Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Brevemente describe la historia de la probabilidad y su relevancia en la toma de decisiones. Explica que la probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un evento futuro entre 0 y 1. También cubre conceptos como experimento, evento, espacio muestral y diferentes formas de calcular la probabilidad como el enfoque clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Finalmente, resume reglas básicas como la suma y multiplicación de probabilidades para varios eventos.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variable aleatoria, distribución de probabilidad, experimentos de Bernoulli y binomiales. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una distribución de probabilidad refleja el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. Finalmente, detalla las distribuciones de Bernoulli y binomial, indicando que la primera tiene dos posibles resultados y la segunda consiste en múltiples ensayos de Bernoulli independientes.
Este documento contiene información sobre ejercicios de estadística inferencial de un capítulo sobre distribuciones normales. Incluye 4 ejercicios resueltos sobre temas como distribuciones normales estándar, aplicaciones de distribuciones normales, distribuciones muestrales y estimadores, y el teorema del límite central. El documento proporciona contexto estadístico y soluciones a los ejercicios planteados como parte de una tarea universitaria de estadística inferencial.
Este documento presenta un ejercicio práctico sobre la distribución de Poisson. Se supone que el 9% de los computadores de una institución presentan fallas antes de un año. Se seleccionaron aleatoriamente 100 computadores y se calcula la probabilidad de que al menos 12 computadores presenten fallas usando la distribución de Poisson con λ = 9.
Ejercicios de distribucion binomial y de poison: STAT FIT DE PROMODELlucysan
Este documento presenta 4 ejercicios que involucran distribuciones binomiales y de Poisson. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que 10 acciones aumenten de valor dado que el 70% generalmente lo hacen. El segundo calcula la probabilidad de que más de 10 personas realicen transacciones en una hora dada una tasa promedio de 5 personas por hora. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de obtener 2 caras en 6 tiradas de una moneda. Y el cuarto calcula la probabilidad de que 2 de 10 herramientas sean defectuosas dado un 10% de
Solucionario de estadistica inferencialAlbert Rojas
Este documento presenta un solucionario de estadística para la administración de una universidad privada en Tacna, Perú. Incluye problemas resueltos sobre pruebas estadísticas como la prueba Z, t de Student y intervalos de confianza. El solucionario fue elaborado por estudiantes de la carrera de ciencias administrativas y revisado por un asesor. Contiene más de 10 problemas con sus respectivas soluciones.
El documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad numérica de que ocurra un evento. También describe los modelos de probabilidad como el de frecuencia relativa, subjetivo y clásico. Además, define conceptos como uniones, intersecciones y eventos independientes. Finalmente, presenta técnicas de conteo como permutaciones y combinaciones.
La distribución de Poisson describe eventos aleatorios donde la probabilidad de que ocurra un evento es pequeña pero el número total de intentos es grande. Se usa para modelar procesos como llamadas telefónicas, llegada de pacientes a hospitales, accidentes viales, y defectos en productos. La distribución depende de un parámetro λ que representa el número promedio de eventos. La probabilidad de x eventos es P(x|λ) = λx e-λ/x!.
La distribución binomial describe experimentos con dos posibles resultados (éxito o fracaso) que se repiten un número fijo de veces (n). La probabilidad de éxito es la misma para cada repetición y las repeticiones son independientes. La distribución binomial se caracteriza por el número de repeticiones n, el número de éxitos x, y la probabilidad de éxito p en cada repetición. Se usa para modelar muchos fenómenos del mundo real como encuestas de opinión o pruebas clínicas.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variable aleatoria, distribución de probabilidad, experimentos de Bernoulli y binomiales. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una distribución de probabilidad refleja el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. Finalmente, detalla las distribuciones de Bernoulli y binomial, indicando que la primera tiene dos posibles resultados y la segunda consiste en múltiples ensayos de Bernoulli independientes.
Este documento contiene información sobre ejercicios de estadística inferencial de un capítulo sobre distribuciones normales. Incluye 4 ejercicios resueltos sobre temas como distribuciones normales estándar, aplicaciones de distribuciones normales, distribuciones muestrales y estimadores, y el teorema del límite central. El documento proporciona contexto estadístico y soluciones a los ejercicios planteados como parte de una tarea universitaria de estadística inferencial.
Este documento presenta un ejercicio práctico sobre la distribución de Poisson. Se supone que el 9% de los computadores de una institución presentan fallas antes de un año. Se seleccionaron aleatoriamente 100 computadores y se calcula la probabilidad de que al menos 12 computadores presenten fallas usando la distribución de Poisson con λ = 9.
Ejercicios de distribucion binomial y de poison: STAT FIT DE PROMODELlucysan
Este documento presenta 4 ejercicios que involucran distribuciones binomiales y de Poisson. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que 10 acciones aumenten de valor dado que el 70% generalmente lo hacen. El segundo calcula la probabilidad de que más de 10 personas realicen transacciones en una hora dada una tasa promedio de 5 personas por hora. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de obtener 2 caras en 6 tiradas de una moneda. Y el cuarto calcula la probabilidad de que 2 de 10 herramientas sean defectuosas dado un 10% de
Solucionario de estadistica inferencialAlbert Rojas
Este documento presenta un solucionario de estadística para la administración de una universidad privada en Tacna, Perú. Incluye problemas resueltos sobre pruebas estadísticas como la prueba Z, t de Student y intervalos de confianza. El solucionario fue elaborado por estudiantes de la carrera de ciencias administrativas y revisado por un asesor. Contiene más de 10 problemas con sus respectivas soluciones.
El documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad numérica de que ocurra un evento. También describe los modelos de probabilidad como el de frecuencia relativa, subjetivo y clásico. Además, define conceptos como uniones, intersecciones y eventos independientes. Finalmente, presenta técnicas de conteo como permutaciones y combinaciones.
La distribución de Poisson describe eventos aleatorios donde la probabilidad de que ocurra un evento es pequeña pero el número total de intentos es grande. Se usa para modelar procesos como llamadas telefónicas, llegada de pacientes a hospitales, accidentes viales, y defectos en productos. La distribución depende de un parámetro λ que representa el número promedio de eventos. La probabilidad de x eventos es P(x|λ) = λx e-λ/x!.
La distribución binomial describe experimentos con dos posibles resultados (éxito o fracaso) que se repiten un número fijo de veces (n). La probabilidad de éxito es la misma para cada repetición y las repeticiones son independientes. La distribución binomial se caracteriza por el número de repeticiones n, el número de éxitos x, y la probabilidad de éxito p en cada repetición. Se usa para modelar muchos fenómenos del mundo real como encuestas de opinión o pruebas clínicas.
Este documento presenta ejercicios de probabilidad sobre distribuciones discretas. En el primer ejercicio, se calcula la probabilidad de que menos de 6 personas tengan que repetir un curso de entrenamiento (98.5%), la probabilidad de que exactamente 10 personas aprueben el curso (1.67%), y la probabilidad de que más de 12 personas aprueben el curso (73.46%). El segundo ejercicio calcula el tiempo promedio para que fallen 3 computadoras en un avión (6,000 horas) y la probabilidad de que fallen en un vuelo de 5 horas (1.249
Este documento presenta 17 ejercicios de estadística sobre distribuciones muestrales. Los ejercicios cubren conceptos como distribución muestral, error estándar, teorema del límite central y probabilidades asociadas a diferentes distribuciones y tamaños de muestra. Los ejercicios piden calcular valores estadísticos e interpretar resultados para diferentes conjuntos de datos.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento proporciona información sobre el sistema financiero mexicano y la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. Explica brevemente la evolución histórica del sistema financiero mexicano desde 1775 hasta la actualidad, incluyendo hitos como la creación del primer banco en 1825 y la nacionalización de la banca en 1982. También define el sistema financiero mexicano y describe las funciones y dependencias clave como la Secretaría de Hacienda y el Banco de México.
Este documento presenta diferentes métodos de proyección como mínimos cuadrados, subjetivos y causales. Explica que los mínimos cuadrados intentan encontrar la función que mejor se ajusta a los datos históricos minimizando el error cuadrático. También describe la forma general de la ecuación de regresión lineal y cómo calcular la pendiente y el punto de intersección con el eje Y usando estos métodos.
