1. Luis E. Loaiza Guillen.
EXPANSIÓN POLINOMIAL EN SERIES DE TAYLOR
DEFINICIÓN
Sea f una función cuyas “n” derivadas existen en un intervalo I , y estas no tienen un tamaño
desmesurado; es decir, están acotadas:
( )n
f x k x I 
Entonces, se verifica que:
2 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ... ...
1! 2! 3! !
n n
f a x a f a x a f a x a f a x a
f x f a
n
     
     
Donde: a I
Es decir, una función infinitamente derivable en un intervalo puede
representarse como un polinomio a partir de sus derivadas
evaluadas en un punto “a ”* de dicho intervalo. De manera más
compacta:
0
( )
( ) ( )
!
n
n
n
x a
f x f a
n



 
Esta fórmula, presentada por el matemático inglés Brook Taylor
(1685-1731) en su Methodus Incrementorum Directa et Inversa
(1715); es conocida como la fórmula de Taylor.
Hacer una función equivalente a un polinomio de Taylor permite aproximar los valores mediante
operaciones más simples (productos y sumas), aplicar las propiedades de las sumatorias, aproximar
derivadas e integrales, entre otros.
*Cuando el punto escogido (“a ”), para evaluar la función y sus derivadas, es 0; la serie toma el
nombre de Maclaurin; en honor a Colin Maclaurin (1698-1746) quien estudió este caso particular de
la series de Taylor.

2. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 1. Calcúlese la serie de Taylor de ( ) x
f x e
Empezamos derivando, tratando de obtener un patrón; lo que es fácil con esta función:
( ) , ( ) , ( ) ,..., ( )x x x n x
f x e f x e f x e f x e    
Entonces, de la fórmula:
2 3
( ) ( ) ( ) ( )
... ...
1! 2! 3! !
a a a a n
x a e x a e x a e x a e x a
e e
n
   
     
Tomamos un punto (“ a ”), de fácil cálculo y con el que existan las derivadas; en este caso escogemos
a =0.
0 0 2 0 3 0
0
2 3
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
... ...
1! 2! 3! !
1( ) ( ) ( ) ( )
1 ... ...
1! 2! 3! !
n
x
n
x
e x e x e x e x
e e
n
x x x x
e
n
   
     
     
De tal modo la serie para ( ) x
f x e , es:
2 3 4 5
1 ... ...
1! 2! 3! 4! 5! !
n
x x x x x x x
e
n
       
De forma más simple:
0 !
n
x
n
x
e
n


 
Es decir, evaluar ( ) x
f x e resulta igual a evaluar el
polinomio infinito
0 !
n
n
x
n


 ; por ejemplo:
1
0 0
1 1
(1)
! !
n
n n
f e
n n
 
 
   
Desarrollando el polinomio hasta 5° grado:
1 1 1 1 1
1 2.716
1! 2! 3! 4! 5!
e       

3. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 2. Calcúlese la serie de Taylor de ( ) ln( )f x x
Las derivadas:
1
2 3 4
1 1 1.2 2.3 ( 1) ( 1)!
( ) , ( ) , ( ) ( ) ,..., ( )
n
IV n
n
n
f x f x f x f x f x
x x x x x

   
      
De la fórmula de Taylor:
2 3 1
2 3
1 ( ) 1( ) 1 ( ) ( 1) ( )
ln( ) ln( ) ... ...
1 2 3
n n
n
x a x a x a x a
x a
a a a a n

     
     
Resulta evidente que “ a ” no puede ser 0 (no admite una serie de Maclaurin) ya que no es derivable –
ni continua- en ese punto; por comodidad se toma a =1.
2 3 1
2 3
1( 1) 1( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)
ln( ) ln(1) ... ...
1 1 1 2 1 3 1
n n
n
x x x x
x
n

     
     
2 3 4 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
ln( ) ... ...
1 2 3 4 1
n n
x x x x x
x
n

     
     

Entonces:
1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
n n
n
x
x
n


 



CONVERGENCIA
La aproximación con series de Taylor es mejor – para cualquier grado de desarrollo – mientras más
cerca esté el número del punto de prueba ( a ). Es decir, hay un intervalo de convergencia centrado
en “ a ”; con un radio de convergencia “ r ” (que pertenece al intervalo I ); para el cual la serie
converge.

