José Israel González Guilarte C.I: 28.576.187 Carrera: Ing. de Sistema. Asignatura: Estructura y Grafos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Carrera: Ing. De Sistemas
Materia: Estructura y Grafos
Prof.:
José Castillo
Estudiante:
José Israel González Guilarte
C.I: 28.576.187
Junio del 2020

2. En este presente trabajo de diapositivas se estarán hablando sobre los
tema de las relaciones y grafos, en este trabajo definiremos sus conceptos,
también vamos a mostrarles sus ejemplos. Luego vamos a hablar sobre los
producto cartesiano, diagrama de flechas y mostraremos algunos ejemplos,
también definiremos los conceptos de lo que es una relación binaria,
representaciones de relaciones, luego hablaremos sobre las propiedades de
las relaciones reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, anti simétrica y
transitiva, en la cual vamos a definirlas y mostraremos ejemplos de como se
pueden utilizar, también estaremos explicando los funcionamientos relaciones
de equivalencia, luego definiremos y daremos ejemplos de inyectiva,
suprayectiva y biyectiva.

3. Es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es un
conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos,
que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos unidos por
líneas. Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones
entre unidades que interactúan unas con otras.

4. Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la
siguiente manera:
Ejemplo:
G1 = (V1, A1)
V1 = {1, 2, 3, 4}
A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
G2 = (V2, A2)
V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}
G3 = (V3, A3)
V3 = {1, 2, 3}
A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

5. El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de
forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el
segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la
geometría analítica dio origen a este concepto.
El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la
totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente
en B.

6. 1) Ejemplo 2) Ejemplo:

7. 3) Ejemplo
Sea también el conjunto de todos los números enteros:
Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}.
El producto cartesiano de Z consigo mismo es:
Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... },

8. Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos
conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b.
Esta relación se puede denotar de diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto
lo denotamos como R(M).

9. 1) Ejemplo:
Representar la siguiente relación:
R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}
a) Lo representaremos en primer lugar utilizando el diagrama cartesiano, en este
caso utilizando la cuadrícula.
b) Utilizando el diagrama sagital, la punta de la flecha indica la dirección de la
relación.

10. 2) Ejemplo:
Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}
AxB = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}
R1 = {(x, y) Î AxB / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}
R2 = {(x, y) Î AxB / x divide a y} = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4)}
R3 = {(x, y) Î AxB / y = x+1 } = {(1, 2); (3, 4)}
Representación Gráfica:

11. La forma más directa de expresar una relación entre elementos de dos conjuntos es usando pares
ordenados, por lo que de manera abstracta sae puede definir una relación es como un conjunto de pares
ordenados. Si A = B se dice que es una relación binaria sobre A. Hay muchos tipos de relaciones. Entre
las más importantes relaciones algebraicas están las funciones. Una función es una relación en la cual
una variable especifica un valor determinado de otra variable.

13. Diagrama de Flecha
El diagrama de flechas es una representación gráfica en forma de red que nos permite
visualizar el orden en que las actividades de un proyecto se realizan, permitiendo planificar y
controlar su desarrollo. Este tipo de diagrama brinda la posibilidad de poder planificar y controlar
correctamente el desarrollo y progreso de cualquier proyecto que esté formado por una gran
diversidad de actividades. Permite que las actividades vinculadas al proyecto, la secuencia y el
tiempo de duración, se conozcan.
El diagrama de flechas es el indicador de orden de cómo deben ser ejecutadas las actividades
de un determinado proyecto, ya que permite planificar y controlar a plenitud su desarrollo por medio
de la identificación de las diversas actividades que lo componen y del proceso crítico que se
representa por medio de red.

14. Ejemplo:
En una empresa de fabricación de elementos prefabricados de hormigón, ha iniciado un
nuevo proyecto, para la producción de una sola viga armada.

