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![Observando la figura vemos que la mitad de esta área, concretamente la región CEH, puede
verse como la diferencia entre el sector circular (de centro A) CAE y el triángulo rectángulo
HEA.
1/2 S4 = Sector CAE – Triángulo HEA
El ángulo en A del triángulo HAE, que es el mismo que el del sector CAE, se puede deducir a
partir de las longitudes de los lados del triángulo que lo determinan.
AE = 4 AH = 2’5.
Por tanto, llamando ␣ al ángulo (en A) HAE obtenemos :
Cos ␣ = 2’5/4 = 0’625 ˛ ␣ = 0’895665 rad = 51’3178º
Así pues, el área del Sector CAE es la de un sector de 0’855665 rad. correspondiente a un cír-
culo de radio 4m.:
Sector CAE = (0’895665 / 2) 42
= 7’1653 m2
Y el área del triángulo HAE, será AH*EH / 2 , donde AH = 2’5 ,, EH = AE sen ␣
Area Triángulo HAE = (2’5 * 4 * sen 0’895665 ) / 2 = 3’9031 m2
Por tanto : 1/2 S4 = 7’1653 – 3’9031 = 3’2622 ˛ S4 = 6’5244 m2
AREA TOTAL : S2 + S3 + S4 = 33’5103 – 6’5244 = 26’9859 m2
DESCOMPOSICIÓN II PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4
Utilizando la misma figura anterior, se puede ver otra sencilla descomposición.
La región S4 se puede dividir en dos
mitades : BEH y HEC y por tanto nos
podemos limitar a calcular la mitad de la
región total (S3 + 1/2 S4) de vértices
HEFA.
Y esta región HEFA se puede descompo-
ner como suma de un sector circular EAF
y un triángulo rectángulo HEA (el mismo
cuya área hemos calculado en el apar-
tado anterior). Es decir:
S3 + 1/2 S4 = Sector EAF + Area Triáng.
HEA = Sector EAF + 3’9031
Calculemos el área del Sector EAF : Es un sector de  = 120º - ␣ grados (2/3 - ␣ radianes) de
un círculo de radio 4. Como ␣ lo hemos calculado en el apartado anterior, ␣ = 0’895665 rad.
˛  = 2/3 – 0’895665 = 1’198730 rad.
Sector EAF = [/(2)] 42
= 9’5898 m2
Por tanto: S3 + 1/2 S4 = 9’5898 + 3’9031 = 13’4929 ˛
S2 + S3 + S4 = 26’9858 m2
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA42
Alberto Bagazgoitia](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-40-320.jpg)
![OTRO MÉTODO : Para familiarizarse con el Cálculo Integral
Los alumnos deben habituarse a elegir los ejes de coordenadas de la forma más adecuada para
poder asociar a las figuras las ecuaciones más sencillas.
Tomando el origen de coordenadas en el Poste (0,0), la frontera del
redil tendrá como ecuación la de una circunferencia centrada en el
punto (0,10) y de radio 10m.: x2
+ (y – 10)2
= 102
y la que limita la
región en la que la cabra puede pastar será una circunferencia de radio
10m. centrada en el origen : x2
+ y2
= 102
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunfe-
rencias se obtienen las coordenadas del punto de corte A (5͌3,5).
La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 5͌3 de la diferencia de las
“y” de las dos circunferencias.
El alumno deberá reconocer que si bien al arco de la circunferencia x2
+y2
= 102
que queremos
integrar le corresponde el signo + de la raíz (y = + ͌(100-x2
)), al arco de la otra circunferen-
cia le corresponde el signo - . (y = 10 - ͌(100-x2
)).
Por tanto el área buscada vendrá dada por la integral:
͐[͌100 - x2
- (10 - ͌100 - x2
)] dx
Y haciendo el cambio habitual x = 10 sen t , e integrando en t entre los límites correspon-
dientes 0 y /3, se obtiene como en el caso anterior, que
La mitad del área es : (100 / 3) - 25 ͌3 m2
B) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,
mediante una cuerda de 12 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra?
El problema es el mismo que el anterior con la dificultad añadida de que
el triángulo CPA no es equilátero, sino isósceles, por lo que el cálculo de
los ángulos en P y C no es inmediato y hay que utilizar el Teorema del
Coseno.
La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste),
puede pastar es la limitada por los arcos PA, BA y el segmento BP.
Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, BPA, menos
el triangulo isósceles PAC. Para calcular el área de los dos sectores necesitamos saber los
ángulos, en P y C, del triángulo PAC.
Mediante el Tª del coseno, calculamos el ángulo en P.
102
= 102
+ 122
- 2.10.12 cos P ˛ cos P = 3/5 ˛ P = 0’9273 rad.
Como los ángulos en P y A son iguales, el ángulo en C valdrá :
C = - 2. 0’9273 = 1’2870 rad.
Por tanto,
Área del sector BPA: (122
/ 2) 0’9273 = 66’77 m2
Área del sector PCA: (102
/ 2) 1’2870 = 64’35 m2
Área triángulo PAC: PC.AP.sen P / 2 = 10.12.(4/5)/2 = 48 m2
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA44
Alberto Bagazgoitia
5͌3
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![Solución:
La mitad del área será : 66’77 + 64’35 – 48 = 83’12 m2
MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL:
Análogamente a lo realizado en el Caso A), también se puede utilizar aquí el método del cál-
culo integral. Así como con el procedimiento anterior, este caso B) es más complicado que el
A), con la aplicación del cálculo integral no hay ninguna diferencia a lo visto en A).
Bastaría con resolver el sistema formado por las dos ecuaciones de
las circunferencias:
x2
+ (y – 10)2
= 102
y x2
+ y2
= 122
para encontrar las coordenadas
del punto de corte A (9’6, 7’2).
La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y
9’6 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias:
1/2 A = ͐[͌144 - x2
- (10 - ͌100 - x2
)] dx
Que resolviendo con los cambios x = 12 sen t y x = 10 sen t nos da el valor de 83’12.
C) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,
mediante una cuerda. Si sólo puede pastar en la mitad de la superficie del campo, ¿Qué
longitud (aproximada) tiene la cuerda?
Igual que en los casos anteriores el área en la que puede pastar la
cabra será :
Área = Sector BPA + Sector PCA – Triángulo PCA
Esa área ahora es conocida y vale 1/4 102
.
En vez de utilizar el valor 10 para el radio, usaremos a partir de
ahora la letra r, y sólo al final, si es necesario, usaremos el dato
concreto.
Para calcular las áreas, tanto la de los sectores como la del trián-
gulo, vamos a utilizar el ángulo en P : ␣.
Mediante el Tª del coseno : r2
= r2
+ x2
- 2rx cos ␣
Por tanto cos ␣ = x / 2r
• Área sector BPA = x2
␣/2
• Área sector PCA: Como el triángulo PCA es isósceles, el ángulo en C será: - 2␣. Por
tanto el área del sector PCA : r2
( - 2␣) / 2.
• Área triángulo PCA: (x r sen ␣) /2 = r2
sen ␣ cos ␣.
De forma que el área en la que la cabra puede pastar se puede expresar:
r2
/ 4 = x2
␣ /2 + r2
( - 2␣) / 2 - r2
sen ␣ cos ␣.
Y expresando x en función de ␣:
/ 4 = 2 ␣ cos2
␣ + ( - 2␣ ) / 2 - sen ␣ cos ␣.
Octubre 2002 • 2002 Urria 45
El problema de la cabra
9’6
0](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-43-320.jpg)
![Horrez gain, eragiketen zeinuen izenak (+ zeinua: ta / geroago ‘gehi’, ‘eta’; – zeinua: gutxi /
gaur egun ‘ken’; 5 zeinua: bider / gaur egun ‘bider’; : zeinua: [López Mendizabalek izenik ez]
/ gaur egun ‘zati’) eta horien irakurbideak ere azaldu zituen.
Bigarren erreferentzia 1920koa dugu: Bizkai-Aldundiaren Erri-Irakaskuntza-Batzordea (1920):
Lenengo ikaste mallarako euskal-zenbakiztia, Bilbao. Interesgarria da erakunde ofizial baten
parte-hartzea azpimarratzea. Dena den, mailari dagokionez, aurreko lanak bezala, “lehen
maila” hartu zuela esan behar da, alegia Oinarrizko Heziketa; bestalde, oinarrizko eragiketez
gain, ezer gutxi landu zen liburu hartan.
Erakundeen bultzadarekin segituz, hurrengo pausoak Euzko Ikastola Batzak eman zituen,
honako bi lan hauek argitaratuz: Euzko Ikastola Batza (1932): Zenbakiztija, I mallea. Verdes-
Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao; Euzko Ikastola Batza (1932): Zenbakiztija, II mallea.
Verdes-Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao. Eta horren eraginez Espainiako argitaletxe espezifi-
koak ere mundu horretan sartzen hasi ziren, Bruño argitaletxeak eginiko lana lekuko: Bruño
Idaztiak (1933): Zenbakizti lengaien ikastia, La Instrucción Popular, Madrid, Barcelona.
Gerraurreko lanen aipamena biribiltzeko, aurrekoez bereiztasun garrantzitsua duen beste
liburu bi ekarriko ditugu gogora, hain zuzen ere adierazpen matematikoak beste zientzietan
ere txertatzen saiatu zen lehena izan zelako. Hain zuzen, Gabirel Jauregik 1935 eta 1936.
urteetan argitaraturiko Pisia eta Kimia liburuez ari gara. Liburu horietan formulak etengabe
agertzen dira; baina Jauregik ez zuen esan, era zuzenean behintzat, formulak nola irakurri
behar ziren, nahiz eta kasu batzuetan zertxobait haien logika azaldu eta nolabaiteko irakur-
keta ere egin zuen.
Gero, gerra etorri zen eta prozesu hura moztuta geratu zen. Gerraosteko isilune luzea etorri
zen ondoren, harik eta hirurogeita hamarreko hamarkadan irakaskuntzaren arazoarekin lotu-
riko testugintza serioski planteatzen hasi zen arte. Gure bilaketaren araberako lehen liburua
Luis Egiaren Neurriztia izenekoa da: Eguia, L. (1972): Neurriztia, Kardaberaz Bilduma,
Kardaberaz-Bazkuna, Seminario Vitoria. Bera izan zen lehena formula, berdintza eta ekua-
zioen alboan horien irakurbideak zuzenean jartzen. Bere testua ikusita, laster kontura gaitezke
ezen adierazpide matematiko bakoitzaren ondoren “onela irakurri:” esaldia datorrela behin
eta berriro, ondoren nola irakurri behar den hitzez hitz azalduz. Seinale garbia, horretan kezka
zuela eta irakurbiderako ohiturak sortu nahi zituela. Dena den, hizkuntza arruntean erabili
zuen joskera, eta esamoldeen muga estuetan jokatzera behartu zuen bere burua; horrela,
behin baino gehiagotan muga horretan sortzen zitzaizkion korapiloak askatu ezinik ibili zela
antzeman dezakegu. Labur esanda, liburua irakurbideen azalpen etengabea da. Baina inon ere
ez zituen zehaztu irakurbiderako arauak, eta guri horrek ardura digu nagusiki. Gainera, liburu
hori ez zegoen euskara batuan idatzita, eta nola edo hala gerraurreko ekoizpenarekiko lotura
azpimarratu nahi izan zuen, normalizaziorako kezka alde batera utzita. Baina ordurako, bes-
telako bideak abiaturik zeudela esan dezakegu.
Izan ere, horren ostean, ia berehala, euskara batu eta “modernoa” zerabilten bestelako lanak
azaldu ziren. Lehenengo adibide modura Iker taldeak Saioka bilduman argitaraturiko
Matematika saileko liburuak ditugu (1976, 1977 eta 1979. urteak). Adierazpen matematikoei
eta sinboloen irakurbideari dagokienez, ordura arte euskarazko liburuetan sekula agertu
gabeko sinbolo berriak agertu ziren, hala nola:
∈ -koa da
∉ -koa ez da; ez da …koa
⊂ -(r)en barnean dago
Octubre 2002 • Urria 2002 49
Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-47-320.jpg)
![Hain ingurukoak ez diren beste hizkuntza batzuk ere aztertu ditugu, hala nola hebreera, erru-
siera, arabiera, japoniera, txinera eta suomiera, eta ondorio modura, honako bi puntu hauek
azpimarra ditzakegu:
• Mundu zabalean garaturik dauden hizkuntzetan, zientzia-arloko testuetan integraturik
dauden adierazpen sinboliko fisiko-matematikoak nazioarteko era normalizatu eta arau-
tuan idazten dira, guztietan sinbolo berberak erabiliz eta ezkerretik eskuinerako noranz-
koan idatziz. Azken puntu hau azpimarratzekoa da, zenbait hizkuntzatan eskuinetik
ezkerrerako noranzkoa erabiltzen baita idazkeran, hala nola hebreeran eta arabieran.
• Bestalde, horrekin era koherentean jokatuz, adierazpen sinbolikoen irakurketa adieraz-
pena idazteko erabilitako hurrenkera eta ordena berean gauzatzen da, oro har, ezkerre-
tik eskuinerako noranzkoan preseski. Azken puntu honi dagokionez, hizkuntza guz-
tietan horrela egiten denik ziurtatu ezin dezakegun arren, gehienetan —zientzia-maila
altuko guztietan— horrelaxe egiten dutela baiezta dezakegu.
Gure ikuspuntuaren arabera, zer esanik ez, zientziaren arloko erabilpen-eremu berezi hau eus-
karaz ere landu beharra dago. Eta horretan saiatu gara. Dena den, horretan abiatzeko, bi espa-
rru landu behar dira: alde batetik, terminologia, eta bestetik berbaldi-mota.
Terminologiari dagokionez, azken urteotan euskaraz ere ahalegin bereziak egin behar izan dira.
Guztiok dakigunez, azken hogeita bost urteotan, lexiko-sorkuntza eta terminologia direla eta,
ekoizpen itzela izan da gure artean. Hiztegi orokor asko izan dira argitaratuak, eta urte gutxi-
ren buruan berrargitaratuak, hainbat hitz eta terminoz osatuak. Badira, halaber, hiztegi entzi-
klopedikoak, bertan terminologia-arloko hainbat termino eta hitz sartu dituztenak. Horiez gain
hiztegi tekniko ugari prestatu dira, UZEIren eskutik batez ere, Elhuyar taldeak azken boladan
prestaturikoak ere bide beretik doazelarik. Paperean inprimaturik dauden hiztegiez gain, gaur
egun Euskalterm izeneko terminologia-bankua ere badugu, horien guztien ekarpenak bilduma
bakarrean biltzen dituena. Terminologia-banku honen tamainari buruzko ideia bat izan deza-
gun, diogun ezen 2001. urtean jakintza-arlo desberdinetako 183.000 termino baino gehiago
zeuzkala bildurik. Nolanahi den, artikulu honetan ez gara terminologiaz arituko.
Berbaldi-motari dagokionez, lan honetan egin ditugun hausnarketak laburbilduz, gure ustez
behar-beharrezkoa den berbaldi-mota hori bete-betean koka daiteke Teresa Cabré irakasleak
“lenguajes artificiales” deritzen horien artean [Cabré, M. T. (1993): La terminología. Teoría,
metodología, aplicaciones. Editorial Antártida / Empúries, Barcelona]. Hain zuzen, autore
honek ezaugarri hauek dituzten lengoaia bereziak definitu ditu:
Son características relevantes de los lenguajes artificiales, como los sistemas lógicos:
- que se trate de «lenguajes inventados»,
- construidos tomando como punto de referencia el lenguaje natural,
- con una conceptualización previa controlada,
- sin posibilidad de admitir nuevas unidades si no están establecidas y conceptualizadas previa-
mente,
- unívocos, y por lo tanto sin sinónimos ni términos polisémicos,
- con una sintaxis reducida a la mínima expresión,
- con un repertorio de signos también reducidos; originariamente fijados en su forma escrita,
- con validez supranacional, y
- sin posibilidad de desarrollar las funciones emotiva y poética del lenguaje.
SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2154
Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-52-320.jpg)
![Hona hemen zenbait adibide:
batukari, i berdin batetik enera
deribatu i grekoa ixarekiko
integral, atik bera
limite, ixa zerorantz doanean
3. Hirugarren araua: Sinbolo-kateak irakurtzean hiru oinarri nagusi izango dira kontuan:
a) Idatziak izatean erabili den hurrenkera berean irakurriko dira sinboloak (bai sinbolo
bakunak, eta bai egituradun sinboloak ere), banan-banan, bata bestearen ostean.
b) Sinbolo bakoitza bere aldetik irakurriko da, sinbolo bakunen kasuan izena bere
hutsean aipatuz, eta egituradun sinboloen kasuan bigarren arauan esandako moduko
esamoldeak erabiliz.
c) Sinboloak beren artean inolako loturarik egin gabe irakurriko dira, huts-hutsean bata
bestearen ondoren, idatzi bezala irakurriz, hurrenez hurren.
Esate baterako:
{balio absolutu [efe ixa] [ken] [efe ixa azpi ka]} [txikiago]
[bat]
[batukari, ene berdin batetik plus infinitura] [minus bat ber
ene] [(bider)] [ene-erro ene] [(bider)] [sinu bat zati ene]
[be bektorea], [berdin], [mu azpi zero] [zati] [lau pi], (bider)
[i (larria)], [integral itxi], {[u azpi te bektorea biderkadura
bektorial u azpi erre], [zati] [erre karratu], (bider) [diferen-
tzial ele]}
Ikus daitekeenez, multzoka adierazi ditugu sinboloak, bakoitzari dagokion esamoldea mako
artean adieraziz. Zer esanik ez, adierazpen osoa irakurtzean, segidan irakurriko ditugu multzo
horiek, ordena horretan, ondoko adibideetan ikusiko dugunez.
4. ZENBAIT ADIBIDE
Arauak eman ondoren, gure ahalegina arau horiek adibideetan aplikatzera zuzendu dugu,
zenbait taula emanez, eta lanaren osagarri modura, mota guztietako adierazpen matematiko-
fisikoen irakurbideen katalogoa prestatuz eta aurkeztuz. Artikuluaren mugak kontuan izanez,
ez dugu uste hemen horien azalpen zehatza egitea merezi duenik; baina, gutxienez, aurkez-
pen hau nolabait biribiltzeko, zenbait adibide aurkeztuko ditugu, adibide modura, ondoko
taulan bildurik.
SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2156
Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
Σ
-∞
(-1)
n n
√n sin 1_
n=1
n
|f(x)-f(xk)|<1
B =
µ0__ I͐o __ut x ur___ dl
4π r2
Σ
n
i =1
dy
dx
͐
b
a
lim
x→0](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-54-320.jpg)
![2. taula.
Oharra: sinbolo bakoitzaren irakurbidea mako artean ageri da, hurrenkera ikusarazteko.
Ez dugu gehiago luzatuko adibideen zerrenda, sinboloen konbinazioak nahi adina heda bai-
taitezke. Nolanahi den, diogun ezen doktorego-tesiaren txosteneko eranskin batean Fisikan
eta Matematikan gehien erabiltzen diren adierazpen sinbolikoen zerrenda edo katalogo
moduko bat aurkeztu dela, beti ere, arauen aplikazio zuzena eginez. Katalogo hori presta-
tzean, matematikarien eta fisikarien eskura ipini nahi izan da eguneroko jardunean etengabe
azaltzen diren adierazpenen irakurbideak, sailka ordenaturik eta erraz aurkitzeko moduan.
Gure ustez, asmo praktikoaz egindako bilduma hori, oso lagungarri gerta dakieke irakaskun-
tzan diharduten irakasleei.
Octubre 2002 • Urria 2002 57
Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz
Sinbolo-kateak Irakurbidea
Adierazpen sinbolikoen irakurbidea
[a] [gehi] [be] [berdin] [ze]
{balio absolutu [efe ixa] [ken] [efe ixa azpi ka]}
[txikiago] [bat]
[ese azpi ene] [berdin] [a azpi bat] [gehi] [a
azpi bi] [gehi] [a azpi hiru] [gehi] [puntuak]
[gehi] [a azpi ene]
[batukari, ene berdin batetik plus infinitura]
[minus bat ber ene] [(bider)] [ene-erro ene]
[(bider)] [sinu bat zati ene]
[limite, ene infiniturantz doanean] { [ixa ber
ene gehi bat] [zati] [ene gehi bat faktorial] }
[berdin] [zero]
[efe lehen ixa] [berdin] [limite, delta ixa
zerorantz doanean] { [efe ixa gehi delta ixa]
[ken] [efe ixa] [zati] [delta ixa] }
edozein epsilon handiago zero den kasurako,
existitzen da (edo badago) ka barne erre larria,
non integral petik kura efe, balio absolutuan,
txikiago epsilon den, edozein pe eta ku handiago
ka diren kasurako
edo epsilon handiago zero den guztietarako …
edo edozein dela(rik) epsilon handiago zero …
a + B = c
|f(x)-f(xk)|<1
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an
Σ
-∞
(-1)
n n
√n sin 1_
n=1
n
lim
n→∞
__xn+1
___ = 0
(n+1)!
f (x + ∆) - f (x)
∆x
f ’(x)=lim
∆x→0
∀>0, ∃k∈R/|͐
q
f |< ∀p,q>kp](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-55-320.jpg)
![Veamos cómo dibujar cada punto de nuestra espiral. Tomamos como elementos de partida un
segmento AB, cuya longitud es L, y un ángulo ␣.
Con estos elementos construimos sobre el eje polar un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo
en A es ␣ y cuyo cateto AB es el segmento dado. La longitud de la hipotenusa AC será:
Sobre la hipotenusa AC construimos un nuevo triángulo rectángulo ACD, cuyo ángulo en A
es de nuevo ␣.
La longitud de la hipotenusa AD será en este
caso:
Reiterando la construcción obtenemos una suce-
sión de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas
están en progresión geométrica de razón 1/Cosa
Es evidente que los ángulos correspondientes a los extremos de las hipotenusas están en pro-
gresión aritmética (n␣), con lo que dichos puntos están sobre una espiral logarítmica.
Veamos cómo realizar esta construcción con Cabri-Géomètre. Seguiremos un método itera-
tivo, es decir, construiremos cada punto a partir del anterior usando las progresiones antes
señaladas. Cabri permite realizar tales iteraciones a partir de macroconstrucciones.
Se trata de un método iterativo, que trabajando con Cabri se obtiene mediante una “macro”,
que permita la determinación de puntos según la pauta sugerida: un ángulo constante que se
repite en cada giro y un punto que, en cada giro, determina con el polo un segmento cuya
longitud es el producto del anterior por una cantidad constante.
Iniciamos la construcción trazando un segmento AB y, mediante la edición numérica, el
ángulo que se irá repitiendo en la progresión aritmética. En nuestro caso lo hemos tomado de
20 grados, pero podría ser cualquiera. Únicamente deberemos notar que cuanto más pequeño
sea este ángulo mejor será la aproximación de la nube de puntos a la espiral deseada. Ahora
dibujamos un punto en el plano y una semirecta con origen en este punto a los que etiqueta-
mos como Polo y Eje Polar respectivamente. Finalmente mediante la herramienta compás tra-
zamos una circunferencia con centro en el Polo y radio el segmento AB. La imagen siguiente
ilustra esta situación de partida.
Octubre 2002 • 2002 Urria 73
Espirales con Cabri-Géomètre
A B
••
Angulo: ␣
A B
••
Polo
Eje Polar
Imagen 25
L1 =
L
cos ␣
L2 = = = L [ ]L1
cos ␣
1
cos ␣
L
cos2
␣
Imagen 26
2
Ln = = = L [ ]Ln-1
cos ␣
1
cos ␣
L
cosn
␣
n](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-70-320.jpg)
![Evolución histórica
Magia y matemáticas han sido compañeros de viaje durante mucho tiempo. Tanto los magos
como los matemáticos están motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio
esencial del mundo. Los magos muestran tales hechos sorprendentes mientras que los mate-
máticos tratan de explicarlos: la ciencia de la ilusión versus la ilusión de la ciencia. El famoso
escritor de ciencia ficción Arthur Clarke opinaba que cualquier tecnología suficientemente
avanzada es indistinguible de la magia.
En la época pitagórica, los números se relacionaban más con cualidades místicas que con el
ilusionismo (ver, por ejemplo, [MG] en la lista de referencias al final del artículo).
Descubrimientos, como el que los tres números consecutivos 3, 4 y 5 forman un triángulo rec-
tángulo, o que con los nueve primeros números se puede formar un cuadrado mágico, han
fomentado la creencia de que algunos números tienen poderes mágicos. El gran avance en el
estudio de los números y sus propiedades ha propiciado que las comunidades más cultas
hayan dejado de creer en tales propiedades místicas y se conformen con utilizarlos en un
ámbito más folclórico. El remanente de épocas pasadas permite a los magos utilizar en sus
presentaciones el lenguaje ocultista relativo a números de la suerte o números asociados a
cada persona, operaciones con los números que corresponden al día de nacimiento, o al
número de calzado, etc., para llegar a una predicción.
En otra época, la alquimia buscaba convertir plomo en oro; los curanderos obtenían propie-
dades curativas de las plantas; ciertos procesos químicos colorean el agua para darle aspecto
de vino u otros licores. Aún hoy en día causa sorpresa ver que un líquido cambia de color
sucesivas veces sin manipulación aparente.
Más recientemente, los avances tecnológicos ofrecen muchas herramientas que, utilizadas
convenientemente, permiten conseguir efectos sorprendentes, inexplicables o, incluso, mila-
grosos.
Uno de los primeros libros dedicados a mostrar principios matemáticos aplicados a la mecá-
nica se debe a John Wilkins (ver [Fa]) quien, en 1648 publicó Mathematical Magick, or the
wonders that may be performed by mechanical geometry siendo uno de las más fáciles, entre-
tenidos y útiles de las matemáticas. Fue el primer trabajo sobre dispositivos mecánicos escrito
en inglés, pero no un texto de mecánica en sentido tradicional.
El libro consta de dos secciones:
Archimedes: o dispositivos mecánicos, que incluyen las balanzas, palancas, ruedas, poleas,
cuñas, tornillos, proyectiles y catapultas; y Daedalus: o movimientos mecánicos, en los que se
estudian los autómatas, carros marinos, relojes, submarinos y movimiento perpetuo (del que
el propio autor dice que no parece muy probable).
El objetivo del libro es el de mostrar al público profano los principios básicos en que se basan
las distintas máquinas que producían movimientos mecánicos, para que no pudieran ser inter-
pretados como basados en poderes ocultos de quienes se dedicaban a mostrarlos en público.