4. Luis E. Loaiza Guillen.
Teorema
Sea
0
( )n
n
n
u x a


 una serie cualquiera; entonces se cumple una de las condiciones:
→ La serie solo converge (es exacta) para “ a ”. (r =0)
→ La serie converge para cualquier valor de “x”. ( r =)
→ La serie converge para un intervalo ( ;a r a r  ); con 0r  .
Ejemplo 3.
Usemos la serie hallada en el ejemplo 2; para aproximar ln(1.2) y ln(3) desarrollando el polinomio
hasta quinto grado:
2 3 4 5
2 3 4 5
(1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1)
ln(1.2) 0.18233
1 2 3 4 5
(3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1)
ln(3) 5.06667
1 2 3 4 5
    
     
    
     
Comparando con los valores reales
(redondeado a 5 decimales):
ln(1.2) 0.18232
ln(3) 1.09861


Se puede observar que la aproximación es
muy buena para ln(1.2), mas no para ln(3);
lo que se explica por la cercanía con el
punto de prueba ( a =1). Es evidente que 3
está fuera del intervalo de convergencia.

5. Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA: “PRUEBA DE LA RAZÓN” (CRITERIO DE D´ALEMBERT)
Supongamos una serie de Taylor:
0
( , ) ( )n
n
n
T f a u x a


  , donde los nu son los coeficientes;
entonces, se justifica que los términos vayan haciéndose más pequeños (ya que el denominador
factorial se hace más grande), es decir, para cualquier n:
1
1( ) ( )n n
n nu x a u x a 
  
La prueba de la razón consiste en evaluar el límite:
1
1( )
lim 1
( )
n
n
nn
n
u x a
u x a






Dado que:
1 1
1 1 1
( ) ( )
lim lim ( ) lim 1
( )( )
n n
n n n
nnn n n
n nn
u x a x a u u
x a
x a u uu x a
 
  
  
 
   

Después de calcular el límite, resulta un intervalo en “x”.
Ejemplo 4. Calcular el intervalo de convergencia de
1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
n n
n
x
x
n


 



1 2
1 1 2
1
11
1 1
( 1) ( 1)
( ) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
lim lim lim
( 2)( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1)
( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
lim 1 lim 1
( 2) ( 2)
n n
n n n
n
n nn n nn n n
n
n n
x
u x a n x n
n xu x a x
n
x n n
x
n n
 
  

  
 
 
    
 
    

   
   
 
Evaluando el límite:
( 1)
1lim 1 1 1 1 1 0 2
( 2)n
n
x x x x
n

           

El intervalo de convergencia es exactamente: 0;2] . Y el radio de convergencia es 1.

6. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 5. La serie de Maclaurin para la función seno es:
2 1
0
( 1) ( )
( )
(2 1)!
n n
n
x
sen x
n





 ; calcule el
intervalo de convergencia.
Usando la prueba de la razón:
1 2 3
1 1 2 3
1
2 12 1
1 2
2
( 1) ( )
( ) (2 3)! ( 1) ( ) (2 1)!
lim lim lim
( 1) ( ) (2 3)!( ) ( 1) ( )
(2 1)!
( 1) ( ) 1
lim lim 1
(2 2)(2 3) (2 2)(2 3)
n n
n n n
n
n nn n nn n n
n
n n
x
u x a n x n
x nu x a x
n
x
x
n n n n
 
  

  
 

   
 
  

 
  