Este documento presenta 20 ejercicios de estadística sobre probabilidad bajo curva normal estándar. Los ejercicios involucran calcular probabilidades utilizando distribuciones normales estándares, donde se proporcionan los valores de la media y la desviación estándar. El documento también presenta ejercicios sobre probabilidad estándar, cuartiles, varianza y desviación estándar, y coeficiente de variación.
Este documento presenta 21 problemas estadísticos relacionados con distribuciones de probabilidad normales y uniformes. Los problemas cubren conceptos como probabilidades, z-scores, distribución de Poisson y más. El objetivo es calcular diferentes probabilidades basadas en datos proporcionados sobre variables aleatorias con diferentes distribuciones de probabilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral que representa todos los resultados posibles y que un evento es un subconjunto particular de dicho espacio muestral. También describe relaciones entre eventos como la unión, intersección y complemento, y métodos para asignar probabilidades como el axiomático, clásico y frecuencial.
Este documento presenta ejercicios sobre probabilidad y estadística. Incluye preguntas sobre clasificación de variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valores esperados y varianzas. También contiene ejemplos prácticos sobre probabilidades binomiales y cómo aplicar conceptos estadísticos a situaciones reales.
Este documento trata sobre la teoría de Bayes en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Explica conceptos como probabilidad a priori, probabilidad a posteriori, y el teorema de Bayes. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo se pueden calcular las probabilidades a posteriori a partir de las probabilidades a priori usando el teorema de Bayes luego de realizar una experimentación.
El documento presenta una introducción sobre el sistema financiero colombiano y su crecimiento económico positivo. Luego, describe los objetivos de analizar qué es el sistema financiero en general y específicamente en Colombia, incluyendo sus entes reguladores como el Banco de la República y la Superintendencia Financiera de Colombia, así como establecimientos de crédito y sociedades financieras que lo conforman. Finalmente, analiza la situación actual del sistema financiero colombiano y su comparación con otros países.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos básicos para realizar pruebas de hipótesis estadísticas. Explica los cinco pasos para probar una hipótesis, incluyendo plantear las hipótesis nula y alternativa, seleccionar un nivel de significación, identificar el valor estadístico de prueba, formular una regla de decisión y tomar una muestra para llegar a una conclusión. También cubre temas como pruebas de una y dos colas, pruebas para medias y proporciones poblacional
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que ocurra un evento en particular o a su frecuencia relativa. Luego describe los tres enfoques para determinar la probabilidad: clásico a priori, clásico empírico y subjetivo. Finalmente, introduce conceptos como sucesos, operaciones con eventos como la multiplicación y la probabilidad condicional.
1) Se explican los conceptos de estimación puntual e intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.
2) Existen dos tipos principales de estimación de intervalos de confianza: para la media poblacional y para la proporción poblacional.
3) La construcción de un intervalo de confianza depende de si se conoce o no la desviación estándar poblacional, utilizando distribuciones Z o T, respectivamente.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
El documento proporciona información sobre la amortización financiera. Explica que la amortización es el reembolso gradual de una deuda a través de pagos periódicos. Describe los tipos principales de amortización, incluida la cuota constante, creciente, decreciente y fija. También incluye fórmulas para calcular las cuotas y ejemplos de tablas de amortización.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad discreta y continua. Introduce las distribuciones de Bernoulli, binomial y Poisson, definiendo sus características y cómo calcular probabilidades usando fórmulas y tablas. También explica cómo aproximar una distribución binomial a través de Poisson cuando n es grande y p es pequeña.
Este documento presenta los resultados de 20 corridas de prueba realizadas para medir el consumo de gasolina en millas por galón de un automóvil mediano en avenidas urbanas. Se proporcionan los rangos de millas por galón obtenidos y se pide calcular la media y desviación estándar de los resultados.
Este documento describe varios tipos de distribuciones de probabilidad como la distribución de Poisson, hipergeométrica y binomial. La distribución de Poisson fue desarrollada por Simeón Denis Poisson en 1834 y modela el número de eventos raros que ocurren en un período de tiempo, distancia o espacio. La distribución binomial se aplica a experimentos de Bernoulli y describe datos discretos como el número de consumidores que favorecen un producto en una muestra pequeña. La distribución hipergeométrica es apropiada para procesos donde se selecciona una
Este documento describe los conceptos básicos de las pruebas de hipótesis estadísticas. Explica que una hipótesis estadística es una proposición sobre un parámetro poblacional que se analiza con base en evidencia de una muestra. Luego detalla diferentes tipos de pruebas paramétricas y no paramétricas. Finalmente, presenta los pasos para realizar una prueba de hipótesis, incluyendo establecer hipótesis nula y alternativa, determinar una estadística de prueba y tomar una decis
Este documento presenta 42 problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. Los problemas cubren temas como reglas fundamentales de probabilidad, distribuciones de probabilidad, esperanza matemática, permutaciones, combinaciones, la distribución binomial y problemas diversos. El objetivo es que sirva como ejercicios de práctica para los estudiantes de probabilidad y estadística.
Quien quiere ser millonario probabilidad estadísticaLuisa Arias
Este documento presenta las reglas y preguntas de un juego de probabilidad donde el participante puede ganar premios en efectivo respondiendo correctamente. El juego consiste en 15 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de probabilidad, con montos crecientes de dinero como premio para cada respuesta correcta.
Este documento presenta ejercicios de probabilidad sobre distribuciones discretas. En el primer ejercicio, se calcula la probabilidad de que menos de 6 personas tengan que repetir un curso de entrenamiento (98.5%), la probabilidad de que exactamente 10 personas aprueben el curso (1.67%), y la probabilidad de que más de 12 personas aprueben el curso (73.46%). El segundo ejercicio calcula el tiempo promedio para que fallen 3 computadoras en un avión (6,000 horas) y la probabilidad de que fallen en un vuelo de 5 horas (1.249
Este documento presenta 17 ejercicios de estadística sobre distribuciones muestrales. Los ejercicios cubren conceptos como distribución muestral, error estándar, teorema del límite central y probabilidades asociadas a diferentes distribuciones y tamaños de muestra. Los ejercicios piden calcular valores estadísticos e interpretar resultados para diferentes conjuntos de datos.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento proporciona información sobre el sistema financiero mexicano y la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. Explica brevemente la evolución histórica del sistema financiero mexicano desde 1775 hasta la actualidad, incluyendo hitos como la creación del primer banco en 1825 y la nacionalización de la banca en 1982. También define el sistema financiero mexicano y describe las funciones y dependencias clave como la Secretaría de Hacienda y el Banco de México.
Este documento presenta diferentes métodos de proyección como mínimos cuadrados, subjetivos y causales. Explica que los mínimos cuadrados intentan encontrar la función que mejor se ajusta a los datos históricos minimizando el error cuadrático. También describe la forma general de la ecuación de regresión lineal y cómo calcular la pendiente y el punto de intersección con el eje Y usando estos métodos.
Este documento presenta 20 ejercicios de estadística sobre probabilidad bajo curva normal estándar. Los ejercicios involucran calcular probabilidades utilizando distribuciones normales estándares, donde se proporcionan los valores de la media y la desviación estándar. El documento también presenta ejercicios sobre probabilidad estándar, cuartiles, varianza y desviación estándar, y coeficiente de variación.
Este documento presenta 21 problemas estadísticos relacionados con distribuciones de probabilidad normales y uniformes. Los problemas cubren conceptos como probabilidades, z-scores, distribución de Poisson y más. El objetivo es calcular diferentes probabilidades basadas en datos proporcionados sobre variables aleatorias con diferentes distribuciones de probabilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad. Explica que un experimento aleatorio tiene un espacio muestral que representa todos los resultados posibles y que un evento es un subconjunto particular de dicho espacio muestral. También describe relaciones entre eventos como la unión, intersección y complemento, y métodos para asignar probabilidades como el axiomático, clásico y frecuencial.
Este documento presenta ejercicios sobre probabilidad y estadística. Incluye preguntas sobre clasificación de variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valores esperados y varianzas. También contiene ejemplos prácticos sobre probabilidades binomiales y cómo aplicar conceptos estadísticos a situaciones reales.
Este documento trata sobre la teoría de Bayes en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Explica conceptos como probabilidad a priori, probabilidad a posteriori, y el teorema de Bayes. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo se pueden calcular las probabilidades a posteriori a partir de las probabilidades a priori usando el teorema de Bayes luego de realizar una experimentación.
