Este documento presenta varios problemas matemáticos y sus soluciones. Incluye fórmulas para sumas de números consecutivos y series numéricas, así como explicaciones y demostraciones de sus aplicaciones correctas. También contiene ejercicios para evaluar la comprensión de conceptos como racionales, irracionales, series y progresiones numéricas.

1. CENTRO PREUNIVERSIUTARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
1, si x es racional n(n 1) n(n 1)(2 n 1)
f(x) Observación: la fórmula ; sólo se n
1, si x es irracional 2 2 6 2 11
cumplirá cuando los números son consecutivos y
(n 1)(2n 1)
empiezan con 1. Caso contrario no se cumplirá.
2 6 211
Reemplazando en (I) (n 1)(2n 1)
= 1 – (-1) + 1 R : 2 + 4 + 6 + 8 + ........ + 40 11
= n(n 1) 6
=1+1+1=3
2n2 + n + 2n + 1 = 66
2n2 + 3n – 65 = 0
GRUPOS A y B CLAVE “B” Para hallar el número de términos o sea “n”, al
n 5
FECHA : 01 / 03 / 2011 ultimo término lo dividimos entre 2; veamos:
17.
CLAVE”D”
20 40
I. x x 600 12 n n 20
1000 2
APTITUD ACADÉMICA II. y
7
x 200 280 20. A 2 4 8 16 ......
5 Luego, aplicamos la formula:
(400 / 3) n (n + 1) 4 8 16
A 2 9 8 16 .......
RAZONAMIENTO VERBAL III. z
100
x 3900 5200 Q = 20 (20 + 1) Q 420
A 21 / 2 21 / 4 23 / 8 2 4 / 16 + .......
01. CLAVE “E” 02. CLAVE “A” Analizando las alternativas Observación: L fórmula n(n 1) sólo se 2 3 4
1/2 .....
03. CLAVE “A” 04. CLAVE “D” cumplirá cuando los números son pares A 2 4 8 16
05. CLAVE “E” 06. CLAVE “B” a) 5200 > 280 > 12 VERDADERA consecutivos y empieza con 2. Caso contrario
07. CLAVE “A” 08. CLAVE “B” b) 5200 (2) > 280 > 12 no se cumplirá: Sea e el exponente de 2
09. CLAVE “A” 10. CLAVE “D” 10400 > 280 > 12 VERDADERA 1 2 3 4
11. CLAVE “E” 12. CLAVE “E” e ..... (1)
c) 5200 > 280 (5) > 12 528 420 2 4 8 16
13. CLAVE “C” 14. CLAVE “D” ma (528 ,420 )
5200 > 1400 > 12 VERDADERA 2 2 3 4
2e 1 ....... (2)
d) 5200 > 280 > 10 (12) 2 4 8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5200 > 280 > 120 VERDADERA
ma 474
e) 5200 > 280 > 25 (12) (2) – (1):
5200 > 280 > 300 FALSA CLAVE “B”
15. CLAVE “D” 1 1 1 1
e 1 ....
19. De la serie: 2  
 4 8 16
16. CLAVE “E”
2 ; 16 ; 5/2 ; .......... 1
1 1
18. P = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...... + 32 1
2 2
Racional P 1 4....
 2 3  5  32  2
9 3 n 32 términos = 2 1. 1 2 4 .2 2 9 . 3 ....... 2 n .n 1
Aplicando la fórmula 2 2 2 e 2
= 2 1. 1 2 2 .2 2 3 .3 ...... 2 n .n 1
1
n(n 1) 2
Irracional 2
Operando: 2 Se deduce que hay “n” términos A = 22 = 4
Obtenemos: De donde:
1
f f 2 f 9 ....... (I) 32(32 1) n CLAVE “B”
2 P 528 1 22 32 ..... n2 2 11
2
Por dato: Con lo cual: 21. Como son términos semejantes podemos decir
que:
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2. CENTRO PREUNIVERSIUTARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
a+5 c+2 b+4 86 + 3(3) = 95 4 CLAVE “B”
(2a + 5b) x y z x 3
86 + 3(4) = 98
4 4
( x 2 3 )( x 3) 26.
