖− ҧ
𝑥 𝑦𝑖− ത
𝑦
𝑛
=
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑦𝑖
𝑛
− 𝑥𝑦

7. Coeficiente o índice de correlación.
El coeficiente de correlación lineal de Pearson de n pares de valores
𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 de una variable bidimensional 𝑋, 𝑌 .es el número
abstracto 𝑟 que se calcula por:
𝑟 =
𝑠𝑋𝑌
𝑠𝑋𝑠𝑌
Covarianza de X e Y
Desviación estándar de X Desviación estándar de Y

8. El coeficiente de correlación 𝑟 es un número comprendido entre − 1 y + 1 , esto es:
— 1 < 𝑟 < 1.
Interpretación:
Si 𝑟 = 1, se dice que hay una correlación perfecta positiva.
Si 𝑟 = — 1, se dice que hay una correlación perfecta negativa.
Si 𝑟 = 0 , se dice que no hay correlación entre las dos variables.

9. Regresión lineal simple.
Dados n pares de valores 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 de una variable
bidimensional ( 𝑋 , 𝑌 ) . La regresión lineal simple de 𝑌 con respecto a 𝑋 , consiste
en determinar la ecuación de la recta:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
Que mejor se ajuste a los valores de la muestra, con el fin de poder predecir o
estimar 𝑌 (variable dependiente) a partir de 𝑋 (variable independiente).
Pendiente
Punto de corte

10. Interpretación del coeficiente 𝑏 es la pendiente o el coeficiente de la regresión
lineal.
La constante 𝑎 es la ordenada en el origen.
Si 𝑏 > 0 , entonces, la tendencia lineal es creciente, es decir, a mayores
valores de 𝑋 corresponden mayores valores de 𝑌. También, a menores
valores de 𝑋 corresponden menores valores de 𝑌.
Si 𝑏 < 0 , entonces, la tendencia lineal es decreciente, es decir, a mayores
valores de 𝑋 corresponden menores valores de 𝑌. También, a menores
valores de 𝑋 corresponden mayores valores de 𝑌.
Si 𝑏 = 0 , entonces, 𝑌 = 𝑎 . Luego, 𝑌 permanece estacionario para cualquier
valor de X. En este caso se dice que, no hay regresión.

11. Si 𝑥𝑖 es un valor de la muestra entonces 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 es un punto de la recta de
regresión 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 𝑋 ,
Definición. Se denomina error o residuo a cada diferencia, 𝑑 = 𝑦𝑖 − ෝ
𝑦𝑖 del valor
observado 𝑦𝑖 y el valor pronosticado ෝ
𝑦𝑖 (Fig.2).
Fig 2. Desviaciones de valores observados y ajustados

12. Ejemplo 1: se tiene 𝑌 = 5 + 2𝑋
La pendiente 𝑏 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
=
2
1
= 2

13. Ejemplo 2.

14. Ejemplo 3.
En un estudio de la relación entre la publicidad por radio y las ventas de un
producto, durante 10 semanas se han recopilado los tiempos de duración en
minutos de la publicidad por semana (X), y el número de artículos vendidos (Y),
resultando:
a) Trazar el diagrama de dispersión, e indicar la tendencia.
b) Calcular la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de predecir las
ventas.
c) Estimar la venta si en una semana se hacen 100 minutos de propaganda.
d) Calcular el coeficiente de correlación.
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Publicidad X 20 30 30 40 50 60 60 60 70 80
Ventas Y 50 73 69 87 108 128 135 132 148 170

15. 15

16. Bibliografía.
Lind, D. A., Marchal, W. G., Wathen, S. A., Obón León, M. D. P., & León Cárdenas,
J. (2012). Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-
Hill/Interamericana Editores.
Anderson, D. R., Sweeney, D. J., Williams, T. A., Roa, M. D. C. H., & Álvarez, T. L.
(2001). Estadística para administración y economía.