Representación de la información digital - INTRODUCCIÓN 15mar22.pdf

Representación de la
información digital
ELT2680 Electrónica Digital I
UTO – FNI – ELT
Juan José Castelo Oporto

Contenido
 1. Concepto de número
Electrónica Digital I

1. Concepto de Número
 ¿Qué es un número?
¿Cómo enseñamos el concepto de número?
– Un número es una entidad abstracta que
representa una cantidad.
Wikipedia
¿Es clara esta definición para lograr entender el
concepto de número?

1. Concepto de Número
 Es preciso aclarar que no existe una
definición única ni acabada.
 Trataremos de construir el concepto.
 En principio veremos su historia.
 La construcción humana del número.
 Veremos diferentes contextos en que el número
adquiere significado

Contenido
 2. Los orígenes del número

2. Los orígenes del número
 El hombre primitivo podía observar en la
naturaleza fenómenos cuantitativos tales como la
diferencia entre un árbol y un bosque, una piedra
y un montón de piedras, un lobo y una manada de
lobos
UNO  MUCHOS

Las primeras observaciones le condujeron a la noción
de "correspondencia biunívoca"
CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA

 El hombre primitivo podía observar en la
naturaleza fenómenos cuantitativos tales
como la diferencia entre un árbol y un bosque,
una piedra y un montón de piedras, un lobo y
una manada de lobos
 Las primeras observaciones le condujeron a la
noción de "correspondencia biunívoca"
 A partir de estas observaciones, extrae de
forma gradual la idea de comparación y asocia
un signo a cada objeto observado.

 Además de la práctica del tallado, el hombre pudo
también recurrir a otros muchos materiales
intermediarios: conchas, guijarros, frutos duros,
dientes de elefante, nueces de coco, etc. con los que
hacía montones o hileras correspondientes a la
cantidad que se necesitaba enumerar.
 Muchos pueblos primitivos hacen lo mismo, pero
empleando su propio cuerpo.

Contenido
 3. La construcción humana de número

3. La construcción
humana de número

3. La construcción humana
del número.
 Existen distintas teorías acerca de cómo el Hombre
generó y utilizó el número.
Describiremos este proceso a través de etapas:

3. La construcción humana
del número - Etapas
1. Distinción de uno y muchos;
2. Necesidad de recuento de pertenencias, que implica
establecer una correspondencia uno a uno, entre éstas y un
conjunto de igual cantidad de elementos, cuyo
representante es el número cardinal correspondiente;
3. La necesidad de registro, creándose así rótulos y etiquetas
que posibilitan organizar las muestras de acuerdo al número
de elementos, apareciendo así el aspecto ordinal;
4. Surgimiento de los sistemas de numeración como
herramienta para organizar aquellos rótulos que permitieran
otros usos del número.
5. Acción del conteo, uso de la secuencia ordenada de
palabras número en correspondencia uno a uno de los
elementos, donde el último de los elementos nombra la
clase a la cual pertenece.

Contenido
 4. Contextos en que el número adquiere
significado

4. Contextos en que el
número adquiere
significado

4. Contextos en que el número
 Distinción de diversas funciones del número como un
elemento para conceptualizarlo.
 Brissiaud distingue dos funciones principales:
 Representar (para comunicar cantidades o retenerlas en
la memoria)
 Calcular (establecer una cierta relación entre cantidades).

 Representar
 Existen dos formas de representar cantidades, las colecciones de
muestra y las representaciones numéricas.
 Ambas utilizan el criterio de correspondencia uno a uno, esta relación se
establece de diferente manera.
 La primera se refiere a la construcción de una colección de muestra
para establecer dicha correspondencia que represente la cantidad de
elementos. Por ejemplo para representar los platos puestos en una mesa
se utilizan tantas piedritas como platos.
 La segunda representa la cantidad con el último elemento puesto en
correspondencia uno a uno. (Nótese que la diferencia radica en que con
las colecciones, la cantidad se representa con todos los elementos,
mientras en la segunda sólo con el último).

