I.U.T. ANTONIO JOSE DE SUCRE

1. RELACIONES BINARIAS
Nombre: Giménez Christian
C.I: 22323604

2. PRODUCTO CARTESIANO
 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B,
denotado A × B, es el conjunto de todos los
posibles pares ordenados cuyo primer
componente es un elemento de A y el segundo
componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x ∈ A ^ y ∈ B }

3. PRODUCTO CARTESIANO
 Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que
A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos
A x B tiene 6 elementos.

4. PRODUCTO CARTESIANO
 Ejemplo:
A = { corazón, trébol, coco, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12),
(trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) }
Note que
A tiene 4 elementos
B tiene 12 elementos
A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

5. PRODUCTO CARTESIANO
REPRESENTACIÓN EN FORMA DE
TABLA
 Ejemplo:
A={ , } B={ , , }

6. PRODUCTO CARTESIANO
REPRESENTACIÓN EN FORMA DE
DIAGRAMA DE VENN
 Ejemplo:
A={ , } B={ , , }

7. PRODUCTO CARTESIANO
 Ejemplo:
A={ , } B={ , , }

8. RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DE
CONJUNTOS
 Hay casos en que no todos los pares
ordenados de un producto cartesiano de
dos conjuntos responden a una condición
dada.

9. RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DE
CONJUNTOS
 Se llama relación entre los conjuntos A y
B a un subconjunto del producto
cartesiano A x B.
 Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman
parte de A x B.

10. RELACIONES
 Dado el siguiente diagrama que relaciona los
elementos de A con los de B
3 es el
b está
correspondiente
relacionado
de d
con 1

11. CONJUNTOS DE SALIDA Y DE
LLEGADA DE UN RELACIÓN
 A es el conjunto de salida y B es el conjunto de
llegada

12. DOMINIO DE UNA RELACIÓN
 Dom(R) =  x / x∈A ∧ (x,y) ∈ R 
Dom(R) = {b, c, d}

13. IMAGEN DE UNA RELACIÓN
 Im(R) =  y / y∈B ∧ (x,y) ∈R 
Im(R) = {1, 3, 4}

14. NOTACIÓN
 SiR es una relación entre A y B , la expresión
x R y significa que (x,y) ∈ R , o sea, que x está
relacionado con y por la relación R.
 Ej: b R 1 porque (b,1) ∈ R

15. RELACIÓN DEFINIDA EN UN
CONJUNTO
 Cuando los conjuntos de partida y de llegada de
una relación R son el mismo conjunto A, decimos
que R es una relación definida en A, o,
simplemente, una relación en A.
 Una relación R en A es entonces un subconjunto
de A2 = A x A

16. RELACIÓN DEFINIDA EN UN
CONJUNTO
 Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación
“es madre de”
 R es una relación en H. Por qué?
 Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par
(Ana,Luis) ∈ R.
 Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.

17. REPRESENTACIÓN DE UNA
RELACIÓN
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Los vértices del
grafo son los
elementos A y las
aristas dirigidas
representan los
elementos de R
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener
un número finito de elementos

18. REPRESENTACIÓN DE UNA
RELACIÓN
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica
que hay relación y 0 que no hay relación

19. PROPIEDADES DE LAS
RELACIONES DEFINIDAS EN
UN CONJUNTO
 Siestablecemos una relación entre los
elementos de un mismo conjunto, existen
cinco propiedades fundamentales que
pueden cumplirse en esa relación
 Propiedad reflexiva
 Propiedad simétrica
 Propiedad asimétrica
 Propiedad antisimétrica
 Propiedad transitiva

20. PROPIEDAD REFLEXIVA
 Lapropiedad reflexiva dice que todos los
elementos de un conjunto están relacionados
con si mismo
R es reflexiva si para todo x ∈ A, el par (x,x) ∈ R

21. PROPIEDAD SIMÉTRICA
 Lapropiedad simétrica dice que si un elemento
está relacionado con otro, éste segundo
también está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) ∈ R, el par
(y,x) también pertenece a R

22. PROPIEDAD SIMÉTRICA
 Ejemplo
 Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en
A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

23. PROPIEDAD ASIMÉTRICA
 Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de
la relación cumple la propiedad simétrica.

24. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA
 Una relación es
antisimétrica
cuando sólo
cumplen la
propiedad
simétrica los pares
de elementos
iguales y no la
cumplen los pares
formados por
distintos
elementos.

25. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en
A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

26. PROPIEDAD TRANSITIVA
 Lapropiedad transitiva dice que si un
elemento está relacionado con otro y éste está
a su vez relacionado con un tercero, el primer
elemento está relacionado con el tercero.
R es transitiva si
∀x , ∀y ,∀z , (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R

27. PROPIEDAD TRANSITIVA
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones
en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}