En esa época, quien no estuviera familiarizado con las leyes de la mecánica tenía tendencia
hacia lo esotérico para justificar aquellas curiosidades técnicas. Las grandes ciencias aplica-
das de la antigüedad, como la astronomía, estática, mecánica y óptica, habían sido inaccesi-
bles a todos los públicos salvo a los iniciados que las habían estudiado.
Octubre 2002 • 2002 Urria 147
La Matemagia Desvelada](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-143-320.jpg)
![A lo largo de los tiempos algunos matemáticos han logrado explotar las propiedades de los
números para sorprender y entretener a públicos profanos. En el siglo XIX Charles Dogson
(más conocido por su sobrenombre Lewis Carroll) ya realizaba trucos y puzzles numéricos uti-
lizados hoy en día por los magos.
En el siglo XX ocurrió el despegue de la magia con cartas (cartomagia) como disciplina inde-
pendiente de la magia. En lo que se refiere a la recopilación de efectos basados en principios
matemáticos (matemagia), podemos destacar como referencias históricas los libros de Martin
Gardner [Ga], publicado en 1956, y de William Simon [Si] en 1964. Otros magos que se han
destacado por sus aportaciones a la magia matemática son Karl Fulves y Bob Longe [Lo]. Hoy
en día, casi ningún autor de literatura mágica se resiste a publicar algún efecto basado en pro-
piedades matemáticas pues no requieren habilidad técnica pero sí una cuidada presentación
que logre crear un ambiente de incredulidad en los espectadores.
Aunque la mayor parte de efectos mágicos basados en propiedades matemáticas son claros
para los propios matemáticos, sus secretos están fuera del alcance de la mayoría de la gente;
de modo que conocer algunos de tales secretos proporcionará grandes posibilidades de crear
la impresión de verdadera magia ante las mentes de estos grupos.
Una de las más antiguas curiosidades, conocida desde la antigua China, corresponde al cua-
drado mágico:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Esta disposición de números recibe este nombre pues la suma de los números que están en
la misma fila, la de los que están en la misma columna y la de los de la misma diagonal es
siempre 15.
Esta matriz es bastante conocida por lo que su aparición no causa sorpresa al efectuar con ella
algún entretenimiento mágico. Por ello, los magos con algún conocimiento matemático utili-
zan variantes menos conocidas que resulten más mágicas. Por ejemplo,
11 66 98 89
99 88 16 61
86 91 69 18
68 19 81 96
es un cuadrado donde cada fila, columna y diagonal suman 264. La sorpresa viene cuando
giramos el cuadrado boca abajo y se obtiene otro cuadrado mágico, donde nuevamente
la suma de las filas, columnas y diagonales es 264 (pensemos que el “1” al girarlo vuelve
a ser “1”).
¿Cuál es la razón de esta propiedad? La simetría de la matriz con respecto a la diagonal prin-
cipal no es la que se acostumbra en matemáticas pero sí lo es en un sentido gráfico.
Existe también un cuadrado mágico, cuya construcción dejamos al lector interesado, también
de tamaño 4, de modo que, tanto su giro de 180 grados como su reflexión especular (visto a
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA148
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-144-320.jpg)
![través de un espejo) siga siendo un cuadrado mágico (para lo cual debemos representar los
números tal como se haría por una calculadora). Esa es la magia de los números que sorprende
y entretiene a los aficionados.
1. MENTACÁLCULOS
Siempre han sido muy apreciados quienes son capaces de realizar operaciones complicadas
en un corto espacio de tiempo. El misterio en el que se rodean estos personajes hace pensar
en la adquisición de una poderosa memoria (lo que es cierto en la mayoría de los casos) y en
la posesión de ciertos poderes ocultos (de los que podemos creer o no creer). En este apartado
nos asomaremos a unos ejemplos con los que se puede sorprender a una gran variedad de
público pero que también son susceptibles de motivar el estudio de las propiedades aritméti-
cas que se esconden tras estos ejercicios mentales.
1.1. Calendario perpetuo
La unidad de medida de los calendarios actuales es el día, tiempo que tarda la Tierra en girar
alrededor de su eje. A su vez, los días se agrupan en semanas (duración de los ciclos lunares),
meses (tiempo de giro de la luna alrededor de la Tierra) y años (tiempo de giro de la Tierra
alrededor del Sol).
Sin embargo, el giro de la Tierra alrededor del Sol no es múltiplo entero de un día: exacta-
mente son 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, es decir 365,2421896698 días.
Este hecho es el origen de las sucesivas reformas en los calendarios occidentales. En el año 46
a.C. Julio César instituyó un calendario con 365 días con un día adicional cada cuatro años.
El error acumulado a lo largo de los años hizo que el Papa Gregorio XIII modificara el calen-
dario en 1.582, eliminando alguno de los años bisiestos, según un ciclo de 400 años: los múl-
tiplos de 100, excepto los múltiplos de 400, no son bisiestos.
Esta distribución da lugar a que ciertos días de la semana tengan mayor probabilidad que otros
en caer en algún día determinado del mes; por ejemplo, el día 13 es más probable que sea
viernes a cualquier otro día de la semana. Esto también indica que el domingo es más proba-
ble que los demás de ser el primer día del mes.
Como el calendario puede verse como un sistema posicional de números, existen fórmulas
que permiten calcular el día de la semana que corresponde a un día determinado del calen-
dario gregoriano.
Si eres capaz de aprenderla, la siguiente es una de las más sencillas:
S = D + [2,6 M - 0,2] + A + [A/4] + [C/4] - 2C (mód 7),
(es decir, el resto de la división por siete de la expresión dada), donde [.] representa la parte
entera del número (el mayor entero que es menor o igual a dicho número) y S es el día de la
semana correspondiente al día D del mes M del año 100 C + A, según la siguiente corres-
pondencia:
Marzo = 1, Abril = 2, ..., Enero = 11 (del año anterior), Febrero = 12 (del año anterior).
Domingo = 0, lunes = 1, ..., sábado = 6.
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La Matemagia Desvelada](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-145-320.jpg)
![Este ingenioso ejemplo de construcción, y el que explicamos a continuación, constituye una
perfecta excusa para estudiar la estructura de estos entes matemáticos, de interés no sólo
recreativo sino como aplicaciones a diversos problemas prácticos. La obra [CF] ofrece un estu-
dio exhaustivo de los cuadrados mágicos, su construcción y aplicaciones.
Anticuadrado mágico
Pide a un espectador que elija un número cualquiera. A continuación construyes un cua-
drado 4 x 4 y lo muestras. El espectador debe elegir y rodear con un círculo un número
cualquiera del cuadrado. A continuación tacha la fila y la columna que contienen
al número. Después elige otro número no tachado y procede de la misma forma.
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA154
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
11 1
11 8
11 7
11 2
11 2
5 13
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5 3
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10 3
12 7
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8 10
1 12
12 6
1 7
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11 2
12 6
5 10
4 12
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4 9
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4 6
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![Realiza la misma acción otras dos veces y obtiene cuatro números. Se le pide que sume
los números señalados y el resultado final coincidirá con el número previamente elegido.
El procedimiento para construir el cuadrado es el siguiente:
Descompón el número elegido en ocho sumandos, sin importar su valor. Supongamos por
ejemplo que el número elegido es el 35 y realizas la operación:
35 = 4 + 6 + 2 + 7 + 4 + 8 + 3 + 1.
Haz una tabla de sumar con dichos elementos, del modo siguiente:
Elimina la primera fila y primera columna y se obtiene una tabla con las características indi-
cadas en el efecto, es decir la suma de cuatro números elegidos de modo que no haya dos de
ellos en la misma fila y columna es 35.
Observación: Este mismo efecto puede realizarse con el calendario de bolsillo pues cualquier
cuadrado de tamaño 4 x 4 formado con cualquier mes verifica la misma propiedad “antimá-
gica”: la suma de los números elegidos de modo que todos ellos pertenezcan a distinta fila y
columna es igual a 2n + 8, donde n es el elemento de la esquina superior izquierda del cua-
drado.
1.3. Otros números mágicos.
El número 37037
El número 37037 también tiene propiedades mágicas: al multiplicarlo por cualquier número
menor o igual a 27 da como resultado un número de seis cifras formado por dos bloques igua-
les. La razón de esta propiedad se comprende fácilmente al escribir la descomposición en fac-
tores primos de 37037.
Un programa hecho en Java que muestra esta propiedad se puede ver en [By].
La calculadora
En una calculadora de bolsillo, donde los dígitos están distribuidos según un cuadrado:
se da a elegir una fila, columna o diagonal. Con esos dígitos, escribir un número de tres
cifras. A continuación, repetir el proceso con otra fila, columna o diagonal y multiplicar
los dos números seleccionados. Si se nombran todas las cifras del resultado excepto una,
el matemago es capaz de adivinar la cifra que falta.
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La Matemagia Desvelada
+ 4 6 2 7
4 8 10 6 11
8 12 14 10 15
3 7 9 5 10
1 5 7 3 8
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![El ejercicio que planteamos ahora es construir un cuadrado de lado an y recortarlo (en cuatro
piezas) de modo que al reconstruirlo se forme un rectángulo de lados an-1 y an+1. La paradoja
está servida.
2) Como es sabido, las matemáticos presentan en ocasiones propiedades que van más allá de
cualquier idea intuitiva a pesar de no contener contradicciones formales. En este sentido cita-
remos dos propiedades geométricas dentro de la teoría de la medida:
a) Paradoja de Hausdorff. En 1914, Felix Hausdorff probó que es posible dividir una esfera S
en tres figuras A1,A2,A3 congruentes, es decir con áreas iguales, de modo que
A1 U A2 U A3 = S, m(Ai I Aj) =0, (i =/ j)
y tal que A1 es congruente con A2 U A3, A2 es congruente con A1 U A3 y A3 es congruente
con A1 U A2.
b) Paradoja de Banach-Tarski. Pocos años después, Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron
otro resultado, también aparentemente paradójico, que se puede enunciar en lenguaje no
matemático diciendo que es posible descomponer una esfera en un número determinado
de piezas, las cuales pueden recomponerse, sin dejar huecos, para formar otra esfera de
tamaño considerablemente mayor.
Evidentemente, las demostraciones de estos resultados no son constructivas pues están basa-
das en el axioma de elección, de modo que no es posible mostrar un ejemplo de lo anterior
en nuestro modelo de geometría euclídea (consultar detalles en [Bu]).
3.2. La banda de Möbius
Es bastante popular y conocida la banda de Möbius, una superficie no orientada pues sólo
posee una cara y una arista. Surgió alrededor de 1.858 en un trabajo de Möbius y Listing y ya
en 1.890 se usó como truco de magia, antes de que el conocimiento de sus propiedades se
extendiera a ámbitos no científicos.
Su construcción es muy sencilla: se juntan los extremos de una cinta pero, antes de unirlos,
se da un giro de 180º a uno de los extremos. Al recorrer la banda que se forma de esta manera,
para llegar al punto de partida se deben recorrer los dos lados de la cinta original. Una apli-
cación ingeniosa de este hecho se encuentra en los carretes de cinta en las máquinas de escri-
bir o en las cintas de impresora, lo que permite utilizar la tinta de ambos lados antes de ago-
tar el carrete. Este principio permite a los magos realizar experimentos donde se oculta el
hecho de que se esté utilizando una banda de Möbius pero, también, proporciona otras pro-
piedades que no son tan conocidas.
Veamos algunos hechos sorprendentes:
1) Como prueba de habilidad el mago anuncia que es capaz de cortar una banda de papel por
la mitad sin separarla. Para ello prepara la banda de Möbius como se ha indicado y recór-
tala longitudinalmente por el centro de la cinta. El resultado final muestra una banda el
doble de larga que la original, en vez de dos bandas, como cabía esperar.
2) Para aumentar la sorpresa, se puede intentar otro experimento más difícil todavía. Se pre-
para una nueva banda de Möbius pero esta vez se corta longitudinalmente pero siempre a
un tercio de la distancia al borde. ¿Qué figura se obtiene? ¿Cómo ha salido otra banda enla-
zada a la primera?
3) Prepara otra banda con una cinta pero, antes de unir los extremos, haz un doble giro a uno
de ellos. Recorta nuevamente la banda a lo largo de su línea central. ¡Una nueva sorpresa!
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA166
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-162-320.jpg)
![Evidentemente, este juego debe realizarse un gran número de veces para estabilizar la proba-
bilidad de cada uno. En promedio, dos de cada tres veces gana el jugador que escoge en
segundo lugar.
Esta singularidad probabilística fue descubierta por el estadístico Bradley Efron. Además, esta
violación de la transitividad es la base de algunas paradojas de votación: las preferencias
sociales que se determinan por votación entre un número determinado de candidatos no obe-
dece la propiedad transitiva. En el libro de John Allen Paulos [Pau] se muestran algunos ejem-
plos de esta situación.
Otras aparentes paradojas probabilísticas se presentan al combinar de forma preasignada cier-
tos juegos de azar, en donde la tendencia de cada uno de ellos por separado se invierte
cuando se combinan entre ellos. El lector interesado, y que posea conocimientos sobre las
cadenas de Markov, puede consultar [Par] para conocer el funcionamiento de la paradoja de
Parrondo.
4.2. Sucesos casi seguros
Se da una baraja a mezclar a un espectador. Después de colocar la baraja cara abajo
pide que el espectador nombre los valores de dos cartas (sin precisar el palo).
Supongamos que dice el tres y la sota. A continuación, ve pasando cartas de la baraja,
una a una y caras arriba, hasta que aparezcan seguidos un tres y una sota.
Este efecto funciona el 90% de las veces debido a las leyes de probabilidad y, en caso con-
trario, es muy posible que estén separadas por una sola carta. Una propiedad tan inusual
como esta crea un gran impacto pues a priori da la impresión de ser algo que ocurre en pocas
ocasiones. Es tarea del mago hacer creer a los espectadores la casi imposibilidad del resultado
final.
Un experimento con resultado similar al anterior es el siguiente: se dan dos barajas, una a
cada espectador, para que las mezclen. A continuación, se dejan sobre la mesa y se pide que
vayan repartiendo cartas cara arriba, una por una, de ambas barajas a la vez. Es casi seguro
que, en el transcurso del reparto, aparecerán dos cartas iguales a la vez, una de cada baraja.
Otra apuesta casi segura, pero que requiere algo de habilidad en su realización, es la
siguiente: Escoge 25 cartas al azar y apuesta a que eres capaz de formar con ellas cinco manos
de póquer, de modo que cada una de ellas sea al menos una escalera; esto quiere decir que
las jugadas permitidas son “color", “full", “póquer", “escalera de color" y “escalera real". Lo
seguro es que al menos habrá dos jugadas de “color" (cinco cartas del mismo palo).
Presentamos a continuación otro juego, basado en la llamada cuenta Kruskal, pues debe el
nombre a su descubridor el físico Martin Kruskal (este y otros juegos matemáticos con cartas
se explican en [Mu]).
Adivinación cartomágica
Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la
mesa. Un ejemplo se muestra en la figura adjunta.
Se pide a un espectador que piense un número del uno al diez. A continuación, debe
realizar las siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indica-
ción de sus resultados:
1) Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el número
pensado.
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA168
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-164-320.jpg)
![2) Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver a reco-
rrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho número. [En caso de
que se haya detenido en una figura, recorrerá cinco pasos.]
3) El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre que
haya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo más,
debe fijarse y recordar la última carta del último trayecto.
Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, el mago puede descubrir el valor
de dicha carta.
Por ejemplo, si se siguen las instrucciones anteriores con la figura adjunta, podríamos apostar
a que la carta final será el cinco de oros.
Ya se deduce, a partir del proceso seguido, que el método de adivinación no puede consistir
en habilidad técnica, sino en algún principio matemático. Como el método es directo, la única
consecuencia plausible es que el resultado será independiente de las condiciones iniciales.
Para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final
(concretamente, la probabilidad de que esto ocurra es mayor de 0,8). La pregunta que surge
de forma natural es entonces: ¿cuál es la propiedad en que se basa este resultado?
Puede consultarse el trabajo [LRV] donde se calculan las probabilidades de éxito en el juego
con asignaciones diferentes para los valores de las figuras; destaquemos que si la sota cuenta
10 pasos, el caballo 11 y el rey 12, las probabilidades disminuyen a menos del 70%. El
modelo matemático que mejor se ajusta a las características de este juego es el de las cade-
nas de Markov, tipos especiales de procesos estocásticos, de gran interés en ciertas aplicacio-
nes estadísticas.
Otro análisis del juego está realizado en [HR]. Relacionada con este trabajo está la versión
interactiva que puede realizarse en la dirección electrónica
http://www.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl
Observación. Se ha encontrado (como indica [Pe]) una gran similitud entre la clave del éxito
en el juego anterior con la siguiente reflexión de Sherlock Holmes:
Octubre 2002 • 2002 Urria 169
La Matemagia Desvelada](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-165-320.jpg)
![retire la carta que suma 31 u obligue al oponente a retirar una carta de modo que la suma
exceda de 31.
La diferencia estriba en que sólo puede nombrarse cada número un máximo de cuatro veces.
Así, quien empiece el juego con el tres perderá con la siguiente secuencia de números:
3 - 4 - 3 - 4 - 3 -4 -3 - 4
cuya suma es 28 pero impide nombrar el tres, al haberse agotado estas cartas. Puede ser inte-
resante mezclar ambas variantes para ganar a algún jugador avispado.
Juego del Nim ([Fr])
Se dejan sobre la mesa veinte monedas o cerillas y dos jugadores deben retirar alterna-
damente una, dos o tres de ellas en cada turno. Quien tenga que retirar la última cerilla
de la mesa es el perdedor del juego.
El procedimiento para ganar, independientemente de quien empiece el juego, es retirar en
cada turno el número de cerillas necesario para que sobre la mesa queden 17, 13, 9 ó 5 ceri-
llas.
Es fácil calcular cuántas se deben retirar para que siempre haya sobre la mesa una de las can-
tidades indicadas. Como la diferencia entre los números clave es cuatro, el número de ceri-
llas a retirar en cada turno dependerá de las que retire el oponente.
Aquél que comience a jugar posee una estrategia ganadora, pues basta que retire tres cerillas
en el turno inicial.
Cuando el resto de jugadores puedan tener alguna idea sobre la estrategia ganadora, se les
puede despistar utilizando inicialmente una cantidad distinta de cerillas.
Algunas variantes del juego consisten en colocar las monedas en diferentes filas y retirar en
cada turno monedas de una sola fila. Esto modifica la estrategia que debe utilizarse para ganar.
Una explicación muy completa e ilustrativa, basada en la representación binaria de los núme-
ros, puede encontrarse en [Gu].
5. CONCLUSIÓN
¿La Enseñanza efectiva de las Matemáticas puede ser entretenida?
Una gran mayoría de nuestra sociedad todavía piensa que las matemáticas constituyen un área
oscura que contiene profundos misterios que sólo pueden ser entendidos por una clase espe-
cial de personas.
¿Se podría pensar que la magia permitiría disipar esta creencia? Si alguna propiedad matemá-
tica, como las expuestas anteriormente, se plantearan como enigmas a resolver en vez de una
exposición de poderes mágicos, haría que los estudiantes trataran de encontrar el secreto por
sí mismos; esto daría pie a profundizar en las leyes sobre las que reposan los hechos en cues-
tión. Además se sale de la rutina en la que las matemáticas no permiten el uso de la imagina-
ción y el espíritu crítico, pues la búsqueda de la solución requiere un proceso de discusión y
de planteamiento de ideas originales.
Por otra parte, este tipo de presentación poco convencional mantiene la atención de una
clase. Las pistas que se ofrecen durante la realización, en general ocultas por un buen mago,
harán que pueda reproducirse un efecto matemágico por los estudiantes y llegar a la solución
del secreto, no sin antes eliminar otras posibles soluciones, que lleven a propiedades mate-
máticas similares. Esta es también una técnica válida de resolución de problemas.
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La Matemagia Desvelada](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-167-320.jpg)
![Veamos algunos efectos, catalogados como de magia mental, presentados en clases de alum-
nos de primaria (consultar [Mo]).
Predicción con el diccionario
El profesor advierte que es capaz de percibir los pensamientos de los alumnos y para probarlo
escribe una predicción en una hoja de papel que deja dentro de un sobre y lo coloca en un
lugar visible pero inaccesible.
A continuación indica a los alumnos que sigan un conjunto de instrucciones elementales:
1) Escribir un número de tres cifras.
2) Debajo de él escribir el mismo número pero con sus cifras colocadas en orden inverso.
3) Realizar la resta de dichos números, el mayor menos el menor.
4) Volver a escribir debajo el mismo número obtenido de la resta, pero con las cifras coloca-
das de nuevo en orden inverso.
5) Sumar estos dos números.
6) Buscar en un diccionario una palabra asociada con el resultado final.
7) Como el número será demasiado grande, utilizar las primeras cifras (todas menos la última)
para representar la página del libro y la última cifra para contar el número correspondiente
de palabras en dicha página.
8) Una vez encontrada la palabra que ocupa dicho lugar, digamos la novena palabra de la
página 108, nombrar dicha palabra.
9) Por último, abrir el sobre y leer lo escrito inicialmente por el profesor.
Sorprendentemente, la predicción coincide con la palabra del libro señalada.
Al realizar el experimento con diferentes números se observa que el resultado final es inva-
riable, lo que conduce a buscar una explicación dentro de las matemáticas. La pregunta surge
en las propias mentes de los alumnos: ¿por qué se obtiene el mismo resultado aunque se uti-
licen diferentes números?
Diferentes ensayos y sugerencias del profesor irán llevando a precisar las propiedades de las
operaciones algebraicas que muestren la validez de las hipótesis planteadas. La observación
clave será que después de la primera resta, la cifra central será un nueve y la suma de las otras
dos también será nueve.
Desde este momento, la idea de la predicción y la sorpresa que produce la coincidencia de
las palabras ya no es importante, pues la explicación surge por sí misma. Sin este descubri-
miento, se debe pensar que la magia existe.
Un problema complementario que se debe plantear, si no ha surgido de la discusión previa,
es el de saber si con todos los números se llega al mismo resultado. Más aún, descubrir el con-
junto de números para los que no funciona el experimento.
Proponemos a continuación un problema similar cuyo estudio permite complementar el pro-
ceso de aprendizaje.
Pide que escriban un número de cuatro cifras y, debajo de él, el mismo número con las
cifras invertidas (de derecha a izquierda). A continuación, que reste el menor del mayor,
que tachen una de las cuatro cifras del resultado y te digan las tres restantes, en cualquier
orden. ¿Cómo puede saberse la cifra eliminada?
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Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-168-320.jpg)
![7. REFERENCIAS
[Bu] Bryan Bunch, “Mathematical Fallacies and Paradoxes”. Van Nostrand, 1982.
[By] John Byers, “La magia del número 37037”. http://www.vsv.slu.se/johnb/java/cal-
mag-1.htm
[CF] José Carlavilla y Mercedes Fernández, “Cuadrados Mágicos”. Proyecto Sur de
Ediciones, 2000.
[Ea] Rob Eastaway, “Maths and Magic”.
http://plus.maths.org/issue14/features/eastaway/index.html
[Fa] John Fauvel, “Sobre la consideración como texto del libro de John Wilkins,
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http://w4.ed.uiuc.edu/faculty/westbury/Paradigm/fauvel1.html
[Fr] Bob Friedhoffer, “The Science behind the Magic”.
http://hometown.aol.com/scienctrix/index.html
[Ga] Martin Gardner, “Mathematics, Magic and Mystery”. Dover, 1956.
[Gu] Miguel de Guzmán, “Cuentos con cuentas”. Labor, 1987.
www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/cuentosconcuentas/nim/nim0003.htm
[HR] Wayne Haga y Sinai Robins, “On Kruskal's Principle”. Organic Mathematics,
Burnaby, 1995.
[LRV] Jeffrey Lagarias, Eric Rains y Robert Vanderbei, “The Kruskal Count”.
http://xxx.lanl.gov/abs/math.PR/0110143
[Lo] Bob Longe, “The Magical Math Book”. Sterling, 1998.
[MG] Christine Megit y Jessica Greer, Los pitagóricos, numerología y misticismo”.
http://pythagoreans.tripod.com
[Mo] Larry Moss, “Teaching magic as a math topic in an elementary classroom”.
http://www.fooledya.com/moss/papers/mathfun.html
[Mu] Colm Mulcahy, “Mathematical card tricks”.
http://www.ams.org/new-in-math/cover/mulcahy1.html
[Par] Juan Parrondo, “Juegos de azar paradójicos”. La Gaceta de la RSME, 4, 355—365
(2001).
[Pau] John Allen Paulos, “El hombre anumérico”. Tusquets, 1990.
[Pe] Ivars Peterson, “Guessing Cards”.
http://www.sciencenews.org/20011222/mathtrek.asp
[Si] William Simon, “Mathematical Magic”. Dover, 1964.
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA174
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-170-320.jpg)
![La historia de la papiroflexia (ver [Engel]) comienza junto con la
del papel, en China, allá por el siglo I ó II, y llega a Japón en el
siglo VI. En un principio, era un divertimento de las clases altas,
pues eran las únicas que podían conseguir papel, que constituía
un artículo de lujo. Los guerreros Samurai intercambiaban regalos
adornados con noshi, trozos de papel doblados en abanicos de
variadas formas, sujetos con cintas de carne seca. Hoy en día, se
mantiene la expresión origami tsuki, que significa “certificado”, o
“garantizado”, y que deriva del plegado especial con el que se
preparaban los diplomas que recibían los maestros de las cere-
monias de té. Dicho plegado garantizaba que no se pudiera vol-
ver a plegar en su forma original sin realizar nuevas cicatrices en
el papel.
En el período Muromachi (1338-1573), el papel era un producto
más accesible, y surgieron ciertos adornos de papiroflexia con significados distintos que reve-
laban, por ejemplo, la clase social de cada persona, de modo que, según el distintivo de papi-
roflexia que llevase un individuo, se podía distinguir si era un granjero, un guerrero samurai
o un seguidor de tal o tal maestro filósofo.
La “democratización” de la papiroflexia se dio en el período
Tokugawa (1603-1867), el cual conoció una gran explosión
cultural. Es en este período en el que surge la base pájaro, la
base usada por la grulla (zuru), que es la figura más popular en
Japón, tal como lo es aquí la pajarita. Dos libros legendarios
recogen las primeras instrucciones de plegado: el Sembazuru
Orikata (Cómo Plegar Mil Grullas) en 1797, y el Kan No Mado
(Ventana abierta a la estación de invierno), de 1845, en el cual
aparece por primera vez la base de la rana.
