Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica qué son las relaciones de equivalencia y cómo forman particiones a través de clases de equivalencia. También describe propiedades de relaciones como reflexividad, simetría y transitividad. Finalmente, introduce órdenes parciales, diagramas de Hasse y representaciones de funciones.

1. Relación y Conjunto
Equipo 4
Dilan Yirath Cordova Hernández
Alejandro Rojas Toscano

2. Definición
 Dados 2 conjuntos no vacíos A y B, una
relación R es un conjunto de pares
ordenados donde el primer elemento a
está relacionado con el segundo
elemento b por medio de cierta
propiedad o característica. La relación se
indica aRb:
R = {(a,b) | a Є A y b Є B}
 Una relación podría representarse como
una tabla que muestra la correspondencia
de unos elementos con respecto a otros.
Por ejemplo:

3. Maestro Materia
Jorge Sistemas Digitales
Domingo Lenguajes
algorítmicos
Ignacio Estructuras de Datos
Jorge Graficación
Raymundo Programación II
Manuel Sistemas Operativos
Ezequiel Sistemas Digitales

4. Definición  A = {x | x es un maestro}
 B = {y | y es una carrera
 R = {(Jorge, Sistemas Digitales),
(Domingo, Lenguajes algorítmicos),
(Ignacio, Estructuras de Datos), (Jorge,
Graficación), (Raymundo, Programación
II), (Manuel, Sistemas Operativos),
(Ezequiel, Sistemas Digitales)}
 Las relaciones se forman si se cumple
cierta proposición, esa proposición puede
ser textual, como en el caso anterior
("Imparte la materia"), pero también
puede ser planteada en el lenguaje
matemático.

5. Composición de relaciones
 Definición: Sean R: X  Y y S :Y  Z dos relaciones. La
composición de R y S, que se denota como R S, contiene
los pares ( x, z ) si y sólo si existe un objeto intermedio y tal
que ( x, y ) está en R y ( y, z ) está en S.
 Por consiguiente,
x(R S)z = Existe y tal que xRy e yRz existen.
 Para determinar si (x, z) está en la relación R S, se necesita
siempre un intermediario, tal que sean válidas xRy e yRz.

6. Composición
de relaciones
 Se tienen cinco personas A, B, C, D y E. C es dueño del
camión llamado Itp y E es dueño del camión llamado utp.
A es amigo de B y D, B es amigo de C y C es amigo de E.
Sea R la relación "x es amigo de y" y sea S la relación "y es
dueño del camión z". Calcular la relación R S.
 Solución: Si R es la relación "x tiene a y como amigo" y si
S es la relación "y
es el dueño del camión z " entonces el par ( x, z ) está en
R S si existe un intermediario y tal que x tiene a y como
amigo e y es dueño del camión z. Las relaciones R y S
están dadas por
R={ (A, B), (A, D), (B, C), (C, E)}
S = {(C, itp), (E, utp)}
R S - {(B, itp), (C, utp)}
B tiene acceso a un camión a través del intermediario C,
que es dueño de itp y C tiene acceso a un camión a través
de intermediario E, que es dueño de utp.

7. Composición de
relaciones
 La composición es una operación
asociativa; esto es, si R, S y P son
tres relaciones, entonces se
cumple lo siguiente:
(R S) P = R (S P)
 Por consiguiente, los paréntesis se
pueden eliminar en los casos que
involucren la composición de
varias relaciones.

8. RELACIONES
EQUIVALENTES

9. ¿QUE ES UNA RELACION EQUIVALENTE?
Una relación de equivalecia es aquella que tiene las tres
propiedades:
 Reflexiva
 Simetrica
 Transitiva
Por otro lado, una relacion de equivalencia tiene clases de
equivalencia y estas forman particiones. Una particion es un
subgrafo completo.

10. ¿Que es una clase de equivalencia?
Son conjuntos que contienen a todos los elementos b € B y que estan
relacionados con a€A. Los elementos del primer conjunto se
encierran entre corchetes, de forma que una clase de equivalencia se
puede indicar como 1
[a]={b | b€B , aRb}

11. Ejemplo e importancia
 La relaciones de equivalencia son importantes porque es una
propiedad que deben tener las redes en el área de computación, en
donde la computadora 1 de una red puede enviar informacion a la
computadora 2, pero ademas la computadora 2 puede enviar
informacion o comunicarse con la computadora 1; esta es la
propiedad de simetria. Port otro lado , toda computadora tiene
comunicacion consigo misma, con lo cual se cumple la propiedad de
reflexiva. Asi como si existe un camino de comunicacion para ir de 1
a 2,(1,2), y uno para ir de (2,5), debe haber uno de (1,5)con lo cual se
cumple la propiedad de transitividad. 1

12. RED
Computadora 1
Computadora 2 Computadora 5

13. Representación y
operaciones de conjuntos.
Unión
Sean A y B conjuntos.
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A unión B,
formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B.
Este conjunto, expresado por comprensión es: Así, podemos decir que los
elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén
o bien en A o en B o en ambos.