El documento presenta una introducción sobre el sistema financiero colombiano y su crecimiento económico positivo. Luego, describe los objetivos de analizar qué es el sistema financiero en general y específicamente en Colombia, incluyendo sus entes reguladores como el Banco de la República y la Superintendencia Financiera de Colombia, así como establecimientos de crédito y sociedades financieras que lo conforman. Finalmente, analiza la situación actual del sistema financiero colombiano y su comparación con otros países.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos básicos para realizar pruebas de hipótesis estadísticas. Explica los cinco pasos para probar una hipótesis, incluyendo plantear las hipótesis nula y alternativa, seleccionar un nivel de significación, identificar el valor estadístico de prueba, formular una regla de decisión y tomar una muestra para llegar a una conclusión. También cubre temas como pruebas de una y dos colas, pruebas para medias y proporciones poblacional
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que ocurra un evento en particular o a su frecuencia relativa. Luego describe los tres enfoques para determinar la probabilidad: clásico a priori, clásico empírico y subjetivo. Finalmente, introduce conceptos como sucesos, operaciones con eventos como la multiplicación y la probabilidad condicional.
1) Se explican los conceptos de estimación puntual e intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.
2) Existen dos tipos principales de estimación de intervalos de confianza: para la media poblacional y para la proporción poblacional.
3) La construcción de un intervalo de confianza depende de si se conoce o no la desviación estándar poblacional, utilizando distribuciones Z o T, respectivamente.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
El documento proporciona información sobre la amortización financiera. Explica que la amortización es el reembolso gradual de una deuda a través de pagos periódicos. Describe los tipos principales de amortización, incluida la cuota constante, creciente, decreciente y fija. También incluye fórmulas para calcular las cuotas y ejemplos de tablas de amortización.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad discreta y continua. Introduce las distribuciones de Bernoulli, binomial y Poisson, definiendo sus características y cómo calcular probabilidades usando fórmulas y tablas. También explica cómo aproximar una distribución binomial a través de Poisson cuando n es grande y p es pequeña.
Este documento presenta los resultados de 20 corridas de prueba realizadas para medir el consumo de gasolina en millas por galón de un automóvil mediano en avenidas urbanas. Se proporcionan los rangos de millas por galón obtenidos y se pide calcular la media y desviación estándar de los resultados.
Este documento describe varios tipos de distribuciones de probabilidad como la distribución de Poisson, hipergeométrica y binomial. La distribución de Poisson fue desarrollada por Simeón Denis Poisson en 1834 y modela el número de eventos raros que ocurren en un período de tiempo, distancia o espacio. La distribución binomial se aplica a experimentos de Bernoulli y describe datos discretos como el número de consumidores que favorecen un producto en una muestra pequeña. La distribución hipergeométrica es apropiada para procesos donde se selecciona una
Este documento describe los conceptos básicos de las pruebas de hipótesis estadísticas. Explica que una hipótesis estadística es una proposición sobre un parámetro poblacional que se analiza con base en evidencia de una muestra. Luego detalla diferentes tipos de pruebas paramétricas y no paramétricas. Finalmente, presenta los pasos para realizar una prueba de hipótesis, incluyendo establecer hipótesis nula y alternativa, determinar una estadística de prueba y tomar una decis
Este documento presenta 42 problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. Los problemas cubren temas como reglas fundamentales de probabilidad, distribuciones de probabilidad, esperanza matemática, permutaciones, combinaciones, la distribución binomial y problemas diversos. El objetivo es que sirva como ejercicios de práctica para los estudiantes de probabilidad y estadística.
Quien quiere ser millonario probabilidad estadísticaLuisa Arias
Este documento presenta las reglas y preguntas de un juego de probabilidad donde el participante puede ganar premios en efectivo respondiendo correctamente. El juego consiste en 15 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de probabilidad, con montos crecientes de dinero como premio para cada respuesta correcta.
1. El documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, eventos, probabilidad simple, condicionada y conjunta al lanzar dados, sacar cartas o extraer bolas de urnas.
2. El último ejercicio calcula la probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso considerando la probabilidad independiente de falla de cada uno de sus 3 componentes.
3. Se concluye que la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso es de 12.682
El documento presenta 4 ejemplos de problemas de probabilidad. El primer ejemplo involucra 3 máquinas y sus probabilidades de producir piezas defectuosas. El segundo ejemplo trata sobre 3 urnas con bolas de colores diferentes. El tercer ejemplo calcula la probabilidad de que un empleado directivo sea ingeniero. El cuarto ejemplo calcula la probabilidad de que no haya habido ningún incidente dado que sonó la alarma. Se proveen soluciones detalladas a cada uno utilizando diagramas de árbol y el teorema de Bayes. Adicionalmente, se
Este documento presenta una recopilación de ejercicios de probabilidad clásica extraídos de publicaciones para la PSU chilena, junto con sus soluciones. El autor, Guillermo Corbacho C., explica los ejercicios divididos en once secciones temáticas como probabilidad de eventos simples, probabilidad porcentual, probabilidad de uniones y eventos independientes, entre otros. El objetivo es proveer material de consulta para estudiantes y profesores sobre este tema.
Este documento presenta el acuerdo pedagógico para el curso de Probabilidad en la Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería. El documento detalla los objetivos del curso, la metodología, los contenidos organizados en unidades y temas, el cronograma de tutorías presenciales y la evaluación. El curso busca que los estudiantes comprendan los principios y aplicaciones de la probabilidad a través de 70 horas de estudio individual y 26 horas de acompañamiento tutorial.
Este documento presenta los pasos para redactar y presentar reportes de manera efectiva. Explica que el proceso involucra las fases de definición, análisis, diseño, redacción y revisión. Detalla cada fase y proporciona consejos sobre cómo determinar el contenido, estructurar la información, aplicar reglas de redacción y utilizar elementos como mapas mentales, tipos de reportes, apéndices y gráficas.
Este documento presenta ejercicios y problemas de probabilidad y el teorema de Bayes. Incluye ejercicios sobre lanzar dados, sacar bolas de urnas y cartas de una baraja. También presenta problemas para aplicar el teorema de Bayes y analizar una política de crédito basada en la probabilidad de que clientes que se demoran en pagos no cancelen sus deudas.
Este documento presenta un estudio de caso sobre probabilidad que involucra calcular la probabilidad de que la estatura de un hombre chino sea menor o igual a 154 cm, basado en suposiciones sobre la distribución de estaturas en China. El autor realiza cálculos utilizando una distribución normal asumiendo valores como la media y desviación estándar, pero sus resultados no concuerdan con las probabilidades originales, lo que sugiere errores en sus suposiciones.
Este documento presenta el contenido didáctico del curso de Probabilidad de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de Colombia. Explica que la probabilidad permite estudiar eventos aleatorios de manera sistemática y útil para diferentes disciplinas. El curso se compone de dos unidades que cubren los principios básicos de probabilidad y variables aleatorias discretas y continuas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a reconocer y modelar fenómenos aleatorios relevantes para sus áreas de especialización.
Este documento presenta el módulo de administración financiera. Explica que el módulo provee una guía ordenada de los temas del programa para adquirir conocimientos teóricos y prácticos. También describe los objetivos generales y específicos del módulo, los ejes temáticos que cubre, y la bibliografía recomendada.
El ensayo es un género literario que permite al autor explorar un tema con profundidad y flexibilidad. El ensayo presenta una interpretación personal del autor sobre un tema de manera argumentativa. Este género literario puede desarrollar un tema completo o parte de él.
Este documento proporciona información sobre un nuevo concepto de tiempos compartidos que una cadena hotelera desea implementar para aumentar sus tasas de ocupación. El documento incluye detalles sobre las opciones de membresía, supuestos de proyección y datos históricos sobre el número de familias que se han hospedado en los hoteles. Se pide determinar en qué dos plazas se debería empezar el nuevo concepto para garantizar la recuperación de la inversión inicial en cinco años.