No sólo se dobló en Japón. Los musulmanes también practica-
ron la papiroflexia, y si no hubiera sido por los Reyes Católicos y el Cardenal Cisneros, a buen
seguro la tradición de doblar papel en la península ibérica hubiera tenido muchísima más
repercusión en nuestros días. La pajarita (o pájara pinta, llamada así porque cuando es ple-
gada con un papel de colores distintos por ambas caras aparece con la cabeza de un color
distinto que el cuerpo) forma parte de la cultura popular española desde, por lo menos, el siglo
XVII. El gran impulsor de la papiroflexia a principios de siglo fue el universal bilbaíno Miguel
de Unamuno y Jugo. Tras visitar la Exposición Universal de París de 1889, junto a la inaugu-
ración de la Torre Eiffel, Unamuno descubre maravillado una exposición de origami de Japón.
A su vuelta, retomaría su afición a doblar pajaritas, según él, cocotología, creando su propia
“escuela” de plegadores. El genial escultor anarquista oscense Ramón Acín (1888-1936) ha
sido uno de los que ha rendido homenaje a la pajarita con su famosa “Pajarita sobre cubo”,
escultura de piedra que podemos apreciar en un parque de Huesca.
El patriarca de la papiroflexia moderna es el japonés Akira Yoshizawa, una leyenda viva de los
maestros orientales de Origami. Es a Yoshizawa a quien debemos la simbología actual de las
instrucciones de plegado de los modelos (Sistema Yoshizawa-Randlett, 1956). Esto ha consti-
tuido, sin lugar a duda, la aportación más importante a la papiroflexia desde la invención del
papel, ya que ha permitido la difusión internacional de las distintas creaciones, al no importar
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA176
José Ignacio Royo Prieto
Composición de grullas
del Sembazuru Orikata
Miguel de Unamuno (Zuloaga)](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-172-320.jpg)
![el idioma en el que estén escritos los desarrollos. Para
Yoshizawa, el Origami conlleva una filosofía de la vida, y per-
tenece a ese estado de la luz que en filosofía oriental se deno-
mina ke, concepto asociado a la luz baja, las sensaciones ínti-
mas y la armonía en silencio, por oposición al hare, que denota
la explosión de luz, brillantez y la espectacularidad. Yoshizawa
reza, medita, estudia y siente en un sentido ciertamente reli-
gioso cada animal, rostro o figura que va a plegar. Se dice que
pasó varios años observando a un cisne que vivía en el estan-
que de su casa hasta que decidió plegarlo. Según la escuela de
Yoshizawa, el plegado es un diálogo entre el artista y el papel,
el cual hay que realizarlo en el aire, sólo con las manos, ya que
de apoyarlo en la mesa, estaríamos transmitiendo a la futura
figura el yin de la mesa en lugar del propio. En Japón, Yoshizawa
es considerado como una divinidad, y sus figuras rezuman vida,
transmitiendo una sensibilidad asombrosa.
La papiroflexia ha experimentado una auténtica explosión de
creatividad en las tres últimas
décadas, debido a la mejor
comunicación de los modelos, y
también al desarrollo de técnicas para realizar figuras cada vez
más complejas. Según P.Engel (ver [Lang1]), en los 80 pode-
mos señalar dos corrientes en la papiroflexia moderna:
• Por un lado, tenemos la escuela japonesa, donde la papi-
roflexia ha sido cultivada por artistas no científicos. La
filosofía consiste aquí en expresar, sugerir, captar la esen-
cia de lo que se quiere representar con un mínimo de
pliegues, aunque la figura resultante no sea anatómica-
mente perfecta;
• Por otro lado, la escuela occidental, donde la papirofle-
xia ha sido desarrollada por matemáticos, ingenieros, físi-
cos, arquitectos... Se persigue la exactitud anatómica, es
decir, representar los insectos con todas las patas, pesta-
ñas, cuernos, alas... Para ello se han desarrollado multi-
tud de métodos matemáticos.
Hoy en día no se puede hacer tal distinción, ya que japoneses científicos como Toshikuyi
Meguro, Jun Maekawa, Issey Yoshino, Seiji Nishikawa, Fumiaki Kawahata, Tomoko Fuse,
Toshikazu Kawasaki y otros muchos, integrantes del grupo Origami Tanteidan (Detectives de
la Papiroflexia) han diseñado modelos de increíble complejidad. En estos momentos, más bien
se puede distinguir entre los que usan técnicas geométricas de diseño (sumando a los ante-
riores a los americanos John Montroll y Robert Lang, y el madrileño J. Aníbal Voyer, entre
otros), y los que buscan la expresividad en otros elementos, tales como la textura del papel,
la suavidad de los dobleces y la observación del modelo a representar. Estos últimos utilizan
la técnica del papel humedecido, de la cual son especialistas Akira Yoshizawa, el americano
Michael Lafosse, el francés Eric Joisel, el italiano David Derudas y el británico David Brill.
Octubre 2002 • 2002 Urria 177
Matemáticas y Papiroflexia
Akira Yoshizawa y dos elefantes
de su creación
Avispa (Satoshi Kamiya)](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-173-320.jpg)
![Octubre 2002 • 2002 Urria 179
Matemáticas y Papiroflexia
es el de los poliedros convexos, en el cual el interior es un conjunto convexo, (es decir, tal
que el plano que contiene a una cara no penetra en el poliedro), de modo que podemos defi-
nirlo en coordenadas cartesianas mediante un sistema de desigualdades:
aix+biy+ciz≤di V-i=1,…,C
siendo C el número de caras. Ejemplos de poliedros son una caja de zapatos, una pirámide,
un cubo, un tetraedro...
Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos.
Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos
regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aris-
tas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el
octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Este resultado se atribuye a
Teeteto (425-379 a.C.), de la escuela de Platón. Existen pruebas elemen-
tales de este resultado, pero la forma elegante de hacerlo es utilizar la
famosa fórmula de Euler, de la que más adelante hablaremos. Platón en
su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los
cuatro elementos en el pasaje en el que describe la creación del universo.
Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el cubo es la tierra y el
icosaedro, las moléculas de agua. Finalmente, relata cómo el Creador uti-
lizó el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón por la cual se
les conoce como sólidos platónicos.
Los poliedros son entes matemáticos que brotan de la forma más insos-
pechada en distintos ámbitos de nuestra vida: desde las pirámides de
Egipto hasta los cubos en los que cristaliza la pirita, pasando por los balo-
nes de fútbol. Han fascinado a los matemáticos y las matemáticas, que se
han dedicado a su estudio desde la antigua Grecia, y constituyen hoy en
día motivo de investigación activa. Entre los muchos que se han ocupado
de su estudio cabría citar a Arquímedes, Kepler, Descartes, Euler, Cauchy,
Steinitz, Alexandrov, Weil, Coxeter, Schläffi y Banchoff, dejándonos a
muchos por el camino. Una referencia obligada sobre poliedros es [Cox]
2.2. Papiroflexia modular
Como hemos comentado antes, la papiroflexia modular consiste en hacer figuras utilizando
varios papeles que darán lugar a piezas individuales que llamaremos módulos. Cada uno de
estos módulos posee solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Es usual repre-
sentar de esta manera figuras geométricas, y que el plegado de cada módulo sea sencillo. Los
poliedros son la principal fuente de inspiración de esta modalidad, aunque no la única.
Aparte del valor artístico y estético de la papiroflexia modular, su interés para con las mate-
máticas es doble:
1) Nos permite la representación física de entes abstractos. En este sentido, tiene el
mismo interés que puede tener un programa de ordenador que dibuje poliedros, si
bien es mucho más revelador tener en la mano un icosaedro, palparlo y girarlo, que
Sólidos Platónicos](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-175-320.jpg)
![verlo en una pantalla donde simulamos su giro. Para este fin, hay también recortables
y figuras de plástico, aunque a decir verdad, la posibilidad práctica de representar
poliedros con origami son mucho mayores que con recortables.
2) Tanto en el diseño como en el plegado y ensamblaje de los módulos, se experimen-
tan de una forma muy sencilla las propiedades de los poliedros tales como grado de
un vértice, regularidad y simetría, ya que en su diseño intervienen de forma decisiva
los conceptos de arista, índice, cara, vértice, y otros más sofisticados como dualidad,
colorabilidad, característica de Euler-Poincaré e incluso curvatura (en el sentido que
veremos más adelante).
En este apartado, vamos a ver diversos tipos de módulos y de poliedros, y analizaremos la
enjundia matemática que acompaña a su diseño y su hechura. A medida que vamos viendo
modelos, veremos como nos surgirán cuestiones matemáticas que nos harán acercamos a
diversos resultados matemáticos sobre poliedros.
2.3. Familias de módulos
Se puede hacer una clasificación de los modulares, fijándonos
en la estructura del poliedro que forman, o mejor dicho,
dependiendo de en qué se fije uno para describir un poliedro:
los vértices, las aristas o las caras. ¿Qué es, al fin y al cabo, un
tetraedro? Podemos definirlo como cuatro vértices equidistan-
tes, o como seis segmentos dispuestos de una determinada
manera, o como cuatro caras triangulares. En una vuelta de
tuerca sorprendente, un cubo puede definirse como un tetrae-
dro estrellado. Todo esto es fácil de experimentar con la papi-
roflexia. Según esto, distinguimos tres tipos de módulos:
1) Módulos basados en las aristas. Suelen ser los de ensamblaje más sólido. Cada módulo
corresponde a una arista, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de diseñarlos. Por
lo general, suelen presentar caras perforadas, que nos permiten ver el interior.
2) Módulos basados en las caras. Parece lo más natural, pero no siempre es lo más fácil
de diseñar en papiroflexia. Los empalmes suelen ser más débiles, lo cual se debe a
que las caras se juntan entre sí de dos en dos, mientras que las aristas se juntan de más
en más en cada vértice.
3) Módulos basados en los vértices. Los más importantes son de tipo giroscopio (ver
[SAG]). Muy versátiles y resultones. Dentro de este tipo, se pueden clasificar por el
grado: los que agrupan aristas de 3 en 3, de 4 en 4...
2.4. Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados
Son probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè.
Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un triángulo equilátero
y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy adecuados para construir poliedros
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA180
José Ignacio Royo Prieto
Octaedro con el módulo giroscopio](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-176-320.jpg)
![estrellados cuyas caras son triángulos (icosaedro estrellado,
octaedro estrellado...).
Podemos considerar que estos módulos pertenecen la familia
de las caras, pero no sólo los podemos usar con caras triangu-
lares: podemos juntarlos de 4 en 4, obteniendo como base un
cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una estre-
llación de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no
caen en un plano). De la misma manera, juntándolos de diver-
sas maneras podemos obtener polígonos con estrellaciones
muy barrocas, donde las caras aparecen de una manera más
especial, pero con su sentido artístico y estructural (ver [Kasa]).
2.5. Coloración
Un reto interesante sobre el módulo Sonobè consiste en colorear sus caras de una forma cohe-
rente. Para abordar esto, nos será útil el concepto de grafo de un poliedro.
2.5.1. Grafo de un poliedro
Sin querer ser demasiado preciso, un grafo
es un complejo finito de vértices y aristas.
Un grafo es plano si se puede dibujar en R2
de modo que las aristas no se corten, tan
sólo pueden juntarse en los vértices. En un
grafo, consideraremos vértices, aristas y
caras. Llamaremos grado de un vértice al
número de aristas que concurren en él. A
todo poliedro podemos asociar de forma
fácil un grafo plano. Basta tomar una cara y
realizar una suerte de proyección estereo-
gráfica en el plano. Por supuesto, conside-
ramos la componente no acotada como
una cara.
Una ventaja de los grafos es que nos permite estudiar los poliedros de una forma más fácil que
representándolos en el espacio.
2.5.2. Coloración de isocaedros
Entendemos por una buena coloración a la asignación de colores a los vértices, aristas o caras
de modo que cumplan alguna regularidad, por lo general, del tipo de que elementos conti-
guos tengan colores distintos.
Para pensar en una coloración del icosaedro estrellado con módulos Sonobè, habrá que conse-
guir su grafo a partir del de nuestro icosaedro, sin más que unir en cada uno de sus triángulos
Octubre 2002 • 2002 Urria 181
Matemáticas y Papiroflexia
Grafos de los sólidos platónicos
Icosaedro Estrellado
con módulos Sonebè](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-177-320.jpg)
![el punto medio con sus vérti-
ces. El grafo que así obtene-
mos es el de un triacontrae-
dro. Como éste es dual del
icosidodecaedro, nos basta
colorear las aristas de éste
último. Si nos fijamos en los
módulos de Sonobè, ade-
más, tenemos que por cada
módulo, coloreamos dos
aristas “contiguas” del icosa-
edro estrellado. Esto nos
sugiere construir seis circui-
tos de colores de la forma en que vemos en la ilustración, obteniendo seis “círculos máximos”
sobre el icosaedro estrellado. Volviendo al módulo de Sonobè, si quiero hacer una coloración
con tres colores, he de elegir los circuitos máximos de dos en dos, y en los puntos de cruce
de ambos circuitos, dejar que pase el uno sobre el otro, y el otro sobre el uno. De esta forma,
obtenemos un arlequinado del icosaedro estrellado Sonobè tal que en cada vértice se unen
los tres colores. Como vemos, para colorear un icosaedro estrellado, hay que pensar en un
icosidodecaedro.
2.5.3. Dualidad
Otro concepto que se puede representar con la papiroflexia es la dualidad de poliedros. Dado
un poliedro, podemos tomar los puntos medios de cada cara,
y unir los de caras contiguas. Sorprendentemente, mediante
este procedimiento obtenemos un nuevo poliedro. Para com-
prender mejor la idea, vamos a expresarla con grafos: se cons-
truye el dual de un grafo como el grafo que tiene como pun-
tos los puntos medios de cada cara, y que tiene como aristas
las aristas que resultan de unir los puntos pertenecientes a
caras contiguas, atravesando las aristas originales. Poliedros
duales corresponden a grafos duales. La relación “ser duales”
es recíproca.
De este modo, se puede comprobar que el dual del tetraedro
es el mismo tetraedro, el dual del icosaedro es el dodecaedro, y el dual del cubo es el octae-
dro. En papiroflexia podemos representar esa dualidad valiéndonos de que los módulos de
tipo arista del dodecaedro tienen agujeros, además de usar un material transparente como lo
es el acetato.
2.6 Cinco tetraedros intersecados
Vamos a construir un objeto muy venerado por matemáticos y papiroflectas. Si tomamos en
un dodecaedro cuatro vértices equidistantes, obtendremos un tetraedro. Como tenemos exac-
tamente veinte vértices, podemos insertar cinco tetraedros en el dodecaedro. Este objeto se
puede construir en papiroflexia, y constituye un complejo y entretenido rompecabezas (ver
[Hull1]). Para resolverlo, hay que fijarse en las mil y una simetrías de este objeto. La clave para
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA182
José Ignacio Royo Prieto
Seis ciclos en un icosidodecaedro; Grafo del triacontaedro.
Dualidad icosaedro-dodecaedro](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-178-320.jpg)
![Octubre 2002 • 2002 Urria 183
Matemáticas y Papiroflexia
la construcción consiste en que si tomamos cualesquiera dos
de estos tetraedros, un vértice de uno de ellos sale exacta-
mente por el medio de una cara del otro, y lo mismo pero
intercambiando los papeles ocurre en la parte opuesta. Con
este objeto se puede visualizar que el grupo de rotaciones del
dodecaedro es grupo alternado de cinco letras. Esto resulta de
que al girar el dodecaedro estamos intercambiando los cinco
tetraedros entre sí.
Hay otras composiciones realizables con papiroflexia, como
los cinco octaedros que hay insertados en un icosidodecaedro.
En cambio, la composición de cinco cubos que hay en un
dodecaedro presenta una dificultad añadida, pues las aristas de esos cubos se intersecan, y no
podríamos usar la técnica de los módulos tipo arista que hemos usado para los tetraedros.
2.7. Balones de fútbol o Fullerenos
2.7.1. El objeto
Si miramos con atención un balón de fútbol, veremos que está formado por hexágonos y pen-
tágonos, de modo que en cada vértice se juntan dos hexágonos y un pentágono. Podemos con-
tar con cuidado y comprobar que tiene 12 pentágonos. Contar los hexágonos del balón parece
más complicado, pero podemos valernos su estructura: si contamos por cada pentágono sus
cinco hexágonos adyacentes, obtenemos 60 hexágonos, pero cada uno de estos, al tocar a 3
pentágonos, lo hemos contado 3 veces, de modo que en realidad hay 20 hexágonos. El balón
de fútbol es un poliedro semirregular (son como los regulares, pero usando dos tipos de polí-
gonos; hay sólo 13 y se llaman arquimedianos), y su auténtico nombre es icosaedro truncado.
2.7.2. Fullerenos
Un fullereno es un poliedro formado
por pentágonos y hexágonos, de
modo que todos los vértices son de
grado 3. Su nombre está puesto en
honor al arquitecto Richard Buck-
minster Fuller (1895-1983), que
construyó un pabellón esférico futu-
rista con esa estructura en la
Exposición Universal de Montreal de
1967. Más tarde, se ha llamado
fullereno a la tercera forma alotró-
pica del carbono (las otras dos son el diamante y el grafito), y ha resultado ser una forma
extraordinariamente estable, descubierta en 1985 y cuyo descubrimiento fue merecedor de
un premio Nobel. Las moléculas del fullereno usual tienen 60 átomos de Carbono coloca-
dos en los vértices de un balón de fútbol, pero hay muchos más fullerenos. Para construir
fullerenos de papiroflexia es muy adecuada la pieza en zig-zag de Tom Hull (ver [Hull1]),
pues cada módulo representa una arista y las aristas se juntan de tres en tres (ver dibujo en
el apartado 2.9).
Cinco tetraedros intersecados
Icosaedros truncados con módulos de vértices y aristas](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-179-320.jpg)
![2.8. Característica de Euler
Una de las propiedades más valiosas de los poliedros es una fórmula atribuida a Euler, aun-
que anteriormente Descartes había encontrado una fórmula equivalente, que apareció 200
años después de ser escrita, entre los papeles de Leibnitz. Es el siguiente y bonito teorema:
Teorema (Fórmula de Euler): Sea un poliedro homeomorfo a una esfera con V vértices, A aris-
tas y C caras. Entonces, se cumple la fórmula:
V-A+C=2.
Podemos comprobar esta fórmula con los sólidos platónicos, con el balón de fútbol y con los
poliedros estrellados que hemos visto aquí. Esta fórmula también la cumplen los grafos pla-
nos. De hecho, la propiedad es topológica: si hacemos cualquier triangulación sobre una
esfera o sobre un espacio homeomorfo, se seguirá cumpliendo la fórmula. Se puede asociar a
cada espacio topológico “razonable” un número llamado característica de Euler-Poincaré, que
se define como la suma alternada de sus números de Betti. Es un invariante topológico impor-
tantísimo, y generaliza la suma alternada que antes hemos expresado como “vértices menos
aristas más caras”. En este sentido, la fórmula de Euler dice ni más ni menos que la caracte-
rística de Euler-Poincaré de la esfera es 2. Con la característica de Euler-Poincaré es fácil pro-
bar, por ejemplo, el teorema de Teeteto sobre los cinco sólidos platónicos.
Volviendo a nuestros fullerenos, si llamamos H al número de hexágonos y P al número de pen-
tágonos, podemos calcular cuántos vértices, aristas y caras hay. Explícitamente,
Si sustituimos ahora en la fórmula de Euler, obtenemos fácilmente
y concluimos P=12, de modo que sea lo grande que sea el fulle-
reno, las condiciones que le hemos puesto fuerzan a que haya
siempre 12 pentágonos, si bien no hemos obtenido ninguna condi-
ción sobre los hexágonos. De hecho, podemos interpretar el dode-
caedro como un fullereno sin hexágonos. Un método para generar
fullerenos es truncar un icosaedro (tiene 12 vértices, de donde
obtenemos los 12 pentágonos) y subdividir las caras triangulares en
nuevos triangulitos más pequeños. Calculando el dual de este
grafo, obtenemos un nuevo poliedro que es un fullereno.
Cabe preguntarnos si estas construcciones son meramente topoló-
gicas, es decir, si los grafos que construimos tienen una realización
en un poliedro convexo real. No tenemos aparentemente ninguna
razón para pensar que para todo grafo vaya a suceder eso. Es clara
la existencia de un poliedro “esférico” que realice cada grafo, pero
otra cosa es que las caras que obtengamos sean planas. Aunque
nuestros fullerenos podamos construirlos efectivamente con papi-
roflexia (ver [Hull1]), a uno le podría quedar la duda de si está
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA184
José Ignacio Royo Prieto
5P + 6H
3
5P + 6H
2
V = ;A = ;C = P + H
5P + 6H
3
5P + 6H
2
-- + (P + H) = 2 ˛ P=12
Construcción de fullerenos](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-180-320.jpg)
![Octubre 2002 • 2002 Urria 185
Matemáticas y Papiroflexia
construyendo poliedros “de verdad” o si es la flexibilidad del papel la que nos los permite
construir, no yaciendo cada cara en un plano. Para responder a esta cuestión, tenemos el
siguiente y clásico teorema:
Teorema [Steinitz] Un grafo representa a un poliedro convexo de IIR3
si y sólo si es plano y 3-
conexo.
La propiedad de ser 3-conexo significa que hay que quitar por lo menos tres vértices al grafo
plano para dividirlo en dos componentes conexas. Así que como nuestros fullerenos tienen
grafos planos y 3-conexos, nos quedamos tranquilos. Otra cuestión es saber cuándo un grafo
se puede realizar como un poliedro inscribible en una esfera. Esta cuestión se conoce como
Problema de Steinitz y ha obtenido recientemente respuestas parciales con métodos de geo-
metría computacional.
2.9. Toros modulares
Un toro es el nombre matemático por el que se conoce a la
superficie de un flotador o un donuts. Viene del griego torew,
que significa agujero, perforar. Vamos a ilustrar el interés mate-
mático de la construcción de un toro de papiroflexia con una
anécdota personal. La historia empieza al conseguir una foto
en internet de un toro modular, diseñado por el italiano
Roberto Gretter con las mismas piezas zig-zag de Hull. Como
con los fullerenos, podemos contar cuántos pentágonos y
hexágonos iban a ser necesarios. La característica de Euler-
Poincaré del toro es 0, con lo cual, aplicando la fórmula de
Euler para toros:
V - A + C = 0,
y sustituyendo con el número H de hexágonos y P de pentágonos, obtenemos:
con lo que llegamos a que no se puede construir un toro con hexágonos y pentágonos de 3
en 3, esto es una restricción topológica. Sin embargo, en el toro de la foto claramente se le
adivinan pentágonos en la parte exterior. El error consistió en no haberse percatado de que,
además de pentágonos y hexágonos, el toro por la parte interna tenía heptágonos. Teniendo
esto en cuenta, la fórmula de Euler nos proporciona:
con lo que la condición es que haya el mismo número de heptágonos que de pentágonos. Con
ese dato, y calculando que hubiera 10 pentágonos en la composición, es un entretenido rom-
pecabezas construir un toro modular.
Como vemos, la discusión matemática previa al diseño es exclusivamente topológica (hemos
utilizado el género de la superficie que queremos conseguir). No hemos obtenido un poliedro,
Toro modular
5P + 6H
3
5P + 6H
2
-- + (P + H) = 0 ˛ P = 0!!!
5P + 6H + 7Hp
3
5P + 6H + 7Hp
2
-- + (5P + 6H + 7Hp) = 0 ˛ P = Hp,](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-181-320.jpg)
![pues salta a la vista que las caras que tenemos no son planas. No obstante, la enjundia de este
modelo no es sólo topológica, sino también geométrica.
Podemos fijarnos en que el toro tiene los 10 pentágonos por fuera y los heptágonos por den-
tro. El toro usual con la métrica usual, sabemos que tiene curvatura positiva por fuera (se ase-
meja a un balón), negativa por dentro (se asemeja a una silla de montar) y como la curvatura
es una aplicación continua, se tiene que anula entre medio. De hecho, por fuera, los pentá-
gonos están rodeados de hexágonos, lo cual nos puede recordar al balón de fútbol.
Ciertamente, la coloración del toro está en función de la curvatura: roja allá donde es posi-
tiva, morado donde es negativa, y amarillo cuando más se acerca a cero.
La razón por la cual nuestro toro modular adquiere esta curvatura no es topológica, sino geo-
métrica, y de hecho se debe a la forma que tienen los módulos que estamos empalmando. Al
formar un heptágono con los módulos zig-zag, vemos que adquiere por sí solo curvatura nega-
tiva, al plegar un hexágono, se puede posar tranquilamente sobre una mesa (curvatura cero),
y al plegar un pentágono, las aristas adquieren curvatura positiva. Al analizar los empalmes
de los módulos, vemos que forman pirámides que tiene como base un triángulo equilátero, y
se unen desde la mitad del lado, como se ve en el dibujo. Si ponemos seis triángulos de esa
manera, montan perfectamente. Si ponemos sólo cinco, nos falta un poco de ángulo para
completar 2 radianes. Eso que falta se
puede interpretar como el exceso de
ángulo en un punto interior del pentá-
gono, y es lo que proporciona la cur-
vatura positiva. Cuando ponemos siete
triángulos, en vez de faltar, sobra
ángulo, y eso es porque en el interior
hay curvatura negativa.
Un interesante reto consiste en diseñar
toros con este mismo módulo usando
la menor cantidad de piezas posible. El toro de Gretter tiene 555 piezas. Tom Hull y sus alum-
nos han diseñado diferentes modelos de 240, 105 y 81 piezas, llegando al límite de lo física-
mente constructible. En vez de heptágonos, se usan octógonos y decágonos para dar curva-
tura negativa (cuanto menos piezas, menor tendrá que ser la curvatura, intuitivamente). La fór-
mula de Euler nos dice que tiene que tener el doble de pentágonos que de octógonos, y si usá-
mos decágonos, hay que usar 4 veces más pentágonos que decágonos.
3. CONSTRUCTIBILIDAD DE PUNTOS EN ORIGAMI
La papiroflexia, o mejor dicho, el ejercicio de doblar
papel se puede usar con fines pedagógicos para estudiar
e ilustrar la geometría elemental plana. Sobre ello hay
numerosos libros, siendo una excelente referencia el de
Sundara Row ([Row]), donde se proponen diversos ejer-
cicios mediante los que se resuelven problemas referen-
tes a cónicas, ecuaciones polinómicas y trigonometría
utilizando tan sólo los dobleces del papel.
