Este documento resume seis criterios para determinar si una serie infinita converge o diverge: 1) calcular el límite de sus términos, 2) identificar si corresponde a una serie geométrica, p o alternante, 3) aplicar el criterio de razón, 4) aplicar el criterio de la raíz, 5) aplicar el criterio de la integral, 6) aplicar el criterio de comparación. Estos criterios deben aplicarse en el orden indicado para concluir sobre la convergencia o divergencia de la serie.
Este documento presenta una propuesta para una solución de series e integrales. Contiene ejemplos de series convergentes y divergentes, incluyendo series geométricas, telescópicas y otras. También incluye ejercicios resueltos sobre la convergencia de series y cálculo de límites, y una demostración de que si una serie es convergente, entonces la serie recíproca es divergente.
Este documento presenta varios problemas matemáticos y sus soluciones. Incluye fórmulas para sumas de números consecutivos y series numéricas, así como explicaciones y demostraciones de sus aplicaciones correctas. También contiene ejercicios para evaluar la comprensión de conceptos como racionales, irracionales, series y progresiones numéricas.
El resumen es el siguiente:
1) Se determinó que el radio de convergencia de la serie es 1/3.
2) Se analizó el comportamiento en los extremos del intervalo (-1/3, 1/3) y se concluyó que la serie no converge fuera de este intervalo.
3) Por lo tanto, el mayor intervalo en el cual la serie converge es (-1/3, 1/3).
La función constante es del tipo y=n, cuya gráfica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas. La función lineal es del tipo y=mx, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen. Las funciones cuadráticas son del tipo y=ax2+bx+c, cuya gráfica es una parábola.
Este documento presenta la unidad sobre el sistema de los números naturales. Define los números naturales de forma axiomática usando los axiomas de Peano. Demuestra varios teoremas fundamentales sobre los números naturales derivados de estos axiomas, como que cada número natural es el siguiente de un único número y que la adición en los naturales es única y satisface propiedades como el cero es neutro. También define la adición en los naturales y demuestra propiedades como que el cero es neutro por la izquierda y derecha y que la suma del siguiente de un número es igual a
Este documento presenta información sobre series infinitas. Brevemente describe qué es una serie, incluyendo ejemplos de series geométricas, armónicas y alternadas. También explica la noción de convergencia mediante el estudio de la sucesión de sumas parciales.
Este documento presenta una introducción a las series infinitas. Explica que una serie infinita es una sucesión de sumas parciales de los términos de una sucesión. Detalla los tipos básicos de series como la armónica y la geométrica, y presenta criterios como el del término general, de la integral y de la razón para determinar si una serie es convergente o divergente. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y una tabla resumen de los criterios de convergencia.
Este documento describe diferentes estrategias de posicionamiento de marcas. Explica que el posicionamiento es la imagen de una marca en la mente del consumidor y cómo se construye respecto a la competencia. Luego detalla siete tipos de estrategias de posicionamiento como centrarse en atributos, beneficios, uso, usuario, frente a la competencia, calidad/precio o estilos de vida. Finalmente, analiza errores comunes de posicionamiento y cómo simular el posicionamiento mediante mapas
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Este documento introduce las series numéricas y sus propiedades básicas. Define una serie como una suma de infinitos sumandos dados por una sucesión. Una serie es convergente si la sucesión de sus sumas parciales converge. Se analizan ejemplos como series geométricas y la serie armónica. También se discuten propiedades como la linealidad y series telescópicas. Finalmente, se presenta una condición necesaria para la convergencia y el criterio de Cauchy para determinar la convergencia de una serie.
1) Las inecuaciones son desigualdades algebraicas donde los dos miembros se relacionan por signos como <, ≤, > o ≥.
2) La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada mediante una representación gráfica o un intervalo.
3) Se resuelven inecuaciones de primer grado, segundo grado, racionales y equivalentes aplicando pasos como agrupar términos, despejar la incógnita y expresar la solución como intervalo.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre análisis de sucesiones reales. Los ejercicios incluyen demostrar límites de sucesiones, probar la convergencia de sucesiones, encontrar límites inferiores y superiores, y establecer relaciones entre los límites de sucesiones.
El documento explica conceptos fundamentales del cálculo diferencial como derivadas, crecimiento y decrecimiento de funciones, extremos relativos (máximos y mínimos), concavidad y convexidad, puntos de inflexión y optimización de funciones. Define cada concepto, explica cómo calcularlos y provee ejemplos ilustrativos. Además, brinda una breve introducción a la historia del cálculo diferencial y una bibliografía de recursos adicionales.
Este documento presenta 8 ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes. Cada ejercicio contiene la serie numérica a estudiar y la solución utilizando criterios como el de convergencia, D'Alembert o Cauchy. Los ejercicios cubren series como armónicas, logarítmicas y racionales, y determinan si son convergentes o divergentes.