10-b 10-a 7-c El # de términos es : 5 PASADO PRESENTE FUTURO
(c2 + 3a) x y z 1
4 Hace 5 años 2x – 13 50 – x
CLAVE “D” x 3
a + 5 = 10 – b a+b=5 ...... (I)
4 x–5 x 2(x – 5)
c + 2 = 10 – a a+c=8 ...... (II) F.R.: x 3
23.
b+9=7–c b+c=3 ...... (III) 4
(x 2)7 (x 2)7 1 x 3 Por Condición del problema se establece que:
(II) – (I) : 4 4 4 2x – 13 = 50 – x
x 3 x 3
a+c =8 Dándole la forma adecuada por ser cociente x = 21 (EDAD ACTUAL)
4
-a - b = -5 notable: ( x 2 3 )( x 12 )
x 144 Nos piden:
c-b=3 .... (IV) (x 2)7 (x 2)7 2(x – 5) – x = 2(21 – 5) – 21
(x 2) (x 2) CLAVE “E” = 32 – 21 = 11 años
IV + III : Como se observa tendrá 7 términos su
c - b=3 desarrollo, en consecuencia el término central CLAVE “C”
b+c=3 25. p (1) x3 7x 6
será el cuarto.
2c = 6 Posibles ceros:
c 3 t4 (x 2)7 4 (x 2)4 1 1 ; 2; 3 27. Sean 60 pollos en total
a=5 b=0
t4 (x 2)3 (x 2)3 Para x = 1, P(1) = 0, luego (x – 1) es un factor 5 pollos por S / .4
Nos piden suma de coeficientes: Para x = 2, P(2) = 0, luego (x – 2) es otro factor COMPRA
t4 [(x 2)(x 2)]3 60 pollos por S / .48
= (2a + 5b) + (c2 + 3a) Para x = 3, P(3) = 0, luego (x – 3) es otro factor
= 2(5) + 5(0) + (3)2 + 3(5) t4 [x 2 4 ]3
= 34 6 pollos por S / .7
Dividiendo tres veces por Ruffini VENTA
CLAVE “B” 60 pollos por S / .70
CLAVE “C” 1 0 -7 6
24. GANÓ: (70) – (48) = 22
22. Cálculo del término general: 4 1 1 1 Vendía: 60 pollos ganó S/. 22
x 3
43
43 K K Vendió x ganó 121
tK 1 CK a2 a5 4 1 1 -6 0
x 3 3 x 6
el grado absoluto de este término es: Aplicando el método de aspa simple en el 2 2 6 (121 )(60 )
x 330 pollos
denominador 22
G.A t K 1 2(43 K) 5K 4 1 3 0
x 3 3 x 6
Su INVERSIÓN es:
= 86 – 2K + 5K -3 -3
4 Compra: 5 pollos por S/. 4
= 86 + 3K x 2 3
1 0 330 pollos x
donde K = 0, 1, 2, 3, ...., 43 4
x 3 El Polinomio Factorizado es: (330 )(4 )
Los grados absolutos de un número menor que x S / .264
100 de los respectivos términos son: (x – 1) (x – 2) (x + 3) 5
4 4
( x 2 3 )( x 3)
86 + 3(0) = 86 # de divisores: (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) – 1 CLAVE “A”
86 + 3(1) = 89 = (2) (2) (2) – 1 = 7
Reemplazando en la fracción original
86 + 3(2) = 92
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3. CENTRO PREUNIVERSIUTARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
RAZONAMIENTO LÓGICO 42. Planteamos: Efectuando operaciones en el numerador; la
división queda expresada así: Dom (f) = x <-3, 8 >
28. CLAVE “B” 29. CLAVE “C” CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO
x4 8x 3 24 x 2 28 x 13 Esto significa que:
30. CLAVE “E” 31. CLAVE “B”
Hombres R/d días VIVERES -3 < x < 8 ....... (*)