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA186
José Ignacio Royo Prieto
Pentágono y hexágono con módulos zig-zag de Hull
Dominio fundamental (Sarah Belcastro)](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-182-320.jpg)
![Octubre 2002 • 2002 Urria 187
Matemáticas y Papiroflexia
La clave consiste en interpretar geométricamente qué estamos haciendo cuando doblamos el
papel. Por ejemplo, cuando doblamos los dos lados que concurren en una esquina, uno sobre
el otro, estamos calculando una bisectriz. Cuando llevamos un punto del papel sobre otro y
doblamos, estamos trazando la mediatriz del segmento que definen los dos puntos. Con papi-
roflexia es sencillo dibujar un montón de rectas tangentes a una parábola dada por su foco y
su recta directora, probar que el área de un triángulo es base por altura partido de dos, o sumar
la serie ⌺ 1/2n
, sin más que hacer unos cuantos dobleces y pensar su significado. Las posibili-
dades pedagógicas del plegado son muchas, pero no entraremos en ello, sino más bien en
analizar qué puntos son constructibles con origami, de la misma manera en la que se estudia
qué puntos son constructibles con regla y compás.
En 1995, D. Auckly y J. Cleveland publicaron una nota en el American Mathematical Monthly
en la cual probaban que todo punto constructible con papiroflexia era constructible con regla
y compás, pero que el inverso no era cierto. Sin embargo, tal y como hace notar Tom Hull en
la misma revista (ver [Hull3]), hay un método desarrollado por el japonés Hisashi Habe en la
década de los 70, mediante el cual se puede trisecar cualquier ángulo dado, con un par de
pliegues que son perfectamente razonables en origami, tal y como vemos en la figura. ¿Dónde
está la contradicción? Lo que ocurre es que a la hora de definir los números constructibles con
papiroflexia, hay que realizar una axiomática de lo que consideramos “razonable” de obtener
en papiroflexia plegando. En la literatura de la papiroflexia se pueden encontrar métodos para
trisecar ángulos, duplicar cubos y doblar heptágonos regulares, todos ellos con pliegues sen-
cillos.
Se debe al italo-japonés Humiaki Huzita la formulación de la axiomática más utilizada para
definir los puntos constructibles con papiroflexia:
[O1] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles,
podemos construir la línea que los une;
[O2] El punto de coincidencia entre dos líneas cons-
tructibles es constructible;
[O3] Dado un segmento delimitado por dos puntos
constructibles, su bisectriz es constructible;](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-183-320.jpg)
![[O4] La bisectriz del ángulo formado por dos líneas construc-
tibles es constructible;
[O5] Dados dos puntos p1 y p2 y una línea l1 cons-
tructible, la línea que pasa por p1 y que refleja a
p2 sobre l1 es constructible;
[O6] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles, y dos líneas constructibles l1 y l2, la línea que
refleja a p1 en l1 y a p2 en l2, si es que existe, es constructible.
Era conocido entre los griegos desde tiempos
de Arquímedes que si se podían hacer dos mar-
cas en una regla, entonces se podía conseguir
la trisección del ángulo, de modo que dado que
en un borde del papel se puede calcular 1/2,
1/4, 1/8 y así, no es sorprendente que se pue-
dan hacer cosas en origami tales como trisecar
ángulos.
Los cuatro primeros axiomas se pueden alcanzar con regla y compás. El quinto, también, y
de hecho, los puntos constructibles con regla y compás son exactamente los mismos que los
constructibles con los cinco primeros axiomas, y que es equivalente al menor subcuerpo del
cuerpo de los números complejos C, cerrado por raíces cuadradas. El sexto axioma es equi-
valente a la construcción de una tangente común a dos parábolas, exactamente a las defini-
das por p1,l1 y p2,l2. Se puede probar que hacer esto es equivalente a resolver una ecuación
de tercer grado.
En un artículo de Roger Alperin aparecido en el New York Journal of Mathematics (ver [Alp]),
se hace una discusión del alcance de los axiomas presentados, y se caracterizan los “puntos
de origami” como aquellos números del plano complejo C constructibles tras la aplicación
finita de los axiomas O1-O6. El resultado central es:
Teorema [Alperin]: El conjunto O de los puntos los puntos constructibles con origami se
puede caracterizar de las siguientes maneras:
i) el menor subcuerpo de C cerrado por raíces cuadradas, cúbicas y conjugación compleja;
ii) el conjunto de los puntos constructibles por intersección de líneas constructibles y cónicas
constructibles (con directrices, focos, radios y excentricidades constructibles).
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA188
José Ignacio Royo Prieto](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-184-320.jpg)
![T. Hull en [Hull2] halla más resultados sobre las propiedades que tiene que cumplir un grafo
para corresponder a un modelo plano, y sobre las posibles asignaciones valle-montaña que
tiene un grafo determinado.
4.2. Método de Meguro-Kawahata-Lang
Los resultados anteriores nos hablan de propiedades
que ha de tener un mapa de cicatrices para que pueda
convertirse en un modelo plano, pero otra cuestión
distinta es, por ejemplo, si queremos diseñar un ciervo,
o una lagartija, cómo nos las podemos ingeniar. Un
método es el tan recurrido ensayo-error, basado en la
experiencia, el cual tiene sus límites, sobre todo si que-
remos conseguir un modelo complicado como puede
ser un insecto. A continuación voy a intentar describir la formalización del problema que han
realizado diversos plegadores, en particular, Toshikuyi Meguro, Fumiaki Kawahata y Robert
Lang.
Una base es una aproximación esquemática a la figura que queremos obtener. La base resulta
de un número finito de pliegues, en cuya forma final se pueden observar las solapas y puntas
necesarias, con las longitudes deseadas que nos llevarán al modelo que queremos. Una vez
obtenida la base, no es difícil llegar al modelo, o por lo menos, ya es una cuestión artística y
abordable.
Consideraremos un tipo de bases: aquellas en las que se pueden distribuir las puntas de modo
que la base se proyecta ortogonalmente en un grafo plano, simple y sin caras, tal y como
vemos en la figura. El problema va a ser saber si dado un grafo de este tipo vamos a poder
encontrar un mapa de cicatrices que me proporcione una base que se proyecte sobre ese
grafo.
4.2.1. Método Meguro-Kawahata de las hipérbolas
Vamos a ilustrar la respuesta que dan Meguro y
Kawahata (ver [Kawa] y [Voy]) al problema anterior
mediante el siguiente gráfico. En primer lugar, idealiza-
mos nuestro modelo. Luego, cuando tenemos el grafo,
hemos de distribuir en el papel las puntas de la base, de
la siguiente manera. Luego, nos hemos de fijar en lo
siguiente: cuando queremos conseguir dos puntas inde-
pendientes, en un triángulo, se hace doblando por las
tres bisectrices y una de las alturas desde el incentro. Por
lo tanto, al pensar que tenemos que meter aquí el tercer
vértice de un triángulo, hay que calcular el lugar geo-
métrico de los posibles vértices tal que el incentro cum-
pla lo que ha de cumplir, y un cálculo sencillo nos pro-
porciona que ese lugar geométrico es una hipérbola.
Entonces allá donde se corten las hipérbolas, o donde
se corten con pliegues o puntos que hayamos impuesto,
como una diagonal, por ejemplo, obtenemos nuevos
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA190
José Ignacio Royo Prieto
Base proyectable y mapa de cicatrices
de un modelo plano
Aplicación del método F. Kawahata](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-186-320.jpg)
![Octubre 2002 • 2002 Urria 191
Matemáticas y Papiroflexia
puntos de nuestro mapa de pliegues. Con este método
podemos tener una primera aproximación al modelo.
Luego habría que rellenar los pliegues, para lo que hay
otros razonamientos geométricos elementales. El resul-
tado que consigue Kawahata con este método es fran-
camente impresionante.
4.2.2. El Treemaker de R. Lang
El método del árbol (grafo sin caras) de Lang es un método de similar estructura al de
Kawahata. Lang permite que los vértices del grafo del modelo estén también en el interior del
cuadrado de papel. Vamos a ilustrar su método con el siguiente ejemplo: Para conseguir un
perro, diseña un grafo con aristas de determinada longitud, y las distribuye en el cuadrado
intentando aprovechar toda la superficie del cuadrado. Ahora cabe plantearse si existirá un
mapa de cicatrices conteniendo este árbol que nos lleve a la base deseada. Lang ha encon-
trado una condición necesaria y suficiente para la existencia de un tal mapa de cicatrices, tal
y como se enuncia en el siguiente (ver [Lang2]):
Teorema (del árbol de Lang):
Sea un árbol T simplemente conexo con puntos terminales P1,..., Pn, y sean lij las distancias
entre Pi y Pj medidas a lo largo de las aristas del árbol. Sea un conjunto de puntos ui en el
cuadrado unidad. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que exista un mapa de
cicatrices que transforme el cuadrado en una base cuya proyección sea el árbol T es:
ui - uj ≤ lij i,j
Más aún, en dicha base, cada punto Pi es la proyección del punto ui para todo i.
De la prueba, que no es en absoluto trivial, se desprende una manera de construir un algo-
ritmo que calcule el mapa de cicatrices deseado. El autor ha implementado el algoritmo en un
programa de ordenador para Macintosh, el Treemaker, de libre distribución.
Tanto del método de Kawahata-Meguro como del de Lang, por supuesto, se derivan proble-
mas adicionales. El primero es obtener mediante dobleces los ángulos que proporciona el
método. El segundo consiste en que, aun obteniendo un mapa de cicatrices, encontrar una
secuencia de plegado que nos lleve hasta la figura deseada es realmente complejo. No todo
en papiroflexia se basa en métodos matemáticos; la experiencia y la componente artística no
se pueden dejar de lado. Esto viene muy bien reflejado en el siguiente Origag :
A
Pliegue oreja de conejo
Lugar geométrico de los incentros](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-187-320.jpg)
![5. CONCLUSIONES
Como conclusión, quisiéramos señalar que las conexiones entre las matemáticas y la papiro-
flexia no son meramente anecdóticas, y de hecho hemos visto cómo afloran de formas muy
distintas. No en vano, en Japón se celebran con frecuencia simposios de matemáticos papiro-
flectas donde exponen y comparten sus técnicas, y aparecen salpicadamente artículos de
papiroflexia en diversas revistas matemáticas (no sólo de divulgación). La papiroflexia consti-
tuye una atractiva forma de acercarse a las matemáticas, y queremos reivindicar desde estas
líneas un hueco para esta bella arte en la enseñanza, por su riqueza cultural y su gran valor
pedagógico.
6. BIBLIOGRAFÍA
[Alp] R.C. Alperin, “A mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers”,
New York J. Math, 6 (2000) 119-133.
[Cox] H.S.M. Coxeter, “Regular Polytopes“, Dover, 1973 (prev.1967).
[Engel] P.Engel, “Origami: from Angelfish to Zen“, Dover, 1994.
[Hull1] T. Hull, “Página web de Tom Hull“, http://web.merrymack.edu/~thull/
[Hull2] T.Hull, “On the mathematics of flat origamis“, Congressus Numerantium 100,
215-224, (1994).
[Hull3] T.Hull, “A note on «Impossible» Paper Folding“, Amer. Math. Monthly, 103
240-241, (1996).
[Kasa] K.Kasahara, T.Takahama, “Origami para expertos“, Edaf, 2000 (prev. 1987)
[Kawa] F. Kawahata, “The technique to fold free angles of formative art «origami»”,
Second International Meeting on Origami Science and Scientific Origami, Otsu,
Japón,1994.
[Lang1] R. Lang, “The Complete book of Origami“, Dover, 1989.
[Lang2] R.Lang, “TreeMaker 4.0: A program for Origami Design“,
http://origami.kvi.nl/programs/TreeMaker/trmkr40.pdf
[Row] S.Row, “Geometric exercises in paper folding“, Dover 1966 (1ªed. 1905).
[SAG] L.Simon, B.Arnstein, R.Gurkewitz, “Modular Origami Polyhedra“, Dover, 1999.
[Voy] J.A.Voyer, “Introducción a la Creación“,
(Seres de Ficción, El lado oscuro de la Papiroflexia), Ed. Salvatella, 2000.
[AEP] “Página web de la Asociación Española de Papiroflexia“, http://www.pajarita.org
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA192
José Ignacio Royo Prieto
Origag, de Roberto Morassi (1984)](https://image.slidesharecdn.com/revistasigma21-201109174823/85/Revista-sigma-21-188-320.jpg)
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Revista sigma 21
- 1. Octubre · Urria MA T E M A T I K A A L D I Z K A R I A R E V I S T A D E M A T E M A T I C A S Nº 21 Zka.
- 2. EDITORIAL Hace justo unaño comenzamos esta segunda etapa de la revista SIGMA. El primer número se centró en el compendio del congreso matemático de diciembre de 2000 y el segundo siguió la línea clásica con artículos sobre diversos temas matemáticos. Dado que el Departamento de Educación del Gobierno Vasco quiere potenciar la edición de la revista, garantizando su futuro con dos ediciones por año, nos parece interesante organizarla con unas secciones fijas. Entre estas secciones queremos destacar las tres nuevas: Infantil- Primaria, Secundaria y la Pizarra Electrónica. Nuestra intención es que en cada número (uno en marzo y otro en octubre) aparezca, al menos, un artículo de aplicación directa en el aula referido a las etapas citadas y, en el tercer apartado, un artículo, también de aplicación directa en el aula, pero cuyo desarrollo y aplica- ción necesite el uso de una pantalla de un ordenador o de una calculadora gráfica. Con esto buscamos dos objetivos: por un lado que cualquier docente, al abrir la revista, tenga la garan- tía de encontrar actividades para su etapa y, en segundo lugar, presentar artículos que nacen de la actividad en el aula y vuelven a ella de la mano de otros docentes, es decir, buscamos priorizar el aspecto didáctico directo de aula sobre el técnico y formativo en el área. Este aspecto lo dejamos en la parte referida a “Artículos Generales” como hasta ahora. Los aparta- dos de “Problemas”, “Referencias a Libros” y “Noticias”, completarán las secciones de la revista. Como podéis ver este proyecto se presenta atractivo para todos los que estamos metidos en este mundo de la Matemática y su didáctica. Pero este proyecto de futuro sólo será posible con la ayuda de todo el profesorado interesado en colaborar con nosotros y que, desde ahora mismo, la agradecemos sinceramente. EDITORIALA Orain dela urtebete “SIGMA” aldizkariaren bigarren etapa honekin hasi ginen. Lehenengo alea, 2000ko abendukoa, Matematika kongresuari buruzkoa izan zen, eta ondoren, bigarrenak gai desberdinei buruzko lerro klasikoa jarraitu zuen. E.J.ko Hezkuntza Sailak aldizkari honen argitalpena indartu nahi duenez, urtero bi aleren argi- talpena bermatuz, interesgarria iruditu zaigu atal finkoen arabera antolatzea. Zati hauen artean hiru berrikuntza azpimarratu nahi ditugu: Haur eta Lehen Hezkuntza, Bigarren Hezkuntza eta Arbela Elektronikoa. Gure asmoa honakoa da: ale bakoitzean (bat martxoan eta beste bat urrian) gela barruan apli- katzeko etapa horiei buruzko artikulu bat agertzea eta, hirugarren zatian, gela barruan aplikatze- ko artikulu bat ere, baina bere aplikazioak ordenagailuaren pantaila edo kalkulagailu grafiko baten beharra izan dezala. Honetaz bi helburu lortu nahi ditugu: alde batetik, aldizkaria ireki- tzerakoan edozein irakaslek bere etaparako eginkizun egokiak izan ditzala eta, beste alde batetik, gelatik jasotzen diren artikuluak berriro gelara itzul daitezela baina, kasu honetan, beste irakasle batzuek emanda.. Hori dela eta arloko alde teknikoen eta hezigarrien gainetik gelarako alde didaktiko zein erabilera zuzenari lehentasuna eman nahi diogu. Azkenko iriz- pide hau, orain arte bezala, “Artikulu Orrokorrak” atalarentzat utziko dugu. “Problemak”, “Liburuen Erreferentziak” eta “Albizteak” atalek aldizkariaren sekzioak betetzen dituzte. Ikusi ahal duzuenez, Matematika arloan eta bere didaktikan aritzen garenontzat proiektu honek erakargarria ematen du. Baina, irakaslegoaren laguntza jaso ezean, proiektu honek ez du etorkizun bermatua izango. Horregatik, momentu honetatik zuen kolaborazioa bihotz- bihotzez eskertzen dizuegu.
- 3. INDICE INFANTIL-PRIMARIA / HAURETA LEHEN HEZKUNTZA 5 PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULA. MÁS Y MÁS PROBLEMAS PROBLEMA MATEMATIKOAK GELAN. PROBLEMAK ETA PROBLEMAK Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 SECUNDARIA / BIGARREN HEZKUNTZA 37 EL PROBLEMA DE LA CABRA Alberto Bagazgoitia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 IKUR ETA ZEINU BIDEZKO ADIERAZPEN MATEMATIKOEN IRAKURBIDEAZ Martxel Ensunza, Jose Ramon Etxebarria, Jazinto Iturbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 LA PIZARRA ELECTRÓNICA / ARBELA ELEKTRONIKOA 59 ESPIRALES CON CABRI - GÉOMÈTRE Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 BELLEZA IRRACIONAL Félix Elejoste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ARTÍCULOS / ARTIKULOAK 111 EL CONSTRUCTIVISMO Y LAS MATEMÁTICAS José Ramón Gregorio Guirles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 LAS FORMAS EN EL PLANO Carmen Cobo Musatadi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 LA «PARADOJA» DE ZENÓN Juan M. Aguirregabiria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 LA MATEMAGIA DESVELADA Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA José Ignacio Royo Prieto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 EL ALEPH DE BORGES Y LAS MATEMÁTICAS José del Río Sánchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 LIBROS / LIBURUAK 197 5 ECUACIONES QUE CAMBIARON EL MUNDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 LIBROS SOBRE HISTORIA DE MATEMÁTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 LA EXPERIENCIA DE DESCUBRIR EN GEOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
- 4.
- 5. PROBLEMAS MATEMÁTICOS ENEL AULA MÁS Y MÁS PROBLEMAS Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle Como profesoras de Educación Infantil y Primaria estamos realmente preocupadas por la educación matemática de nuestros alumnos (en este momento niños de 5, 6 y 7 años). Vemos que el enorme interés que en los pequeños despierta la matemática se desvanece con el tiempo, que la curiosidad y el interés que muestran al inicio de la escolaridad se convierte en gran número de casos en monotonía que incluso a veces lleva a un fracaso en matemá- ticas, que la innata capacidad para razonar se transforma en la aplicación de reglas y algo- ritmos aprendidos memorísticamente. Sabemos que resolviendo problemas aprenden matemáticas y pueden llegar a ser usuarios eficientes de este lenguaje internacional. En este artículo reflejamos lo que sucede en nuestras aulas, cómo se involucran los niños en la resolución de problemas. Pretendemos mostrar pistas, abrir caminos, dar ideas a otros docentes que, como nosotras, piensen que realmente hay que dar un cambio en la ense- ñanza de la matemática. INTRODUCCIÓN La resolución de problemas ha sido siempre el eje de la evolución de las matemáticas; todos los conocimientos matemáticos han surgido de la necesidad de resolver cuestiones sociales, comerciales, arquitectónicas ..., siempre para resolver problemas reales. Como menciona Georges Ifrah en su maravilloso libro “Las cifras; historia de una gran inven- ción”: “La historia de las matemáticas es la historia de las necesidades y preocupaciones de unos grupos sociales que intentan enumerar sus miembros, sus bienes, sus cautivos, fechar la fundación de sus ciudades, victorias... utilizando todo tipo de medios” . Está claro que en realidad hacer matemáticas es resolver problemas. En la escuela no debería ser muy diferente: todos los contenidos matemáticos deberían servir únicamente para resolver problemas. Ésta ha sido la dirección de la enseñanza tradicional de las matemáticas: Manipulación Representación gráfica Representación simbólica Resolución de problemas Queriendo dar un cambio, hemos gastado mucha energía intentando que las matemáticas fue- ran divertidas, asequibles a todos, que tuvieran un carácter lúdico. Desde luego así hemos dado un paso adelante; se han introducido nuevas actividades, nue- vos materiales, nuevos juegos matemáticos en las aulas. Pero posiblemente el mayor atractivo de las matemáticas subyace en que tengan sentido, en que sean un instrumento válido para resolver muchas situaciones. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA6 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 6. Octubre 2002 •2002 Urria 7 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle PROBLEMA MATEMATIKOAK GELAN PROBLEMAK ETA PROBLEMAK Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle Haur eta Lehen hezkuntzako irakasleak gara eta gure ikasleen matematika hezkuntzaz era- bat kezkaturik gaude (une honetan 5, 6, eta 7 urteko haurrak dira). Matematikak txikiengan sortzen duen jakinmina haundia da, baina denboraren poderioz desagertuz dihoala ikusten dugu, haurrek lehenengo eskola urteetan duten gogoa eta zaleta- suna monotonia bilakatzen da, askorentzat behintzat, eta sarritan matematikaren ikasketan porrot egitera eramaten ditu. Kezkatu egiten gaitu haurrek arrazoiak emateko berezkoa duten gaitasuna buruz ikasitako algoritmoen aplikazio hutsean geratzen dela ikusteak. Badakigu ikasleek, problemak ebaztean, matematika ikasten dutela eta, horrela, unibertsala den hizkuntza honen erabiltzaile trebeak izan daitezkeela noizbait. Artikulu honetan, gure geletan gertatzen dena somatu daiteke, alegia, nola inplikatzen diren haurrak problemak ebaztean. Aztarnak eman nahi ditugu, bideak ireki, eta ideiak eman, guk bezala, matematikaren irakaskuntza aldatu beharra dagoela pentsatzen duten irakasleei. SARRERA Problemen ebazpena izan da beti matematikaren garapenaren ardatza: ezagupen matematiko guztiak gizartearen beharrei erantzuna emateko sortu dira: giza-arazoak, merkataritzakoak, arkitekturarenak... benetako problemak ebazteko beti. George Ifrah-k horrela dio bere liburu eder honetan, “Las cifras; historia de una gran inven- ción”: “ Matematikaren historia gizatalde batzuen kezka eta beharren historia da, biztanleak, ondasunak, gatibuak zenbatzen saiatzen den talde baten historia, bere hirien sorrerei eta garai- penei data jarri nahi, eta, horretarako, era guztietako baliabideak erabiltzen dituena.” Garbi dago matematika egitea problemak ebaztea dela. Eskolan ez luke desberdina izan behar: matematikako eduki guztiek problemak ebaztearen zerbitzuan egon beharko lukete. Matematikaren irakaskuntza honela planteatua izan da orain arte : Manipulazioa Adierazpen grafikoa Adierazpen sinbolikoa Problemen ebazpena Azken urte hauetan, irakasleok askotan saiatu gara matematikaren irakaskuntza aldatzen, matematika ikasle guztientzat dibertigarria, eskuragarria, gustagarria izatea lortu nahian. Aurrerapauso bat egin dugu, jarduera berriak egiten dira, material eta matematikako joku berriak erabiltzen dira geletan. Baina beharbada matematika berez da erakargarria, zentzua duelako eta tresna baliagarria delako egoera asko ebazteko.
