El documento explica conceptos básicos de teoría de grafos y relaciones matemáticas como grafos, relaciones binarias, propiedades de relaciones (reflexiva, simétrica, transitiva), clases de equivalencia, particiones y funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva). Estos conceptos son importantes para sistemas computacionales ya que permiten representar y estudiar interrelaciones entre unidades que interactúan.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
I.U.P «Santiago Mariño»
Barcelona – Anzoátegui
Ing. Sistemas
Alumno:
PERDIGON, José
C.I: 28.250.231
Docente:
CASTILLO, José

2. Introducción:
En matemáticas y ciencias de la computación,
un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) es un
conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por
enlaces llamados aristas o arcos, que permiten
representar relaciones binarias entre elementos de un
conjunto. Son objeto de estudio de la teoría de grafos.
Relaciones matemáticas.
Los tipos de relaciones son los siguientes:
 Relación Reflexiva
 Relación Transitiva
 Relación Simétrica
A continuación les hablaremos más a fondo de cada una
de ellas así como algunos ejemplos para que sea más
entendible.

3. Relaciones y grafos
En matemáticas y ciencias de la computación,
un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) o
gráfica es el principal objeto de estudio de
la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es
un conjunto de objetos
llamados vértices o nodos unidos por enlaces
llamados aristas o arcos, que permiten
representar relaciones binarias entre
elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa
gráficamente como un conjunto de puntos
(vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

4. Desde un punto de
vista práctico, los
grafos permiten
estudiar las
interrelaciones entre
unidades que
interactúan unas con
otras. Por ejemplo,
una red de
computadoras puede
representarse y
estudiarse mediante
un grafo, en el cual
los vértices
representan terminale
s y las aristas
representan
conexiones (las
cuales, a su vez,
pueden
ser cables o conexion

5. Producto cartesiano
En matemáticas, el producto
cartesiano de dos conjuntos es
una operación, que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son todos
los pares ordenados que pueden
formarse de forma que el primer
elemento del par ordenado pertenezca
al primer conjunto y el segundo
elemento pertenezca al segundo
conjunto.

6. El producto cartesiano de un conjunto A y de un
conjunto B es el conjunto constituido por
la totalidad de los pares ordenados que tienen un
primer componente en A y un segundo
componente en B.
Veamos un ejemplo. Si el conjunto A está
formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras
que el conjunto B alberga los elementos m y r, el
producto cartesiano de ambos conjuntos es el
siguiente:
 A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r),
(9,r), (9,r)}

7. Relación binaria
Llamamos relación binaria a la relación R existente
entre dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B
respectivamente. Indicando que el elemento a está
relacionado con b. Esta relación se puede denotar de
diversas formas:
1) Como pares ordenados (a, b).
Indicando que aRb.
2) Como una mezcla entra los dos anteriores
R(a,b).
3) Al conjunto de todos los elementos relacionados
mediante la relación R en un conjunto lo
denotamos como R(M)

8. Está relación dependiendo del conjunto puede
referirse a cualquier concepto referido con el
conjunto.
Ejemplo:
Sea el conjunto A={el conjunto de los números
naturales}, una relación binaria del conjunto de
A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo
de.
De tal forma que, por ejemplo 4 está
relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de
2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados
escribiremos a no está relacionado con b
tachando la R. Un ejemplo de dos elementos
que no están relacionados con esta relación
son 3 y 5

9. Observación: El conjunto R(AxB) de
todos los elementos que están
relacionados es un subconjunto del
producto cartesiano AxB.

10. Representación de relaciones
La forma más directa de expresar una relación entre elementos de dos
conjuntos es usando pares ordenados, por lo que de manera abstracta se
puede definir una relación es como un conjunto de pares ordenados. En
este contexto se considerará que el primer elemento del par ordenado
está relacionado con el segundo elemento del par ordenado.
 Definición:
Si A y B son dos conjuntos no vacíos el producto cartesiano A B será
el conjunto de pares ordenados (a, b), donde a A y b B, es decir:
A B = {(a, b) | a A y b B}
Se usa la notación a b para denotar que (a, b) y a b para denotar que
(a, b) .
 Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3} y B = {r, s} entonces
A B = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}
B A = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (s, 1), (s, 2), (s, 3)}
Se puede ver que AB es diferente de BA

11. Diagrama de flechas
El diagrama de flechas es el indicador
de orden de cómo deben ser
ejecutadas las actividades de un
determinado proyecto, ya que
permite planificar y controlar a plenitud
su desarrollo por medio de la
identificación de las diversas
actividades que lo componen y del
proceso crítico que se representa por
medio de red.

12. diagrama se conoce del mismo modo con otras
denominaciones, entre ellas están la
actividad diagrama de red, red de actividades,
diagrama de nodo o método de la ruta crítica.
Se encuentra fundamentado por la aplicación
metodológica del camino crítico. Su objetivo
es darle facilidad a la planificación y
programación de los proyectos que sean
altamente complejos y de gran magnitud y
comprende una simplificación del método PERT.

