1. Definición
Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano A×B. En símbolos:
R es una relación entre A y B ⇔ R ⊂ A×B
Para indicar que un par ordenado (a , b) pertenece a la relación suele escribirse a R b, lo
que equivale a (a , b) ∈ R.
REPRESENTACION DE RELACIONES
Sean R una relación entre A y B, es decir, R ⊂ A×B.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tienen los siguientes tipos de representación:
♥ Relación por Extensión:
R ={(1,2); (2,4); (3,6)} ⊂ (A×B)
♥ Relación por Comprensión:
R = {(x, y) / y = 2x }
♥ Relación por Diagrama Venn: los pares se representan con flechas.
♥ Relación por Tabla:

2. ♥ Relación por Gráfico Cartesiano: se representan con un punto.
ALCANCE, DOMINIO, RANGO E IMAGEN
Consideramos una relación R entre los conjuntos A y B.
Si (x , y) ∈ R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es un antecedente o
preimagen de y por R.
Alcance: el primer conjunto (A)
Dominio: el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados.
DR = {x ∈ A / (x , y) ∈ R }
Rango: el segundo conjunto (B)
Imagen: el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados.
IR = {x ∈ B / (x , y) ∈ R }
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Sea R una relación entre A y B, donde B = A. En este caso la relación está definida en A, y se
identifica con un subconjunto de A2
= A×A.
Definición
R es una relación definida en A, si y sólo si R ⊂ A2

3. Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,1); (1,2); (1,3)}
POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Sea R una relación definida en A, es decir, R ⊂ A2
. Dicha relación puede clasificarse de
acuerdo con las siguientes propiedades:
Reflexiva
R es reflexiva ⇔ ∀ x : x ∈ A ⇒ (x , x) ∈ R
La reflexiva de R se caracteriza porque todo elemento de A forma pareja consigo mismo, y el
par así obtenido pertenece a la relación.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,1); (2,2); (3,3); (3,1)} es reflexiva, ya que
1 ∈ A ⇒ (1,1) ∈ R
2 ∈ A ⇒ (2,2) ∈ R
3 ∈ A ⇒ (3,3) ∈ R
No Reflexiva
R es no reflexiva ⇔ ∃ x / x ∈ A ∧ (x , x) ∉ R
La no reflexiva de R queda especifica por la existencia de al menos un elemento de A que no
esté relacionado consigo mismo.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,1); (2,3); (3,2)} es no reflexiva, ya que
2 ∈ A ∧ (2,2) ∉ R
3 ∈ A ∧ (3,3) ∉ R

4. Arrelexiva
R es arreflexiva ⇔ ∀ x : x ∈ A ⇒ (x , x) ∉ R
Ningún elemento de A está relacionado consigo mismo.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (2,3); (3,2)} es arreflexiva, ya que
1 ∈ A ⇒ (1,1) ∉ R
2 ∈ A ⇒ (2,2) ∉ R
3 ∈ A ⇒ (3,3) ∉ R
Simétrica
R es simétrica ⇔ ∀ x ∀ y ∈ A : (x , y) ∈ R ⇒ (x , y) ∈ R
Si un par pertenece a la relación, el par que resulte de permutar sus componentes también
pertenece.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,1); (2,3); (3,2)} es simétrica, ya que
(1,1) ∈ R ⇒ (1,1) ∈ R
(2,3) ∈ R ⇒ (3,2) ∈ R
(3,2) ∈ R ⇒ (2,3) ∈ R
No Simétrica
R es no simétrica ⇔ ∃ x ∃ y ∈ A / (x , y) ∈ R ∧ (x , y) ∉ R
La no simétrica no impide que dos pares de componentes permutadas permanezcan a la
relación, pero exige que haya al menos un par en la relación, y que el que resulta de permutar
sus componentes no permanezcan a ella.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (2,1); (3,1)} es no simétrica, ya que
(1,3) ∈ R ∧ (3,1) ∉ R

5. Asimétrica
R es no simétrica ⇔ ∀ x ∀ y ∈ A : (x , y) ∈ R ⇒ (x , y) ∉ R
En este caso debe ocurrir que si un par pertenece a la relación, entonces el que se deduce por
permutación no pertenece.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (1,3); (2,3)} es asimétrica, ya que
(1,2) ∈ R ⇒ (2,1) ∉ R
(1,3) ∈ R ⇒ (3,1) ∉ R
(2,3) ∈ R ⇒ (3,2) ∉ R
Transitiva
R es transitiva ⇔ ∀ x ∀ y ∀ z ∈ A : (x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x , z) ∈ R
Si un elemento está relacionado con otro (no necesariamente distinto), y éste está
relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (1,3); (2,3)} es transitiva, ya que
(1,2) ∈ R ∧ (2,3) ∈ R ⇒ (1,3) ∈ R
No Transitiva
R es no transitiva ⇔  x  y  z ∈ A : (x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ∧ (x , z) ∉ R
Es la negación de la transitiva.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (2,3); (1,3); (3,1)} es no transitiva, ya que
(1,3) ∈ R ∧ (3,1) ∈ R ∧ (1,1) ∉ R
Atransitiva
R es atransitiva ⇔ ∀ x ∀ y ∀ z ∈ A : (x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x , z) ∉ R
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,2); (2,3)} es atransitiva, ya que
(1,2) ∈ R ∧ (2,3) ∈ R ⇒ (1,3) ∉ R