- 7. Si creemos quelas matemáticas han de ser un conocimiento útil y que su aprendizaje se debe basar en la respuesta a situaciones problemáticas interesantes, significativas y necesarias, debemos dar un cambio radical: considerar la resolución de problemas como punto de arran- que y el elemento que caracterice a todo el proceso de enseñanza de la matemática. Sabemos que el aprendizaje es un proceso activo y que un alumno entra en actividad cuando se enfrenta a un problema; sabemos también que para poder construir el conocimiento nece- sita la interacción con las personas y los objetos. Partiendo de situaciones significativas, de problemas reales, el alumno podrá comprender o intuir el procedimiento a seguir, sepa o no que se debe de hacer operaciones matemáticas para resolverlos sepa o no operar con preci- sión. Deberá aprender a resolver operaciones, pero siempre partiendo de un contexto mate- mático real. Se trata de ofrecer situaciones, herramientas, estrategias adecuadas para pensar, relacionar los datos, buscar soluciones, verbalizar lo que se piensa, analizar lo que se hizo... Se trata de que los alumnos desde pequeños aborden los conocimientos tal y como son, con su complejidad y dificultad, y se “sumerjan” en ellos para que puedan, con la ayuda de la maestra y de los demás alumnos, analizar, relacionar, argumentar y así ir construyendo cono- cimientos y procedimientos matemáticos y conocer el uso que se hace de los mismos. Se trata de que llegue a ser un usuario autónomo de la matemática. Pero ¿qué es un problema? • Diccionario de la lengua FOCUS. Cuestión que se trata de aclarar, proposición dudosa. Problema matemático: proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA8 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Resolver problemas matemáticos desde pequeños, a su manera, entre todos Para aprender es necesario pensar Manipulación Representación gráfica Representación simbólica (Y no en este orden sino según la necesidad) Son formas, instrumentos, no fases previas a la resolución de problemas. Medios de los que se vale el niño y el adulto para resolver un problema Resolución de problemas
- 8. Matematikak ezagupen baliagarriaeta beharrezkoa izan behar duela uste badugu, eta mate- matikaren ikasketak interesgarriak eta esanguratsuak diren egoeretan oinarritua egon behar duela pentsatzen badugu, erabateko aldaketa egin beharrean gaude: matematika irakasteko abiapuntutzat eta ikaste prozesu osoaren ezaugarritzat hartu behar dugu problemen ebazpena. Badakigu ikasketa prozesu aktibo bat dela eta ikaslea problema baten aurrean aurkitzen denean pentsatzen hasten dela. Badakigu, baita ere, ezagupenak eraikitzeko, ikasleak behar- beharrezkoa duela objektuekin eta beste pertsona batzuekin interakzioan egotea. Egoera esan- guratsuetatik, benetako problemetatik abiatuz, ikasleak piskanaka somatu eta ulertuko du zein den erabili behar duen prozedura, nahiz eta haurrak ez jakin matematikako eragiketak egin behar direla problemak ebazteko, nahiz eta haurrak eragiketak ondo egiten ez jakin. Eragiketak egiten ikasi beharko du, baina benetako egoera matematiko batetik abiatuta beti. Pentsaraziko dioten egoerak, tresnak, eta estrategia egokiak eskeini behar dizkiegu haurrei; pentsatu, datuak alderatu, irtenbideak bilatu, pentsatzen dutena ahoz adierazi, eta egin dutena aztertu ahal izango dute horrela. Ikaslea matematikaren erabiltzaile autonomoa izatea da iritsi nahi den helburua. Alegia, lortu nahi dugu haurrek eduki matematikoak diren bezala txikitatik lantzea (eduki horiek duten kon- plexutasunekin eta zailtasunekin), eta, eduki horietan murgilduz, irakaslearen eta kideen laguntzarekin, aztertu, argudioak eman eta erlazioak egin ahal izatea; ezagupen eta prozedura matematikoak eraikitzen eta aldi berean ezagupen horien erabilerak ikasten joan daitezen horrela. Baina zer da problema matematiko bat? • LUR hiztegi entziklopedikoa. Argitu edo ebatzi behar den arazoa, zenbait argibidetatik abiatuz emaitza eze- zaguna aurkitzean edo horretarako metodoa zehaztean datzana. Octubre 2002 • 2002 Urria 9 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Txikitatik, denen artean, haiek dakiten moduan problemak ebatzi Pentsatzea beharrezkoa da ikasteko Manipulazioa Adierazpen grafikoa Adierazpen sinbolikoa (Eta ez ordena honetan, premien arabera baizik) Ez dira problemak egiten ikasteko laneak Egiteko moduak dira. Haurrak eta helduok erabiltzen ditugun konponbideak Problemen ebazpena
- 9. • Diccionario escolarde la lengua española, Santillana. Cosa que hay que resolver o solucionar y de la que sólo sabemos unos datos. Cosa mala o difícil que nos preocupa o no nos deja hacer algo. Está claro que un problema matemático es algo cuyo resultado o solución desconocemos, que conlleva una dificultad que no puede resolverse automáticamente; supone una necesidad de resolverlo y la posibilidad de resolverlo de modo matemático. Es pues, una actividad mental compleja que incluye deseo de resolución, herramientas mate- máticas y lógicas, paciencia, perseverancia... EN LA ESCUELA ENSEÑAR MATEMÁTICAS DEBE SER EQUIVALENTE A RESOLVER PROBLEMAS: ASPECTOS METODOLÓGICOS Sólo con un tratamiento adecuado en la resolución de problemas se puede contribuir al ver- dadero aprendizaje de las matemáticas, su mera inclusión en las actividades de aula no garan- tiza nada. Es necesario tomar decisiones acerca de qué información necesitamos, cómo obtenerla y orga- nizarla; es necesario analizar las estrategias y técnicas utilizadas, es necesario verbalizar el pensamiento y contrastarlo con el de los demás. Hay que discutir, hay que vivir el problema. De ahí se van nutriendo y aprenden a utilizar como propias estrategias válidas para otros. La solución eficaz no sólo depende del conocimiento de conceptos y herramientas, hay que saber utilizarlas y establecer relaciones entre ellas. Ejemplo: 5 años En un paquete hay 15 galletas. Son para tu padre, para tu madre y para ti. ¿Cuántas galletas hay para cada uno? El diálogo es fundamental en la resolución de problemas. Para nosotras tiene una gran importancia el lenguaje en la construcción del conocimiento matemático. Los niños y niñas cuando se plantean problemas de este modo entienden per- fectamente el problema y cada uno aporta desde su punto de vista una posible solución. Los problemas se resuelven en grupo (toda la clase o grupos más pequeños), así los niños al ver- balizar sus ideas ordenan su pensamiento, al discutir sus ideas las argumentan, las van modi- ficando al contrastarlas con sus compañeros, las complementan, las rechazan, las reafirman... El hablar de las actividades matemáticas que realizan les ayuda a profundizar en la represen- tación de las acciones mentales que están llevando a cabo. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA10 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Gorka decide que cada uno tendrá tres galletas. Después dibuja las 15 galletas y con rayas realiza el reparto para ver las que sobran. Posteriormente apunta las galletas que corresponden a cada uno (cada 3 vale por una galleta).
- 10. Garbi dago problemamatematiko bat emaitza ezezaguna duen zerbait dela, automatikoki ebatzi ezin den zailtasuna duena; ebazteko beharra dakar horrek eta matematikoki argitzeko aukera ematen du. Problemak ebaztea buruko jarduera konplexu bat da; argibideak aurkitzeko gogoa eduki behar da horretarako, eta, baita ere, tresna matematiko eta logikoak, pazientzia, jarraikitasuna... ESKOLAN MATEMATIKA IRAKASTEAK ETA PROBLEMAK EBAZTEAK GAUZA BERA IZAN BEHARKO LUKE: ALDERDI METODOLOGIKOAK Matematikaren ikasketan aurreratzeko ez da nahikoa gelan problemak ebazteko jarduerak egi- tea, funtsezkoa da horretarako problemen ebazpenaren trataera egokia izatea. Problemak ebazteko, erabakiak hartu behar dira: zer informazio behar dugun, informazio hori nola lortu eta antolatu; erabili diren estrategia eta teknikak aztertu, eta baita ere pentsakera ahoz adierazi eta besteenekin kontrastatu. Eztabaidatu egin behar da, problema bizi egin behar da. Egoera horietan elikatzen dira haurrak, eta horrela ikasten dute besteentzat baliaga- rriak diren estrategiak erabiltzen. Kontzeptuen eta tresnen ezagupena ez da nahikoa soluzio eraginkorra lortzeko, beraien artean erlazioak egiten eta erabiltzen jakin beharra dago. Adibidea: 5 urte Pakete batean 15 gaileta daude. Zuretzat eta zure aita eta amarentzat dira. Zenbat gaileta daude bakoitzarentzat? Problemak ebazten ikasteko, behar-beharrezkoa da elkarrizketa. Gure ustean, hizkuntzak garrantzi haundia du matematikaren ezagupena eraikitzeko. Haurrek ondo ulertzen dituzte problemak modu honetan planteatzen dituztenean, eta bakoitzak kon- ponbide posible bat proposatzen du orduan. Problemak taldean ebazten dira (gela osoaren artean edo talde txikiagotan), ideiak ahoz adierazterakoan ikasleek beren pentsakera ordena- tzen dute, ideiak eztabaidatzean argudioak ematen dituzte, kideen ideiekin alderatzean bereak aldatu, osatu, baztertu edo baieztatzen dituzte. Egiten dituzten jarduera matematikoez hitz egiteak lagundu egiten die egin dutena buruz sako- nago irudikatzen. Octubre 2002 • 2002 Urria 11 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Gorkak bakoitzak hiru gaileta edukiko duela erabaki du. Ondoren hamabost gaileta marraztu ditu eta marrekin banaketa egin du sobratzen direnak ikus- teko. Ondoren bakoitzaren gailetak apuntatu ditu (3 bakoitzak gaileta bat da).
- 11. Al expresar envoz alta lo que piensan sobre las matemáticas avanzan en los conocimientos a nivel personal y a nivel grupal, lo cual es también fundamental: tener conciencia de que aprenden y avanzan juntos. Para ello es imprescindible que los docentes demos oportunidades a los niños para poder expresar su forma de pensar, les dejemos resolver los problemas de la forma que ellos pue- dan... perdamos el miedo al pensamiento infantil y a sus múltiples estrategias. Para que el alumno resuelva realmente el problema, deberá determinar cuales son los datos de que dispone, donde/cómo puede encontrar algún dato que le falte, pensar qué procedi- miento usar para resolverlo... Ejemplo: Educación Infantil, 5 años. ¿Cuántos asientos ocuparemos en el autobús para ir al cine mañana, todos los de las dos aulas? Trabajo en grupos, en diferentes sesiones. 1ª sesión Grupo A: La actividad se centró en la búsqueda del dato exacto y en el conteo para lle- gar al resultado. Unos con lápiz y papel y otros con calculadora. 2ª sesión En gran grupo explicaron a sus compañeros lo que habían hecho. 3ª sesión Grupo B: Tenían muy claro lo que había que hacer y usaron la calculadora desde el prin- cipio. 4ª sesión Grupo C: Esta sesión fue posterior al viaje en autobús. Registro: Leire K. y Klaus / Gorka A. y Ximon / Beñat- Gorka O. PROFESORA: Ahora ya sabemos que en el autobús cabíamos todos verdad? KLAUS: Y sobraron asientos. PROFESORA: Cuántos asientos ocupamos? BEÑAT: ¡Es muy difícil! PROFESORA: Si lo necesitáis coged papel y lápiz. KLAUS: (Coge la calculadora). GORKA : 20 PROFESORA: ¿Fuimos 20? KLAUS: Ya sé, miraré fuera. (Se han ido todos a mirar en las listas de cada aula, que están en el pasillo, al lado de las puertas. Al rato vuelven.) TODOS: 30 niños PROFESORA: ¿Qué habéis hecho? GORKA: Contar pero sin empezar otra vez: 1, 2, 3...17 y luego 18, 19, 20...30 LEIRE: 17 y luego 18, 19, 20, 21...29, 30. He contado con los dedos hasta completar 30. PROFESORA: ¿Cómo has sabido que te tenías que parar en 30? SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA12 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 12. Matematikaz pentsatzen dutenaahoz adieraztean, haur bakoitzak aurrera egiten du bere eza- gupenetan, eta talde osoak ere bai aldi berean, eta hau oso gauza garrantzitsua da: haurrek jakin beharra daukate elkarrekin ikasiz aurrera egiten dutela. Horretarako ezinbestekoa da irakasleok haurrei aukerak ematea, bai bakoitzak bere pentsa- era adierazteko, eta bai norberak ahal duen moduan problemak ebazteko... eta ez diegu bel- durrik izan behar ez haurren pentsaerari eta ez erabiltzen dituzten estrategia ugariei. Problema bat ondo ebazteko, haurrak erabaki beharko du zer datu dituen, non eta nola bilatu falta zaion datua, zein prozedura erabiliko duen ebazteko... Adibidea: Haur Hezkuntza, 5 urte Zenbat eserleku beharko ditugu 5 urteko bi gelakoek bihar autobusean zinemara joateko? 1. Saioa . A Taldea: haurrak datu zehatzak bilatzen aritu ziren eta zenbatzen, emaitza lortzeko. 2. Saioa. Talde haundian A taldeak kontatu du zer eta nola egin duen. 3. Saioa. B Taldea: Garbi zuten zer egin, eta hasieratik kalkuladora erabili dute. 4. Saioa. C taldea Errejistroa: Taldea: Leire K. Eta Klaus / Gorka A. Eta Ximon / Beñat- Gorka O. IRAKASLEA: Orain badakigu autobusean denok sartzen ginela, ezta? KLAUS; Eta aulkiak sobratu ziren. IRAKASLEA: Zenbat aulki erabili genituen? BEÑAT: Oso zaila da. IRAKASLEA: Behar baduzue papera eta arkatza hartu. KLAUS: (Kalkulagailua hartu du). GORKA A: 20 IRAKASLEA? 20 joan ginen? KLAUS: Badakit, kanpoan begiratuko dut. (Denak joan dira gela bakoitzaren ate ondoan dauden zerrendetan begiratzera.) DENAK: 30 ume. IRAKASLEA: Zer egin duzue? GORKA A: Kontatu, baina berriro hasi gabe: 1, 2, 3....17 eta gero 18, 19, 20...30. LEIRE: 17, gero 18, 19, 20, 21...29, 30. zenbatu dut behatzez 30 osatu arte. IRAKASLEA: Nola jakin duzu 30ean gelditu behar zenuela? LEIRE: Lehenengo zenbatu (zerrendan) eta gero behatzez. Badakit 17 gehi 12 GORKA O: (kalkulagiluarekin ari da) Gu gara 18, gehi 12 Zenbat da? 18 gehi 12 da... (Kalkulagailua eurokonbertsore funtzioan dago.) Ah! Tomi ez zen etorri eta Lourdesek esan du zenbat joan ginen. LEIRE: (17+12 jarri du paperean). Eske, ez dakit nola jartzen den hogeita hamar. Octubre 2002 • 2002 Urria 13 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 13. LEIRE: Primero contar(en la lista del aula contigua), y luego con los dedos. Yo ya sé 18 más 12. Después por parejas resolvieron el problema con la calculadora o en el papel PROFESORA: Le pregunté al chófer y me dijo que el autobús tenía 55 asientos. ¿Cuántos asientos sobraron? ¿Cómo podemos saberlo? XIMON: Contando. KLAUS: Hacer el dibujo del autobús , dibujar los niños y así. (Las tres parejas se han puesto a dibujar ; cada pareja tiene una hoja) GORKA : 45 (Empieza a dibujar asientos). XIMON: ¡45 es mucho! GORKA: Pero ya sabemos. Los demás están dibujando el autobús sin asientos. Al ver lo que hace Gorka, han empe- zado a dibujar asientos dentro del autobús.) GORKA : Ya Lourdes, 45. (Me enseña lo que ha dibujado.) PROFESORA: Pero son 55, 10 más. GORKA : (Sigue dibujando asientos. Al rato, y para saber cuántos faltan les he ayudado a contar, ) PROFESORA: Y ahora ya sabemos cuántos sobraron? ¿Qué podéis hacer para saberlo? XIMON: Borrar. GORKA: ¡Borrar no! PROFESORA: ¿Hay alguna otra manera? XIMON: Sí, dibujar los niños. (Las tres parejas han hecho lo mismo, después han contado los asientos libres y para ter- minar han anotado el resultado en el papel). La sesión ha sido larga y han terminado cansados, pero no he cortado la actividad por- que les he visto muy a gusto y muy implicados en lo que hacían. Estas son las estrategias empleadas por los niños para resolver el problema: • Contar todos los nombres en las listas: 1,2, 3, 4...........29 • Contar a partir de 17: 18, 19, 20.............29 • Contar los nombres de la lista B. Luego contar 13 con los dedos a partir de 17: 18,19,20 ..........30 • Decir los nombres de los componentes del otro grupo, de memoria, mientras llevan la cuenta con los dedos. Después anotan los datos en la calculadora. El grupo C resolvió dos problemas. Para resolver el 2º de ellos recurrieron al dibujo. Un niño propone la estrategia de dibujar y los demás la aceptan ; pero es otro niño el que hace un uso más elaborado de la propuesta gráfica y los demás le imitan. Se hace patente la riqueza del trabajo en grupo. Además de la interacción con los compañeros, la intervención del docente es fundamental para que cada uno construya sus conocimientos. Lo que el maestro hace y sus intervenciones orales preguntando, dando pistas, determina lo que los niños aprenden. El maestro es quien guía al alumno para que desde sus posibilidades y el uso de estrategias personales pueda lle- gar a aprender el lenguaje matemático convencional. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA14 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 14. IRAKASLEA: Hemen begiratudezakezue (aldamenean daukagun 0-100 zenbakiak dituen horma-irudia) LEIRE: (30 aurkitzeko zerotik hasita kontatu du eta zuzenketa egin du bere paperean. Horrela utzi du: 17+ 12 30) Beste guztiak kalkulagailuarekin batuketa egiten ari dira. Oso konzentraturik daude. Gero denon artean batuketa kalkulagailuan egin dugu: 17 + 12 (Bitartean ikasi behar izan dute = ikurra sakatuz, emaitza ikusi ahal izateko. IRAKASLEA: Gidariari galdetu nion eta esan zidan 55 eserleku dituela autobusak. Zenbat aulki sobratu ziren? Nola jakin dezakegu? XIMON: Kontatzen. Aulkiak zembat sobratu ziren. KLAUS: Marrazkia egin autobusarena eta marraztu niniak eta horrela. (3 bikoteak marrazten hasi dira.) GORKA A: 45 (Autobuseko aulkiak marrazten ari da). XIMON: 45 asko da! GORKA A: Baina badakigu. (Besteek autobus bat marraztu dute, aulkirik gabe. Gorka egiten ari dena ikustean, auto- busaren barruan aulkiak marrazten hasi dira). GORKA A: Ya Lourdes, 45, (bere marrazkia erakusten dit.) IRAKASLEA: Baina 55 dira, 10 gehiago. GORKA A: (Aulkiak marrazten jarraitzen du. Zenbat falta zaizkion jakiteko egin dituen aulkiak zenbatzen lagundu diot). IRAKASLEA: 55. Orain zer egingo dugu? Zer jakin nahi genuen? XIMON: Nolakoa den autobusa. KLAUS: (Autobusaren barruan aulkiak marrazten ari da.) Binaka daude, baina bat ikus- ten da: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.... IRAKASLEA: (Gorka A eta Ximoni) Zer egin dezakezue jakiteko? XIMON: Borratu. GORKA A: Borratu ez! IRAKASLEA: Ba dago beste modurik? XIMON: Bai, umeak marraztu. Hiru bikoteek gauza bera egin dute eta, bukatzeko, emaitza paperean apuntatu dute. Saioa luzea izan da eta nekatuta bukatu dute, baina ez dut moztu oso gustora aritu dire- lako, inplikazio haundia egon da. Problema hau ebazteko haurrek erabili dituzten estrategiak hauek dira: • Bi zerrendetako izen guztiak zenbatu. 1,2,3,4...29 • 17tik hasita 2. zerrendako izenak kontatu: 17, 18, 19...29 • Bigarren zerrendako izenak zenbatu. Gero, 17tik hasita 13 zenbatu, kontua behatzez eginez. • Beste taldeko kideen izenak buruz esan, behatzekin kontua eginez. Ondoren datuak kalkulagailuan apuntatu. C taldeak bi problema ebatzi ditu. Bigarrena ebazteko, marrazkiez baliatu dira. Haur batek estrategia bezala marraztea proposatu du, eta kideek onartu egin dute; baina propo- samen grafikoari etekin gehiena atera diona beste haur bat izan da, eta besteek imitatu egin dute. Talde lanaren aberastasuna agerian dago. Octubre 2002 • 2002 Urria 15 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 15. Es importante quelos alumnos se den cuenta de la relación que existe entre la situación pro- blema, los datos y los algoritmos. Es fundamental que comprendan desde el principio que jun- tar, coger, ganar, recibir, añadir etc son acciones de suma; que dar, perder, pagar, consumir etc son acciones que suponen restar. Es necesario mucho más tiempo para resolver un problema de esta manera. Pero el trabajo realizado al ser significativo y abordarlo desde la comprensión genera mayor avance. Cuando se trabaja en profundidad, los alumnos cada vez que se enfrentan a un tipo de problema que ya han resuelto antes, normalmente no repiten las mismas estrategias iniciales sino que inten- tan utilizar otras más evolucionadas, utilizan los conocimientos construidos. Ejemplo: 1º de Primaria Problema: Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros ¿Cuántas patas tienen entre todos? Es un problema inventado por una pareja de la clase y ahora lo resolvemos entre todos Primera vez que se enfrentan a un problema multiplicativo con números tan altos. Utilizan diferentes estrategias para poder contar el número de patas. Mostramos algunas: SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA16 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Dibujar los terneros y la vaca madre y después contar las patas. Numerar las vacas, por cada vaca hacer 4 rayas (las patas) y después contarlas. Dibujar un círculo por vaca y después rayas por patas e ir tachando al contarlas.
- 16. Bakoitzak bere ezagupenakeraiki ahal izateko, ikaskideen arteko elkarreraginak bezain garrantzi handia du irakaslearen eskuhartzeak. Irakasleak egiten eta esaten duenak eragina du haurren ikasketan. Irakaslea da ikaslea gidatzen duena, bere ahalmenetatik abiatuz eta bere estrategia pertsonaletaz baliatuz, ohiko hizkuntza matematikoa ikas dezan. Problemak ebazten ikasteko, ikasleek hasieratik ohartu behar dute zein den problema Egoeraren eta datuen eta eragiketen artean dauden erlazioez konturatu behar du. Garrantzi handia du haurrak hasieratik batuketak eta kenketak ekintza zehatz batzuekin lotzen direla ulertzea (jarri, elkartu, irabazi, gehitu... batuketa egoerak dira. Galdu, ordaindu, kontsumitu... kenketa ekintzak dira.) Problemak modu honetan ebazteko denbora gehiago behar izaten da. Baina egindako lana esanguratsua denez, eta ulermenean zentratuta dagoenez, gehiago ikasten dute ikasleek. Sakontasunez lan egiten denean, ikasleek lehenago ebatzitako problema mota batekin ari dire- nean, normalean ez dituzte errepikatzen lehen erabili izan dituzten estrategiak, eta horien ordez diren estrategia landuagoak erabiltzen dituzte; eraikitako ezagupenak erabiltzen dituzte. Adibidea: Lehen Hezkuntza, 1. Maila Problema: Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten baditu, zenbat hanka dute denen artean? Gelako bikote batek asmatutako problema da eta orain denon artean ebazten ari gara. Zenbaki altuetako horrelako biderketa egiten duten lehenengo aldia da. Hanken kopurua zenbatu ahal izateko estrategia desberdinak erabiltzen dituzte. Octubre 2002 • 2002 Urria 17 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Txekorrak eta behia marraztu ondoren hanka guztiak zenbatu. Behiak zenbatu, bakoitzari lau marra egin (hankak) eta marra hauek zenbatu. Behiak zirkuluen bidez markatu, gero han- kak marren bidez, eta zenbatzean hauek ezabatu.