   
Calculando el límite:
2
(0) 1 0 1x   
Lo que indica que la serie converge para todo x.
APROXIMACIÓN Y ACOTACIÓN DEL ERROR
Al realizar una aproximación con una serie de Taylor uno está limitado - obligado - a realizar una suma
finita; Es decir, escoger el grado hasta el que se desarrollará el polinomio.
Tomemos la expansión de Taylor para la función exponencial (ejemplo 1) para calcular una
aproximación del número de Euler (e); podríamos desarrollar el polinomio a distintos grados:
1 1 1 1 1
1 2.71667
1! 2! 3! 4! 5!
e       
1 1 1 1 1 1
1 2.71806
1! 2! 3! 4! 5! 6!
e        
1 1 1 1 1 1 1
1 2.71825
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
e         
←aproximación de quinto grado (n=5)
←aproximación de sexto grado (n=6)
←aproximación de séptimo grado (n=7)

7. Luis E. Loaiza Guillen.
Entonces si aproximamos una función ( )f x por una suma finita de grado “n” ( , )nT f a ; el error
cometido es:
( ) ( , )nf x T f a  
En otras palabras se comete un error por todos aquellos términos que no se sumaron, este se puede
acotar:
nR 
Donde nR es el resto de Lagrange, que se expresa:
1 1
( )( )
( 1)!
n n
n
f x a
R a x
n


 

  

Que representa el máximo error cometido en la aproximación de grado “n”.
Ejemplo 6. Estime el error cometido al calcular ( )
6
sen

con un polinomio de Taylor de 5° grado.
Del ejemplo 5, sabemos:
3 5
5 (sin( ),0)
3! 5!
x x
T x x  
3 5
5
6 6
(sin( ),0) 0.500002
6 6 3! 5!
T
 
 
   
   
      
El resto de Lagrange:
7
7
6 6
5 7
( )
6 2.14*10 2.14*10
(7)! 6 7!
R


 

    
6
5(sin( ),0) 0.500002 2.14*10
6
T
 
 

8. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 7. Calcule el grado del polinomio para obtener una aproximación de
1
e
con un error
menor a 10-4
.
Sabemos:
0.5 4
0
1 ( 0.5)
10
!
n
n
e con
ne


 


  
Usando el Teorema Lagrange:
1
4 4( 0.5)
10 10
( 1)!
n
n
e
R
n
 
 
  

Tomando un ϴ que haga máximo el resto entre <-0.5;0>
0 1 1
4( 0.5) ( 0.5)
10
( 1)! ( 1)!
n n
e
n n
 
 
 
 
Entonces el menor número “n” que cumple la desigualdad:
5 1
4( 0.5) 1
10
(5 1)! 46080


 

Podemos comprobarlo:
0 2 3 4 5
0.5 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)
0.606510...
0! 1! 2! 3! 4! 5!
e      
      
El resultado exacto: 0.606530… (se comprueba que el error aparece en la cuarta cifra decimal, como
se quería)

9. Luis E. Loaiza Guillen.
COMPOSICION Y SUSTITUCION
Ejemplo8. Calcule ( ( ),0)T g x con ( ) x x
g x e e
  , y su intervalo de convergencia.
Queremos expandir alrededor de 0, la función que resulta de restar otras funciones; partiendo de:
2 3 4 5
0
1 ...
! 1! 2! 3! 4! 5! !
n n
x
n
x x x x x x x
e
n n


        
Haciendo:
x x 
Obtenemos:
2 3 4 5
0 0
( ) ( 1)
1 ...
! ! 1! 2! 3! 4! 5!
n n n
x
n n
x x x x x x x
e
n n
 

 
 
         
Restando ambas series:
3 5 7
0 0
( 1) 2 2 2 2
( ) ...
! ! 1! 3! 5! 7!
n n n
x x
n n
x x x x x x
g x e e
n n
 

 

         
3 5 7 2 1
0
( ) 2( ...) 2
1! 3! 5! 7! (2 1)!
n
x x
n
x x x x x
g x e e
n



       


Se puede demostrar que converge para todo x.

10. Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DE LÍMITES
Teorema
Sea el límite L lim ( )
x a
f x

 , y ( , )nT f a la serie que representa a ( )f x alrededor de “ a ”,
entonces:
L lim ( ) lim ( , )n
x a x a
f x T f a
 
 
Ejemplo 9. Demuestre que el límite hacia cero de la función seno cardinal es 1, usando series de
Taylor.
sin
sinc( )
x
x
x

Sabemos que la serie para la función seno:
2 1 3 5 7 9
0
( 1) ( )
( ) ...
(2 1)! 3! 5! 7! 9!
n n
n
x x x x x
sen x x
n



     


Luego, para un mismo valor de x; distinto de
0:
2 4 6 8
2
0
sen
1 ...
3! 5! 7! 9!
sen ( 1) ( )
(2 1)!
n n
n
x x x x x
x
x x
x n


    




Donde resulta evidente:
0 0
sin
lim sinc( ) lim 1
x x
x
x
x 
 

11. Luis E. Loaiza Guillen.
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN
Teorema
Sea
0
( , ) ( )n
n n
n
T f a u x a


  una serie que representa a ( )f x y converge alrededor de “ a ” con un
radio de convergencia “r ”, entonces:
→ La serie
1
1
( 1)( )n
n
n
u n x a



  representa a '( )f x y tiene el mismo radio de convergencia, mas
no necesariamente converge en los extremos del intervalo.
→ La serie
1
0
( )
1
n
n
n
x a
u
n




 representa a
0
( )
x
f x dx con " "x que pertenece al intervalo de
convergencia.
En resumen, derivar o integrar término a término una serie que representa una función; genera la
serie de su derivado o integral, con el mismo radio de convergencia.
Ejemplo 10. Obténgase la serie para
1
1 x
Conocemos que
1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
n n
n
x
x
n


 



Sustituyendo 1x x  , en la serie.
1 1 1
0 0 0
( 1) (1 1) ( 1) ( ) ( )
ln(1 )
( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n
n n n
x x x
x
n n n
    
  
     
   
  
  
Luego, como:
(ln(1 )) 1
1
d x
dx x
 


1
0 0
2 3
0
(ln(1 )) ( ) ( 1)( ) 1
( )
( 1) ( 1) 1
1
1 .....
1
n n
n n
n
n
d x d x n x
dx dx n n x
x x x x
x
 
 


   
   
  
   

 


12. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 11. Mediante integración, obtenga la serie para ( ) arctan( )h x x
Por el ejemplo anterior, sabemos
0
1
1
n
n
x
x





Si sustituimos
2
x x 
Conseguimos:
2
2 2
0
2
2
0
1 1
( )
1 ( ) 1
1
( 1)
1
n
n
n n
n
x
x x
x
x




  
  
 



Como: 2
0
1
arctan( )
1
x
dx x
x

 , la función es equivalente a:
 2 2 4 6
00 0
( ) ( 1) 1 ...
x x
n n
n
h x x dx x x x dx


 
      
 
 
3 5 7
arctan( ) ....
3 5 7
x x x
x x   
Por lo que:
2 1
0
( 1)
( ) arctan( ) 1 1
2 1
n n
n
x
h x x x
n



    



13. Luis E. Loaiza Guillen.
MÉTODO NUMÉRICO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea la ecuación diferencial ordinaria y el valor
inicial, el PVI:
0 0
( , )
( )
dy
f x y
dx
y x y


Con solución: ( )y y x
De la formula de Taylor:
2 3
0 0 0 0
0 0 0
2 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
''( )( ) '''( )( )
( ) ( ) '( )( ) ...
2! 3!
'( , )( ) ''( , )( )
( ) ( ) ( , )( ) ...
2! 3!
y x x x y x x x
y x y x y x x x
f x y x x f x y x x
y x y x f x y x x
 
     
 
