Exposición de Calculo diferencial Se desea hacer una lata, con capacidad de un litro, que tenga la forma de un cilindro recto circular. Halla la razón de la altura al radio de la base de manera que utilice la menor cantidad de material en la fabricación de la lata. Sugerencia: Dibuja un cilindro recto de radio r y altura h. De su fórmula para calcular el volumen, considera V = 1 y despeja h en términos de r; sustituye h en la fórmula para calcular el área de un cilindro recto. Primer paso El volumen de un cilindro es V(r, h)=PI·(r^2)·h donde r es el radio y h la altura Sabiendo que el volumen va a a ser un litro podemos expresar la altura en función del radio y todo ello en centímetros: 1 litro = 1000 cm^3 1000 = PI(r^2)h h = 1000 / [PI(r^2)] El área es la lateral más la de las dos bases: Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h) Paso #2 Sustituimos ahora la h que habíamos calculado arriba y así tendremos el área en función solo del radio Área(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)]) Área(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)]) Simplificando PI·r tenemos Área(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r) o si se prefiere se pone en dos partes, creo que mejor Área(r) = 2PI(r^2) + 2000/r Paso #3 Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces. Área'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0 PI·r - 500/(r^2) = 0 PI·r^3 - 500 = 0 r = (500/PI)^(1/3) = (159,15494)^(1/3) = 5,4192607 cm La derivada segunda es Área''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3) que es claramente positiva para ese valor de r, luego es un mínimo tal como queríamos. h = 1000 / [PI(r^2)] h = 1000 / [PI(5,4192607^2)] = 1000/(PI· 29,368387) = 1000/ 92,263507 = 10,8385521 cm Paso #4 Luego el cilindro que menos metal utiliza en su construcción para albergar un litro es aquel que tiene: radio = 5,4192607 cm altura = 10,8385521 cm nos podemos fijar que la altura es exactamente el doble que el radio, es decir que la altura es igual que el diámetro.

1. Resolución de
problemas
Presentado por: Adrián Orley Palma Córdoba, Luis Eduardo Arango Cuesta,
Juan Carlos Mosquera Becerra, Jerny Alejandro Bolívar.
Presentado A: Kelly becerra mena
Ing. De Sistema Nivel ll

2. Se desea hacer una lata, con capacidad
de un litro, que tenga la forma de un
cilindro recto circular. Halla la razón
de la altura al radio de la base de
manera que utilice la menor cantidad
de material en la fabricación de la
lata. Sugerencia: Dibuja un cilindro
recto de radio r y altura h. De su
fórmula para calcular el volumen,
considera V = 1 y despeja h en
términos de r; sustituye h en la
fórmula para calcular el área de un
cilindro recto.
Enunciado

3. Paso #1
El volumen de un cilindro es
V(r, h)=PI·(r^2)·h donde r es el radio y h la altura
Sabiendo que el volumen va a a ser un litro podemos expresar la altura en función
del radio y todo ello en centímetros:
1 litro = 1000 cm^3
1000 = PI(r^2)h
h = 1000 / [PI(r^2)]
El área es la lateral más la de las dos bases:
Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h)

4. Paso #2
Sustituimos ahora la h que habíamos calculado arriba y así
tendremos el área en función solo del radio
Área(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)])
Área(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)])
Simplificando PI·r tenemos
Área(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r) o si se prefiere se pone en dos
partes, creo que mejor
Área(r) = 2PI(r^2) + 2000/r

5. PASO #3
Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.
Área'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0
PI·r - 500/(r^2) = 0
PI·r^3 - 500 = 0
r = (500/PI)^(1/3) = (159,15494)^(1/3) = 5,4192607 cm
La derivada segunda es
Área''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3)
que es claramente positiva para ese valor de r, luego es un mínimo tal como
queríamos.
h = 1000 / [PI(r^2)]
h = 1000 / [PI(5,4192607^2)] = 1000/(PI· 29,368387) = 1000/ 92,263507 = 10,8385521 cm

6. PASO #4
Luego el cilindro que menos metal utiliza en su construcción para
albergar un litro es aquel que tiene:
radio = 5,4192607 cm
altura = 10,8385521 cm
nos podemos fijar que la altura es exactamente el doble que
el radio, es decir que la altura es igual que el diámetro.