- 17. Después de discutirel problema entre todos, llegamos a la conclusión de que matemática- mente se puede graficar así: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36. O incluso así: 9 X 4 = 36 9 veces 4 patas, o cuatro patas 9 veces. • La siguiente vez que resolvieron un problema de este tipo “Tengo 6 mesas y mi hijo pequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patas son?”, ninguno dibujó las mesas. Rápidamente dijeron que era como el problema de la vaca y los terneros. Por supuesto para hacer el cálculo utilizaron los dedos, pero ya habían dado un gran paso ade- lante hacia la abstracción matemática y su simbolización. “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para hacer otros problemas” Descartes RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: SECUENCIA DIDÁCTICA A LARGO PLAZO (Para todo un curso o ciclo) Objetivos Con esta propuesta de trabajo sobre la resolución de problemas contribuimos a lograr los objetivos generales de Infantil y Primaria y los del ámbito de Comunicación y Representación y del área de matemáticas, marcados en los decretos de desarrollo curricular de nuestra Comunidad Autónoma. Fundamentalmente pretendemos que: • Los niños y niñas piensen de forma autónoma. • Adquieran confianza en sus propias capacidades y en su manera de entender las cosas y de resolver situaciones. • Aprendan a razonar matemáticamente basándose en los conocimientos que ya tienen (éstos tienen poca importancia en un aprendizaje memorístico pero son fundamentales en la cons- trucción del conocimiento) y en sus propios recursos. • Se conviertan en resolutores de problemas, pudiendo hacerlo de muchas formas diferentes, utilizando múltiples estrategias. • Aprendan a argumentar sus ideas y a intercambiar sus puntos de vista con los demás. No vamos a hacer un listado de contenidos porque una situación problemática puede invo- lucrar a cualquier bloque de la matemática. Propuestas de Actividades Ésta es una línea de trabajo amplia, es una guía para los docentes. Muchas de las actividades propuestas pueden trabajarse con los niños de cualquier edad de Infantil y Primaria. Variará el nivel de adquisición de los contenidos, el tipo de estrategias uti- lizadas, el grado de comprensión de los conceptos matemáticos que entran en juego... Las actividades no están secuenciadas ni por nivel ni por el orden en que deban ser realiza- das. Cada docente, que es el que realmente conoce a su grupo, sus intereses, sus posibilida- des..., planificará en cada momento lo más conveniente. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA18 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 18. Denon artean problemaeztabaidatu ondoren, matematikoki horrela adierazi daitekeela era- baki dugu: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36 Edota: 9X4=36, bederatzi aldiz lau hanka edo lau hanka bederatzi aldiz. • Era honetako problema bat ebatzi genuen hurrengoan, “Sei mahai eta nere seme txikia egongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka. Zenbat hanka dira?” ez zuten marrazki- rik egin; berehala behia eta txekorren problema bezalakoa zela esan zuten. Kalkuluak egin ahal izateko behatzak erabili zituzten baina marrazkiak ez egiteak sinbolizazioan eta mate- matikaren abstrakzioan aurrera pauso bat ematea suposatzen du. “Ebatzi nuen problema bakoitza arau bihurtu zen. Arau horrek beste problema batzuk ebaz- teko bidea eman zidan” Descartes PROBLEMEN EBAZPENA: EPE LUZEKO SEKUENTZIA DIDAKTIKOA Helburuak Problemen ebazpenari buruzko lan-proposamen honek haur hezkuntzako eta lehen hezkun- tzako xedeak eta komunikazioaren eta errepresentazioaren eremuko eta matematikako hel- buru orokorrak lortzen laguntzen du (Curriculumaren garapenerako dekretuetan adierazten direnak). Hau da lortu nahi duguna: • Haurrek autonomiaz pentsatzea. • Nork bere ahalmenetan eta bakoitzak gauzak ulertzeko eta ebazteko dituen era pertsonale- tan konfiantza edukitzea. • Haurrak berak dituen ezagupenetan eta bere baliabideetan oinarrituz, matematikoki arra- zoitzen ikastea (ezagupen horiek ez dute garrantzi handirik buruz egindako ikasketetan, baina funtsezkoak dira ezagupenaren eraikuntzan). • Problemak ebazten beste era batera ikastea, estrategia asko erabiliz. • Nork bere ideiak argudiatzen eta bere ikuspegia kideenekin trukatzen ikastea. Ez dugu edukien zerrenda bat egingo, problema egoera batean edozein eduki matematiko azaldu daitekeelako. Jardueren Proposamena Lan proposamen hau zabala da, irakasleentzako gida bat da. Proposatzen ditugun jarduera asko haur eta lehen hezkuntzako ia edozein adinetako haurre- kin egin daitezke. Adin bakoitzean ikasiko dutena desberdina izango da, erabiltzen dituzten estrategiak, eduki matematikoen ulermen maila... desberdinak direlako. Jarduerak ez daude sekuentziaturik, ez mailaka eta ez ordena jakin batean. Irakasle bakoitzak momentu bakoitzean egokia dena planifikatuko du, daukan taldearen arabera. Octubre 2002 • 2002 Urria 19 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 19. Hemos organizado lasactividades en torno a estas dos preguntas: A. ¿Qué aspectos debemos trabajar para que ayudar a los alumnos a mejorar en la reso- lución de problemas? B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula? A. ¿ Qué aspectos debemos trabajar para ayudar a los alumnos a mejorar en la resolución de problemas? A continuación proponemos una serie de actividades que no son específicamente resolución de problemas, sino que son propuestas de trabajo para que los alumnos mejoren en los aspec- tos más importantes en la resolución de éstos. Cuando intentamos resolver un problema, después o/y en otros momentos es necesario traba- jar algunos aspectos que son fundamentales en la resolución de problemas. • Comprender el texto del problema (sea oral o escrito), imaginarse la situación y rela- tarla. Es fundamental “hacerse con el problema” para poderlo resolver. A veces se pueden analizar problemas, situaciones sin resolverlas únicamente para ver si hay dificultades de comprensión. • Estimación y verificación. Al verificar la estimación que se ha hecho ayuda a tener un dato que en las siguientes situaciones nos ayudan a hacer estimaciones más aproxi- madas. Procuraremos hacer uso de datos de rango y magnitudes diferentes: ¿Cuántos libros tenemos en la biblioteca de aula? ¿Cuántas fichas habrá aquí? ¿Cabrá esta mesa en este hueco?.... Si esto es 1 metro ¿Cuánto medirá el patio? • Estimación de resultados o del procedimiento a seguir (sin necesidad de resolverlo) en un problema determinado. Intentar aproximarse al resultado antes de operar y verificar la estimación realizada. • Cálculo mental: únicamente mencionaremos la importancia de poseer múltiples estra- tegias de cálculo, lo cual supone un dominio del sistema de numeración. Las herramientas de cálculo y la rapidez a la hora de operar redundan positivamente en una eficiente resolución de problemas. Siempre mencionando el tipo de datos que son: 8 cm. + 23 cm... / 2 galletas por 17..., no cálculos descontextualizados. B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula? SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA20 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Tipo de problema Problemas reales de los alumnos (vida esco- lar, extraescolar) Problemas en torno a temas variados Problemas-juego: lógicos, espaciales, geomé- tricos, aritméticos... Problemas inventados por los alumnos Significatividad ¿Por qué? Significativo por el uso y el contexto Significativo para el aprendizaje Significativo porque entretiene, porque pro- voca placer, diversión... Significativo para el alumno por ser produc- ción propia Significativo para la maestra (dato) (vemos las hipótesis que manejan nuestros alumnos)
- 20. Bi galderen inguruanantolatu ditugu jarduerak: A- Zein alderdi landu behar ditugu ikasleei problemak hobeto ebazten laguntzeko? B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko? A- Zein alderdi landu behar ditugu, gure ikasleei problemen ebazpenean trebatzen lagun- tzeko? Ondoren proposatzen ditugun jarduerak ez dira bereziki problemak ebazten ikasteko, proble- mak ebazterakoan garrantzia duten zenbait alderditan ikasleen trebetasuna hobetzeko baizik. Problema bat ebazten saiatzen ari garenean, ondoren edo beste une batzuetan, problemen ebazpenean zerikusia duten oinarrizko alderdi batzuk landu behar izaten dira. • Problemaren testua ulertu (ahozkoa nahiz idatzizkoa), egoera imajinatu eta kontatu. Ikasleak problema bereganaturik izan behar du, konponbidea bilatu ahal izateko. Batzuetan, problemak aztertu egin daitezke, ebatzi gabe, ikasleen ulermen zailtasunak ikus- teko. • Kalkulua eta baieztapena. Egindako kalkulua baieztatzeak, antzeko beste egoera batzuetan erabil daitekeen datu bat ematen du, eta kalkulu zehatzagoak egiten laguntzen du. • Problema jakin baten emaitza, edo hura ebazteko behar den prozedura aurreikusi (ez da beharrezkoa problema ebaztea). • Buru kalkulua: kalkulurako estrategia ugari edukitzeak garrantzi handia du, eta horretarako ondo ezagutu behar da zenbakitze sistema. Kalkuluak egiteko prozedurak eta eragiketak egi- teko arintasuna oso lagungarriak dira problemak ongi ebazteko. Beti adierazi beharra dago zer motako datuak diren: 8zm.+ 23zm / 2 gaileta bider 17... eta ez testuingurutik ateratako datuak. B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko? Octubre 2002 • 2002 Urria 21 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle Problema mota Ikasleek eskolan eta kanpo dituzten benetako problemak Gaiei buruzko problemak Jolas-problemak: logikakoak, espazialak, geometrikoak, aritmetikoak ... Ikasleek asmatutako problemak Esanguratasuna. Zergatik? Esanguratsua testuinguruagatik eta erabilpe- narengatik Ikasketarako esanguratsua Esanguratsuak ondo pasarazten dutelako Esanguratsua ikaslearentzat norberaren ekoiz- pena delako Irakaslearentzat esanguratsua, ikasleen eza- gupenen eta gaitasunen berri izateko
- 21. Teniendo en cuentatodos estos tipos de problemas trabajamos en tres ejes: B1 - Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días. B2 - Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas) B3 - Situaciones didácticas planificadas específicamente para trabajar la resolución de problemas. B1- Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días Cantidad de situaciones (a veces infinidad de ellas) se nos presentan diariamente, deci- dimos aprovechar algunas de ellas por su gran potencial didáctico, otras las reservamos para volverlas a plantear en otro momento más adecuado, y algunas las dejamos pasar por ser menos interesantes o por falta de tiempo. A veces un auténtico problema es “nuestro tiempo”, o la concepción que tenemos de él. Dejamos pasar muchas situaciones de gran potencialidad por falta de tiempo y las resol- vemos nosotras para después emplear dicho tiempo en actividades mucho menos inte- resantes y con menos potencialidad de aprendizaje. Ejemplos: Educación Infantil, 5 años Reparto de 17 fotocopias (aula de 5 años): “Reparte una en cada cubeta” Ximón tardó un rato en hacer el trabajo. A veces dudaba de si había puesto la hoja en la cubeta o no; miraba para comprobarlo. No es tan fácil como parece: llevar el orden del reparto, mantener la correspondencia 1-1 sin equivocarse, cuando uno tiene 5 años. Educación Primaria, 1º Formar grupos para un trabajo En un proyecto de trabajo queremos profundizar sobre 4 animales diferentes. En clase somos 21 alumnos. Por lo tanto se trata de repartirse en 4 grupos. Yeray lo ve rápida- mente: primero hacemos 10 y 10 que son 20 y luego en cada grupo de 10 hacemos 5 y 5. Así nos quedan cuatro grupos de 5 que son 20. ¿Qué pasa con el niño que sobra? Comentan que puede hacer el trabajo solo o con la profesora. Les cuesta admitir que el número de componentes de cada grupo no sea el mismo. Por fin deciden que en uno de los grupos habrá 6 niños y en todos los demás 5. Es evidente que en ambos casos la maestra hubiera realizado esa tarea en un momento, para dar paso a la actividad correspondiente. Sin embargo estas tareas, son actividades matemáticas en sí mismas y al ser realizadas por los alumnos, les ayudan a aprender. Muchas de éstas son situaciones problemáticas abiertas que dan lugar a la discusión de diferentes caminos y estrategias de resolución e incluso de diferentes soluciones. Éstas son algunas de las situaciones matemáticas que hemos aprovechado este curso con nuestros alumnos: • Organización del aula: clasificación, conteo del material, organización de los espacios. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA22 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 22. Problema mota hauekkontuan harturik, hiru ardatzetan antolatzen ditugu: B1- Eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen ditugu gelan B2- Matematika egoeran sekuentzia didaktikoetan edo gaietan B3- Planifikatutako egoera matematikoak B1- Gelan eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen Egoera asko sortzen dira gelako bizitzan. Hainbeste direnez, horietako batzuk baliatzen ditugu, eta beste egoera batzuk beste une batean planteatzeko utziko ditugu, eta badira beste batzuk alde batera utziko ditugunak, hain interesgarriak ez direlako edo denbora gutxi dugulako. Batzuetan, “gure denbora”, edo guk denborari buruz dugun kontzeptua, benetako pro- blema izaten da. Egoera aberatsak alde batera uzten ditugu denbora gutxi dugulako, eta, halakoetan, irakasleok egiten dugu ikasleek egin zezaketena. Denbora hori, beraz, hain interesgarriak ez diren jarduerak egiteko erabiltzen dugu, eta alde batera uzten ditugu ikasketarako aberatsak izan zitezkeen egoera batzuk. Adibideak: Haur Hezkuntza, 5 urte 17 fotokopia banatu: “ Kubeta bakoitzean bat jarri” Ximonek denbora piska bat behar izan zuen lana bukatzeko. Batzuetan ez zen gogora- tzen ea orria kubetan jarrita zegoen ala ez, eta berriro begiratzen zuen han zegoela ziur- tatzeko. Erraza dirudi, baina banaketaren ordena eramatea eta 1-1 korrespondentzia nahasi gabe mantentzea zaila izaten da 5 urteko umearentzat. Lehen Hezkuntza, 1. maila Lan bat egiteko taldeak antolatu Lan proiektu batean 4 animalia desberdinei buruz sakondu nahi dugu. Gelan 21 ikasle dira. Beraz, 4 talde egitea da eginkizuna. Yeraik berehala ikusi du: lehenengo egingo dugu 10 eta 10 eta 20 dira eta gero 10eko talde bakoitzean 5 eta 5 egingo dugu. Horrela 5 eko lau talde gelditzen dira eta 20 dira. “Zer gertatzen da soberan dagoen ikasleare- kin?” Haurrek esaten dute bakarrik lan egin dezakeela edo irakaslearekin. Kosta egiten zaie talde guztietan haur kopuru bera ez egotea onartzea. Azkenean, erabaki dute talde batean 6 haur egongo direla, eta besteetan 5. Garbi dago bi egoera horietan irakasleak berehala egingo zituela bi ekintza hauek, beste zerbait egiten hasteko. Baina ekintza hauek jarduera matematikoak dira berez, eta horiek haurrei egiten utziz ikasten laguntzen diegu. Hauetako asko matematika egoera irekiak dira, ebazteko bide, estrategia eta soluzio askoz hitzegiteko aukera ematen dutenak. Ondorengo hauek aurtengo ikastaroan, gure ikasleekin baliatu ditugun matematika ego- era batzuk dira: • Gelaren antolaketa: sailkapena, materialaren zenbaketa, espazioen antolamendua. Octubre 2002 • 2002 Urria 23 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 23. • Organización delos grupos de trabajo: dado el número de grupos, calcular cuán- tos niños en cada uno, o dado el número de componentes calcular cuántos gru- pos. • Repartos: galletas, hojas, platos, servilletas, fichas.... ¿Habrá suficiente para todos? ¿A cuánto tocará? • ¿Cuántos días o meses faltan para una fecha señalada? (cumpleaños, excursión...) • Material que necesitamos para plástica: encuadernadores, pinzas, papeles para las simetrías... • Juegos: reparto de fichas para jugar al Bingo, anotar los tantos al jugar varios equi- pos a los bolos... Educación Infantil, 5 años Al jugar varias partidas a los bolos así han apuntado los tantos para saber cuántos bolos han tirado en total y quién es el ganador. B2- Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas) • Medidas del cuerpo (peso, altura, perímetro craneal, número de zapato) y relación entre ellas. • Número de dientes que tenemos, de falanges, de huesos... • Embarazo, meses, días... • Edad de los niños, días, meses... • Animales: peso, edad que alcanzan, velocidad... • Medidas de distancias en un plano: comparación y ordenación de recorridos (distan- cia de casa al colegio). • Cálculo de la edad que tenía Picasso al pintar diferentes cuadros. • Diferentes situaciones de medida y proporción al construir la maqueta de Rentería. • Ordenar cuatro cajas por su tamaño. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA24 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 24. • Lan taldeenantolamendua: lan talde kopurua emanez, lan-talde bakoitzak zenbat lagun izango dituen kalkulatu, edo ikasle kopurua kontuan harturik zenbat talde eratuko diren kalkulatu. • Banaketak: gailetak, orriak, platerak, barajako kartak. Badago denontzat adina? Zenbana iritsiko da? • Zenbat egun, hilabete falta dira ibilaldi egunera arte? (urtebetetzeak, oporrak, an- tzerki eguna...) • Plastikarako behar dugun materiala: enkuadernagailuak, pintzak, simetriak egi- teko paperak... • Jolasak: bingoan jolasteko fitxen banaketa, tantoak apuntatu bolotan aritzean... Haur Hezkuntza, 5 urte Bolotan aritzean horrela apuntatu dituzte emaitzak, txanda asko jokatu ondoren, guztira zenbat bolo bota dituzten eta irabazlea nor den jakiteko: B2- Matematika egoerak sekuentzia didaktikoetan edo gaietan • Gorputzaren neurriak (pisua, altuera, buruaren perimetroa, zapataren zenbakia) eta datu horien arteko erlazioak. • Gorputzean ditugun hezur, falange, hortz kopurua. • Haurdunaldia, hilabeteak, egunak.... • Animaliak; pisua, gehienez iritsi dezaketen adina, abiadura... • Distantzien neurketa plano batean: ibilbide ezberdinak alderatu eta ordenatu (etxetik eskolara dagoen distantzia. ) • Picassok koadro batzuk zein adinarekin margotu zituen kalkulatu. • Errenteriako maketa egiterakoan sortu diren neurketa eta proportzioen problemak • Lau kaxa tamainaren arabera ordenatu. Octubre 2002 • 2002 Urria 25 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 25. B3- Situaciones didácticasplanificadas específicamente para trabajar la resolución de problemas Actividad 1: ¿Qué es un problema matemático? Si nunca hemos abordado este tema con los niños y niñas, resulta muy interesante plan- tear esta pregunta. Muchas veces a pesar de resolver auténticos problemas matemáticos en el aula, no tienen (ni tenemos) conciencia de ello. No explicitamos que “estamos haciendo matemáticas”. Otras veces llamamos problemas a meros ejercicios rutinarios que no suponen ningún reto para nadie. Escucharemos así las ideas y conocimientos que tienen respecto al tema, lo que para ellos es problema y que para ellos es matemática. Registro de 1º de Primaria: Profesora: Para vosotros ¿qué es un problema matemático? Leila: Yo no sé, yo no tengo problemas. Lide: Tú antes, cuando no nos callábamos tenías un problema, pero después cuando te has enfadado y nos has reñido, el problema lo hemos tenido nosotros. Profesora: De acuerdo, eso era un problema, pero ¿era un problema matemático? Yeray: No, porque no había números. Asier: Pero hay problemas sin números. Profesora: ¿Por ejemplo? (Silencio total durante unos segundos) Hodei: Yo no sé, pero los laberintos de los pasatiempos no tienen números, yo no sé si son problemas. Lide: Pues sí, pues serán, porque a veces cuesta mucho salir ¿te acuerdas el del otro día?, ese grande, el de la última hoja, ¿te acuerdas Ainhoa? Al final lo sacamos entre Leila, Ainhoa y yo, y porque nos ayudó Pili, siempre nos liábamos. Mikel: Pero otros son fáciles. Lide: Ya, pero ése no, ése era difícil ¿a qué sí? Profesora: Leila ha dicho que ella no tiene problemas y los laberintos no tenemos claro si son problemas o no. ¿Alguno de vosotros piensa que ha resuelto alguna vez un pro- blema matemático? Iker M.: Sí, ¿no os acordáis? Cuando calculamos cuántos encuadernadores hacían falta para el elefante, la rana y la gallina. Profesora: ¿Por qué era un problema? Iker M.: Porque hacían falta muchos y éramos más pequeños y no sabíamos contar. Eider: Mi madre dice que cuando vas a comprar. Mikel: ¿Por qué? Eider: Por el dinero y eso. Profesora: Lo referente al dinero ¿es un problema matemático? Iris: Sí. Tú siempre nos dices que no tiremos los papeles de colores, que guardemos lo que sobra para otro día porque son muy caros y tenemos poco dinero para comprar cosas para el cole. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA26 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 26. B3- Planifikatutako egoeramatematikoak 1. Jarduera: Zer da problema matematiko bat? Ikasleekin inoiz ez badugu gai honetaz hitzegin, oso interesgarria izan daiteke galdera hau egitea. Askotan gertatzen da, gelan benetako problemak ebatzi izan arren, ikasleek ez dutela egindakoaren eta matematikaren artean loturarik egiten. Horrela, gaiari buruzko dituzten ideiak eta ezagupenak entzungo ditugu; haientzat mate- matika eta problema bat zer den jakingo dugu. Lehen Hezkuntzako 1.mailako errejistroa: Irakaslea: Zer da problema matematiko bat zuentzako? Leila: Nik ez dakit, nik ez dut problemarik.. Lide: Lehen, gu isiltzen ez ginenean, zuk problema bat zeneukan, baina gero, zu hase- rretu zarenean eta bronka bota didazunean, guk izan dugu problema. Irakaslea: Adoz, hori problema bat dela, baina, problema matematiko bat da? Yeray: Ez, ez zegoen zenbakirik. Asier: Baina zenbakirik gabeko problemak badaude. Irakaslea: Adibidez? (Isiltasunean gelditzen dira) Hodei: Nik ez dakit, baina denborapasetan dauden labirintoek ez dute zenbakirik, baina nik ez dakit problemak diren. Lide: Ba bai, izango dira, askotan asko kostatzen delako ateratzea. Gogoratzen zara aurreko egunekoa?, handi hori, azken orrian dagoena, gogoratzen zara Ainhoa? Azkenean Leila, Ainhoa eta hirurok atera genuen eta gainera Pilik lagundu zigulako, beti liatzen ginen. Mikel: Baina beste batzuk errezak dira.. Lide: Ya, baina hori ez, hori zaila zen, baietz? Irakaslea: Leilak ez duela problemarik esan du eta ez dakigu labirintoak problemak diren ala ez. Norbaitek problema matematiko bat ebatzi duela pentsatzen al du? Iker M.: Bai, ez zarete gogoratzen? Elefantea, igela eta oiloa egiteko zenbat enkuaderna- dore behar genuen kalkulatu genuenean. Irakaslea: Zergatik zen problema bat? Iker M.: Asko behar genuelako eta txikiagoak ginen eta ez genekien zenbatzen.. Eider: Nere amak esaten du erostera zoazenean. Mikel: Zergatik? Eider: Diruarengatik eta hori.. Irakaslea: Diruari dagokiona, problema matematiko bat da? Iris: Bai. Zuk beti esaten duzu ez botatzeko koloretazko papereak, sobratzen dena gorde behar dugula beste egunerako oso garestiak direlako eta eskolarako gauzak erosteko diru gutxi daukagula. Octubre 2002 • 2002 Urria 27 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 27. Lide: Sí, porquepara comprar cosas necesitas dinero y si no tienes y tú preguntas en la tienda ¿cuánto es? y te dicen y no tienes ¿qué pasa? Yeray: Pues yo no tengo problemas con el dinero. Yo voy los sábados y los domingos a comprar el pan y el periódico y no tengo problemas. Profesora: ¿Sabes si te dan bien los cambios? Yeray: Sí, yo doy 2 euros o 3 euros, o los céntimos que me dicen, yo lo cuento y ya está. Es fácil. Lide: Porque compras sólo dos cosas, si no ya verías... Iker S.: Yo también compro las chuches donde Txema. Voy yo solo. Profesora: Vamos a pensar en problemas matemáticos que hayamos resuelto entre todos en clase. Iker ha comentado lo de los encuadernadores... Jon: Sí, salieron ciento sesenta y ocho, eran muchos, y luego tú trajiste muchas cajas. Asier: Sí y en cada caja había cuarenta o cincuenta ¿no? Profesora: Está claro que aquel fue un problema matemático, a ver si nos acordamos de alguno más. Iris: Cuando el cuento del “Gallo Kiriko”, tú dijiste que eso eran matemáticas, no sabía- mos cuántas hojas poner, queríamos justas... Alba: Y estaban el gallo, el tío Perico, el fuego, la oveja, el palo... Eider: La cocinera, la lechuga y la lluvia. Y también la portada. Profesora: ¿Y por qué era un problema? Iris: Porque como doblábamos las hojas y hacíamos por todos los lados era un lío y había que contar. Ainhoa: Y cuando a Ismael y a Iker Soto se les cayó el periódico, y lo llevaron al corcho y era la hora del recreo y vino la andereño Ana y estuvisteis todos mucho rato poniendo las hojas bien. ¡Jo, menudo problema! Profesora: El hacer sumas y restas ¿es un problema? Yeray: Para mí no, yo hago muy rápido y ya no uso los dedos, ni pinturas ni nada, sólo la cabeza. Eider: Yo a veces sin dedos, es muy fácil: tres y tres son seis, cinco y cinco son diez. Jon: Un millón y un millón dos millones. En un principio les cuesta identificar ciertas situaciones como problema matemático. El usar juntas ambas palabras les desconcierta. Poco a poco van surgiendo situaciones variadas: laberintos, cómputo de encuadernado- res, dinero, cálculo de hojas que se necesitan para realizar una actividad, ordenación de las páginas del periódico. Todas las situaciones que mencionan surgen de su vida real, son situaciones reales que han vivido, significativas y por lo tanto necesaria su resolución. La resolución de todas estas situaciones supone para estos niños de primero poner en juego estrategias y formas de pensar variadas y originales. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA28 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 28. Lide: Bai, gauzakerosteko dirua behar duzu eta ez badaukazu eta zuk galdetzen duzu dendan zenbat da? Eta esaten dizute eta ez badaukazu, zer gertatzen da? Yeray: Ba nik ez dut problemarik diruarekin. Ni larunbatero eta igandero ogia eta egun- karia erostera joaten naiz eta ez dut problemarik. Irakaslea: Eta badakizu kanbioa ondo ematen dizuten? Yeray: Bai, nik 2 edo 3 euro ematen dut, edo esaten dizkidaten zentimoak, nik kontatzen ditut eta ya está. Erreza da. Lide: Bi gauza besterik ez duzulako erosten, bestela ikusiko zenuke... Iker S.: Nik ere txutxeak erosten ditut Txemaren dendan. Bakarrik joaten naiz. Irakaslea: Denon artean gelan ebatzi ditugun problema matematikoak pentsatuko ditugu. Ikerrek enkuadernadorearena aipatu du... Jon: Bai, ehun hirurogeitazortzi atera ziren, asko ziren, eta gero zuk kaxa asko ekarri zenuen. Asier: Bai eta kaxa bakoitzean berrogei edo berrogeitahamar zeuden, ezta? Irakaslea: Bai, hori problema matematiko bat izan zela argi dago; ea besteren batetaz gogoratzen garen. Iris: “Gallo Kiriko” ipuinarekin matematikak zirela esan zenuen, ez genekien zenbat orri jarri, ez genuen sobratzea nahi... Alba: Eta oilarra, Periko osaba, sua, ardia, makila... zeuden. Eider: Sukaldaria, letxuga eta euria. Eta portada ere bai. Irakaslea: Eta zergatik zen problema bat? Iris: Orriak tolestatu behar genituelako eta alde guztietatik egiten genuen, lio bat zen eta zenbatu behar genuen. Ainhoa: Eta Ismaeli eta Iker Sotori egunkaria erori zitzaiela, eta kortxora eraman zuten eta errekreo ordua zen eta Ana andereñoa etorri zen eta denak denbora handia egon zineten orriak ondo jartzen. ¡Jo, menudo problema! Irakaslea: Batuketak eta kenketak egitea, problema bat da? Yeray: Neretzat ez, nik oso azkar egiten ditut eta ez dut behatzik erabiltzen, ezta margo- rik ere ez, bakarrik burua. Eider: Nik batzutan behatzik gabe, oso erreza da: hiru eta hiru sei, bost eta bost hamar. Jon: Milioi bat eta milioi bat, bi milioi. Haurrek eragozpenak dituzte egoera batzuk problema matematikoak bailiran identifika- tzeko. Bi hitzak elkarrekin erabiltzea kosta egiten zaie. Pixkanaka egorea desberdinak sortuz doaz: labirintoak, enkuadernadoreen kopurua, dirua, jarduera bat egiteko behar den orrien kalkulua, egunkariaren orrien ordenazioa... Aiaptzen dituzten egoera guztiak beraien bizipenak dira, beraien bizitzako egoera erre- alak direnez ebazpena beharrezkoa da. Egoera hauen ebazpenak 1.mailako haurren pentsatzeko era ugari eta burutsuak pizten ditu. Octubre 2002 • 2002 Urria 29 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 29. Actividad 2: Invenciónde problemas matemáticos Inventar problemas. Es importante que potenciemos que los alumnos sean también pro- ductores (inventores) de problemas matemáticos. Es un tipo de actividad que favorece la comprensión de los problemas y sirve para ana- lizar con los alumnos factores como el tema del problema, el tipo de datos que apare- cen, la coherencia del planteamiento, su ajuste con una situación real, tipo de operación que se debe realizar para resolverlo... Se propone a los niños y niñas inventar problemas matemáticos y que los escriban (por parejas). Estos son algunos de los problemas inventados por los niños de 1º: • Si tienes 200 perros y se mueren 30 ¿Cuántos quedan? • Tengo 6 mesas y mi hijo pequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patas son? • Si una vaca tiene 8 terneros ¿Cómo los cuidaría? • Si en el colegio hay 834 niños ¿Cuántas orejas hay? Y si cada uno te pide 2 juguetes ¿Cuántos tienes que comprar? • Va una chica a comprar 2 paquetes de patatas. Si cada paquete vale 50 céntimos ¿Cuánto valen los dos? • Tengo 8 perros. Cada uno tiene 8 cachorros. Y no sé cuántos son. • Si tengo 5 rinocerontes. ¿Cuántas patas tienen? • Si tienes mil y un perros y te quitan uno. ¿Cuántos te quedan? • Si tienes tres caramelos y 8 niños ¿Qué harías? • Si cada uno tenemos tres cuadernillos de matemáticas. ¿Cuántos tenemos entre todos? • Si vas a un cementerio y hay 100 tumbas y en cada una hay 100 muertos ¿Cuántos hay? • Tenemos 26 lápices. Cada lápiz tiene 2 puntas. ¿Cuántas puntas tienen? • ¿Cuántas flores tiene el jersey de Iris? • Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros. ¿Cuántas patas tienen entre todas? • Tengo tres perros y me cagan tres veces al día. ¿Cuántas veces cagan entre todos? El hecho de escribir el problema supone otro tipo de lenguaje diferente al oral. Casi todos los problemas son de tipo multiplicativo (cuando según la secuenciación tradicional de los contenidos de matemáticas se debería iniciar la multiplicación a finales del 2º curso). No plantean problemas de sumas y restas. No plantean ningún problema parecido a los que proponen los libros de texto para esta edad (dato muy importante para que reflexionemos sobre lo que es significativo e inte- resante para los niños). Muchos de los enunciados comienzan con una condición. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA30 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 30. 