Teorema de bayes, probabilidad total & probabilidad condicional Cynthiia Ot
Este documento explica los conceptos de probabilidad total, probabilidad condicional y el teorema de Bayes. La probabilidad total permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionales. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado otro evento. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de un evento dado evidencia de otro evento. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Presentación de Elaboración Reporte de Investigaciónericupr
Este documento describe los elementos básicos de un reporte de investigación académico y no académico. Explica que un reporte académico incluye una portada, índice, resumen, introducción, marco teórico, métodos, resultados, conclusiones y bibliografía. Un reporte no académico contiene los mismos elementos pero de forma más breve y accesible. También discute la importancia de presentar los resultados de acuerdo a las necesidades del usuario y el contexto académico o no académico
Ejercicios resueltos de cálculo de probabilidadesMaría BF
El documento presenta 7 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, se pide describir el espacio muestral de 4 experimentos aleatorios como lanzar monedas y dados, sacar bolas de una urna, y el tiempo de lluvia en 3 días. Los ejercicios 2 al 7 calculan probabilidades de diferentes sucesos como sacar números primos o cuadrados de una urna, sacar cartas de una baraja, resultados de lanzar dados, y más.
Este documento proporciona lineamientos para la entrega de informes escritos. Explica que un informe debe tener un propósito claro como informar, describir o recomendar. También debe enfocarse en un tema específico. Los informes deben seguir una estructura que incluye una introducción, desarrollo del tema y conclusión. Además, ofrece detalles sobre el formato, contenido y elementos requeridos en un informe escrito como fotografías y portada.
El documento describe diferentes tipos de reportes que los estudiantes deben preparar durante un proyecto de diseño. Explica que los reportes de avance son importantes para mostrar el progreso hacia las metas y conclusiones del proyecto, y que la calidad profesional de estos reportes afectará si el proyecto continúa o no. También discute preguntas que los autores de reportes deben hacerse para asegurar que el reporte comunica la información de manera efectiva y apropiada para la audiencia.
Este documento presenta la información preliminar de un módulo de aprendizaje sobre probabilidad y estadística 2 para el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora. Incluye los datos de publicación, autores, y organización del módulo en tres bloques con diferentes secuencias didácticas para abordar conceptos como cálculo de probabilidades, conteo, teoría combinatoria, probabilidad condicional y distribuciones de probabilidad.
Este documento resume los dos tipos principales de textos: textos literarios y no literarios. Los textos literarios incluyen cuentos, fábulas, leyendas y poesías y sirven para entretener y expresar sentimientos a través de personajes reales o fantásticos. Los textos no literarios proporcionan instrucciones e información basada en hechos sobre temas como recetas, boletas, diccionarios y señales de tránsito.
1) La teoría de la probabilidad tuvo su origen en los juegos de azar en el siglo XVII. Posteriormente, matemáticos como Jacob Bernoulli y Thomas Bayes desarrollaron técnicas para el cálculo de probabilidad. En el siglo XIX, Simón Laplace unificó la primera teoría general de probabilidad.
2) Existen tres enfoques para definir la probabilidad: clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. La probabilidad clásica se basa en resultados favorables sobre totales posibles. La de frecuencia relativa relaciona
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Explica los tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad: el enfoque clásico, el enfoque de frecuencia relativa y el enfoque subjetivo. También define conceptos clave como espacio muestral, evento, probabilidad, eventos mutuamente excluyentes, eventos complementarios, reglas de adición y multiplicación, y eventos independientes y dependientes.
Este documento define la probabilidad y ofrece una breve historia de su desarrollo. Explica los elementos básicos de la teoría de probabilidad como eventos, experimentos y espacio muestral. También describe las reglas de probabilidad como la adición, multiplicación y probabilidad condicional. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Este documento resume tres enfoques para definir la probabilidad: el enfoque clásico que se basa en resultados igualmente posibles, el enfoque de frecuencia relativa que se basa en observaciones, y el enfoque subjetivo que se basa en el grado de creencia de un individuo. También explica conceptos como eventos mutuamente excluyentes, reglas de adición y multiplicación, y distribuciones de probabilidad como la normal y exponencial. El objetivo es estudiar valores de probabilidad comunes y su aplicación.
Este documento presenta información sobre probabilidades y su aplicación en la vida diaria. Brevemente describe conceptos clave como espacio muestral, eventos, probabilidades matemáticas y experimentales, y el teorema de Bayes. También ofrece ejemplos de cómo las personas usan probabilidades en deportes, juegos, seguros, pronósticos del tiempo y más. Finalmente, incluye ejercicios para aplicar estos conceptos.
(1) El documento introduce el concepto de probabilidad y explica que esta se expresa como fracciones o decimales entre 0 y 1. (2) Define los conceptos de evento, experimento y espacio muestral. (3) Explica que existen tres tipos de probabilidad: clásica, de frecuencia relativa y subjetiva.
Este documento trata sobre conceptos básicos de probabilidad. Explica que los fenómenos pueden ser deterministas u aleatorios. Los fenómenos deterministas tienen un resultado conocido de antemano, mientras que los aleatorios tienen múltiples resultados posibles. También describe formas de calcular probabilidades empíricas a partir de resultados experimentales y probabilidades clásicas considerando que todos los resultados son igualmente posibles.
El documento presenta conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, eventos, probabilidad simple y conjunta. Explica que la probabilidad representa la posibilidad de que ocurra un evento y puede calcularse de forma clásica, empírica o subjetiva. También proporciona ejemplos como el lanzamiento de un dado o la selección aleatoria de fichas de colores para ilustrar cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la probabilidad. Define conceptos básicos como sucesos, espacio muestral, probabilidad discreta y continua, y distribuciones de probabilidad. Explica que la teoría de la probabilidad estudia fenómenos aleatorios cuantificando los resultados posibles de experimentos. También resume definiciones clásicas y axiomáticas de la probabilidad, así como propiedades de la unión de sucesos.
La teoría de la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y asigna valores numéricos a los resultados posibles de experimentos. Existen tres enfoques para definir la probabilidad: el clásico, el de frecuencia relativa y el subjetivo. La probabilidad mide la frecuencia de ocurrencia de un evento y puede tomar valores entre 0 e 1. La teoría se utiliza ampliamente en estadística, física y otras áreas.
Este documento presenta una introducción a la probabilidad. Explica que la probabilidad surgió del deseo humano de predecir eventos futuros e inciertos y cómo se ha desarrollado históricamente, con figuras como Cardano y Galileo contribuyendo a su estudio. Luego define conceptos básicos como espacio muestral, sucesos elementales, compatibles e independientes. Finalmente, resume la importancia de la probabilidad para sacar conclusiones sobre sistemas complejos en diversas áreas como estadística, física y economía.
La probabilidad trata de medir el azar y la incertidumbre mediante números. La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1, donde 0 es imposible y 1 es seguro. Cuando se repite un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa del suceso se acerca a su probabilidad según la ley de los grandes números. La combinatoria cuenta las formas de agrupar objetos siguiendo reglas, como el número de botellas en varios botelleros apilados que se calcula multiplicando las opciones en cada componente.
Este documento introduce los conceptos básicos de la probabilidad. Explica que la probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Los valores de probabilidad van de 0 a 1, donde valores cercanos a 0 indican baja posibilidad y valores cercanos a 1 alta posibilidad. Luego, describe los tres enfoques para clasificar la probabilidad: probabilidad clásica, probabilidad de frecuencia relativa y probabilidad subjetiva.
La teoría de la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y asigna números a los posibles resultados de experimentos para cuantificar su probabilidad de ocurrencia. Existen dos enfoques para calcular la probabilidad: el clásico, que asume resultados igualmente posibles, y el de frecuencia relativa, que se basa en observaciones. La regla de adición expresa la probabilidad de que ocurran uno o más eventos de forma mutuamente excluyente o no. La teoría de probabilidad se usa ampliamente en estadística, ciencia y filos
La teoría de la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y asigna números a los posibles resultados de experimentos para cuantificar su probabilidad de ocurrencia. Existen dos enfoques para calcular la probabilidad: el clásico, que asume resultados igualmente posibles, y el de frecuencia relativa, que se basa en observaciones. La regla de adición expresa la probabilidad de que ocurran uno o más eventos de forma mutuamente excluyente o no. La teoría de probabilidad se usa ampliamente en estadística, ciencia y filos
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la probabilidad, incluyendo definiciones de sucesos, espacio muestral, reglas de probabilidad como los axiomas y teoremas de probabilidad total y Bayes. Explica que la probabilidad surgió del estudio de los juegos de azar y ahora se usa en muchas áreas para predecir eventos futuros. Finalmente, enfatiza la importancia de la probabilidad para la planificación estratégica en diferentes campos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad elemental, incluyendo probabilidad subjetiva, frecuencial, clásica y axiomática. Explica cómo calcular la probabilidad de eventos que involucran lanzar monedas y dados. Finalmente, pide al lector que complete actividades prácticas para calcular probabilidades y compare los resultados de los cálculos subjetivos, frecuenciales y clásicos.