 Calcular
 Por otra parte, establecer relaciones entre
cantidades a través del cálculo requiere mayores
niveles de abstracción: separarse del apoyo
concreto utilizando formas numéricas con cierto
grado de simbolización (cifras, configuraciones
estándar como los puntos de los dados, etc.).

 Contexto ordinal (posición de un elemento)
 Contexto cardinal (representar colección de
objetos por el valor de su extensión).
 Campos numéricos.

Contenido
significado
 5. Concepto de base

5. Concepto de Base
 ¿Qué es una base numérica?
 ¿Por qué utilizamos el sistema de base 10?
 ¿Utilizamos otra base numérica a diario?

5. Concepto de Base
 Los sistemas numéricos emplean la técnica
de la agrupación y la base es la cantidad
básica con la que se agrupan las cantidades.

Contenido
significado
 6. Sistemas de numeración

6. Sistema de numeración
 Un sistema de numeración es un conjunto de
símbolos y reglas empleadas para
representar cantidades y hacer operaciones
con las mismas.

Contenido
significado
 7. Tipos de sistemas de numeración

7. Tipos de sistemas
de numeración
J. J. Castelo O.

7. Tipos de sistemas de
numeración
Aditivos
Híbridos
Posicionales

numeración
 Sistemas de Numeración Aditivos
 Acumulan los símbolos de todas las
unidades, decenas, etc. como sean
necesarios hasta completar el número.
 Se pueden poner los símbolos en
cualquier orden.
 Han sido de este tipo las numeraciones
egipcia, sumeria, hitita, cretense, azteca,
romana y las alfabéticas de los griegos,
armenios, judíos y árabes.

 Sistemas de Numeración Híbridos
 Se combina el principio aditivo con el
multiplicativo.
 El orden en la escritura de las cifras es ahora
fundamental para evitar confusiones, se dan
así los pasos para llegar al sistema
posicional.
 Han sido sistemas de este tipo el chino
clásico, asirio, arameo, etíope y algunos del
subcontinente indio cómo el tamil, el
malayalam y el cingalés.
numeración

numeración
 Sistemas de Numeración Posicionales
 Se combina el principio aditivo con el
multiplicativo.
 El orden en la escritura de las cifras es
ahora fundamental.
 Cada posición tiene un valor ponderado
de la base elevada a una potencia entera
creciente en función de la posición.

Contenido
significado
 7. Tipos de sistemas de numeración
 8. Evolución de los sistemas de numeración

8. Evolución de los
sistemas de numeración

8.1 Sistema de
numeración Chino

8.1 Sistema de numeración
chino
43
 Antigüedad
 La forma clásica de escritura de los números en China se
empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. (La
primera forma data del siglo XIV A.C. )
 Características
 Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y las
distintas potencias de 10 y era tanto aditivo como
multiplicativo.
 Utiliza los ideogramas y usa la combinación de los números
hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de
millar para según el principio multiplicativo representar
cantidades grandes..
 El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7
igual podría representar 57 que 75.

chino
44
 Símbolos
 Se utilizan los siguientes símbolos
 Tradicionalmente se ha escrito de arriba hacia abajo,
aunque también se hace de izquierda a derecha.
 No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando
se pongan todos los ideogramas.

chino
45
 Ejemplo
 Para escribir el número 5789 se utilizan 7 ideogramas

8.2 Sistema de
numeración Maya

8.2 Sistema de numeración Maya
48
 Antigüedad
 Aproximadamente hace 15 siglos
 Los mayas idearon un sistema posicional de base 20 con el 5
cómo base auxiliar.
 Es un sistema posicional tanto aditivo como multiplicativo.
 Se necesitaba de un signo que indicase cuando en una
posición no había ninguna cantidad y, por tanto, su valor era
cero.
 Los números se escribían en vertical (de arriba hacia abajo),
comenzando con la cifra correspondiente al nivel superior.