2. Jarduera: Matematikakoproblemak asmatzen Problemak asmatu. Garrantzi handia ematen diogu ikasleak problemen sortzaileak iza- teari. Jarduera mota honek problemen ulermena errazten du eta oso baliagarria da ikas- leeekin problemen alderdi batzuk aztertzeko: agertzen diren datu motak, planteamen- duaren koherentzia, errealitatearekin duen lotura, egin beharko diren eragiketa motak... Problema matematikoak asmatu eta idaztea proposatzen zaie haurrei (bikoteka jarrita). Hauek dira Lehen Hezkuntzako 1.mailako haurrek asmatutako batzuk: • 200 txakur badaukazu eta 30 hiltzen badira. Zenbat gelditzen dira? • Sei mahai eta nere seme txikia egongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka. Zenbat hanka dira? • Behi batek 8 txekor egiten badu. Nola zainduko zituen? • Eskolan 834 haur baldin badaude, zenbat belarri daude? Eta haur bakoitzak 2 jostailu eskatzen badizu. Zenbat erosi behar dituzu? • Neska bat patata bi pakete erostera doa. Pakete bakoitzak 50 zentimo balio badu, zen- bat balio duten biek? • 8 txakur daukat eta bakoitzak 8 katxorro egiten du. Eta ez dakit zenbat diren. • 5 errinozeronte badut. Zenbat hanka dute? • Mila eta bat txakur baduzu eta bat kentzen badizute. Zenbat gelditzen zaizu? • 3 goxoki eta 8 haur baduzu. Zer egingo zenuke? • Bakoitzak matematikako hiru koadernilo badugu. Zenbat dugu denon artean? • Kanposantu betera bazoaz eta hor 100 tunba daude eta bakoitzean 100 hilda. Zenbat daude? • 26 arkatz dugu. Arkatz bakoitzak bi punta du. Zenbat punta dute? • Zenbat lore dago Irisen jertseian? • Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten ditu. Zenbat hanka dute denen artean? • Hiru txakur daukat eta egunean hiru aldiz egiten dute kaka. Zenbat kaka egiten dute orokorrean? Problemak idazterakoan ahozkoa ez den beste hizkuntza bat erabiltzen da. Haurrei ez zaie bururatu batuketaren eta kenketaren bidez ebazten den problemarik. Ia problema guztiak biderketa baten bidez ebazten dira (matematika edukien ohiko sekuentziazioak biderketa lantzen 1.mailaren bukaeran hasi beharko genukeela adieraz- ten du). Testu liburuek adin honetarako proposatzen duten motako problema bat bera ere ez dute asmatzen. Honek haurrentzako esanguratsua eta interesgarria denaren inguruan haus- nartzeko aukera ematen digu. Problema askok hasieran baldintza bat planteatzen dute. Octubre 2002 • 2002 Urria 31 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 31. Actividad 3: Resoluciónde problemas inventados (o propuestos por la maestra) Toda la clase resuelve los problemas propuestos por cada pareja de niños. Proponemos una primera fase de resolución personal para que cada niño pueda después aportar sus ideas a la discusión. Aparecen numerosas estrategias y formas diferentes de resolución, y después las discutimos entre todos. Aparte de resolver el problema matemáticamente hablamos sobre si es lógico o no, si hay alguna posibilidad de que se de dicha situación en la vida real o no. Resolvemos el problema de la vaca que tiene 8 terneros. La solución que dan es correcta: tienen en total 36 patas. Después tratamos si es normal que una vaca tenga 8 terneros o no. Modifican el problema y la que tiene 8 crías ahora es una coneja (situación que sí se da en la vida real). Entre dos clases diferentes realizamos un intercambio de problemas: los inventados en una pasan a la otra para ser resueltos y viceversa. Devolvemos a los autores no sólo los resultados sino diversos comentarios acerca lo interesante que ha sido, las estrategias uti- lizadas, si ha sido fácil o muy complicado... Actividad 4: Inventar problemas teniendo en cuenta alguna condición puesta por la maestra Inventar un problema que sea de división; uno cuyo resultado sea 14; un problema que sea de medidas, en torno a un tema: deporte, geografía universo; inventar un problema con un material determinado (un folleto de propaganda, inmobiliarias del periódico, un ticket de compra...); dando una imagen o fotografía... Se puede proponer inventar problemas difíciles para alumnos mayores, o problemas fáci- les para alumnos más jóvenes (así analizaremos qué supone para nuestros alumnos que algo sea matemáticamente fácil o difícil). Yeray inventa el problema siguiente (condición: ser muy fácil): Una niña tiene 6 cara- melos y su hermano le da 7. ¿Cuántos caramelos tienen entre los dos? Cuando Yeray lo lee Lide comienza a explicar: “ Mira son 13, es fácil, pero el problema está en que su madre va y les pregunta ¿habéis comido caramelos? Porque ellos van a la compra y con lo que les sobra, sin que su madre lo sepa, compran caramelos, y luego se los comen, la niña 6 y el niño 7. Pero luego su madre les pilla y les pregunta si han comido caramelos para ver qué dicen. Ése sí que es un problema grande, y son 13 los que han comido. Lide intenta convertir en auténtico problema una situación que matemáticamente se resuelve con un cálculo muy fácil para ella. Esto nos lleva a pensar en tantos ejercicios rutinarios que realizan en clase bajo el nom- bre de problema y que no suponen ningún reto para nuestros alumnos. Problemas inventados por diferentes niños teniendo como base la misma fotografía: • Hay cuatro niños y tres niñas ¿cuántos dientes tienen? • Estos niños comen en el comedor del colegio. Si todos los días cada uno come dos yogures. ¿cuántos comen en una semana? • ¿Cuántos años tienen entre todos? SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA32 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 32. 3. Jarduera: Asmatutakoproblemen ebazpena (edo irakasleak proposatutakoak) Gela guztiak ebazten ditu haur bikote bakoitzak asmatutako problemak. Hasieran haur bakoitzari bere kabuz ebazteko aukera ematea proposatzen dugu, gero, taldean eztabaidatzen dutenean, bakoitzak bere aportazioa egin ahal izan dezan. Estrategia asko azaltzen dira, ebazteko era desberdinak, eta, azkenik, denon artean ezta- baidatzen ditugu. Problema matematikoki ebazteaz gainera, problema hori logikoa den ala ez, eta bizitzan horrelako egoerarik izaten ote den ala ez aztertzen dugu. 8 txekor dituen behiaren problema ebazten dugu. Haurrek ematen duten soluzioa zuzena da: denen artean 36 hanka dituzte. Ondoren aztertu dugu ea normala den behi batek 8 txekor edukitzea. Problema aldatu dute eta oraingoan 8 kume dituena untxi bat da. Bi gelen artean problemak trukatzen ditugu: gela batean asmatutakoak beste gelan ebaz- ten dira, eta alderantziz. Egileei emaitzak itzultzen dizkiegu eta baita ere komentarioren bat, zein interesgarria izan den adieraziz, zein estrategia erabili ditugun, erraza izan den edo oso zaila... 4. Jarduera: Irakasleak jarritako baldintzaren bat kontuan hartu problemak asmatzerakoan Zatiketa eginez ebazten den problema bat asmatu; 14 emaitza duen bat; neurrien pro- blema bat; gai bati buruzkoa: kirola, geografia, unibertsoa; Material batean oinarrituz problemak asmatu ( propagandako liburuxka bat, egunkarietako etxebizitzak saltzeko orriak, ordain-agiri bat...); irudi edo argazki batetik abiatuz... Irakaslearen proposamena izan daiteke ikasle haundiagoentzat problemak asmatzea, edo problema errazak ikasle gazteagoentzat, bestela ( Horrela ikus dezakegu irakasleok zer den gure ikasleentzat matematikoki zaila edo erraza den egoera bat). Yerayk problema hau asmatzen du (baldintza: oso erreza izatea): Neska batek 6 goxoki du eta bere anaiak 7 ematen dio. Zenbat goxoki duten bien artean? Yerayk irakurtzen duenean Lide hasten da adierazten: “Begira, 13 dira, erreza da, baina bere amak galdetzen die ea goxokiak jan dituzten. Haurrak erosketak egitera joan dira eta sobratzen zaien diruarekin, amak jakin gabe, goxokiak erosten dituzten eta gero jaten dituzten, neskak 6 eta mutilak 7. Baina gero amak pilatzen ditu eta galdetzen die ea goxokiak jan dituzten ikusteko zer esaten duten, Hori bai dela problema handia eta ez jan dituzten 13 goxokiak. Haur Hezkuntza, 5urte Haur batzuek argazki berarekin asmatutako problemak: • Lau mutil eta hiru neska daude ¿Zenbat hortz dituzte? • Haur hauek eskolako jantokian bazkaltzen dute. Bakoitzak egunero bi jogurth jaten baditu, zenbat jaten dituzte aste batean? • Zenbat urte dituzte denen artean? Octubre 2002 • 2002 Urria 33 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 33. Actividad 5: Transformaciónde problemas Esta actividad iría muy unida a los problemas con condiciones con una variante: dado un problema proponer una transformación del mismo dando alguna condición. Transformar un problema de suma en uno de resta manteniendo las cantidades. Doblar todas las cantidades del problema y ver si sigue siendo lógico o no y si se puede resolver. Cambiar (o añadir) ciertos aspectos del problema sin que varíen ni las operaciones mate- máticas ni el resultado. Conseguir que el resultado sea tres veces mayor. Añadir algún elemento o situación al problema para aumentar el número de operacio- nes matemáticas. ... Y como punto final a esta propuesta didáctica, una observación: los maestros deberíamos ana- lizar de vez en cuando (y bastante minuciosamente) los problemas que aparecen en los mate- riales didácticos. Porque: Al trabajar los contenidos matemáticos de forma aislada y descontextualizada, pierden sen- tido, y al no haber relación de unos elementos con otros se convierten en ejercicios más o menos mecánicos. El hecho de programar el aprendizaje de los problemas en función del algoritmo que se enseña en cada momento supone que, el alumno ya sabe cual es el algoritmo que deberá uti- lizar; no necesita comprender el texto para saber qué operación debe de realizar. (Además fre- cuentemente los datos aparecen en el orden en el que hay que colocarlos para operar). Cuando los problemas se plantean para ejercitar un algoritmo determinado, se incide en el algoritmo y se aleja del significado del problema y de la búsqueda de procedimientos de reso- lución. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA34 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 34. 5. Jarduera: Problemakaldatu Jarduera hau eta baldintza bat emanez problema bat ekoiztearena antzekoak dira: Problema bat proposatu ikasleei, eta baldintza bat kontuan harturik, problema horri alda- ketaren bat egitea proposatu. Batuketaren bidez ebazten den problema bat asmatu, eta kopuruak mantenduz, kenketa eginez ebazten den problema bihurtu. Problema baten kopuruak bikoiztuz gero, aztertu ea problemak logikoa izaten jarraitzen duen ala ez, eta ea posible den ebaztea. Problemaren atal batzuk aldatu (edo erantsi) eragiketak eta emaitza aldatu gabe. Emaitza hiru aldiz handiagoa izatea lortu. Problemari elementu edo egoeraren bat erantsi, problema ebazteko eragiketa gehiago egin behar izateko. ... Eta proposamen didaktiko hau bukatzeko, ohar bat: irakasleok noizbehinka material didakti- koetan agertzen diren problemak zehastasunez aztertu beharko genituzke arrazoi hauengatik: Eduki matematikoak bereizita lantzen badira, testuingurutik kanpo, zentzua galtzen dute, eta, elementuen artean erlaziorik ez dagoenez, ariketa mekaniko bilakatzen dira. Problemak algoritmo jakin bat egiten ikasteko helburuarekin planteatzen direnean, eragiketan jartzen da indarra eta garrantzia, eta ulermena eta ebazteko prozedurak bilatzea alde batera uzten dira. Octubre 2002 • 2002 Urria 35 Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 35. BIBLIOGRAFÍA Arrieta Illarramendi, M/ Sanz Lerma, I. “Conveniencia de usar un protocolo como forma de expresión en la resolución de un problema. Propuesta”. Revista SIGMA nº 13-14 Bethencourt Benítez, T. J. “La importancia del lenguaje en la resolución de problemas arit- méticos de adición y sustracción”. Revista SUMA nº 16 Corbalán, F. “Matemáticas de la vida cotidiana”. Aula de Innovación educativa nº 63. Fernández, S. / Basarrate, A. / Alayo, F. / Fouz, F. “La resolución de problemas”. Revista SIGMA nº 10. Fernández, S. / Basarrate, A. / Alayo, F. / Fouz, F. “Listado y ejemplificación de estrate- gias”. Revista SIGMA nº 10. Fuente de la, Constantino. “Sobre los enunciados de los problemas”. Revista SIGMA nº 8 García, J. / Mulas, R. “Cuando los niños y las niñas tienen la palabra en matemáticas”. Aula de Innovación educativa nº 96. Ifrah, G. “Las cifras. Historia de una gran invención”. Alianza editorial, Madrid 1992 Kamii, C. “Reinventando la aritmética III”. Editorial Visor. Madrid 1995 López Sierra, G. / Etxegarai, F. “Listado y ejemplificación de estrategias”. Revista SIGMA nº 13-14. Muñoz, L. / Lassalle, P. “De la peseta al euro: preparándonos para el futuro”. Aula de Innovación educativa nº 106. Polya, G. “Cómo plantear y resolver problemas”. Editorial Trillas, 1992 México. Ramírez, R. / Serra , T. “Hablamos de matemáticas”. Aula de Innovación educativa nº 96. Rowan, T. / Bourne, B. “Pensando como matemáticos”. Editorial Manantial 1994. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA36 Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle
- 36.
- 37. Octubre 2002 •2002 Urria 39 El problema de la cabra EL PROBLEMA DE LA CABRA Alberto Bagazgoitia (*) La Resolución de Problemas (R.P) puede ser considerada como el tema estrella en el actual currículum de Matemáticas. Cuando se analizan, desde un punto de vista teórico o de refle- xión, cuáles son los aspectos fundamentales que habría que trabajar en la enseñanza Secundaria, la R.P., en el sentido amplio de la expresión, alcanza un muy importante grado de consenso entre el profesorado. Y es que la Resolución de Problemas, además de trabajar y desarrollar estrategias más genera- les y de más alto nivel que la mera resolución de ejercicios de aplicación directa de fórmulas conocidas o recién estudiadas, permite un mejor tratamiento y una más fácil adecuación a las diferentes capacidades de los alumnos. Sin embargo, en la práctica, en el aula, y sin entrar a valorar las razones por las que esto ocu- rre, la realidad no concuerda con la importancia que se le da en el plano teórico. Es evidente que la disponibilidad por parte del profesorado, de material adecuado e interesante es condi- ción indispensable para que se vayan introduciendo actividades en esta línea. El Problema de la Cabra que aquí se plantea ha sido objeto ya de varios artículos a lo largo de estos últimos años. Es un buen problema por varias razones: • Permite trabajar estrategias propias de la Resolución de Problemas: Descomponer un problema en partes más simples, • El procedimiento de abordar el problema no es único. • Permite diferentes niveles de dificultad según las capacidades de los alumnos: la situa- ción más elemental se puede ir complicando con sencillos cambios en el enunciado.. • Permite incorporar contenidos “tradicionales” : Trigonometría, Integrales. Es un problema con el que se puede trabajar desde los primeros años de la Secundaria hasta el último de Bachillerato. Mientras algunos alumnos se quedarán en las primeras fases del pro- blema, otros podrán llegar hasta el final, profundizando en el uso de las herramientas y cono- cimientos matemáticos necesarios para su resolución. No se trata de que todos los alumnos aborden todas las variantes que aquí se proponen, sino que cada uno o cada grupo las desarrolle hasta donde pueda con la colaboración del profe- sor, dentro de la metodología de la resolución de problemas. (*) Asesor del Berritzegune de Vitoria-Gasteiz
- 38. ENUNCIADO 1: UNREDIL CUADRADO A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui- nas exteriores de un redil de forma cuadrada, de 5 metros de lado. El redil está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? La Solución es muy sencilla : Las 3 cuartas partes del círculo de radio 3m.: S = 3/4 32 = 27/4 m2 B) ¿Y si la longitud de la cuerda es de 7 metros? El alumno descompondrá la región en zonas. Por ej.: S1: Los 3/4 del círculo de radio 7. S2: 2 regiones de 1/4 de círculo de radio 2. A = S1 + S2 = 3/4 72 + 2(1/4 22 ) C) ¿Y si la longitud de la cuerda fuese mayor? Se puede continuar con un proceso análogo al apartado anterior. ENUNCIADO 2: UN REDIL TRIANGULAR A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui- nas exteriores de un redil en forma de triángulo equilátero, de 5 metros de lado. El redil está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? El área de la región donde puede pastar la cabra es la del círculo menos la de un sector circular de 60º. S = 32 – (1/6) 32 = (15/2) m2 B) ¿Y si la cuerda mide 6 m.? El alumno deberá descomponer la región en subzonas. Por ej: S1 = Las 5/6 del círculo de 6 m. de radio S2 = Cada una de las pequeñas regiones de 120º de un círculo de radio 1. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA40 Alberto Bagazgoitia
- 39. Con lo queel área total sería : S = S1 + 2 S2 = (5/6) 62 + 2(1/3) = (30+2/3) m2 C) ¿Y si la cuerda midiese 9 m? Hacer una figura adecuada es imprescindible. A la vista de la figura, la región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse de más de una forma. Cada alumno o grupo de alumnos podrá encontrar la suya. Aquí se analizan tres descomposiciones diferentes, utilizando diferen- tes métodos de resolución. (Además de las estra- tegias generales de resolución de problemas que se pueden trabajar, como hacer representaciones y dividir el problema en subproblemas, es claro que el conocimiento de diferentes herramientas matemáticas —trigonometría, integrales— dota de mayores recursos para la resolución). SOLUCIÓN La región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse como la suma de las regio- nes S1, S2, S3 y S4. La región S1 es muy sencilla de ver y de calcular como un sector circular de 300º ( los 5/6 del círculo ) de radio 9m. Así pues: S1 = (5/6) 92 m2 = 67’5 m2 Para obtener la suma de las regiones S2 + S3 + S4 analicemos diferentes descomposiciones: DESCOMPOSICIÓN I para el Cálculo de S2 + S3 + S4. S2 = DGEC S3 = BEFA S4 = CEB La Región S2 + S3 + S4 puede ser vista como la suma de las siguientes : Sector circular de centro A : FEC (S3 + S4) Sector circular de centro D : GEA (S2 + S4) A los que habrá que restar el área de la región S4 que hemos contado dos veces. Cada uno de los dos sectores circulares anteriores (FEC y GEA) son sectores de 120º de un círculo de radio 4m. Por tanto su área será : Sector FEC + Sector GEA = (1/3) 42 + (1/3) 42 = (32/3) = 33’5103 m2 Calculemos ahora el área de S4. Octubre 2002 • 2002 Urria 41 El problema de la cabra
- 40. Observando la figuravemos que la mitad de esta área, concretamente la región CEH, puede verse como la diferencia entre el sector circular (de centro A) CAE y el triángulo rectángulo HEA. 1/2 S4 = Sector CAE – Triángulo HEA El ángulo en A del triángulo HAE, que es el mismo que el del sector CAE, se puede deducir a partir de las longitudes de los lados del triángulo que lo determinan. AE = 4 AH = 2’5. Por tanto, llamando ␣ al ángulo (en A) HAE obtenemos : Cos ␣ = 2’5/4 = 0’625 ˛ ␣ = 0’895665 rad = 51’3178º Así pues, el área del Sector CAE es la de un sector de 0’855665 rad. correspondiente a un cír- culo de radio 4m.: Sector CAE = (0’895665 / 2) 42 = 7’1653 m2 Y el área del triángulo HAE, será AH*EH / 2 , donde AH = 2’5 ,, EH = AE sen ␣ Area Triángulo HAE = (2’5 * 4 * sen 0’895665 ) / 2 = 3’9031 m2 Por tanto : 1/2 S4 = 7’1653 – 3’9031 = 3’2622 ˛ S4 = 6’5244 m2 AREA TOTAL : S2 + S3 + S4 = 33’5103 – 6’5244 = 26’9859 m2 DESCOMPOSICIÓN II PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4 Utilizando la misma figura anterior, se puede ver otra sencilla descomposición. La región S4 se puede dividir en dos mitades : BEH y HEC y por tanto nos podemos limitar a calcular la mitad de la región total (S3 + 1/2 S4) de vértices HEFA. Y esta región HEFA se puede descompo- ner como suma de un sector circular EAF y un triángulo rectángulo HEA (el mismo cuya área hemos calculado en el apar- tado anterior). Es decir: S3 + 1/2 S4 = Sector EAF + Area Triáng. HEA = Sector EAF + 3’9031 Calculemos el área del Sector EAF : Es un sector de  = 120º - ␣ grados (2/3 - ␣ radianes) de un círculo de radio 4. Como ␣ lo hemos calculado en el apartado anterior, ␣ = 0’895665 rad. ˛  = 2/3 – 0’895665 = 1’198730 rad. Sector EAF = [/(2)] 42 = 9’5898 m2 Por tanto: S3 + 1/2 S4 = 9’5898 + 3’9031 = 13’4929 ˛ S2 + S3 + S4 = 26’9858 m2 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA42 Alberto Bagazgoitia
- 41. DESCOMPOSICIÓN III PARAEL Cálculo de S2 + S3 + S4 La Geometría Analítica y el Cálculo Integral nos abren otras posibilidades diferentes. Imaginemos la figura anterior, en la que hemos fijado unos ejes de referencia. Tomaremos el eje vertical como Eje X y el hori- zontal como Eje Y. La mitad del área que queremos calcular es la región limitada por los vértices: AFEH Esta región la podemos descomponer en otras dos : AFI y AIEH. La primera, AFI, es un sector circular de 30º correspondiente a un círculo de radio 4 m. Por tanto su área será : Area AFI = 42 /12 = 4’1888 m2 La segunda, AIEH, la podemos calcular mediante el cálculo integral, como el área encerrada por la circunferencia x2 + y2 = 16, entre las abscisas 0 y 2’5. Area AIEH = ͐͌16 - x2 dx Y haciendo el cambio x = 4 sen t Area AIEH = ͐͌16 - x2 dx = 16 ͐cos2 t dt = 9’3041 m2 Con lo que el área buscada será : S2 + S3 + S4 = 2 ( 4’1888 + 9’3041 ) = 26’9858 m2 OTROS ENUNCIADOS: Como se ha visto, cambiando la forma del redil y la longitud de la cuerda se obtienen pro- blemas de dificultad variable. Repite el problema con un redil pentagonal, hexagonal,... ENUNCIADO 3: REDIL CIRCULAR A) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda de 10 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra? La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es la limitada por los arcos PA y CA y el segmento CP. Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, CPA, menos el triangulo equilátero PAC. Los dos sectores PCA y CPA son iguales, 60º de un círculo de radio 10 m. Por tanto su área será : Sector PCA + Sector CPA = 2 ((1/6) 102 ) = 100 / 3 m2 Área triángulo PAC = (10 ͌3 / 2 ) 10 / 2 = 25 ͌3 m2 Solución : La mitad del área es : (100 / 3) - 25 ͌3 m2 Octubre 2002 • 2002 Urria 43 El problema de la cabra 2,5 0 2,5 0 0’675 0
- 42. OTRO MÉTODO :Para familiarizarse con el Cálculo Integral Los alumnos deben habituarse a elegir los ejes de coordenadas de la forma más adecuada para poder asociar a las figuras las ecuaciones más sencillas. Tomando el origen de coordenadas en el Poste (0,0), la frontera del redil tendrá como ecuación la de una circunferencia centrada en el punto (0,10) y de radio 10m.: x2 + (y – 10)2 = 102 y la que limita la región en la que la cabra puede pastar será una circunferencia de radio 10m. centrada en el origen : x2 + y2 = 102 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunfe- rencias se obtienen las coordenadas del punto de corte A (5͌3,5). La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 5͌3 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias. El alumno deberá reconocer que si bien al arco de la circunferencia x2 +y2 = 102 que queremos integrar le corresponde el signo + de la raíz (y = + ͌(100-x2 )), al arco de la otra circunferen- cia le corresponde el signo - . (y = 10 - ͌(100-x2 )). Por tanto el área buscada vendrá dada por la integral: ͐[͌100 - x2 - (10 - ͌100 - x2 )] dx Y haciendo el cambio habitual x = 10 sen t , e integrando en t entre los límites correspon- dientes 0 y /3, se obtiene como en el caso anterior, que La mitad del área es : (100 / 3) - 25 ͌3 m2 B) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda de 12 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra? El problema es el mismo que el anterior con la dificultad añadida de que el triángulo CPA no es equilátero, sino isósceles, por lo que el cálculo de los ángulos en P y C no es inmediato y hay que utilizar el Teorema del Coseno. La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es la limitada por los arcos PA, BA y el segmento BP. Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, BPA, menos el triangulo isósceles PAC. Para calcular el área de los dos sectores necesitamos saber los ángulos, en P y C, del triángulo PAC. Mediante el Tª del coseno, calculamos el ángulo en P. 102 = 102 + 122 - 2.10.12 cos P ˛ cos P = 3/5 ˛ P = 0’9273 rad. Como los ángulos en P y A son iguales, el ángulo en C valdrá : C = - 2. 0’9273 = 1’2870 rad. Por tanto, Área del sector BPA: (122 / 2) 0’9273 = 66’77 m2 Área del sector PCA: (102 / 2) 1’2870 = 64’35 m2 Área triángulo PAC: PC.AP.sen P / 2 = 10.12.(4/5)/2 = 48 m2 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA44 Alberto Bagazgoitia 5͌3 0
- 43. Solución: La mitad delárea será : 66’77 + 64’35 – 48 = 83’12 m2 MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL: Análogamente a lo realizado en el Caso A), también se puede utilizar aquí el método del cál- culo integral. Así como con el procedimiento anterior, este caso B) es más complicado que el A), con la aplicación del cálculo integral no hay ninguna diferencia a lo visto en A). Bastaría con resolver el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunferencias: x2 + (y – 10)2 = 102 y x2 + y2 = 122 para encontrar las coordenadas del punto de corte A (9’6, 7’2). La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 9’6 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias: 1/2 A = ͐[͌144 - x2 - (10 - ͌100 - x2 )] dx Que resolviendo con los cambios x = 12 sen t y x = 10 sen t nos da el valor de 83’12. C) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda. Si sólo puede pastar en la mitad de la superficie del campo, ¿Qué longitud (aproximada) tiene la cuerda? Igual que en los casos anteriores el área en la que puede pastar la cabra será : Área = Sector BPA + Sector PCA – Triángulo PCA Esa área ahora es conocida y vale 1/4 102 . En vez de utilizar el valor 10 para el radio, usaremos a partir de ahora la letra r, y sólo al final, si es necesario, usaremos el dato concreto. Para calcular las áreas, tanto la de los sectores como la del trián- gulo, vamos a utilizar el ángulo en P : ␣. Mediante el Tª del coseno : r2 = r2 + x2 - 2rx cos ␣ Por tanto cos ␣ = x / 2r • Área sector BPA = x2 ␣/2 • Área sector PCA: Como el triángulo PCA es isósceles, el ángulo en C será: - 2␣. Por tanto el área del sector PCA : r2 ( - 2␣) / 2. • Área triángulo PCA: (x r sen ␣) /2 = r2 sen ␣ cos ␣. De forma que el área en la que la cabra puede pastar se puede expresar: r2 / 4 = x2 ␣ /2 + r2 ( - 2␣) / 2 - r2 sen ␣ cos ␣. Y expresando x en función de ␣: / 4 = 2 ␣ cos2 ␣ + ( - 2␣ ) / 2 - sen ␣ cos ␣. Octubre 2002 • 2002 Urria 45 El problema de la cabra 9’6 0
- 44. 2 ␣ cos2 ␣+ / 4 - ␣ - sen ␣ cos ␣ = 0 Para resolver esta ecuación podemos utilizar alguno de los programas informáticos que nos proporcionan soluciones aproximadas. Un método rápido consiste en representar gráfica- mente la función y observar sus puntos de corte con el eje X. Por las condiciones del problema es claro que el valor de ␣ buscado estará entre 0 y /2 , o, afinando un poco más, entre /4 y /2. La gráfica siguiente está obtenida con DERIVE. Mediante la Opción Traza, el propio programa nos ofrece las coordenadas de los diferentes puntos de la curva a medida que nos desplazamos sobre ella. Así obtenemos como solución aproximada de la ecuación, entre 0 y /2 el valor ␣ = 0’9548. Por tanto, la longitud aproximada de la cuerda será x = 2r cos ␣ x = 2. 10 cos 0’9548 = 11’56 m Mediante el CÁLCULO INTEGRAL, de forma análoga a los casos A) y B) también puede resol- verse, siendo completamente imprescindible el uso de un asistente matemático. BIBLIOGRAFÍA: Antonio Frías Zorrilla. “Procedimientos de resolución en un problema no rutinario”. EPSILON 1994 nº 30. Ian D. McLachlan. “A.I.M.S. in the classroom”. MATHEMATICS TEACHER May 1994. Elisabeth Busser. “Buscar, jugar, encontrar”. MUNDO CIENTÍFICO Abril 1999. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA46 Alberto Bagazgoitia
- 45. Octubre 2002 •Urria 2002 47 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz IKUR ETA ZEINU BIDEZKO ADIERAZPEN MATEMATIKOEN IRAKURBIDEAZ (*) Martxel Ensunza, Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila, EHU Jose Ramon Etxebarria, Fisika Saila, UEU Jazinto Iturbe, Kimika Fisikoa Saila, EHU Laburpena: Artikulu honetan egileetako batek (M. E.) berriki aurkeztutako doktorego-tesirako lanaren berri laburtua azaltzen da, irakaskuntzan diharduten matematikarientzat guz- tiz interesgarria eta erabilgarria delakoan. Ikur eta zeinu bidezko adierazpen mate- matikoen irakurbidea gai hartuta, lehenengo atalean adierazpen fisiko-matematikoen hizkera lantzeko euskaraz egindako saioen azterketa historiko-kritiko laburra egin da. Bigarren atalean, gaur egungo ikuspegia erabiliz, Fisika eta Matematikan erabiltzen den hizkuntza berezi eta berezituari buruzko zenbait hausnarketa egin dira, inguruko hizkuntzetan (ingelesa, frantsesa eta gaztelania) harturiko bideak kontuan hartuz. Hirugarren atalean adierazpen sinbolikoen irakurbiderako proposamen zehatzak egin dira, horretarako hiru arau nagusi zehaztuz, eta horien aplikaziorako baldintzak adie- raziz. Amaitzeko, zenbait adibide jarri dira, arau horiek praktikan nola aplikatzen diren erakutsiz. Resumen: En este artículo se hace una breve referencia de la memoria de tesis doctoral presentada recientemente por uno de los autores (M. E.), considerando que puede ser de interés y utilidad para los matemático/as que trabajan en la enseñanza. Analizando el tema de la lectura de las expresiones matemáticas que contienen símbolos y signos, en el primer apartado se expone un resumen histórico-crítico de las distintas experiencias prácticas referentes al lenguaje a utilizar al leer las expresiones físico-matemáticas. En el segundo apartado se presentan algunas reflexiones sobre el lenguaje especial y especializado que se utiliza hoy en día en Física y Matemática, haciendo referencia expresa a los idiomas de nuestro entorno (inglés, francés y castellano). En el tercer apartado se presentan pro- puestas concretas de solución en forma de tres reglas generales, especificando su campo de aplicación. Finalmente, se presentan algunos ejemplos de aplicación de dichas reglas. Gauza jakina denez, euskararen erabilerari dagokionez, berandu samar iritsi gara euskaldunok irakaskuntzaren eta ikerkuntzaren arloetara —gure inguruko hizkuntza ofizialetako hiztunak baino beranduago, behintzat—, eta, horren ondorioz, pauso hori ematen hasi garenean, ingu- ruko hizkuntzetan gaindituta eta ebatzita zeuzkaten zenbait arazo praktikorekin egin dugu topo. Horrelako arazo baten konponbiderako proposamenak aztertuko ditugu artikulu hone- tan: ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbidea. Hain zuzen, ikur eta zeinu bidezko laburtzapenek eragozpenak sortzen dizkigute praktikan, eta horiek gainditzeko saioan, hainbat mailatako hausnarketak egin eta proposamen-sorta bat eskainiko dugu. (*) En el siguiente número de la Revista SIGMA, se publicará un artículo continuación de éste referido al uso correcto del euskera en las operaciones básicas.