Probabilidad Básica. Guía de estudio- versión 2017Zoraida Pérez S.
Este documento es una guía de estudio sobre probabilidad de la Universidad Nacional Experimental de Guayana. Explica conceptos básicos como experimento aleatorio, resultado, evento y espacio muestral. Luego presenta tres enfoques para asignar probabilidades: clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para practicar los conceptos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Explica que existen dos tipos de fenómenos: determinísticos y probabilísticos. Luego, aborda los orígenes de la probabilidad en los juegos de azar y menciona a algunos precursores históricos. Finalmente, resume las tres interpretaciones de la probabilidad: objetivista clásica, objetivista frecuencial y subjetivista; y presenta los axiomas de Kolmogorov que fundamentan la teoría matemática de la probabilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad, incluyendo experimentos, eventos, espacio muestral, y los tres tipos de probabilidad: clásica, frecuencia relativa y subjetiva. Explica operaciones con conjuntos como complemento, intersección y unión de eventos, y reglas básicas como adición, multiplicación y probabilidad del evento y su complemento. El objetivo es proporcionar una introducción general a los fundamentos de la teoría de la probabilidad.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
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Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
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Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
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Probabilidades unidad 1
1. 1
ESTUDIO DE CONCEPTOS PROBABILÌSTISCOS
1. ALGO DE HISTORIA Y RELEVANCIA DE LA TERORÌA DE LA PROBABILIDAD
1.1. Algo de historia
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise
Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar, es
decir la probabilidad tuvo su origen en los juegos de azar.
Mas tarde, Jacob Bernoulli (1654 – 1705), Abraham de Moivre (1667 – 1754), el
reverendo Thomas Bayes (1702 – 1771) y Joseph Lagrange ( 1736 – 1813),
desarrollaron técnicas y fórmulas para el cálculo de probabilidad.
En el siglo XIX, Pierre Simón, marqués (1749 – 1827), unificó y compiló la primera
teoría general de probabilidad
1.2. Relevancia de la Probabilidad
El ser humano constantemente toma decisiones, sean de carácter personal o en el
ámbito laboral, donde muchas de estas están sujetas a incertidumbres, es decir no
se tiene la certeza de que ocurrirá o no ocurrirá tal o cual suceso de su interés, sin
embargo debe tomarse la decisión de actuar o no actuar, de realizar o no realizar
determinada acción, actividad, evento, previsión, etc. Lógicamente previo a la toma
de decisión debe realizar un análisis a profundidad de los diferentes aspectos que
están en el entorno del objeto de estudio y que directa o indirectamente influyen en el
mismo.
Realizado esto, la toma decisión está sujeta a una medida entre 0 y 1 inclusive,
medida que se relaciona con la teoría de probabilidades, que señala que el suceso o
evento tiene una alta, media o nula posibilidad de que el suceso o evento ocurra o no
ocurra.
A fin de consolidar este criterio, consideremos el caso de una persona que toma la
decisión de salir de su casa, con o sin paraguas, hace un análisis del entorno, mira
las nubes, si estas están muy obscuras considera que hay una probabilidad de lluvia,
si desea poner un valor puede decir que la probabilidad de lluvia es 0,9; decisión, sale
con paraguas.
En la actualidad la teoría de la probabilidad se usa ampliamente en áreas como, la
física, la estadística, la matemática, y en estudios de investigaciones sociales, donde
las variables son aleatorias; por lo tanto, se puede señalar que la probabilidad es una
rama de la matemática que estudia, analiza y determina experimentos aleatorios,
(los resultados de un experimento no dependen de la voluntad del hombre sino de la
suerte o del azar)
2. 2
Ejemplo: en el lanzamiento de una moneda no cargada, el resultado de que sea cruz
o sello no depende de la voluntad de quien lanza la moneda, depende del azar
Hay que notar que la probabilidad está relacionada con eventos que sucederán en el
futuro, por lo que la probabilidad se desarrolla por el deseo del hombre de conocer
con certeza lo que sucederá en el futuro.
Estos antecedentes, entre otros existentes, determinan la relevancia del estudio de la
teoría de probabilidades.
2. CONCEPTOS BASICOS
2.1. Probabilidad.- Es la medida de la posibilidad de que ocurra un suceso en el
futuro;
Al decir medida, se refiere a que se le atribuye un número (valor) al suceso
observado, este número se asigna en una escala de 0 a 1, incluido el 0 y el 1, esto
es: 0 ≤ p ≤ 1.
2.2. Interpretaciones de probabilidad según su valor
0 ---------- 0,5 ---------- 1
Si el valor de la probabilidad es cero, significa que es difícil o improbable que el
suceso ocurra
Si el valor de la probabilidad es uno, significa que es casi seguro que el suceso
ocurra
Si el valor de la probabilidad es 0,5 significa que el suceso puede o no ocurrir
Valores cercanos a cero es más improbable de que ocurra el suceso
Valores cercanos a uno es más probable de que ocurra el suceso
2.3. Formas de expresar la probabilidad.- Las probabilidades se expresan como un
número decimal o fracción (0,7; 7/10)
Ejemplos:
SUCESO PROBABILIDAD
Que el periodo lectivo, abril - agosto de 2015, concluya en junio de
2015
0
Que apruebe el semestre 0,7
Que la clase de estadística concluya a las 09H00 (programada de
07H00 a 09H00)
1
Al lanzar una moneda, esta caiga en cara 1/2
3. 3
2.4. Terminología básica en el estudio de probabilidades
En la teoría de la probabilidad con frecuencia se usa los términos, experimento y
evento
Evento.- Es uno o más de los posibles resultados de hacer lago; así tenemos que en
el lanzamiento de una moneda si cae cruz es un evento y si cae cara es otro evento.
La actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.
Experimento. Es el procedimiento que genera valores bien definidos, o también es la
acción de medir u observar algo.
Ejemplo:
EXPERIMENTO RESULTADOS POSIBLES
DEL EXPERIMENTO
EVENTO
Lanzar una moneda Cara, sello Cara
Inspeccionar un objeto
fabricado
Defectuoso, no defectuoso Defectuoso
Ventas por teléfono Compra, no compra No compra
Lanzar un dado 1,2,3,4,5,6, 3
Jugar un partido de futbol Ganar, perder, empatar Empate
Espacio muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es: S={cara, cruz}
Punto muestral.- Son cada uno de los elementos del espacio muestral
Eventos mutuamente excluyentes.- Se dice que los eventos son mutuamente
excluyentes si uno y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo o en otras
palabras la ocurrencia de un evento implica que otro no puede darse al mismo tiempo
Ejemplo: el lanzamiento de una moneda tiene dos eventos posibles, cara y cruz, si
cayó cara no puede al mismo tiempo salir cruz o viceversa, entonces se dice que los
eventos son mutuamente excluyentes.
Colectivamente exaustivo.- Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden
resultad de un experimento se dice que la lista es colectivamente exhaustiva, en el
lanzamiento de la moneda la lista cara y cruz es colectivamente exhaustiva.
3. TRES TIPOS DE PROBABILIDAD
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad
El planteamiento clásico
El planteamiento de frecuencia relativa
El planteamiento subjetivo
4. 4
3.1. Planteamiento clásico
El planteamiento clásico define la probabilidad como:
Probabilidad de un evento=
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo.
En el Lanzamiento de un dado, se desea que salga el 4
Datos
Número de resultados favorables = 1
Número de resultados posibles= 6
Probabilidad del evento
P =
1
6
La probabilidad clásica también se le conoce como probabilidad a priori, debido a que
nuestras conclusiones se basan en un razonamiento lógico antes de realizar el
experimento, por cuanto los eventos son previsibles; siendo estos los casos cuando
se trata de monedas, dado y barajas.