6. Antisimétrica
R es antisimétrica ⇔ ∀ x ∀ y ∈ A : (x , y) ∈ R ∧ (x , y) ∈ R ⇒ x = y
En este caso, si dos pares de componentes permutadas pertenecen a la relación, entonces
dichas componentes se identifican.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
R = {(1,1); (2,2); (3,3); (2,3)} es antisimétrica, ya que
(1,1) ∈ R ∧ (1,1) ∈ R ⇒ 1 = 1
(2,2) ∈ R ∧ (2,2) ∈ R ⇒ 2 = 2
(3,3) ∈ R ∧ (3,3) ∈ R ⇒ 3 = 3
RELACIONES DE EQUIVALENCIAS Y DE ORDEN
Definición
La relación R ⊂ A2
es de equivalencia en A si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Por razones de simplificación se utiliza el símbolo∼, y los elementos de todo par
perteneciente a la relación se llaman equivalentes.
La notación a ∼b se lee “a es equivalente a b”, y significa que el par (a , b) pertenece a la
relación. En este sentido, las relaciones de equivalencia satisfacen:
i) REFLEXIVA. Todo elemento de A es equivalente a sí mismo.
∀ x : x ∈ A ⇒ x ∼x
ii) SIMÉTRICA. Si un elemento es equivalente a otro, entonces éste es equivalente al
primero.
∀ x ∀ y : x ∼y ⇒ x ∼y
iii) TRANSITIVA. Si un elemento es equivalente a otro, y éste es equivalente a un tercero,
entonces el primero es equivalente al tercero
∀ x ∀ y ∀ z : x ∼y ∧ x ∼y ⇒ x ∼z
Ejemplo:
A = {a, b, c, d}
R = {(a,a); (b,a); (b,a); (b,b); (c,c)}
Reflexiva:
a ∈ A ⇒ (a,a) ∈ R
b ∈ A ⇒ (b,b) ∈ R
c ∈ A ⇒ (c,c) ∈ R
Simétrica:

7. (a,a) ∈ R ⇒ (a,a) ∈ R
(b,b) ∈ R ⇒ (b,b) ∈ R
(c,c) ∈ R ⇒ (c,c) ∈ R
(b,a) ∈ R ⇒ (a,b) ∈ R
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
Transitiva:
(a,a) ∈ R ∧ (a,a) ∈ R ⇒ (a,a) ∈ R
(b,b) ∈ R ∧ (b,b) ∈ R ⇒ (b,b) ∈ R
(c,c) ∈ R ∧ (c,c) ∈ R ⇒ (c,c) ∈ R
(b,a) ∈ R ∧ (a,b) ∈ R ⇒ (b,b) ∈ R
(b,a) ∈ R ∧ (a,a) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
(a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ (a,a) ∈ R
(a,b) ∈ R ∧ (b,b) ∈ R ⇒ (a,b) ∈ R
Relación de Equivalencia
RELACIÓN INVERSA
Sea R ⊂ A×B (Cualquier conjunto tanto igual como distinto).
Definición
Relación inversa de R es el subconjunto de B×A definido por
R-1
= {(y , x) ∈ B×A / (y , x) ∈ R }
Ejemplo:
R ⊂ A×B
R = {(1,2); (2,2); (3,3); (3,4)}
R-1
= {(2,1); (2,2); (3,3); (4,3)}
COMPOSICIÓN DE RELACIONES

8. A partir de las relaciones R ⊂ A×B y S ⊂ B×C, es posible definir una relación entre A y C,
llamada composición entre R y S, mediante
S ο R = {(x , z) ∈ A×C / ∃ y ∈ B ∧ (x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ S
S ο R ⊂ A×C
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 5, 7}
R ⊂ A×B / R = {(1,2); (1,4); (2,4)}
S ⊂ B×C / S = {(2,1); (4,3); (4,7); (6,5)}
S ο R ⊂ A×C / S ο R = {(1,1); (1,3); (1,7); (2,3); (2,7)}
RELACIONES DE EQUIVALENCIAS Y PARTICIÓN
Partición
Sea A un conjunto y A1, A2,…, An subconjuntos de A con n ∈ Ν
Ρ = {A1, A2, A3,…, An} es una partición de A si y sólo si:
i) Ai ≠ ∅ ( i = 1,2,3,…,n )
ii) Ai ∩ Aj = ∅ ( i = 1,2,3,…,n; j = 1,2,3,…,n )
iii) A1 ∪ A2 ∪ A3 ….. ∪ An = A
Ejemplo
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Partición ⇒ P = {{1, 2}; {3}; {2, 4, 5}}