     
En general para el problema:
Se puede aproximar la solución de la ecuación diferencial (función) para un punto cercano al valor
inicial, centrando una serie de Taylor en el valor inicial en este punto
A veces, para obtener un valor más exacto de un punto cualquiera conviene dividir el intervalo entre
el punto que se tiene y el deseado, de tal forma que se tomen siempre valores cercanos; mientras se
van centrando sucesivas series en cada iteración
*La aproximación lineal:
0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) '( )( ) ( ) ( , )( )y x y x y x x x y x f x y x x     
Es conocido como el método de Euler
1
0 0 0 0
( , , ', '',..., ) 0
( ), '( ), ''( ),..., ( )
n
n
F x y y y y
PVI
y x y x y x y x
 



14. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 12. Emplee el método de Taylor para aproximar y(0.5), usando un polinomio de tercer grado,
y compare con el valor exacto; dado el problema:
' 2
(0) 0
y y x
y
 


Primero resolveremos la ecuación diferencial analíticamente, observando que es lineal:
( 1) 2 2
dy
y x dy ydx xdx
dx
       
El factor integrante:
( 1)dx x
e e
  
   2 2
( ) 2 ( ) 2
2( 1)
x x x x x
x x x x
x x
e dy ydx e xdx e dy e ydx xe dx
d e y xe dx d e y xe dx
e y x e c
    
   
 
      
    
  
 
La solución general:
( ) 2( 1) x
y x x ce  
Y la particular:
(0) 2(0 1) 0 2
( ) 2( 1) 2 x
y c c
y x x e
      
  
El valor que se pide:
0.5
(0.5) 2(0.5 1) 2 0.29744y e    
Ahora usando el polinomio de Taylor, con el valor inicial:
2 3
''(0)( ) '''(0)( )
( ) (0) '(0)( ) ...
2! 3!
y x y x
y x y y x    
Sabemos
' 2 '' ' 2 ''' ''y y x y y y y      
(0) 0, '(0) 0, '' 2 ''' 2n
y y y y y n       

15. Luis E. Loaiza Guillen.
En general, la serie (de Maclaurin) sería:
2 3 4 5
( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2)
( ) 0 0 ...
2! 3! 4! 5!
x x x x
y x
   
     
Factorizando:
2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ...
2! 3! 4! 5!
x x x x
y x
 
     
 
Haciendo algunos arreglos
2 3 4 5
2 3 4 5
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 1 1 ...
2! 3! 4! 5!
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2( 1) 2 1 ... 2( 1) 2
2! 3! 4! 5! !
n
n
x x x x
y x x x
x x x x x
y x x x x
n


 
        
 
 
            
 

Por lo que se puede demostrar que se obtiene la solución exacta:
( ) 2( 1) 2 x
y x x e  
Ahora, numéricamente el valor pedido:
2 3
(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 7
(0.5) 0 0 0.29167
2! 3! 24
y
  
      
Ahora si agregásemos un par de términos más (polinomio de 5 grado):
2 3 4 5
(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 571
(0.5) 0 0 0.2974
2! 3! 4! 5! 1920
y
    
        
Otra forma de aumentar la exactitud, sin agregar términos: haciendo iteraciones.
2 3
2 3
2 3
(0.25) ( 2) (0.25) ( 2) 13
(0.25) 0 0 0.06771
2! 3! 192
''(0.25)( 0.25) '''(0.25)( 0.25)
( ) (0.25) '(0.25)( 0.25)
2! 3!
''(0.25)(0.25) '''(0.25)(0.25)
(0.5) (0.25) '(0.25)(0.25) 0.2
2! 3!
y
y x y x
y x y y x
y y
y y y
  
      
 
    
      9656

16. Luis E. Loaiza Guillen.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Muestre los polinomios finitos:
a)
2
3( 1 sin( ), )T x x  
b) 3(tan( ), )
4
T x

c)
2
4( ln(1 ),0)T x x 
d) 5 2
1
( ,1)
1
T
x 
2. Obtenga las series correspondientes a las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados:
a) ln( )x
x , a=1
b) arcsin( )x , a=0
c) cos( )x , a=0
d)
2
( 1)x 
 , a=0
3. Pruebe que la serie
2 1
0 2 1
n
n
x
n

 
 representa a
1
log( )
1
x
x


y calcule su intervalo de convergencia. ¿En
qué punto coinciden?
4. Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias:
a)
0
( !) n
n
n x