Por ejemplo
Antes de realizar el lanzamiento de un dado se sabe que la probabilidad de que caiga
tres es 1/6
Antes de realizar el lanzamiento de una moneda se sabe que la probabilidad de caiga
cara es 1/2
La probabilidad de que en una extracción de la baraja la probabilidad de que salga un
as es 4/52
En todos estos ejemplos hemos podido señalar la probabilidad sin realizar el
experimento, por esta razón la probabilidad clásica se conoce como probabilidad a
priori.
3.2. Planteamiento de frecuencia relativa
Define la probabilidad de un evento, relacionando datos que ya ocurrieron en el
pasado, o con el total de datos observados, los datos del pasado son parte del
conjunto de datos observados, o también relacionando una cantidad de datos
(muestra) con el total observado (población), la muestra se obtiene de la misma
población
Probabilidad de un evento=
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒆𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔
5. 5
Ejemplo:
Supóngase que se desea determinar si los graduados de la Carrera de Contabilidad y
Auditoría, están realizando actividades conforme su preparación. Para el efecto se
realiza una encuesta a 840 graduados, de los cuales 375 no están desempeñando las
funciones conforme su perfil profesional, se desea saber: ¿Cuál es la probabilidad de
que el próximo encuestado esté realizando actividades distintas a la de su formación?
Análisis: los 840 encuestados son la población y los 375 son la muestra, observe que
los 375 se obtiene de los 840
Datos:
Total de encuestados u observados = 840
Total de graduados con actividades distintas a las de su formación = 375
Probabilidad del evento =
𝟑𝟕𝟓
𝟖𝟒𝟎
= 0,45
Significa: la probabilidad de que el próximo encuestado no esté realizando actividades
conforme su preparación es 0,45
3.3. Planteamiento subjetivo
Es la probabilidad asignada por una persona que conoce el asunto, basado en los
datos que dispone, es decir es la probabilidad otorgada por una persona con alguna
experiencia en el tema que se trata.
Por ejemplo: Una persona que conoce estadísticamente, los triunfos, derrotas y
empates que ha tenido la selección de futbol del Ecuador, dirá que la probabilidad de
que el Ecuador gane en el próximo encuentro es 0,90
4. ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Se refiere a la regla de la suma y regla de la multiplicación, son aplicables en los casos
en los que se tiene dos o más eventos. Como por ejemplo el evento A y el evento B.
4.1. Reglas de la suma
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A o del
evento B o de ambos, observe el símbolo “o” este corresponde a la regla de la suma
Tiene dos formas
a) cuando los eventos son mutuamente excluyentes,
b) cuando los eventos no son mutuamente excluyentes
6. 6
4.1.1. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes
Se usa la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante el lanzamiento de un dado no
cargado, yo gano la apuesta si el dado cae en 2 o 4, deseo saber ¿Cuál es
probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga 2 y sea B el evento que salga 4, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/6
La probabilidad de que salga B es 1/6
Entonces la probabilidad de que salga el 2 o el 4 en un lanzamiento del dado es:
P(A o B) = P(A) + P(B) → P(A o B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.= 0,33 = 33%
El 33% significa que si lanzo el dado 100 veces, en 33 de estos lanzamientos
posiblemente salga el 2 o el 4
4.1.2. Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad conjunta, y es la
probabilidad de que el evento A y el evento B ocurran simultáneamente.
Se hace uso de la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante la extracción de una baraja de
un total de 52 cartas; yo gano la apuesta si en una extracción la carta seleccionada es
una “J” o una carta de corazones negros, deseo saber ¿Cuál es la probabilidad que
tengo para ganar?
Sea A el evento que salga “J” y sea B el evento que la carta seleccionada sea de
corazones negros, entonces:
La probabilidad de que salga A es 4/52 (en las 52 cartas hay 4 jotas, cada J
corresponde a una figura)
La probabilidad de que salga B es 13/52 (cada figura tiene 13 cartas)
Y, la probabilidad de que salga A y B es 1/52 (una de esas Jotas es también de
corazones negros, es decir es J y de corazones negros, en términos probabilísticos
este evento corresponde a una probabilidad conjunta) como la regla del juego es que
yo gano si la carta seleccionada es J o de corazones negros, pero si sale J y de
corazones negros pierdo la apuesta, entonces esta probabilidad conjunto resto de las
demás probabilidades.
Por consiguiente la probabilidad de que la carta seleccionada sea J o de corazones
negros es:
7. 7
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0,31 = 31%
El 31% significa que si se realiza 100 extracciones, en 31 de esas extracciones
posiblemente la carta seleccionada sea J o de corazones negros
4.2. Reglas de la multiplicación
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A y del
evento B, observe el símbolo “y” este corresponde a la regla de la multiplicación.
Tiene dos formas
c) cuando los eventos son independientes
d) cuando los eventos no son independientes
4.2.1. Cuando los eventos son independientes
Concepto: dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de un evento no
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento,
Ejemplo: en dos lanzamientos de una moneda, si en el primer lanzamiento la moneda
cae cara, esta caída no asegura que en el segundo lanzamiento también caiga cara.
Se usa la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante dos lanzamientos de una
moneda, yo gano la apuesta si en el primer y segundo lanzamiento la moneda cae en
cara, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga cara en el primer lanzamiento y sea B el evento que salga
cara en el segundo lanzamiento, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/2
La probabilidad de que salga B es 1/2
Entonces la probabilidad de que salga cara y cara en los dos lanzamientos es:
P(A y B) = P(A) * P(B)
P(A y B) = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%
El 25% significa que de todos los resultados posibles del experimento el 25% de
estos corresponde a la condición dada, como este experimento tiene 4 resultados
posibles,(cara - cara; cara - sello; sello - cara; sello - sello) observe que en uno de los
cuatro resultados (cara –cara) se cumple la condición; ojo, no se olvide, de que
estamos en probabilidades es decir posibilidades, si bien es cierto en este juego
conoce de antemano la probabilidad de ganar, esto no le da la certeza de que va a
ganar, como puede ganar o como puede perder.
8. 8
4.2.2. Cuando los eventos no son independientes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad condicional y es
la probabilidad de ocurrencia de un evento dado que otro ya ha ocurrido y se conoce
su probabilidad, es decir la probabilidad de un evento se ve influida por la ocurrencia
de otro evento relacionado.
Se hace uso de la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
El símbolo “/” se lee “dado que”
Ejemplo:
Se tiene una urna con 15 bolas; 10 de color negro y 5 cinco de color blanco
Se realiza una apuesta de $ 100,00, con la siguiente condición, se debe realizar dos
extracciones, sin reposición, yo gano la apuesta si en cada extracción saco una bola
de color negro, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que en la primera extracción saco una bola de color negro y sea B el
evento de que en la segunda extracción también saco una bola de color negro,
entonces:
La probabilidad de que salga A en la primera extracción es 10/15 (se tiene 10 bolos
negras de un total de 15 que están en la urna)
La probabilidad de que salga B en la segunda extracción es 9/14 (Como ya salió una
bola negra, en la urna quedan 9 bolas de color negro, como en total eran 15 bolas y
salió una, quedan en la urna 14 bolas, en términos probabilísticos se dice, la
probabilidad de que en la segunda extracción salga una bola de color negro es 9/14
dado que en la primera extracción ya salió una bola negra)
Por consiguiente la probabilidad de que en las dos extracciones las bolas que se
obtenga sean de color negro es:
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
P(A y B) = 10/15 * 9/14 = 90/210 = 3/7= 0,43 = 43%
El 43% significa que si realizo 100 veces dos extracciones, en 43 de estas veces,
posiblemente salga en las dos extracciones bolas de color negro
5. REGLAS DE CONTEO
Son útiles para conocer el total de resultados posibles de un experimento, cuando este
no se puede determinar por simple inspección
Existen tres reglas
Regla de la multiplicación o por etapas
Combinaciones
9. 9
Permutaciones
5.1. Regla de la multiplicación o por etapas
Si un experimento tiene varias etapas y la primera etapa tiene n1 resultados posibles;
la etapa dos tiene n2 resultados posibles; la etapa tres tiene n3 resultados posibles; el
total de resultados posibles del experimento se obtiene multiplicando n1 x n2 x n3
Ejemplo:
Deseo saber de cuantas formas puedo combinar 2 ternos (café, negro) y 2 corbatas
(azul, roja) que poseo en mi armario
Sean:
Etapas resultados posibles (cantidad)
Ternos 2
Corbatas 2
Total de resultados posibles: 2 x 2 = 4 resultados posibles o formas de combinar los
ternos con las corbatas
5.1.1. Diagrama de árbol
Es una gráfica de puntos y líneas, en la que se señala los resultados posibles de un
evento, y el total de ellos, las líneas suele denominarse ramas.
