Este documento describe las relaciones y sus propiedades. Define una relación como una estructura que representa el vínculo entre elementos de conjuntos. Explica que una relación binaria es un subconjunto de AxB y que una relación sobre un conjunto A es una relación desde A hasta A. Además, introduce las propiedades de reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad de las relaciones y provee ejemplos para ilustrar cada concepto.

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CAPITULO VII - RELACIONES Y SUS PROPIEDADES
Una relación es una estructura que permite representar el vínculo o conexión entre los elementos
de los conjuntos
Definición 1
Sean A y B conjuntos. Una relación binaria desde A hasta B es un subconjunto de AxB.
Se usa la notación aRb para denotar que (a,b)R.
Ejemplo: Sea A={0, 1, 2} y B={a, b}. Entonces {(0,a), (0,b), (1,a), (2,b)} es una relación desde A
hasta B.
Nota: una función representa una relación donde cada elemento de A esta relacionado con un
elemento de B.
Definición 2
Una relación sobre el conjunto A, es una relación desde A hasta A
Ejemplo: Sea A={1, 2, 3, 4} cuales parejas ordenadas están en la relación
R={(a,b)|a divide a b} ?
Sol. R={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}
Definición 3
Una relación R sobre un conjunto A es llamada reflexiva si (a, a)R para cada elemento a  A
Ejemplo: ¿Es la relación del ejemplo anterior reflexiva en los enteros positivos?
Sol. Si, puesto que a|a siempre que a sea un entero positivo
Definición 4
Una relación R sobre un conjunto A es llamada simétrica si (b, a) R cuando quiera que (a,b)R,
para todo a,b A. Una relación R sobre un conjunto A tal que (a, b) R y (b, a) R solo si a=b, para
todo a, bA, es llamada antisimétrica.
Ejemplo: ¿Son las relaciones siguientes sobre {1, 2, 3, 4} simétricas o antisimétricas?
R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}
R2={(1,1), (1,2), (2,1)}
R3={(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) }
Sol.
R1 no es simétrica, no antisimétrica.
R2 es simétrica, no antisimétrica
R3 no simetrica, es antisimétrica.
Ejemplo: ¿Es la relación R={(a,b)|a divide a b} en los enteros positivos simétrica o anti-simétrica ?
Sol. Es antisimétrica

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Definición 5
Una relación R sobre un conjunto A es llamada transitiva si cuando quiera que (a,b)R y (b,c)  R,
entonces (a, c) R, para todo a, b, c A.
Ejemplo: ¿Cuales de las relaciones del ejemplo anterior son transitivas?
R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}
R2={(1,1), (1,2), (2,1)}
R3={(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) }
Sol.
R1 no es transitiva (por ej. (3,4) R y (4,1) R pero (3,1)R)
R2 no es transitiva (por ej. (2,1) R y (1,2) R pero (2,2) R)
R3 si es transitiva
Ejemplo: Es la relación R={(a,b)|a divide a b} en los enteros positivos transitiva ?
Sol. Si. Dado que si a|b y b|c, es claro que a|c
Nota: puesto que las relaciones desde A hasta B son subconjuntos de AxB, se pueden aplicar las
operaciones existentes para conjuntos (unión, intersección, diferencia, etc)
Definición 6
Sea R una relación desde el conjunto A al conjunto B y S una relación desde el conjunto B al
conjunto C. La compuesta de R y S es la relación de parejas ordenadas (a, c), donde aA, cC, y
para la cual existe un elemento bB talque (a, b) R y (b, c)  S. Denotamos la compuesta de R y S
por S o R.
Ejemplo1: Cuál es la compuesta de las relaciones R y S donde:
R es la relación desde {1,2,3} a {1,2,3,4} con R={(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)} y
S es la relación desde {1,2,3,4} a {0,1,2}con S={(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1) }
Sol. S o R={(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)}
Problema Resuelto
Sean A={1, 2, a} y B={2, b, 3}. Consideremos las siguientes relaciones de A en B:
)},1(),,(),2,2(),2,1{(1 bbaR  )}2,2(),3,(),2,3(),2,1{(2 aR 
Entonces
)}3,(),2,3(),,1(),,(),2,2(),2,1{(21 abbaRR  )}2,2(),2,1{(21  RR
)},1(),,{(21 bbaRR  )}2,2(),3,{(12 aRR 
Problemas
1. Para cada una de las relaciones en el conjunto {a, b, c, d}, decida si es reflexiva, si es simétrica, si
es antisimétrica, si es transitiva.
a. {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)} b. {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)}