Sistema de numeración Maya
49
 Representación
 La unidad se representaba por un punto.
 Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4.
 El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios
para representar 6, 7, 8 y 9.
 Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta
el 20, con cuatro rayas.

Sistema de numeración Maya
50
 Representación
 Hasta el 20 es un sistema de base 5 aditivo.
 Por encima del 20 la cantidad se convierte en posicional que se escribe
a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
 Hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ...
según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

Maya
51
 Otros símbolos

8.3 Sistema de
numeración Egipcio

Egipcio
53
 Antigüedad
 Empleado desde el tercer milenio A.C.
 Es un sistema decimal basado en jeroglíficos.
 Tenían un símbolo diferente para la unidad, la decena, un
centenar, un millar, para diez millares, cien millares y un
millón.
 No se utiliza el cero
 Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario
 Se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al
revés o de arriba abajo, además cambiando la orientación
de las figuras según el caso.

Egipcio
54
 Símbolos

Egipcio
55
 Representación
 Es un sistema no posicional
 Su rango de representación va de 1 a 99 999 999.
 Generalmente se escribía de izquierda a derecha,
empezando de las unidades, decenas, etc.
 Ejemplos:

8.3 Sistema de Numeración
Egipcio - Fracciones
 Las fracciones estaban limitadas a fracciones unitarias (con la
excepción de la frecuentemente utilizada 2/3 y las menos
frecuente ¾).
 Una fracción unitaria es 1/n donde n es un entero y se
representa en jeroglíficos numéricos situando el símbolo que
representa una “boca”, que significa “parte”, encima del
número.

Egipcio - Fracciones
 Cuando el número contiene demasiados símbolos y no
se puede situar el símbolo “boca” encima del número
completo, se observa que el símbolo “boca” se sitúa
sobre la “primera parte” del número.

Egipcio – Escritura hierática
 Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de
Egipto al imperio romano, pero su uso quedó reservado
a las inscripciones monumentales.
 En el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y
demótica, formas más simples que permitían mayor
rapidez y comodidad a los escribas.
 En estos sistemas de escritura los grupos de signos
adquirieron una forma propia, y así se introdujeron
símbolos particulares para 20, 30....90....200,
300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el
número de signos necesarios para escribir una cifra.

8.4 Sistema de
numeración Griego
Evolución de los sistemas de
numeración
J. J. Castelo O.

8.4
Sistema de numeración Griego
60
 Antigüedad
 El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia
el 600 A.C.
 Era un sistema de base decimal
 Se utilizaban diferentes símbolos tantas veces fuera
necesario según el principio de las numeración aditiva.

8.4
61
 Símbolos

8.4
62
 Representación
 Para representar la unidad y los números hasta el 4 se
usaban trazos verticales.
 Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de
la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este
motivo se llama también a este sistema acrofónico.
 Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el
signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio
multiplicativo.
 Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el
jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto
con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

8.4
63
 Representación
 Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el
jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto
con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

8.4
64
 Representación
 De esta forma los números parecen palabras, ya que están
compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor
numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras
que las componen.

8.5 Sistema de
numeración
Babilónico
numeración
J. J. Castelo O.

8.5
Sistema de numeración Babilónico
66
 Antigüedad
 Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua
Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de
numeración. Sus orígenes remontan al siglo XVIII A.C.
 Usaba dos bases la base 10 y la base 60
 Era un sistema aditivo hasta el 60 y posicional para los
números superiores

8.5
67
 Símbolos
 Se utilizan solamente dos símbolos

8.5
68
 Representación
 Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el
punzón en forma de cuña.
 Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que
tenía su propio signo.