Ejemplo
RESULTADOS
CORBATAS Terno café corbata azul
TERNOS azul
café roja
Terno café corbata roja
Terno negro corbata azul
negro azul
roja Terno negro corbata roja
TOTAL RESULTADOS 4
10. 10
5.2. Combinaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y
se quiere determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de
estos “n” elementos tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones no importa o no interesa la ubicación de cada elemento,
por lo que si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA son
iguales; no interesa si A está a la izquierda de B o si está a la derecha de B por lo
que AB = BA
La fórmula que se utiliza es
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
C = símbolo que representa combinación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nCr = combinación de n elementos tomados r a la vez
Explicación de 𝒏ǃ
se lee “ene” factorial, representa la multiplicación de todos los números comprendidos
entre n hasta 1, en sentido descendente o desde 1 hasta n en sentido ascendente
En forma simbólica
𝑛ǃ = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)
Ejemplo
7ǃ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Se sabe que 0ǃ = 1
Ejemplo de combinaciones
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene
sentido) de tres letras, es decir cuántas formas o resultados posibles se obtiene de las
7 letras tomando 3 a la vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ
11. 11
nCr =
7ǃ
3ǃ(7−3)ǃ
= nCr =
7ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3ǃ
nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3 𝑥 2 𝑥 1
= nCr = 7 x 5 = 35
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 35 combinaciones o palabras tomando tres a
la vez
Ahora cabe la pregunta
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACD ACE ACF ACG ADE ADF ADG
AEF AEG AFG BCD BCE BCF BCG BDE BDF BDG BEF BEG
BFG CDE CDF CDG CEF CEG CFG DEF DEG DFG EFG
Observe, ABC se presenta una sola vez, no hay otras combinaciones en las que
tanto A como B o como C se ubiquen en diferente lugar, como por ejemplo BAC o
BCA o CAB o CBA; todas estas ordenaciones son iguales a ABC, al respecto se
señaló que en este tipo de ordenaciones (combinaciones) no interesa la ubicación de
las letras
5.3. Permutaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y
se quiere determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de
estos “n” elementos tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones si importa o si interesa la ubicación de cada elemento,
por lo que si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA no
son iguales; por cuanto en la primera forma A está a la izquierda de B y en la segunda
forma A está a la derecha de B por lo que AB ≠ BA
La fórmula que se utiliza es
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
P = símbolo que representa permutación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nPr = permutación de n elementos tomados r a la vez
12. 12
Ejemplo
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene
sentido) de tres letras, es decir cuántas permutaciones o resultados posibles se
obtiene de las 7 letras tomando 3 a la vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
nPr =
7ǃ
(7−3)ǃ
= nPr =
7ǃ
(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
4ǃ
= nPr = 7 x 6 X 5 = 210
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 210 permutaciones o palabras
tomando tres a la vez
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACB ACD ACE ACF ACG ADB ADC
ADE ADF ADG AEB AEC AED AEF AEG AFB AFC AFD AFE
AFG AGB AGC AGD AGE AGF
Observe, ABC tiene otra combinación similar porque tanto A como B o como C se
ubican en diferente lugar, esto es la forma ACB; Al respecto se señaló que en este
tipo de ordenaciones (permutaciones) si interesa la ubicación de las letras por lo que
ABC ≠ ACB
La lista de palabras antes señaladas es tan solo una parte de las 210 formas.
Procedimiento para formar el total de permutaciones
1. Por medio de la formula respectiva se determina el total de permutaciones que
debe obtenerse de n objetos tomados r a la vez, en el presente ejemplo son 210
permutaciones
2. Este valor (210) se divide para el total de elementos que forma el grupo, como son
en total 7 letras se divide 210 para 7 obteniendo como resultado 30
3. Este número (30) me indica que cada letra debo escribir 30 veces ya sea en
sentido horizontal o vertical, de esta forma se tendrá 7 filas o columnas, cada fila o
columna corresponde a cada letra, las columnas deben estar separadas entre si a
fin de dar lugar a las demás letras que faltan.
4. Como ya se escribió la primera letra, me quedan 6 letras en el grupo
5. Como cada fila o columna tiene 30 veces la letra, divido 30 para 6 que corresponde
al total de letras que quedaron, obteniendo como resultado 5
6. Este número (5) indica que se escribe en cada fila o columna junto a la primera letra
5 veces cada letra de las 6 que quedaron, se aconseja escribir las letras en orden
13. 13
alfabético, esto es si la primera letra es A la segunda será B,
B,B,B,B,C,C,C,C,C,D,D,D,D,D,E,E,E,E,E,F,F,F,F,F,G,G,G,G,G
7. Como ya se escribió la segunda letra me quedan 5 letras en el grupo
8. Como en cada columna la segunda letra se repite 5 veces, se divide este número
para 5 que corresponde al total de letras que quedaron, obteniendo como resultado
1
9. Este número (1) indica que debo escribir en cada fila o columna junto a la segunda
letra, una vez cada letra de las 5 que quedaron, se aconseja escribir la tercera
letra en orden alfabético, observando que letras son las que ya están escritas para
no repetir, esto es si la primera y segunda letra son AB AB AB AB AB
10. AC AC AC AC AC … la tercera letra que va en las formas AB es C, D,
E,F,G quedando las formas. ABC ABD ABE ABF ABG en las formas AC faltan
las letras B, D, E,F,G escribiendo estas las formas quedan: ACB ACD ACE ACF
ACG
Este procedimiento se repite en cada columna o en cada fila, al final se tiene 210
permutaciones de n letras tomadas r a la vez.
6. TEOREMA DE BAYES
Se usa para actualizar la medida de probabilidad de un evento cuando se adquiere
información adicional de otro evento relacionado con el primero.
Suponga que se tiene un evento A cuya probabilidad es P(A). si se observa nueva
información y vemos que ha ocurrido un evento relacionado, representado por B, se
aprovecha esta información para calcular una nueva probabilidad del evento A. esta
nueva probabilidad del evento A se llama Probabilidad condicional y se escribe
como P(A/B) se lee, la probabilidad de A dado B
6.1. Probabilidad a priori.- Son estimaciones iniciales para un evento especifico en
particular
6.2. Probabilidad a posteriori.- Es la probabilidad actualizada de las estimaciones
iniciales, esto con base en fuentes como una muestra, una información o la prueba
de un producto que nos dan información adicional sobre el evento especifico o
particular objeto de estudio.
Fórmula del teorema de Bayes
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
El significado de las letras se da a conocer mediante el siguiente problema
14. 14
Ejemplo:
Suponga que una empresa manufacturera recibe embarques de partes(piezas), de dos
proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga del proveedor 1 y
A2 el evento de que una parte provenga del proveedor 2.
Actualmente, 65% de las partes que compra la empresa provienen del proveedor 1 y
35% restante del proveedor 2. En consecuencia si se selecciona una parte al azar,
diríamos que la probabilidad de que la pieza sea del proveedor 1 es P(A1) = 0,65 o
que sea del proveedor 2 es P(A2) = 0,35.
La calidad de las partes varía según su origen. Los datos históricos sugieren que el
desempeño en términos de calidad de los dos proveedores es el siguiente:
Porcentaje Porcentaje
de piezas buenas de piezas malas
Proveedor 1 98 2
Proveedor 2 95 5
Suponga que las partes de los dos proveedores se usan en el proceso de manufactura
y que una maquina se descompone al tratar de procesar una parte defectuosa. Dada
la información de que una parte es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del
proveedor 1 y cual la del proveedor 2?
