Este documento presenta información sobre probabilidades. Explica conceptos como espacio muestra, probabilidad condicional, teorema de Bayes y aplicaciones como diagnóstico médico y juegos de azar. También incluye ejemplos de cálculo de probabilidades y ejercicios propuestos relacionados con lanzar dados y monedas.

1. MATEMÁTICAS
Las Probabilidades

3. Las Probabilidades
EL BUEN VIVIR
Los libros que leemos
Cuando vamos a la librería y vemos ciertos libros,
tomamos varias alternativas antes de decidirnos
por uno u otro texto, siempre verificamos que la
introducción contenga: una buena trama, una
buena historia y en si, que sea de nuestro agrado.
Si existe un libro que no tenga el contenido de
nuestro agrado, ¿ cuál es la probabilidad de que
lo leas?
¿ Porque crees que los libros traen un breve
resumen antes de comenzar con la lectura en
general?
¿Qué sabes?
Existen muchas situaciones en que es posible
identificar el cálculo de probabilidades. Por
ejemplo, en un supermercado se recibe cierto
número de clientes diarios que realizan compras
de diversos productos. Al querer pagar los clientes
eligen la caja que creen les tomará menos tiempo,
pero ¿qué toman en consideración para elegir una
caja determinada?

4. ¿Qué aprenderás?
Resolver problemas para estimar
resultados futuros.
Identificar las variables aleatorias
en un problema.
Estudiar las distribuciones de
probabilidades para entender y
asociar dichas distribuciones a cosas
del mundo real, tales como tasa de
llegada de clientes
OBJETIVOS EDUCATIVOS DEL TEMA
Reconocer experimentos cuyos resultados están distribuidos en
forma binomial o en forma normal.
Analizar conjuntos de datos para describir características de los
mismos.
Medir la certidumbre (o incertidumbre) de que ocurran
determinados sucesos.

5. PROBABILIDADES
La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega hasta el número 1. Se calcula con la fórmula:
Donde A es un suceso o caso
Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?
Solución:
Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número de casos posibles y el número de casos favorables.
Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles, los cuales son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y los números mayores que 2 son: {3, 4, 5, 6}
Por lo tanto el resultado es:

6. Ejemplo2:
Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio
muestra de este experimento aleatorio.
Solución:
El espacio muestra es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son
cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, descomponibles en otros más
simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los
posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería
contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con
esta representación podemos escribir el espacio muestra como:
E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

7. Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas
Bayes ( 1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos
de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo
A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la
probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de
cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se
tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en
todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales
dados los efectos observados.

8. Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la
Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes
Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional
de cualquiera de los eventos , dado . La fórmula ”ha originado muchas especulaciones
filosóficas y controversias".

9. APLICACIONES
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin
embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los
seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos
repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos
bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar
cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información
adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas
estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas
estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de
hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son
frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se
adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando
información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos
sensores.

10. Como por ejemplo:
 El diagnóstico de cáncer.
 Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego
de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh.
 Probabilidades a priori y a posteriori.
 Un uso controvertido en La ley de sucesión de Laplace

11. Todos los días experimentamos algo con la probabilidad simplemente ir al casino y
apostarle a un juego de soccer o basquetbol, esa gente apuesta de acuerdo a las
estadísticas del equipo, si llevan 10 partidos sin perder entonces ellos tal vez apostarían
en que en ese juego también va a ganar; y así viceversa.
La probabilidad también está en una clase por ejemplo, cuando vienes tarde tú piensas
que tan probable puede ser que la maestra llegue tarde de acuerdo a datos de días
anteriores en los que te puedas basar para pensar lo contrario.
Todos los días nosotros tenemos algo que ver con la probabilidad, también cuando
tratamos de escoger algo nos basamos de acuerdo a la probabilidad de hacer una o tal
cosa.
Es imposible no vivir sin pensar en la probabilidad ya que van muy acompañadas de las
matemáticas, y para todo están presentes en la vida cotidiana.
La más común yo creo que es ir al casino ya que ahí es 100% de probabilidad, de quien
vaya a ganar o perder o que probabilidad hay de que metan ciertos goles o arriba de
cuantos puntos.

13. Ejercicios propuestos:
1) Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire
salgan:
a) Dos caras
b) Dos sello
c) Una cara y la otra sello
2) Un dado está truncado, de forma que las probabilidades de obtener
las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Halla:
a) La probabilidad de tener 6 en un lanzamiento.
b) la probabilidad de conseguir un numero impar en un lanzamiento.
3) Se lanzan dos dados al aire y se nota la suma de dos puntos
obtenidos. Se pide:
a) La probabilidad de que salga el 7.
b) La probabilidad de que el numero obtenido sea un par.
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.
4) Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
a) Salgan 6 en todos.
b) Los puntos obtenidos sumen 7.