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Resumen de criterios sobre convergencia y divergencia de series infinitas
1. RESUMEN DE CRITERIOS SOBRE CONVERGENCIA
Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS
A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual
se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean
aplicados en el orden indicado. Si un paso en particular no es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el
siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.
1 . − C a lc u le lim ( u n ). S i lim ( u n ) ≠ 0 , e n to n c e s la s e rie d ive rg e . S i lim ( u n ) = 0, n o p u e d e in fe rirse n in g u n a c o n c lu s ió n .
n → +∞ n→ +∞ n → +∞
2 .- E x a m in e la se rie a fin d e d e term in a r si c o rre sp o n d e a u n o d e lo s sig u ie n te s tip o s e sp e c ia le s:
+∞
a
( i ) U n a se rie g e o m é tric a : ∑ a .r
n =1
n −1
. C o n ve rg e a la su m a
1− r
si r < 1; d iv e rg e si r ≥ 1 .
+∞
1
( ii ) U n a se rie p : ∑
n =1 np
(d o n d e p e s u n a c o n s ta n te ). C o n v e rg e s i p > 1 ; d ive rg e si p ≤ 1 .
+∞ +∞
∑ (− 1) ∑ (− 1)
n +1
S i an > 0, y a n +1 < a n
n
( iii ) U n a s e rie a lte rn a n te : .a n ó .a n
n =1 n =1
p a ra to d o s lo s n ú m e ro s e n te ro s p o sitivo s n , y si lim a n = 0 , e n to n c e s la s e rie a lte rn a n te e s c o n v e rg e n te .
n → +∞
+∞
3 . − A p liq u e e l c rite rio d e la ra z ó n , S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l u n e s d ife re n te d e c e ro :
u n +1
( i ) s i lim = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞ un
u n +1 u
( ii ) si lim = L > 1, o si lim n + 1 = + ∞ , la se rie e s d iv erg e n te ;
n → +∞ un n → +∞ un
u n +1
( iii ) si lim = 1, n a d a se p u e d e in fe rir a c e rc a d e la c o n ve rg en c ia a p artir d e e ste c rite rio .
n → +∞ un
+∞
4 .- A p liq u e e l c rite rio d e la ra íz : S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l ca d a U n e s d ife re n te d e c e ro :
( i ) s i lim n u n = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞
( ii ) si lim n u n = L > 1, o si lim n u n = + ∞ la s e rie e s d iv e rg e n te ;
n → +∞ n→ +∞
( iii ) si lim n u n = 1, n a d a se p u e d e in ferir a ce rc a d e la c o n ve rg e n c ia a p a rtir d e e ste c rite rio .
n → +∞
5 .- A p liq u e e l crite rio d e la in teg ra l: S e a f u n a fu n c ió n q u e e s c o n tin u a , d e c re c ie n te y d e va lo re s p o sitiv o s p a ra to d a
+∞
x ≥ 1 . E n to n c e s la s e rie in fin ita ∑n =1
f ( n ) = f (1) + f ( 2 ) + f (3) + ... + f ( n ) + ... e s c o n v e rg e n te si la in te g ra l
+∞ b
im p ro p ia ∫
1
f ( x ). d x e x iste , y e s d iv e rg e n te si lim
b → +∞ ∫1
f ( x ).d x = + ∞ .
+∞
6 .- A p liq u e e l c rite rio d e c o m p a ra c ió n : S e a la se rie ∑u
n =1
n u n a s e rie d e té rm in o s p o sitiv o s.
+∞
(i ) S i ∑v
n =1
n e s u n a se rie d e té rm in o s p o s itiv o s d e la c u a l se sa b e q u e c o n v e rg e , y si U n ≤ V n p a ra
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s c o n v erg e n te .
+∞
( ii ) S i ∑w
n =1
n e s u n a s e rie d e té rm in o s p o sitivo s d e la c u a l se s a b e q u e d iv e rg e , y s i U n ≥ W n p ara
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s d iv e rg e n te .
+∞ +∞
o a p liq u e el c riterio d e c o m p ra c ió n p o r p a s o a l lím ite : S e a n ∑u
n =1
n y ∑v
n =1
n d o s se rie s d e té rm in o s p o s itiv o s.
un
( i ) S i lim = c > 0, e n to n c e s la s d o s se rie s so n c o n ve rg e n te s o a m b a s se rie s so n d iv e rg e n te s .
n → +∞ vn
+∞ +∞
un
( ii ) S i lim
n → +∞ vn
= 0 y si ∑v
n =1
n c o n ve rg e, e n to n c e s ∑u
n =1
n co n v e rg e .
+∞ +∞
un
( iii ) S i lim
n → +∞ vn
= + ∞ y si ∑v
n =1
n d iv e rg e , en to n c e s ∑un =1
n d iv e rg e .
Adaptado por: Prof. José Gregorio Páez Veracierta Fuente: Luois Leithold, Cálculo con Geometría Analítica, 7ma. Edición.