A. Datos del problema
Simbología
1. De los proveedores
A1 = Proveedor 1
A2 = Proveedor 2
De la calidad de las partes
B = buenas
M = malas
2. Probabilidad a priori o inicial
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 1 es: P(A1) = 0,65
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 2 es: P(A2) = 0,35
3. Probabilidad condicional
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1. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 1 es:
P(B/A1) = 0,98
2. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 1 es:
P(M/A1) = 0,02
3. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 2 es:
P(B/A2) = 0,95
4. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 2 es:
P(M/A1) = 0,05
B. Diagrama de árbol
Esta problema es de dos etapas: etapa 1 corresponde a los proveedores y la etapa 2 a
la condición buenas o malas
RESULTADO EXPERIMENTAL
ETAPA 2
ETAPA 1 (CONDICION) (A1 B)
(PROVEEDOR) B
A1 M (A1 M)
A2 (A2B)
B
M (A2M
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Insertando las probabilidades respectivas y calculando la probabilidad conjunta se
tiene:
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO (probabilidad conjunta)
PROVEEDOR) (CONDICION)
P(B/A1) P(A1 y B) = P(A1 )P(B/A1) = 0,65 X 0,98 = 0,6370
0,98
P(A1) P(M/A1)
0,02 P(A1 y M) = P(A1 )P(M/A1) = 0,65 X 0,02 = 0,0130
0,65
0,35
P( A2) P(B/A2) P(A2 y B) = P(A2 )P(B/A2) = 0,35 X 0,95 = 0,3325
0,95
P(M/A2)
0,05 P(A2 y B) = P(A2 )P(M/A2) = 0,35 X 0,05 = 0,0175
Estos resultados no son los esperados, estos corresponden a los siguientes
enunciados
1. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea buena es: 0,6370
2. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea mala es: 0,0130
3. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea buena es: 0,3325
4. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea mala es: 0,0175
Además hay que tomar en cuenta que símbolo de la probabilidad condicional en cada
caso es de la forma P(B/A) o P(M/A) que se lee la probabilidad de B o M dado A.
Siguiendo con el problema este tiene una pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que
provenga del proveedor 1 y cual la del proveedor 2? Es esta se desea saber ¿Cuál es
la probabilidad de que la pieza defectuosa provenga del proveedor 1 y cual la del
proveedor 2. En símbolos se pide P(A1/M) o P(A2 /M), dando lectura esta simbología
será: la probabilidad de que la pieza sea del proveedor uno dado que esta es mala es
igual a: ?
O, la probabilidad de que la pieza sea del proveedor dos dado que esta es mala es
igual a: ?
Ligeramente se podría decir que la probabilidad que venga del proveedor 1 es 0,65 y
que la probabilidad de que venga del proveedor 2 es 0,35; recuerde que estas son
probabilidades a priori es decir son probabilidades subjetivas. Suponga que no se
tiene registro de las partes por proveedor, todas las partes se juntan al momento de
almacenar, por lo que no se puede señalar probabilidad alguna relacionada con los
proveedores.
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Al respecto debe determinar (actualizar) las probabilidades dadas a priori, (dado que
ha sucedido otro evento relacionado, esto es una maquina se averió por el uso de una
parte defectuosa). Recuerde no se conoce si corresponde al proveedor 1 o al
proveedor 2; tampoco se podrá conocer con certeza, se desea saber la intensidad de
la probabilidad que relacione a los proveedores. Se desea conocer las nuevas
probabilidades (probabilidades e posteriori), esto es la probabilidad de que provenga
del proveedor 1 dado que la parte es defectuosa, y la probabilidad de que provenga
del proveedor 2 dado que la parte es defectuosa.
Aplicando las fórmulas respectivas se tiene los siguientes resultados:
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
Al sustituir los valores del ejemplo, la probabilidad posterior del proveedor A1 Será:
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,65)( 0,02)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0130
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0130
0,0305
= 0,4262
Este valor señala que la probabilidad posteriori de que la pieza defectuosa provenga
del proveedor 1 es 0,4265, es menor que la probabilidad inicial.
Si se calcula la probabilidad posteriori del proveedor 2 se tiene:
P(A2/M) =
𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,35)( 0,05)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0175
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0175
0,0305
= 0,5738
Este valor señala que la probabilidad posterior de que la pieza defectuosa provenga
del proveedor 2 es 0,5738, es mayor que la probabilidad inicial
Comparando las nuevas probabilidades se puede señalar que la pieza defectuosa
posiblemente proviene del proveedor 2
Nota: El teorema de Bayes se usa en eventos mutuamente excluyentes.
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Ejercicio de refuerzo
Un equipo de beisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo
gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los juegos diurnos. De acuerdo con el diario del
día de hoy, ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la
noche?
DATOS
Sean
A1 = El juego en la noche
A2 = El juego en el día
G = El equipo gana
S= El equipo pierde
Probabilidad a priori
La probabilidad a priori de que el equipo juega en la noche es: P(A1) = 0,70
La probabilidad a priori de que el equipo juega en el día es P(A2) = 0,30
Probabilidades condicionales
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en la noche es: P(G/A1) = 0,5
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en el día es: P(G/A2) = 0,9
Árbol de probabilidades
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO
(juegos) (CONDICION)
P(G/A1) P(A1 y G) = P(A1 )P(G/A1) = 0,70 X 0,50 = 0,35
0,5
P(A1) P(S/A1)
0,5 P(A1 y S) = P(A1 )P(S/A1) = 0,70 X 0,5 = 0,35
0,70
0,30
P( A2) P(G/A2) P(A2 y G) = P(A2 )P(G/A2) = 0,30 X 0,90 = 0,27
0,90
P(G/A2)
0,10 P(A2 y S) = P(A2 )P(S/A2) = 0,30 X 0,10 = 0,03
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Lectura delas probabilidades conjuntas
1. La probabilidad de que el equipo juegue en la noche y gane es 0,35
2. La probabilidad de que el equipo juegue en la noche y pierda es 0,35
3. La probabilidad de que el equipo juegue en día y gane es 0,27
4. La probabilidad de que el equipo juegue en el día y pierda es 0,35
Caculo de la probabilidad a posteriori
Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el juego se haya realizado en la noche dado que
este se ha ganado.
Entonces en símbolos será: P(A1/G)
P(A1/G) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝐺/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝐺/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝐺/𝐴₂)
P(A1/G) =
0,35
0,35+0,27
= P(A1/G) =
0,35
0,35+0,27
= P(A1/G) =
0,35
0,62
= 0,5645
Método tabular
Eventos
(Ai)
Probabilidades
a priori de
P(Ai)
Probabilidades
condicionales
P(G/Ai)
Probabilidad
conjunta
P(Ai y B)
Probabilidades
posteriores
P(Ai /G)
A1 0,7 0,5 0,7 x 0,5 = 0,35 0,35/0,62 = 0,5645
A2 0,3 0,9 0,3 x 0,9 = 0,27 0,27/0,62 = 0,4355
P(G) 0,62 1,00
Ejercicio de tarea:
1. Sea: P(A1) = 0,60; P(A2) = 0,40; P(B1/A1) = 0,05; Y P(B1/A2) = 0,10: Utilice el teorema de
Bayes para determinar P(A1/B1)
2. Sea: P(A1) = 0,20; P(A2) = 0,40; P(A3)= 0,40; P(B1/A1) = 0,25; P(B1/A2) = 0,05; y
P(B1/A3) = 0,10 : Utilice el teorema de Bayes para determinar P(A3/B1)
3. Un profesor ha estado enseñando Estadística por muchos años. Sabe que 80% de los
estudiantes completan los problemas asignados. Determinó que de los alumnos que
hacen las tareas, 90% aprobaron el curso. De aquellos estudiantes que no realizan las
tareas 60% aprobarán. Julio Tuquinga tomó Estadística el último semestre con el profesor
y tuvo calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que si haya hecho las tareas?
4. El departamento de crédito de una negociación comercial, informó que 30% de sus ventas
son en efectivo, 30% se pagan con cheques en el momento de la adquisición y 40% son a
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crédito. Se tiene que 20% de las compras son en efectivo, 90% en cheques y 60% de las
compras a crédito son por más de $ 50,00 ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en
efectivo?
5. Una empresa tiene 4 proveedores de materia prima, en la siguiente tabla se muestra las
cantidades adquiridas a cada proveedor y el porcentaje de materia prima defectuosa que
cada uno proporciona.
Proveedor
Porcentaje
adquirido
Porcentaje
defectuoso
Esperanza Yuqui 30 2,5
Domènica Barreno 20 1,75
Lisbeth Càceres 25 3
Iván Orden 25 1
El material empleado esta mañana resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se
haya adquirido de la proveedora Domènica Barreno?
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Además de la Estadística de Levin Rubin grupo 4:7 pag. 163-164 realizar los ejercicios del
4:44 al 4:51