14. INTERSECCIÓN
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto
se le llama intersección de A y B; y se denota por A B,
algebraicamente se escribe así:
A ∩ B = { x/x ЄA y x ЄB }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q ∩P={ a, b, o, r, s, y }

15. Diferencia
Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado
por A – B, es el conjunto formado por los elementos que estén en A y
no en B.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son
aquéllos que estén únicamente en A.

16. Complemento
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de
elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se
representa por comprensión como:
A'={ x Є U/x y x ∉ A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A⊂U
El complemento de A estará dado por: A'= { 2, 4, 6, 8 }

17. Propiedades de la relaciones
Reflexiva e Irreflexiva
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si
(a, a) £ R para todas las a £ A, esto es, si a R e
para todas las a e A. Una relación R en un
conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £
A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada
elemento a e A está relacionado consigo
mismo y es irreflexiva si ningún elemento está
relacionado consigo mismo.

18. Simétrica y Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a.
esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a.
relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De
esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a,
a = b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti
si cuando a ≠ b, se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es anti
simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.

19. TRANSITIVA.
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R
e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar
elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Ejemplo: Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relación considerada en
el ejemplo 2 Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c. Por
consiguiente, a < b; b < c. Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aquí
que R sea transitiva.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes
propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al
vértice b, hay una trayectoria de extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada
con b). Establecido algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas
las n ≥ 1.

20. ORDENES PARCIALES
Una relación de orden parcial , R , es un tipo de relación binaria que se define
en A x A. Este tipo de relación satisface reflexividad, antisimetría y
transitividad; cuando se conforma este tipo relación se la denota ( A , R ) o,
también, ( A , < ) . Este tipo de relaciones puede graficarse utilizando los
denominados Diagramas de Hasse, los cuales exponen un cierto orden o
secuencia entre elementos del conjunto originada por la relación.
Cuando se establece una relación de orden, algunos elementos del conjunto
pueden asumir ciertas funciones; a estos elementos se les conoce
como elementos extremos del conjunto: maximales de A , minimales de A ,
máximo de A , mínimo de A , cotas superiores de un subconjunto de A , cotas
inferiores de un subconjunto de A , mínima cota superior (mcs) de un
subconjunto de A , máxima cota inferior (MCI) de un subconjunto de A .
Ahora bien, un tipo especial de relación de orden cumple con que todo el
subconjunto de A , posee mcs y MCI; a este tipo de relaciones de orden se les
denomina retículas lactices.

21. Diagrama de Hasse
En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica
simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue
eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente
entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos
intermedios.
En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar:
• Ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden
parcial es reflexiva.
• Aristas que se deducen de la transitividad (matemática) de la relación.

22. Ejemplo
Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en
la página y dibuja una línea que vaya hacia arriba de x a y si y sigue a x.
Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los
divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de
divisibilidad.
Por ejemplo, en el diagrama de Hasse del poset de todos los divisores de un
número n, ordenados parcialmente por divisibilidad, n mismo está en el tope del
diagrama, el número 1 estaría en el fondo, y los divisores más pequeños
(primos) seguirían al elemento inferior.

23. REPRESENTACION DE FUNCIONES
Sean A y B conjuntos numéricos. Si cada elemento de A está relacionado con uno y
solo un elemento del conjunto B se dice que f es una función y se escribe f: A→B. Así
que f(x)=y si y es el único elemento de B asignado por f al elemento x de A. La
notación f(x) para una función de x se debe a se debe al matemático suizo Leonhard
Euler. Si A=Conjunto de los números reales=R, se hablará de función real.
Ejemplo:
Sea f: R→R una relación definida por f={( x, y ) / 7xy - 4x + 2y = 5}
¿es f una función?
En caso de no serla, redefina f para que la sea.
En efecto, despeje y:
Y = (5 + 4x)/(7x + 2)
Para que la expresión quede definida en los reales se debe cumplir que
Por lo tanto, f no es función, porque no está definida en todo el conjunto de los
reales. Así que f:R-{2/7}→R es una función definida por
y=f(x)= (5+4x)/(7x+2).