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2. Definición.
Sea R una relación del conjunto A al conjunto B. La relación inversa de B a A, denotado por R-1, es
el conjunto de pares ordenados {(b,a)| (a,b) R}.
La relación complementaria R es el conjunto de pares ordenados {(a,b) | (a,b) R}.
a. Calcular R-1 del punto 1 b. Calcular R del punto 1
3. Definiciones
- Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si para cada a  A, (a, a)  R.
Esto es, R es irreflexiva si no existe elemento en A relacionado con el mismo.
- Una relación R es llamada asimétrica si (a, b)  R implica que (b, a)  R.
4. Dadas las relaciones:
R1= {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)}
R2= {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)}
R3= {(a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}, en el conjunto {a, b, c, d}
Decida para cada una de las relaciones si es:
 Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica, Transitiva, Asimétrica, Irreflexiva,
 Hallar R1 o R2 y R2 o R3
 Calcular R1
-1, R2
-1 R3
-1
 Calcular 1R , 2R y 3R
Sesión 7.2 Relaciones n-arias y sus aplicaciones
1. Bases de Datos y Relaciones
2. Operaciones con Relaciones n-arias
3. SQL
Empezamos con la definición de base de dato relacional.
Definición 1. Sean A1, A2 …, An conjuntos. Una relación n-aria en estos conjuntos es un
subconjunto de A1 x A2 x … x An. Los conjuntos A1, A2 …, An son llamados dominios y n es
llamado el grado de la relación.
Ejemplo 1. Sea R una relación N x N x N que consiste de la tripleta (a, b, c) donde a, b y c son
enteros con a < b < c. Entonces (1, 2, 3)  R; pero (2, 4, 3)  R. El grado de esta relación es 3 y el
dominio es igual al conjunto de los enteros.
Ejemplo 2. Sea la relación que consiste de la 5-tupla (A, N, S, D, T) que representa los vuelos
aéreos, donde A es la aerolínea, N es el numero de vuelo, S es la ciudad de partida, D es la
ciudad de destino y T es la hora de salida. Por ejemplo, si la aerolínea American tiene el vuelo
751 de Bogota a Boston a las 18:00 horas, entonces (American, 751, Bogota, Boston, 18:00)
pertenece a R. EL grado de la relación es 5, y sus dominio son el conjunto de todas las
aerolíneas, el conjunto de todos los números de vuelo, el conjunto de ciudades, el conjunto de
ciudades, y el conjunto de horas.

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Operaciones en relaciones n-arias
Definición 2. Sea R una relación n-aria y C una condición que elementos en R puede satisfacer.
Entonces el operador selección Sc mapea la relación n-aria R a una relación n-aria de todas las
n-tuplas de R que satisface la condición C.
Definición 3. La proyección Pi1,i2…,im mapea la n-tupla (a1, a2, …, an) a la m-tupla (a1, a2, …, am),
donde m≤n.
Definición 4. Sea R una relación de grado m y S una relación de grado n.
El join Jp(R, S), donde p ≤ m y p ≤ n , es una relación de grado m + n - p que consiste de todas
las (m+n-p)-tuplas ),...,,,,...,,,,...,,( 212121 pnppm bbbcccaaa  donde las m-tuplas
),...,,,,...,,( 2121 ppm cccaaa  pertenecen a R y las n-tuplas ),...,,,,...,,( 2121 pnp bbbccc  pertenecen
a S.
Asignación_Profesor Programación_Clase
Jp(Asignación_Profesor, Programación_Clase)
El lenguaje de consulta en base de datos SQL (Structured Query language) nos permite ejecutar las
operaciones que se han descrito en esta sesión.
Ilustramos como SQL realiza una consulta de la tabla Programación_Profesor
SELECT Profesor
FROM Asignación_Profesor
WHERE Departamento= ‘Computación’
Sol. Rosen