8.5
69
 Representación
 Par

8.5
70
 Representación
 A partir del 60 se usaba un sistema posicional en el que los grupos de
signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60,
60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en el ejemplo siguiente:

8.6 Sistema de
numeración Romano

8.6 Sistema de numeración Romano
72
 Antigüedad
 27 años A.C.
 El sistema numeral romano usa el diez como base y cinco
como sub-base
 Emplea un conjunto de 7 símbolos
 Es de carácter aditivo y sustractivo
 El no uso del cero lo hace pseudo-posicional
 Es muy complicado a la hora de representar cantidades
grandes.
 Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos
iguales juntos
 Utiliza treinta numerales básicos para representar números en
el rango de 1 a 3999:

73
 Símbolos
 Básicamente este sistema utiliza 7 símbolos, extraídos del
alfabeto, es decir son algunas letras.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000

Sistema de numeración Romano
74
 Representación
 Tiene notación posicional por bloques
 Si un símbolo menor está a la izquierda, resta su valor al símbolo
mayor
 IV = 4 IX = 9 IC = 99
 Si un símbolo menor está a la derecha, suma su valor al símbolo
mayor
 VI = 6 VII = 7 VIII = 8 CI = 101
 Ejemplos
999 = CMXCIX
1000 = M
 Resulta muy complicado a la hora de hacer operaciones aritméticas.
Cuanto vale CLVIII + MDXLII = ?

75
 Representación
 Para las unidades: I II III IV V VI VII VIII IX
1 2 3 4 5 6 7 8 9
 Para las decenas: X XX XXX XL L LX LXX LXXX
XC
10 20 30 40 50 60 70 80 90
 Para las centenas: C CC CCC CD D DC DCC DCCC
CM
100 200 300 400 500 600 700 800 900
 Para las unidades de millar: M MM MMM
1000 2000 3000
 Para aumentar el rango de escritura de los números romanos, más tarde
se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su
valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un millón de
veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta el
número MMMCMXCIX.

8.7 Sistema de
numeración Hindú
numeración
J. J. Castelo O.

8.7 Sistema de numeración Hindú
77
 Antigüedad
 Los historiadores les siguen la pista hasta los numerales
Brahmi que comenzaron a aparecer alrededor de la mitad del
siglo III a. C.
 Es un sistema que usa base 10
 Emplea varios símbolos para los números del uno al 9
 Es un precursor de nuestro sistema actual
 Se utiliza un símbolo para la unidad
 Dos símbolos de unidad para el 2
 Tres símbolos de unidad para el 3
 A partir del cuatro cada dígito tiene su propio símbolo

8.7 Sistema de numeración Hindú
78
 Símbolos

Hindú
 Los numerales Gupta se desarrollaron a
partir de los numerales Brahmi

8.8 Sistema de
numeración Árabe
numeración
J. J. Castelo O.

8.8
Sistema de numeración Árabe
 Los números en al año 969
 Los números en el año 1082

quechua
 Que base o bases maneja?
 Tiene límites
 Como se representan las cantidades?
 Cómo se expresa 2022 en quechua?

aymara
 Que base o bases maneja?
 Tiene límites
 Como se representan las cantidades?
 Cómo se expresa 2022 en aymara?

9 Sistemas de
numeración actual
J. J. Castelo O.

9.1 Sistema de
numeración decimal
J. J. Castelo O.

decimal
 Símbolos: 0,1, ……9
 Base: 10
 Números: 2015, 2510

9.2 Sistema de
numeración octal
J. J. Castelo O.

octal
 Símbolos: 0,1, ……7
 Base: 8
 Números: 2015, 2510

9.3 Sistema de
numeración
hexadecimal
J. J. Castelo O.

hexadecimal
 Símbolos: 0,1, ……9,A,B,C,D,E,F
 Base: 16
Números:
 CEBADA,
 1BEBE,
 2F3DA5
Símbolo Valor absoluto
A 10
B 11
C 12
D 13
E 14
F 15

9.4 Sistema de
numeración binario
J. J. Castelo O.

binario
 Símbolos: 0,1
 Base: 2
 Números: 1010010, 101010101,
 10101010 10110100 11001100 10101011