9. A1 = {1, 2}
A2 = {3}
A3 = {2, 4, 5}
i) A1 ≠ ∅
A2 ≠ ∅
A3 ≠ ∅
Si se cumple la 1er condición
ii) A1 ∩ A2 = ∅
A1 ∩ A3 = {2} ≠ ∅
A2 ∩ A3 = ∅
P no es una partición porque la A1 ∩ A3 no es igual a un conjunto vacío.
iii) A1 ∪ A2 ∪ A3 = {1, 2, 3, 4, 5} = A
Si se cumple la 3era condición
CLASES DE EQUIVALENCIAS
Sea R ⊂ A2
una relación de equivalencia y a ∈ A
Definición
Se llama clase de equivalencia del elemento al conjunto Ka = x ∈A / x R a
Definición
Se llama conjunto cociente al conjunto A / ∼ ={ Ka / a ∈A }
Ejemplo
A = { a, b, c }
R = { (a,a); (a,b); (b,c); (b,b); (c,c) }
R es equivalente
Ka = {(a,b)}
Kb = {(a,b)} Ka = Kb
Kc = { c }
Hay dos clases de equivalencies
A / ∼ = {(a,b); { c }}
i) A1 ≠ ∅
A2 ≠ ∅
ii) A1 ∩ A2 = ∅
iii) A1 ∪ A2 = { a, b, c } = A

10. Si es una partición de A
Propiedad: A / ∼ es una partición de A (siempre pasa esto)
CONJUNTOS INFINITOS
RELACIÓN DEL DIVISOR EN N
Definición
Sean a,b ∈ N (o ∈ Z)
a|b ⇔ ∃ c ∈ N b = a . c
Ejemplo:
3 y 6 6 es múltiplo de 3
3 es divisor de 6
3|6 porque 6 = 3 . 2
Esta relación es de orden
1. REFLEXIVA: quiero ver que a R a, ósea: a|a
Sea a ∈ N
a = 1 . a ⇒ a|a
Definición de la relación
2. ANTISIMETRICA: quiero ver que: aRb ∧ bRa ⇒ a = b, ósea: a|b y b|a ⇒ a = b
Sea a,b ∈ N
a|b y b|a ⇒ ∃ c ∈ N b = a . c ∧ ∃ d ∈ N a = b . d ⇒ b = (b . d) . c ⇒
1 2
Definición de divisores Reemplazar 2 en 1
⇒ b = b . (d . c) ⇒ b = b . k ⇒ k = 1
Prop. Asociativa k = c.d, k∈ N luego: c.d = 1 ⇒ c = 1 ∧ d = 1
Por lo tanto en 1 o 2 queda
“En el caso de Z puede ser c = -1 y d = -1”

11. 3. TRANSITIVA: quiero ver que a|b y b|c ⇒ a|c ( c = m . a)
Sea a,b,c ∈ N
a|b y b|c ⇒ ∃ c ∈ N b = a . c ∧ ∃ d ∈ N c = b . d ⇒ c = (a . c) . d ⇒
1 2
Definición de divisores Reemplazar 1 en 2
⇒ c = a . (c . d) ⇒ c = a . k con k∈ N ⇒ a|c
Prop. Asociativa k = c.d, k∈ N Definición de divisor
RELACION DE CONGRUENCIA MODULO n EN Z
Definición
Sea a,b ∈ Z ∧ n ∈ N
a ≡ b (mod n) ⇔ n | b – a ≡ (es congruente con)
Ejemplo:
14 ≡ 2 (mod 12)?
12 | 14 – 2 ⇒ 12|2 Verdadero
14 ≡ 2 (mod 12)
Esta relación es de equivalencia
1. REFLEXIVA: quiero probar que: a ≡ a (mod n) ⇔ n | a – a ⇒ n | 0
Sea a ∈ Z ∧ n ∈ N
0 = 0 . n ⇒ n | 0 ⇒ n | a – a ⇒ a ≡ a (mod n)
Definición a – a = 0 Definición de
del divisor congruencia
2. SIMETRÍA: quiero ver que a ≡ b (mod n) ⇒ b ≡ a (mod n)
Sea a,b ∈ Z ∧ n ∈ N
a ≡ b (mod n) ⇒ n | a – b ⇒ n | (-1) . (a – b) ⇒ n | b – a ⇒
Definición de Definición del Si un número divide a otro
congruencia opuesto divide a su opuesto
a – b opuesto b – a

12. ⇒ b ≡ a (mod n)
Definición de
congruencia
3. TRANSITIVA: quiero ver que a ≡ b (mod n) ∧ b ≡ c (mod n) ⇒ a ≡ c (mod n)
Sea a,b,c ∈ Z ∧ n ∈ N
a ≡ b (mod n) ∧ b ≡ c (mod n) ⇒ n | a – b ∧ n | b – c ⇒
Definición de congruencia
⇒ n | (a – b) + (b – c) ⇒ n | (a – c) ⇒ a ≡ c (mod n)
Prop. distributiva Reducción de Definición de
del producto términos congruencia
respecto a la suma