32. CLAVE “A” 33. CLAVE “D” x 5
34. CLAVE “E” 35. CLAVE “B” 2800 5 12 v
La regla de correspondencia
36. CLAVE “D” 37. CLAVE “B” Puesto que el divisor es de la forma (x a),
3000 4 t v f(x) = x2 – 8x + 10
38. CLAVE “A” 39. CLAVE “B” dividimos por el método de Ruffini.
40. CLAVE “B”
(3000) (4) (t) (v) = (2800) (5) (12) (v) La regla de correspondencia podemos
Haciendo x – 5 = 0 x=5
Donde t = 14 días expresarla convenientemente así:
Luego:
CONOCIMIENTOS CLAVE “D” f(x) = x2 + 8x + 10 + 6 – 6
1 -8 24 -28 13 f)x) = (x – 4)2 – 6
41. Si x1 x2 son las raíces de la ecuación, por 43. Recordar que para un polinomio se cumple: 5 5 -15 45 85
P(1) = suma de coeficientes A continuación el rango de la función F viene
condición del problema, se debe cumplir que:
En: 1 -3 9 17 98 dado por el intervalo de variación de F(x), razón
P(3x + 10) = x3 + 2x + 40 (DATO) por la cual formaremos la expresión dada para
x1 – x2 = 2 ......... (I)
Hayamos x = -3 cociente: x3 – 3x2 + 9x + 17 f, a partir de la relación (*). Veamos:
Por propiedad de las raíces: P(3(-3) + 10) = (-3)3 + 2(-3) + 40 Resto: 98
P(1) = -27 – 6 + 40 Término Independiente . 17 - Restando 4 a cada miembro de (*)
b2 4 ac P(1) = 7 -7 < x – 4< 4
| x1 x2 | ........ (II)
a CLAVE “C”
CLAVE “E” Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que
x2 (n 5)x n 4 0 ECUACIÓN DADA
46. Sea: D = Dividendo toda expresión real cuadrática es siempre una
d = divisor cantidad positiva, tendremos:
A partir de la ecuación dada reconocemos que:
44. Suponiendo que sea “x” el número de patos q = cociente
que había al principio. t = residuo 0 < (x – 4)2 < 16
a=1 b = -(n + 5) c = n + 4 ....... (III)
Por datos del problema se puede escribir
Retando 6 a cada miembro, se obtiene:
Reemplazando (I) y (III) en (II), obtenemos:
(1) 2x – 27 < 54 ; 2x < 81 ; de donde Del problema
[ (n 5)] 2 4 (1)(n 4) x < 40 . 5 1881 = d q + r (x 4 ) 2 6
6 10
| 2| (2) 3x – 78 > 39 ; 3x > 117 ; de donde
1 Donde: f(x)
Efectuando las operaciones indicadas x > 39 q=r
d = 2q Finalmente podemos observar que:
| 2| (n 5) 2 4(n 4) Luego: 39 < x < 40 . 5 , es decir x = 40 Luego: Ran f(x) = <-6, 10>
Con la finalidad de eliminar el signo radical, 1081 + (2q) q + q
elevamos ambos miembros al cuadrado: Rpta.: Inicialmente habían 40 patos. 2q2 + q – 1801 = 0 CLAVE “B”
4 = (n + 5)2 – 4(n + 4) q = 23 COCIENTE
Efectuando operaciones, obtenemos: CLAVE “C” Nos piden el divisor 48. CLAVE “E” 49. CLAVE “C”
n2 + 6n + 5 = 0 d = 2q = 2(23) = 46 50. CLAVE “C” 51. CLAVE “B”
n = -1 n = –5 (x 2) 4 4 x 3 52. CLAVE “A” 53. CLAVE “A”
45. CLAVE “C”
x 5 54. CLAVE “E” 55. CLAVE “E”
CLAVE “C” 56. CLAVE “B” 57. CLAVE “D”
47. El dominio de la aplicación viene dado por: 58. CLAVE “C” 59. CLAVE “E”
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4. CENTRO PREUNIVERSIUTARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
Peso en g gra mos 137 8400
# equiv = N x V # equiv = x 0,5 x 15 x 60 T= T 40 º C
60. Peso equiv de Ba 2 210
1. FALSO, sólo se detectó los protones dentro Pero: 96500
del núcleo, más no neutrones. MASA Molar CLAVE “D”
40 = 0,32
2. VERDADERO, los rayos catódicos son Peso equiv NaOH
40
# de OH 1
independientes del tipo de gas usado. 74.