15. En matemáticas, una relación reflexiva ​o refleja es una relación binaria R sobre un
conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo.
Es decir, en tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.
Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de
A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces se dice que es irreflexiva, anti
reflexiva o antirreflejo, lo que denotamos formalmente por: En este caso,
se dice que R cumple con la propiedad de anti reflexividad.
Ejemplo de Propiedad Reflexiva:
A={2,4,5,6,7} R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}

16. Una relación binaria: R, entre los elementos de un conjunto A, es una relación irreflexiva​, también
llamada, anti reflexiva o antirreflejo, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.
Para todo a que pertenezca a A, (a,a) no pertenece R. Que también puede expresarse.
No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.
Ejemplo:
R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

17. Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está
relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con él, a través de la misma
"R". Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a).
Es decir,
En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de simetría.
Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces
(y,x) ∈ R.
Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R
Ejemplo:
R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) }

18. • Propiedad Asimétrica:
Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces
(y,x) ∉ R. Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R
Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) } Los pares (n,n) no pueden estar, por definición.
• Propiedad Anti Simétrica:
Una relación R sobre un A es anti simétrica cuando se da que si dos elementos de A se relacionan entre sí
mediante R, entonces estos elementos son iguales.
Es decir:
Ejemplo: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
• Propiedad Transitiva:
Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈
R entonces (x,z) ∈ R.
∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.
Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

19. • Relación de Equivalencia Cerradura:
En matemáticas y en computación las relaciones de equivalencia juegan un papel muy importante, en la mayoría de las
estructuras matemáticas que manejamos la igualdad es en realidad una equivalencia, como por ejemplo en fracciones. En
muchas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y
que sí cumplen la propiedad. De todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura.
Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R ))
• Relación de Clases de Equivalencia:
Las relaciones de equivalencia son un concepto matemático definido sobre un conjunto dado cualquiera. Como
tantos otros conceptos matemáticos, esta basado en una idea intuitiva, la representación de relaciones del tipo:
ciudades en una misma región, alumnos de la misma clase, instrucciones dentro del mismo bloque de código, enteros
con el mismo valor de modulo, etc.
Reflexiva. ∀a ∈ C; a R a
Simétrica. ∀a, b ∈ C; a R b ⇔ b R a
Transitiva. ∀a, b, c ∈ C; (a R b) ∧ (b R c) ⇒ (a R c)
• Relación como Partición:
Como consecuencia de la reflexiva, simétrica, y las propiedades transitivos, cualquier relación de equivalencia
proporciona una partición del conjunto subyacente en disjuntos clases de equivalencia . Dos elementos del conjunto
dado son equivalentes entre sí, si y sólo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.
un = un (propiedad reflexiva),
si un = b entonces b = un (propiedad simétrica), y
si un = b y b = c entonces a = c (propiedad transitiva)

20. Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le
corresponde un único elemento del segundo conjunto.
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen.
Formalmente:
∀a,b∈Domf , si fa= fb⇒a=b
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si
sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.
Ejemplo:

21. Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codo minio y el
recorrido coinciden. Formalmente:
∀y∈Codf ∃x∈Domf / fx=y
Es decir, para cualquier elemento y del codo minio existe otro elemento x del dominio tal que y es la
imagen de x por f.
Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.
Ejemplo:

22. Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Formalmente:
∀y∈Codf ∃!x∈Domf / fx=y
Es decir, para cualquier elemento y del codo minio existe un único elemento x del dominio
tal que y es la imagen de x por f.

23. Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces
llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos
de un conjunto. Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las
interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de
computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los
vértices representan terminales y las aristas representan conexiones. En matemáticas, el
producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta otro conjunto, cuyos
elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer
elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento
pertenezca al segundo conjunto. Llamamos relación binaria a la relación R existente
entre dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente. El diagrama de
flechas es una representación gráfica en forma de red que nos permite visualizar el
orden en que las actividades de un proyecto se realizan, permitiendo planificar y
controlar su desarrollo.

24. Autor: (Jeremy Maculet), Año (2016).
Título: (Relaciones y Grafos).
Dirección: https://sites.google.com/site/matediscretasdelacruzgarcia/unidad-3-relaciones-grafos-y-arboles
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Autor: (Antonio Campo), Año (2018).
Título: (Producto Cartesiano).
Dirección: https://definicion.de/producto-cartesiano/
Autor: (Jorge Gómez), Año (2015).
Título: (Relación Binaria).
Dirección: https://matematica.laguia2000.com/general/relaciones-binarias
Autor: (Lionel Parras), Año (2018).
Título: (Representaciones de Relaciones).
Dirección: https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U03_L2_T1_text_final_es.html
Autor: (Josefina Pacheco), Año (2019).
Título: (Diagrama de Flechas).
Dirección: https://www.webyempresas.com/diagrama-de-flechas/
Autor: (Carlos Rojas), Año (2017).
Título: (Propiedades de las Relaciones).
Dirección: http://mate.cucei.udg.mx/matdis/1rel/1rel4.htm