Sistemas Numéricos. Material de trabajo

1. UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRA
MARACAY-EDO ARAGUA
SISTEMAS NUMÉRICOS
Prof. Yerikson Suárez H.
10/02/2014
Febrero, 2014
P.A 2014-1
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2. CONTENIDO PROGRAMÁTICO
Unidad I: Sistema de los números naturales
1. Definición axiomáticamente del conjunto de los números naturales.
2. Demostración de los teoremas que se derivan de los axiomas de Peano.
3. Definición de la adición en N.
4. Demostración y aplicación de las propiedades de la adición en N.
5. Definición de la multiplicación en N.
6. Demostración y aplicación de las propiedades de la multiplicación en N.
7. Definición de la relación de orden en N.
8. Demostración de las propiedades que se derivan de la relación de orden en N.
9. Definición de sustracción en N.
10. Demostración y aplicación de las propiedades de la sustracción en N.
11. Principio de Inducción Completa. Demostración de proposiciones a través del método de
inducción.
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3. Unidad I: Sistema de los números naturales
1. Definición axiomáticamente del conjunto de los números naturales.
A) Términos no definidos (Términos primitivos):
A.1) Conjunto N cuyos elementos son llamados números naturales
A.2) Objeto matemático llamado “cero” y denotado por el símbolo “0”
A.3) Una relación sobre N, llamada “siguiente de” y denotada por “sig”
B) Axiomas de Peano:
Ax-1: 0  N. Cero es un número natural y en consecuencia N  
Ax-2: xN,  yN  y = sig (x). La relación siguiente es una función.
Ax-3: xN: sig (x)0. Cero no es el siguiente de ningún natural. La función
siguiente NO es sobreyectiva.
Ax-4: x,yN: sig (x) = sig (y)  x = y. La función siguiente es Inyectiva.
Ax-5: Axioma de Recurrencia o de Inducción completa: Si M  N y se verifica:
(i) 0  M
(ii) xM  sig (x)M , Entonces M = N
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4. Unidad I: Sistema de los números naturales
2. Demostración de los teoremas que se derivan de los axiomas de Peano.
Teorema 1:  x, y  N: x  y  sig (x)  sig (y)
Demostración
Demostraremos el contra-recíproco, recordando que p  q  q p
Pero el contra-recíproco en este caso es x,yN: sig (x) = sig (y)  x = y, el cual
coincide con el Ax-4, el cual es cierto.
Teorema 2:  x N: sig (x)  x
Demostración
Recurriremos al Ax-5. Sea M = { x  N  sig (x)  x }. Nótese que M N.
(i) Probemos que 0  M. Esto es, demostrar que sig (0)  0.
En efecto, por Ax-3 sabemos que sig (x)  0, x  N, por lo tanto en particular
si x=0  N, se cumple entonces que sig (0)  0.
Ahora probemos que
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5. Unidad I: Sistema de los números naturales
2. Demostración de los teoremas que se derivan de los axiomas de Peano.
(ii) x  M  sig (x)  M. Esto es, demostrar que sig(sig (x))  sig (x) sabiendo que
sig (x)  x. En efecto
xM  sig (x)  x, por hipótesis. Además x, sig (x)  N.
 sig(sig (x))  sig (x), T-1:  x, y  N: x  y  sig (x)  sig (y)
sig (x)  M.
De (i), (ii) y el Ax-5, se concluye que M = N. En consecuencia  x N: sig (x)  x
Teorema 3:  y  N- {0},  x  N  y = sig (x). Todo número natural (excepto el
cero, es siguiente de uno y sólo un natural)
Demostración:
Recurriremos al Ax-5 o Axioma de recurrencia. Consideremos el conjunto
M = { y  N – {0}   x  N  y = sig (x) }  {0}.
Claramente M  N.
(i) 0  M. Esto es cierto por la misma definición de M.
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6. Unidad I: Sistema de los números naturales
2. Demostración de los teoremas que se derivan de los axiomas de Peano.
Ahora demostremos que
(ii) y  M  sig (y)  M. Esto es,  w  N  sig (y) = sig (w). Veamos
y  M   x  N  y = sig (x)  y=0, Hipótesis
 sig (y) = sig (sig (x)), ya que y  N y por Ax-2 sig (y) existe y es único.
 sig(y) = sig (w), tomando w = sig (x). Este w es único por el Ax-4
 sig (y)  M
De (i), (ii) y el Ax-5, se concluye que M = N. En consecuencia
 y  N- {0},  x  N  y = sig (x)
Nota 1: Al número natural “x” se le denomina predecesor de y, esto es,
pre (y) = x  y= sig (x)
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7. Unidad I: Sistema de los números naturales
3. Definición de Adición en N
4. Demostración y aplicación de las propiedades de la adición en N.
Definición 1. Adición en N: Se denomina Adición en N a cualquier operación
binaria + : N x N  N tal que
(i)  x  N: x + 0 = 0 (El cero es neutro a la derecha)
(ii)  x, y  N: sig (x + y) = x + sig (y)
Nota 2: Al elemento x + y se le denomina suma de x e y.
Teorema 4: La operación Adición en N es ÚNICA.