 b)
0 2
n
n
z

5. Calcule el intervalo de convergencia para la serie del ejemplo 10, si esta representa una serie
geométrica de razón “x”>0.
6. Aproxime 3
8.5 , usando un polinomio de quinto grado ¿Dónde lo centraría?; estime el error y use
el valor exacto para calcular el error absoluto. Trabaje con seis decimales.
7. Use un polinomio de Maclaurin de noveno grado para arcsin( )x (ver problema 2. b)) y aproxime
 ; acote el error. Sugerencia: use 6arcsin(0.5)  .
8. ¿Qué grado debe tener el polinomio de Taylor que aproxima a 1/ xalrededor de x=1, para
aproximar1/1.3, con un error máximo de
5
10
. Sugerencia: derive la serie del ejemplo 2.

17. Luis E. Loaiza Guillen.
9. Dentro de una circunferencia de radio “R” se inscribe un cuadrado;
dentro de este, otra circunferencia; y asi sucesivamente.
a) plantee la serie que representa la suma del area de todos los círculos
(S1) y la de todos los cuadrados (S2).
b) use la serie del ejemplo 10 para calcular S1 y S2, en función de “R”.
10. ¿En qué intervalo la aproximación de cos( )x con
2 4 6
1
2! 4! 6!
x x x
   tiene error máximo de
6
10
?
11. Obtenga las series usando empleando el procedimiento sugerido, e indique el valor del punto de
evaluación.
a) sin(2 )cos(2 )x x . Sugerencia: Sustitución y razón trigonométrica de un ángulo doble.
b) 10log (5 )x . Sugerencia: Cambio de base y sustitución, o logaritmo de un producto.
c)
2
cos( )x
xe x
 . Sugerencia: Sustitución y multiplicación.
d)
2
3
x x
x

. Sugerencia: Descomposición en fracciones parciales.
12. Calcule los límites:
a) 20
1 cos( )
lim
x
x
x

b)
0
1
lim
x
x
e
x

c) 30
arcsin( )
lim
x
x x
x

d)
10
1
log ( )
lim
(1 )x
x
x 
13. Estime:
2
1
0
x
e dx

14. Obtenga la serie que representa
sin( )w
dw
w y calcule su intervalo de convergencia.
15. A partir de
0
1
1
n
n
x
x




 , obtenga la serie que representa 2
5
(1 )
x
x
.

18. Luis E. Loaiza Guillen.
16. Aproveche que
2
0
sin(2 ) sin ( )
x
x dx x (ver problema 11.a)), para calcular
2
(sin ( ),0)T x .
Calcule también
2
(cos ( ),0)T x .
17. Sea el problema:
''
(0) 0 '(0) 1
x
y xe
y y
 

 
Aproxime y(0.3) usando un polinomio de Taylor de tercer grado, calculando:
a) Directamente el valor con la formula de Taylor a=0.
b) Primero y(0.1), con a=0; luego, y (0.2) con a=0.1 y y(0.3), con a=0.2 (tres iteraciones).
Calcule en ambos casos el error absoluto, si y(0.3)=-0.294759973
18. Muestre el polinomio cúbico que aproxima la solución
2
' 1x
y e x   , si coinciden en y(0)=1.
¿Puede mostrar la forma de la solución
2 1
2
0
( ) 0.5 1
!(2 1)
n
n
x
y x x x
n n


   

 ?
Sugerencia: realice una integración semejante al problema 13.
19. Obtenga los coeficientes de la parábola
2
ax bx c  que aproxima, en las cercanías de x=0, a la
solución del problema:
'' ' ( 1) 5
(0) 0 '(0) 3
x
u e u x u
u u
    

 
20. Use
0 !
n
x
n
x
e
n


  , con el cambio x i ( 1i   ), para demostrar la identidad de Euler:
cos( ) sin( )i
e i
  
Sugerencia: Sustituya y reagrupe los términos de la serie exponencial.