Luego: CLAVE “A”
3. FALSO, los rayos canales son
independientes del tipo de gas usado Peso en g NaOH
N H 2 SO4 x VH 2 SO4 68. CLAVE “D” 69. CLAVE “A”
4. VERDADERO porque rayos canales Peso equiv NaOH
M N
(1 protón = +1,6 x 10-19 C) Reemplazando valores: P1 P2
70. P0 V0 = Pf Vf
RAYOS CATÓDICOS 5
(1e- = -1,6 x 10-19 C) 2.5 x V = 76 cm Hg x 10 3 cm 3
40 Vf =
5. VERDADERO 70 cm Hg
Si V1 = V2 W1 = W 2 = W
de donde V = 0,05 L
= 50 mL
CLAVE “B”
Vf 1085 ,7 cm 3 Dc L:M Dc L:N
CLAVE “C” T1 T2
61. CLAVE “D” 62. CLAVE “D”
CLAVE “A”
66. C6 H12 O6 2 C2 H5 OH + 2 CO2
63. Sulfato de amonio están contenidos E1 E2
W W
2NH3(NH4)2 SO4 = 132 71. CLAVE “D”
glucosa etanol
Luego aplicando factor gravimetrico
72. T1 E1 W T2 E2 W
2 x17 g de NH 3
13,2 g de (NH4)2 SO4 x # moles de etanol
132 g de (NH 4 ) 2 SO 4 M
V E1 = P1 vg E2 P2 Vg
= 3,4 g de NH3 donde M=1
h=? Si P1 > P2 E1 E 2
V = 1L
CLAVE “C” 5 cm
Luego:
a) T1 = W – E 1 T2 = W – E 2
# Moles de Etanol = M x V = 1 x 1 = 1
64. 2Al + 3Cl2 2Al Cl3 T1 T2 '
W1 '
W2 ; FALSO
1 mol
a) VERDADERO 1 mol C H O 180 g ' '
3 mol Cl 2 3 x 6 12 6 x b) W1 W2 FALSO
C 2 H 5 OH 2 mol 1 mol
b) FALSO, la razón molar es P Hg g h Ag Pag g hag '
2 mol Al Cl 3 2 C 2 H 5 OH C 6 H12 O 6 c) W1 W2 FALSO
c) VERDADERO = 90 13 ,6 g / cm 3 d) EM E1 EN E 2 ; FALSO
hag x 5 cm
d) VERDADERO
1 g / cm 3 e) T1 = W – E1
e) VERDADERO CLAVE “C” T2 = W – E 2 T2 – T1 = E 1 – E 2
hag = 68 cm
T2 = T1 + (E1 – E2)
CLAVE “B” 67. pero E1 > E2
CLAVE “A”
2 Peso
Atómico
T2 T1 VERDADERO
65. Según el método del # de equivalentes en una Bacl 2 x Ix t
reacción de neutralización. gra mos
# de 73. m f c t f mv Lf mvc Tv
oxid CLAVE “E”
1cal cal 1cal
96500 200 g x (T 10 )º C 10 g x 540 10 g T 100 º C
# equivalentes = # equivalentes g ºC g g ºC
H2SO4 NaOH Reemplazando valores: 75. CLAVE “D” 76. CLAVE “B”
77. CLAVE “A” 78. CLAVE “C”
200 T – 2000 = 5400 – 10T + 1000
79. CLAVE “C” 80. CLAVE “E”
210T = 840
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