Conversiones (trazos salientes)
 D1 Decimal a binario
 D2 Decimal a octal
 D3 Decimal a hexadecimal
 B1 Binario a Decimal
 B2 Binario a Octal
 B3 Binario a Hexadecimal
 O1 Octal a decimal
 O2 Octal a binario
 O3 Octal a hexadecimal
 H1 Hexadecimal a decimal
 H2 Hexadecimal a binario
 H3 Hexadecimal a octal

D1 Decimal a binario
D2 Decimal a octal
D3 Decimal a hexadecimal
CONVERSIONES:
DE BASE 10 A LAS OTRAS BASES

D1 Decimal a binario
Para convertir números enteros decimales a su
respectivo número entero en binario, se
procede a dividir sucesivamente el número
decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta
que el cociente en una de las divisiones tome el
valor 0.
La unión de todos los restos obtenidos, escritos
en orden inverso, nos proporciona el número
inicial expresado en binario.

D1 Decimal a binario (ejemplo)
46 2
2
0 23
1 11 2
1 5
Ejemplo: Convertir el decimal 46 a binario.
2
1 2
MSB
LSB
LSB = Least Significant Bit MSB = Most Significant Bit
2
0
0
1
1
2
46 = 101110
10 2

D2 Decimal a octal
Para convertir números enteros en base 10, a
su representación octal, se procede a dividir
sucesivamente el número decimal y los
sucesivos cocientes entre 8, hasta que el
cociente en una de las divisiones tome el valor
0.
inicial expresado en octal.

46 8
8
6 5
5 0
D2 Decimal a octal (ejemplo)
Ejemplo: Convertir el decimal 46 a octal.
MSD
LSD
LSD = Least Significant Digit
MSD = Most Significant Digit
10 8
46 = 56

Para convertir números enteros en base 10, s a
su representación en base 16, se procede a
dividir sucesivamente el número decimal y los
sucesivos cocientes entre 16, hasta que el
cociente en una de las divisiones tome el valor
0.
inicial expresado en hexadecimal.

(ejemplo)
46 16
16
14 2
2 0
Ejemplo: Convertir el decimal 46 a hexadecimal.
MSD
LSD

B1 Binario a decimal
B2 Binario a octal
B3 Binario a hexadecimal
CONVERSIONES:

B1 Binario a decimal
 El método para convertir un número binario
a decimal es utilizar la notación polinómica
correspondiente.
 Ejemplo: Convertir el binario 101011 a
decimal.
1010112= 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20
= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
= 4310

O1 Octal a decimal
 El método para convertir un número octal a
su correspondiente decimal es utilizar la
notación polinómica correspondiente.
 Ejemplo: Convertir el número octal 4701 a
decimal.
47018 =4*83 + 7*82+0*81+1*80
= 2048 + 448 + 0 + 1
= 249710

H1 Hexadecimal a Decimal
H2 Hexadecimal a Binario
H3 Hexadecimal a Octal
CONVERSIONES:

Hexadecimal a Decimal
Para convertir un número hexadecimal a
decimal, se utiliza la notación polinomial
considerando ahora la base 16.
 Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a
decimal

Hexadecimal a Binario
Para convertir un número hexadecimal a
binario se explota cada dígito hexadecimal por
su representación binaria con cuatro dígitos
binarios.
 Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a
binario.
2 B C
0010 1011 1100
por tanto: 2BC16 = 10101111002

Binario a hexadecimal
 Se debe realizar el proceso inverso al
anterior. Se agrupan los dígitos binarios de
4 en 4 a partir del punto decimal hacia la
izquierda, sustituyendo cada cuarteto por su
correspondiente dígito hexadecimal..
 Ejemplo: Convertir el binario
 11011111010111110 a hexadecimal
0001 1011 1110 1011 1110
por tanto: = 110111111101111102 = 1BEBE16

Binario a octal
 Se agrupan los dígitos binarios de 3 en 3 a
partir del punto decimal hacia la izquierda,
sustituyendo cada trio de bits por su
correspondiente dígito octal.
 Ejemplo: Convertir el binario
 11011111010111110 a octal

Fin de la
primera
parte

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