13. Propiedad reflexiva
Una relación R sobre un conjunto A es
reflexiva si para todo x ∈ A entonces (x,x)
∈ R. En otras palabras una relación es
reflexiva si todo elemento del conjunto
sobre el que está definida, está
relacionado consigo mismo. ∀ x ∈ A se
cumple que (x,x) ∈ R.
 Ejemplo: R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Otro
ejemplo: R2 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(2,3), (1,4) }

14. Propiedad irreflexiva
Una relación R sobre un conjunto A es
antirreflexiva si para todo x ∈ A se
cumple que (x,x) ∉ R, es decir que ∀ x
∈ A se cumple que x no está
relacionado consigo mismo.
 Ejemplo: R = { (1,2), (2,1), (1,3), (1,4),
(2,3), (2,4), (3,4) }

15. Propiedad simétrica
Una relación R sobre un conjunto A es
simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si
(x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R.
Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se
cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈
R.
 Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4),
(3,1), (4,2), (4,4) }

16. Propiedad asimétrica
Una relación R sobre un conjunto A es
asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y)
∈ R entonces (y,x) ∉ R.
Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple
que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R.
 Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) }
Los pares (n,n) no pueden estar, por
definición. Las relaciones asimétricas
son antirreflexivas.

17. Propiedad antisimétrica
Una relación R sobre un conjunto A es
antisimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si x
R y e y R x entonces x=y.
De nuevo: ∀ x,y ∈ A se cumple que si
(x,y), (y,x) ∈ R entonces x=y.
 Ejemplo:R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3
,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Pregunta: Si el
par (1,3) pertenece a la relación, ¿podría
estar el par (3,1)? Según la definición, si
esta el (1,3) y está el (3,1) entonces
debería ser 1=3

18. Propiedad transitiva
Una relación R sobre un conjunto A es
transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si
(x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.
∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈
R entonces (x,z) ∈ R.
 Ejemplo:R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(
4,3)}

19. Relaciones de equivalencia
Una relación R sobre un conjunto A es
una relación de equivalencia si R es
una relación reflexiva, simétrica y
transitiva.
 Ejemplo: R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,3), (3,4), (1,4), (3,1), (4,3), (4,1) }

20. Relación de cerradura
La cerradura reflexiva y la cerradura
simétrica de una relación es muy simple
de encontrar, solamente se le agregan
los pares necesarios de una forma
directa. Cuando conocemos la matriz
asociada a la relación, la forma de
encontrar las cerraduras anteriores es
muy simple.

21. Clases de equivalencia
Dada una relación de
equivalencia R sobre un
conjunto A, llamaremos
clase de equivalencia del
elemento “a” de A, y lo
indicaremos [a]R ó Ca , al
subconjunto de A integrado
por los elementos
relacionados a dicho
elemento.
O sea: [a]R ={x ∈ A / x R a}

22. Propiedades:
1. Las clases de equivalencia no son
vacías, ya que por lo menos la
integra el elemento que le da
nombre.
2. [a]R =[b]R ⇔ a R b, es decir que dos
clases de equivalencia son iguales si
(a,b) ∈ R. 3. [a]R ≠ [b]R ⇔ [a]R
∩[b]R=∅

23. particiones
Dado un conjunto A, una partición de A es una
colección de subconjuntos de A que cumplen:
1) los subconjuntos no son vacíos,
2) los subconjuntos son disjuntos dos a dos,
3) la unión de todos los subconjuntos son el
conjunto A, o sea: Veamos primero un ejemplo:
A={1,2,3,4}. Una partición de A es B={2}
C={1,3,4}
 1. B≠∅, C≠∅
 2. B ∩ C=∅
 3. B∪C=A

24. En general, los conjuntos Ai forman una
partición en A si verifican estas 3
condiciones:
 Ai ≠ ∅ Ningún conjunto es vacío.
 Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i≠j Los conjuntos son
disjuntos; no tienen elementos en
común.
 1 n i i A A = ∪ = Este símbolo significa
que la unión de todos los
subconjuntos forman A.

25. Función inyectiva
f: A→B, es una función inyectiva, si los
elementos de B aparecen una única vez
en la relación de A en B considerada.
Dicho de otra forma: si a elementos
distintos de A, le corresponden elementos
distintos de B.
 ∀ a1 ≠ a2 , a1, a2 ∈ A se cumple que
f(a1) ≠ f(a2)
 Si f(a1)=f(a2) ∀ a1, a2 ∈ A entonces a1 =
a2

26. Función suprayectiva
f: A→B, es una función sobreyectiva, si
todos los elementos de B son
correspondientes de algún elemento de
A.
O sea todo elemento de B, es segunda
componente del subconjunto de AxB
considerado.
 ∀ b ∈ B ⇒ ∃ a ∈ A/ b=f(a)

27. Función biyectiva
una función es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva; es
decir, si todos los elementos
del conjunto de salida tienen
una imagen distinta en el conjunto de
llegada, y a cada elemento del conjunto
de llegada le corresponde un elemento
del conjunto de salida.

28. Conclusión:
A mi punto de vista estos temas son importantes
para el área de sistemas computacionales ya
que en relaciones son orden y divisibilidad entre
números, las relaciones de equivalencia entre los
datos de entrada de un programa en cuanto a la
detección de posibles errores de programación, la
relación de dependencia entre las distintas fases
producción en una industria o la agrupación de
datos aislados en complejas bases de datos con
relaciones de dependencia entre sus campos.
Así como los grafos permiten estudiar las
interrelaciones entre unidades que interactúan unas
con otras. Por ejemplo, una red de
computadoras puede representarse y estudiarse
mediante un grafo, en el cual los vértices
representan terminales y las aristas representan

29. Bibliografía:
 https://sites.google.com/site/teoriadegrafosingenier
iaen/home/unidad-1-teoria-de-gr
 https://definicion.de/producto-cartesiano/
 https://matematica.laguia2000.com/general/relacio
nes-
 binarias#:~:text=En%20el%20caso%20de%20no,s
ubconjunto%20del%20producto%20cartesiano%2
0AxB.
 http://mate.cucei.udg.mx/matdis/1rel/1rel1.htm
 https://www.webyempresas.com/diagrama-de-