Demostración:
Supongamos que existen dos operaciones binarias distintas + y  tales que
(i) x  N: x + 0 = 0
(i’)  x  N: x  0 = 0
(ii) x, y  N: sig (x + y) = x + sig (y) (ii’) x, y  N: sig (x  y) = x  sig (y)
Consideremos en conjunto M = { y  N   x  N: x + y = x  y }. Obviamente M  N.
(I) 0  M. Debemos probar que x + 0 = x  0.
En efecto, x + 0 = 0 (parte i de la Hipótesis). Además x  0 = 0 (parte i’ de la
hipótesis). Entonces se deduce claramente que : x + y = x  y =0.
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8. Unidad I: Sistema de los números naturales
3. Definición de Adición en N
3. Definición las propiedades
4. Demostración y aplicación de de Adición en N de la adición en N.
(II) y  M  sig (y)  M. Debemos probar la igualdad x + sig (y) = x  sig (y).
Veamos:
x + sig (y) = sig (x + y), Hipótesis, def +, parte ii
= sig ( x  y), Hipótesis, def. de M
= x  sig (y), Hipótesis, def , parte ii’
Por lo tanto, sig (y)  M. De (I), (II)
y el Ax-5 se concluye que M=N y en
consecuencia + = , con lo cual la operación de adición es única
Definición 2: Se denomina “UNO” y se denota por “1” al siguiente de Cero, esto
es, sig (0) = 1
Teorema 5:
5.1)  x  N: 0 + x = x (Cero es neutro por la izquierda)
5.2)  x, y  N: sig (x + y) = sig (x) + y
5.3)  x  N: sig (x) = x + 1
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9. Unidad I: Sistema de los números naturales
3. Definición de Adición en N
3. Definición las propiedades
4. Demostración y aplicación de de Adición en N de la adición en N.
Demostración:
5.1)  x  N: 0 + x = x (Cero es neutro por la izquierda)
Consideremos el conjunto M = { x  N  0 + x = x }. Obviamente M  N. Veamos
ahora que
(i) 0  M. Se debe probar que 0 + 0 = 0. En efecto, sabemos que x + 0 = 0 (*)
para todo x natural ( def. + parte i), luego si en particular tomamos x = 0  N
en (*) obtenemos que 0 + 0 = 0, tal y como queríamos probar.
(ii) x  M  sig (x)  M. Demostremos que 0 + sig (x) = sig (x).Veamos
0 + sig (x) = sig (0 + x), def + parte i
= sig (x), Hipótesis, def de M.
Por lo tanto sig (x)  M.
De (i), (ii) y el Axioma de recurrencia se concluye que M = N, y por consiguiente
 x  N: 0 + x = x.
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10. Unidad I: Sistema de los números naturales
3. Definición de Adición en N
3. Definición las propiedades
4. Demostración y aplicación de de Adición en N de la adición en N.
Demostración:
5.2)  x, y  N: sig (x + y) = sig (x) + y
Consideremos el conjunto M = { y  N   x N: sig (x + y) = sig (x) + y }. Por
definición de M, M  N. Ahora probemos que
(i) 0  M. Se debe probar que sig (x + 0) = sig (x) + 0. Analicemos cada miembro
de la igualdad por separado:
M.I sig (x + 0) = sig (x),  x  N: x + 0 = 0 Def + parte i. (1)
M.D sig (x) + 0 = sig (x) ,  x  N: x + 0 = 0 Def + parte i (2)
De (1) y (2) se concluye que sig (x + 0) = sig (x) + 0 = sig (x)
(ii) x  M  sig (x)  M. Demostremos que sig (x + sig (y)) = sig (x) + sig (y)
sig (x + sig (y)) = sig (sig (x + y)),
= sig (sig (x) + y),
= sig (x) + sig (y),
Por lo tanto sig (x)  M.
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sig (x + y) = x + sig (y) Def +,parte ii
Hipótesis, Def. M
sig (x + y) = x + sig (y) Def +,parte ii
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11. Unidad I: Sistema de los números naturales
3. Definición de Adición en N
3. Definición las propiedades
4. Demostración y aplicación de de Adición en N de la adición en N.
De (i), (ii) y el Axioma 5 se obtiene que M = N, y por consiguiente
 x, y  N: sig (x + y) = sig (x) + y
Demostración
5.3)  x  N: sig (x) = x + 1
sig (x) = sig (x + 0),  x  N: x + 0 = 0 Def + parte i
= x + sig (0),  x, y  N: sig (x + y) = x + sig (y) , Def +,parte ii
= x + 1, sig(0) = 1 por def. 2
Nota 3:
3.1) Del T-5.1 se concluye que  x  N: x + 0 = 0 + x = x
3.2) Del T-5.2 se deduce que  x, y  N: sig (x + y) = x + sig (y) = sig (x) + y
3.3) Del T-5.3 tenemos sig (0) = 1, sig (1) = sig (1+ 0) = 1 + sig (0) = 1 + 1 = 2
sig (2) = sig (1 + 1) = 1 + sig (1) = 1 + (1 + 1) = 3 …
Sig (n) = ( 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 ) + 1
(n- veces )
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