Este documento describe diferentes tipos de relaciones entre conjuntos, incluyendo relaciones binarias, relaciones de equivalencia, relaciones de orden y relaciones inversas. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo y analiza propiedades como ser reflexiva, simétrica o transitiva. También define clases de equivalencia y el conjunto cociente determinado por una relación de equivalencia.

1. Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio Jose de Sucre”
Extensión Barquisimeto
Integrante:
Robert Aguilar
C.I.21725458
Algebra I

2. Relaciones entre conjuntos
Relaciones
Una relación en un conjunto es un subconjunto del producto cartesiano
AxA.
Propiedades de una relación.
1) Una relación se dice reflexiva si todo elemento esta relacionado con
él mismo.
2) Se dice simétrica si siempre que a esté relacionado con b, b también
está relacionado con a.
3) Se dice anti simétrica si no puede haber dos elementos distintos de
forma que el primero esté relacionado con el segundo y el segundo
también esté relacionado con el primero.
4) Se dice transitiva si siempre que a este relacionado con b y b esté
relacionado con c, a debe estar relacionado con c.
Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa,
por ejemplo:
{3, 5} = {5, 3}
Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los
cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja
ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el
segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y
solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano

3. Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las
parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o
producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al
caso de más de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A
x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento
pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo
conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B
x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2),
(c, 3), (c, 4)}
Relación binaria
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del
producto cartesiano A x A.
EJEMPLO

4. Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa
una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y,
y) constituyen un subconjunto de A x A.
Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R
definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus
respectivas condiciones.
Propiedad
1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
2. Anti reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
4. Anti simétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a =
b
5. Anti simétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a

5. 6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R c
Relación de equivalencia
Una relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un
conjunto A, si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas,
la relación R “ser paralela a” es una relación de equivalencia.
Comprobémoslo:
a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.
b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.
c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.
Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de
equivalencia.
Clases de equivalencia, conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈
A se llama clase de equivalencia de a y se denota por [ a ], al
subconjunto formado por todos los elementos de A relacionados con a
por la relación de equivalencia R.
[a] = {x / x ∈ A y x R a}
Propiedades de las clases de equivalencia

6. a) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ]
pertenece al menos el elemento a. Simbólicamente: ∇ [ a ] ⊂ A, a ∈
A ⇒ a ∈ [a]
b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lo
demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos dos clases no
disjuntas y diferentes [ a ] y [ b ], con lo que:
x∈ [a] x R a (1) a R x (2) [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ ⇒ ∃ x ∈ [ a ] ∩ [ b ] ⇒
⇒ a R b ⇒ [ a ] = [ b] x ∈ [ b ] x R b xR b
Donde en (1) hemos aplicado la propiedad simétrica y en (2) la
propiedad transitiva, ya que es una relación de equivalencia.
Y hemos llegado a que ambas clases son iguales, en contra de la
hipótesis. Luego han de ser [ a ] y [ b ] disjuntas, con [ a ] ≠ [ b ].

7. c) Todo elemento de A pertenece a alguna clase de equivalencia. Esto
es porque todo elemento de x de A pertenece al menos a su propia
clase. Simbólicamente: ∇ x ∈ A ⇒ x ∈ [ a ]
d) La unión de todas las clases de equivalencia en un conjunto A es el
propio conjunto A:
clase1 ∪ clase2 ∪… ∪ clasen = A
Una relación de equivalencia clasifica al conjunto en el que está
definida, en clases de equivalencia.
Conjunto cociente:
Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, esta relación
determina sobre dicho conjunto una partición. Es decir, supongamos
que dicha relación R determinó sobre A, las clases de equivalencia
[a1], [a2], [a3],…,[an] , entonces: 1) las clases no son vacías, 2) las clases
son disjuntas dos a dos, y 3) la unión de todas las clases es el conjunto
A, o sea:
1. [ai
] ≠∅ , ∀ i=1; 2;…; n
2. [ai
] ≠ [aj

8. ], ∀ i≠j
3. [a1] ∪ [a2] ∪ [a3] ∪…∪ [an]=A
Llamaremos conjunto cociente y lo representaremos A/R, al conjunto de
todas las clases de equivalencia determinadas por R sobre A.
A/R= {[a] / a ∈ A}
Relaciones de orden
Una relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las
propiedades reflexivas, anti simétrica en sentido amplio y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las
propiedades anti reflexiva, anti simétrica en sentido estricto y transitiva.
Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos
cualesquiera están relacionados en cualquier sentido.
Es decir:
∇ a, b ∈ A, a R b o b R a
Si una relación no es de orden total, se dice que es de orden parcial.
Ejemplo1:

9. La relación R “ser menor o igual que” definida en un conjunto numérico
A, es una relación de orden amplio, y además de orden total.
Si tomamos:
A = {1, 3, 4, 8}
La relación está formada por:
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}
Relación inversa:
Dados dos conjuntos A, B y una relación R ⊆ AxB; una relación entre
ellos se denomina relación inversa de R, y se representa por R-1, a la
relación que asocia a los elementos de B con los de A, asociados a
través de R.
R-1 = {(b, a) ∈ AxB / (b, a) ∈ R}