- 46. Gaia lantzeko orduan,lehenengo kezka, abiapuntua bera izan genuen. Batetik, inguruko hiz- kuntzetan iraganeko garaietan ibilitako bidea euskaldunok azken urteotan egin beharra izan dugu, askoz ere denbora laburragoan, gainera. Esperientzia hori izan dugu abiapuntua. Nolanahi den, bestetik, ez gara gu izan bide hori jorratzen ibilitako lehenak. Euskara bera ira- kaskuntzarako hizkuntza modura erabiltzen hasi zenetik —nola edo hala esateko, XX. men- dearen hasieratik—, hainbat ahalegin egin dira bai hiztegi tekniko-zientifikoaren eta bai arlo horretako esamoldeen normalizaziorako bidean. Zer esanik ez, guztiz komenigarria zen gure aurrekoek eginiko ahaleginetatik abiatzea, bidean izan zituzten oztopoak zein izan ziren jaki- teko, eta horien konponbiderako erabili zituzten ebazpideak kontuan hartzeko. Eta horixe egi- ten saiatu gara. Dena den, gure helburua mugatua izan da: Matematikan —eta Fisikan— erabiltzen diren nazioarteko ikur eta zeinu bidezko adierazpenek euskararen baitan izan dezaketen txertaketa finkatzea eta normalizatzea. 1. ADIERAZPEN FISIKO-MATEMATIKOEN HIZKERA LANTZEKO EUSKARAZ EGINDAKO SAIOEN AZTERKETA HISTORIKO-KRITIKO LABURRA Euskara bera eguneratzeko eta euskararen erabilpena irakaskuntzara zabaltzeko lehen asmoak XX. mendearen hasieran abiatu ziren, geure ikerketan bilatu ditugun artikulu eta argitalpenak kontuan hartuz behintzat. Hain zuzen ere, 1901. urtean Sabino Aranak argitaraturiko artikulu batean —“Análisis y reforma de la numeración euzkérica” izenekoa— bi motatako ekarpen berritzaile ageri dira. Lehena terminologiari buruzkoa da: hor ditugu anei (‘mila’), bostanei (‘bost mila’), anbei (‘hamar mila’)… hitz berriak. Bestetik, euskararen zenbaki-sistema berezia —ehun zenbakira arte hogeikakoa dena— sistema hamartar huts bihurtzeko ahalegina: berra- mar (‘hogei’), iruramar (‘hogeita hamar’), laramar (‘berrogei’)… Egia esanda, gero harturiko bideei dagokienez, Aranaren proposamenak ez zuen arrakastarik izan, baina gutxienez aipatu beharra dagoela uste dugu, problema plazaratzean eta irtenbide bat proposatzean lehena izan baitzen. Nolanahi den, Aranaren bultzadak beste idazle batzuk jarri zituen lanean. Adierazpen mate- matikoei dagokienez, aurkitu dugun lehenengo erreferentzia 1913koa dugu, hain zuzen ere Ixaka Lopez Mendizabalen liburu batena: López Mendizabal'dar Ixaka (1913): Ume koxko- rrentzat euzkaraz egindako Zenbakiztiya edo Aritmetika, Tolosa, E. López. Liburu horretan oinarrizko eragiketak landu ziren, 1. koadroan ageri den eran: 1. koadroa. Oharra: Letrakera etzanaz López Mendizabalek erabilitako formak adierazi dira eta letrakera arruntaz idatzitakoak gaur egun erabiltzen direnak. SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2148 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe batuketa / batuketa kenduketa /kenketa tolesketa / biderketa zatiketa / zatiketa batukia / batugaia gutxitzen dana / tolesten dana / zatituba / zatikizuna kenkizuna biderkakizuna batukia / batugaia kentzen dana / toleslea / biderkatzailea zatilea / zatitzailea kentzailea (edo biak biderkagaiak) guziya / batura bitartekua / kendura ateria / biderkadura zatiya / zatidura Oinarrizko eragiketen osagaiak
- 47. Horrez gain, eragiketenzeinuen izenak (+ zeinua: ta / geroago ‘gehi’, ‘eta’; – zeinua: gutxi / gaur egun ‘ken’; 5 zeinua: bider / gaur egun ‘bider’; : zeinua: [López Mendizabalek izenik ez] / gaur egun ‘zati’) eta horien irakurbideak ere azaldu zituen. Bigarren erreferentzia 1920koa dugu: Bizkai-Aldundiaren Erri-Irakaskuntza-Batzordea (1920): Lenengo ikaste mallarako euskal-zenbakiztia, Bilbao. Interesgarria da erakunde ofizial baten parte-hartzea azpimarratzea. Dena den, mailari dagokionez, aurreko lanak bezala, “lehen maila” hartu zuela esan behar da, alegia Oinarrizko Heziketa; bestalde, oinarrizko eragiketez gain, ezer gutxi landu zen liburu hartan. Erakundeen bultzadarekin segituz, hurrengo pausoak Euzko Ikastola Batzak eman zituen, honako bi lan hauek argitaratuz: Euzko Ikastola Batza (1932): Zenbakiztija, I mallea. Verdes- Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao; Euzko Ikastola Batza (1932): Zenbakiztija, II mallea. Verdes-Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao. Eta horren eraginez Espainiako argitaletxe espezifi- koak ere mundu horretan sartzen hasi ziren, Bruño argitaletxeak eginiko lana lekuko: Bruño Idaztiak (1933): Zenbakizti lengaien ikastia, La Instrucción Popular, Madrid, Barcelona. Gerraurreko lanen aipamena biribiltzeko, aurrekoez bereiztasun garrantzitsua duen beste liburu bi ekarriko ditugu gogora, hain zuzen ere adierazpen matematikoak beste zientzietan ere txertatzen saiatu zen lehena izan zelako. Hain zuzen, Gabirel Jauregik 1935 eta 1936. urteetan argitaraturiko Pisia eta Kimia liburuez ari gara. Liburu horietan formulak etengabe agertzen dira; baina Jauregik ez zuen esan, era zuzenean behintzat, formulak nola irakurri behar ziren, nahiz eta kasu batzuetan zertxobait haien logika azaldu eta nolabaiteko irakur- keta ere egin zuen. Gero, gerra etorri zen eta prozesu hura moztuta geratu zen. Gerraosteko isilune luzea etorri zen ondoren, harik eta hirurogeita hamarreko hamarkadan irakaskuntzaren arazoarekin lotu- riko testugintza serioski planteatzen hasi zen arte. Gure bilaketaren araberako lehen liburua Luis Egiaren Neurriztia izenekoa da: Eguia, L. (1972): Neurriztia, Kardaberaz Bilduma, Kardaberaz-Bazkuna, Seminario Vitoria. Bera izan zen lehena formula, berdintza eta ekua- zioen alboan horien irakurbideak zuzenean jartzen. Bere testua ikusita, laster kontura gaitezke ezen adierazpide matematiko bakoitzaren ondoren “onela irakurri:” esaldia datorrela behin eta berriro, ondoren nola irakurri behar den hitzez hitz azalduz. Seinale garbia, horretan kezka zuela eta irakurbiderako ohiturak sortu nahi zituela. Dena den, hizkuntza arruntean erabili zuen joskera, eta esamoldeen muga estuetan jokatzera behartu zuen bere burua; horrela, behin baino gehiagotan muga horretan sortzen zitzaizkion korapiloak askatu ezinik ibili zela antzeman dezakegu. Labur esanda, liburua irakurbideen azalpen etengabea da. Baina inon ere ez zituen zehaztu irakurbiderako arauak, eta guri horrek ardura digu nagusiki. Gainera, liburu hori ez zegoen euskara batuan idatzita, eta nola edo hala gerraurreko ekoizpenarekiko lotura azpimarratu nahi izan zuen, normalizaziorako kezka alde batera utzita. Baina ordurako, bes- telako bideak abiaturik zeudela esan dezakegu. Izan ere, horren ostean, ia berehala, euskara batu eta “modernoa” zerabilten bestelako lanak azaldu ziren. Lehenengo adibide modura Iker taldeak Saioka bilduman argitaraturiko Matematika saileko liburuak ditugu (1976, 1977 eta 1979. urteak). Adierazpen matematikoei eta sinboloen irakurbideari dagokienez, ordura arte euskarazko liburuetan sekula agertu gabeko sinbolo berriak agertu ziren, hala nola: ∈ -koa da ∉ -koa ez da; ez da …koa ⊂ -(r)en barnean dago Octubre 2002 • Urria 2002 49 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz
- 48. ⊄ -(r)en barneanez dago o bil A o B A bil B A ~ B A eta B zenbakide dira Antzeko sinbolo eta irakurbideak aurkitu ditugu Larresoro sinadurarekin garai bertsuan J. L. Alvarez Enparantza Txillardegik prestatu zituen liburuetan ere. Liburu hauek Saioka bil- dumako matematika-liburuen oso antzekoak dira, bai gaiei dagokienez, eta bai erabilitako ikur eta terminologiari dagokienez ere. Larresorok eginiko liburuetan, adierazpideen irakurbidea finkatzeko ardura ere ageri da, eta hori nabaria da, jarraian aipatuko ditugun adibideetan, adierazpen sinbolikoen ondoren hitz arrunten bidezko esamoldeak baitatoz: AB A ken B X o E X ebak E ∅∆ multzo hutsa D= A o B D berdin A bil B D= A oB D berdin A ebak B D= AB D berdin A ken B 3 x 6 = 18 hiru bider sei berdin hemezortzi M ⊂ H M, H-ren barnean dago (aurrekoetan “barrenean” ageri da) 16 : 2 = 8 hamasei, zati bi, berdin zortzi A ~ B A eta B, zenbakide Testu horietan irakurbiderako aukeraren azalpena espresuki formulatuta ez badago ere, oro har, gero azalduko dugun “linealtasunerako bidea” hartu zela esan dezakegu, bai Saioka bilduman eta bai —are markatuago— Larresorok eginiko testuetan ere. Azken lan hauen alde etorri zen neurri batean —edo alderantziz izan ote zen?— Euskaltzaindiak plazaraturiko liburuxka bat. Hain zuzen, Euskaltzaindia buru-belarri zebilen batasun-prozesua bultzatzen, eta horrela, Zortzi urte arteko Ikastola Hiztegia argitaratu zuen 1975. urtean, zenbait oinarrizko arazo eta konponbideri buruz zuen iritzia plazaratuz. Eta zenbait erabaki interesgarri eta baliotsu hartu zituen Euskaltzaindiak, gerorako bidea argitzeko eta errazteko balio izan zute- nak. Laburbilduz, erabaki horietako batzuk terminologiarekin zerikusia zuten, zenbait ikur eta zeinu matematikoren (+, –, =...) izenak onartu edo proposatuz, aldi berean matematikaren ikus- puntutik baliagarriak ziren banaketa semantiko batzuk onartuz (alde batetik “gehi” eta “plus” kontzeptuak eta bestetik “ken” eta “minus” kontzeptuak desberdinduz, adibidez), zenbait eragi- ketaren irakurketarako bideak onetsiz, eta abar. Ez ziren erabaki oso handiak izan, baina benetan baliagarri suertatu zirela esan dezakegu, Euskaltzaindiak nolabaiteko oniritzia eman baitzien garai hartan zientzialarien eta testu-idazleen artean ohiko bihurtzen ari ziren esamoldeei. Hortik aurrera, praktikara eraman ziren asmoak. UEUren —Udako Euskal Unibertsitatea— eta Elhuyar taldearen sorrerarekin abiada berria izan zuen gaiak, beste maila batera igo baitzen SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2150 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
- 49. arazoaren planteamendua. Jadanikez zen nahikoa testuak egitea. Formulazio fisiko-matema- tikoa behin eta berriz agertzen zen testuetan, eta euskararen batasunaren espirituaz kutsaturik, erabaki bateratuak hartzeko premia azaldu zen, testuen idazkerari zegokionez ez ezik, for- mula eta ekuazioen irakurketari zegokionez ere. Hain zuzen, Udako Euskal Unibertsitateko hitzaldi eta mintegietan, esamolde egokiak aukeratzearen premia azaldu zen behin eta berriro. Horrela, Elhuyar eta UEU erakundeak hizkuntza teknikoari buruz —aztertzen ari garen arazoa barne— eztabaidatzeko gune bihurtu ziren. Elhuyar aldizkariaren lehen zenbakian bertan, gerraurreko arazo berberak planteatzen zituen lan bat argitaratu zen, nahiz eta irtenbideak oso bestelako bidetik proposatu. J. M. Goñi matematika- riak idatzitako “Zenbaki arruntak; eragiketak” izenburuko artikuluaz ari gara (1974). Horren ostean, Goñik beste artikulu batzuk argitaratu zituen 1975, 1976 eta 1979. urteetan, eskuartean dugun gaia lehen aldiz bere osotasunean planteatuz. Bide beretik, Mikel Zalbidek problema ber- bera plazaratu zuen “Zientzi eta teknikarako hizkuntzaz” izenburuaz idatzitako artikuluan (1976), eta horren kariaz, Elhuyar taldekoek Karlos Santamariarengana jo zuten iritzi edo aholku eske, eta honek erantzun pentsatu eta landua eman zien, 1976an aldizkarian izenburu berberaz argitara- turiko bi artikuluren bidez: “Ahoz eta euskaraz irakurtzekotan, nola irakurri behar dira algebrazko formulak? (I) eta (II)”. Artikulu horietan zuzen-zuzenean egin zen arazoaren planteamendua eta baita nolabaiteko irtenbideak proposatu ere. Gure ustez, Santamariak argitaratu zuen arazo honi buruzko lehenengo “teorizazioa” dei deza- keguna. Santamariak ahalegin handia egin zuen irakurbidea lantzen, hain zuzen ere, irakurketa- rako orduan formulen “linealtasuna” —hots, idatzizko ikur eta zeinuen hurrenkera gordetzea— gidari hartuz. Neurri batean —aljebrari dagokionez, bederen— arazoa nahiko ondo bideratuta utzi zuela esan dezakegu. Funtsean, hark adierazitako parametroak kontuan hartuz abiatu ziren beste guztiak ere, nahiz eta bestelako eremuak landu behar izan zituzten. Santamariaren erantzun teorikoaren ondoren, lan praktikoen premia azaleratu zen, eta ordutik aurrera erantzun praktikoak ematera bideratu ziren indarrak. Horretan garrantzi berezia izan zuen UZEIren lanak (Unibertsitate Zerbitzuetarako Euskal Ikastetxea). Horren adierazle modura, Mikel Zalbidek UZEIren ekimenen barnean Matematika. Hiztegia, hizkera, irakurbideak izenburuko liburua dugu (1978). Liburua bere osotasunean hartuta, Zalbideren lana bere aurreko lan teori- koen osteko lehenengo sistematizazio praktikoa izan zela esan dezakegu, beti ere formulen ira- kurbiderako ikurren idazkeraren araberako hurrenkeraren bidetik jorik. Hurrengo pauso kualitatiboak, Zalbideren beraren koordinaziopean prestaturiko UZEIren Matematika Hiztegia argitaratzean eman ziren (1982). Hiztegiari dagokionez, lexikoaz gain, aipa- men berezia merezi du kalkulu eta analisiaren arloko zerrendak. Bertan batukariak, biderkariak, deribatuak, integralak eta abar ageri dira, alboan irakurbide zehatza dutela, adibide modura auke- ratu ditugun ondoko kasuetan bezala: batukari, 1etik n-ra; batukari, i berdin 1etik n-ra biderkari, 1etik n-ra; biderkari, i berdin 1etik n-ra limite, x a-rantz doanean, i grekoa, berdin b deribatu n-garren y x-ekin (-ekiko) n aldiz integral, a-tik b-ra, f(x) diferentzial x Octubre 2002 • Urria 2002 51 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz Σ Σ n n edo 1 i=1 lim y = b x→a ץn y ץxn ͐ b f(x)dxa Π Π n n edo 1 i=1
- 50. Bukatzeko, gutariko batekeginiko lana aipatuko dugu, hots, Alfabetatze zientifikoa. Zenbakiak / unitateak / irakurketa / eragiketak / esamoldeak izenburupean Martxel Ensunzak plazaraturikoa (1983). Lehenago UZEIren hiztegian azaldutako formula eta adierazpen mate- matikoak bildu ondoren, horien gehigarri modura, ikur eta adierazpen fisiko-matematikoen irakurbidea proposatu zen lan horretan. Honelatan, bada, erabilitako iturri eta oinarri nagusiak aipatu ondoren, horiei buruzko iritzia gehitu nahi genuke, beti ere horien guztien zordun garela aitortuz. Labur esanda, hasteko, XX. mendearen hasiera aldean emaniko pausoak laburrak eta geldoak izan ziren, dudarik gabe, baina sortu berriaren meritua izan zuten, arazoak planteatzea ebaz- ten hasteko bidea baita. Zenbait gorabehera eta zalantza izan ondoren, gerraren ondorengo isilaldiaren ostean berpiztu beharra egon zen, eta, espero izatekoa zenez, lehenengo ekime- netan aurretik utzitako arrastoen bila abiatu ziren. Baina irteera edo jarraipenik gabeko bide- tik abiatu ziren. Bestelako bidetatik abiatuz, hirurogeita hamarreko hamarkada funtsezkoa gertatu zen etorki- zunerako oinarriak finkatzeko. Horretan funtsezko lana bete zuten Udako Euskal Unibertsitateak eta Elhuyar taldeak, hausnarketa teorikoak egiteko, proposamenen eztabai- darako toki eta zientzialari euskaldunen biltoki modura jokatuz. Geroago, laurogeiko hamar- kadan, behin euskarazko irakaskuntza Euskal Herriko Unibertsitatean ofizialki sartu ondoren, praktikara eraman ziren aurretik eginiko lanak, eta gainera, irakurbideen erabilera-eremua erabat zabaldurik geratu zen, zientziaren premia guztietara egokitzeko bidean jarriz. Gu geu Mikel Zalbideren eta UZEIko talde desberdinen proposamenetatik abiatu ginen, gehie- nak onartuz, baina horien justifikazio zabalagoa eta hedakorragoa egiten saiatuz, eta, marko teoriko egokian kokatzen ahaleginduz, proposamen berriak egiteko asmoz. Horien proposa- menen garapena eta jarraipena da hemen aurkezten dugun lana, eta horretarako hurrengo ata- lean arazoa bere osotasunean planteatzen eta proposamen zehatzak egiten saiatuko gara, beti ere gure aurrekoek eginiko ekarpenak eta haiek irekitako lan-ildoak kontuan hartuz. 2. FISIKAN ETA MATEMATIKAN ERABILTZEN DEN HIZKUNTZA BEREZI ETA BEREZITUARI BURUZKO ZENBAIT HAUSNARKETA Historiari begirada laburra egin ondoren, Fisikan eta Matematikan erabiltzen den hizkuntza berezi eta berezituari buruzko zenbait hausnarketa egingo ditugu, hurrengo atalean egingo ditugun proposamenen euskarri modura. Lehenengo eta behin, interesgarri iritzi diogu inguruko hizkuntza nagusiek nola jokatzen duten aztertzeari. Hain zuzen, beharrezkoa baita horiek nola jokatzen duten ondo ulertzea, guk geure hizkuntzarako egokiak diren irtenbideak aukeratzean nolabaiteko erreferentzia iza- teko. Egindako ikerketaren nondik norakoak iradokitzeko asmoz, 1. taulan ingeles, frantses eta gaztelaniari buruzko zenbait esamolde laburbildu ditugu. SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2152 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
- 51. 1. taula. Ikusitako adibideakkontuan izanez, gure iritziz, zenbait ondorio nagusi atera daitezke ia zuzenean. Hona hemen: • Adierazpen sinbolikoen irakurbidean erabilitako hizkuntza-mota edo berbaldi-motari erreparatuz, ez dirudi hizkuntza naturala denik, nahiz eta barnean hizkuntza naturaleko osagaiak dauzkan. • Hizkuntza bakoitzean era propio eta berezian erabiltzen dira zenbait osagai karakteris- tiko, hala nola preposizioak, juntagailuak eta aditzak. • Dena den, zehatzago aztertuz, guztiek joera bera dutela suma daiteke, ondoko kontzeptuaren inguruan laburbil dezakeguna: “idazkerarekiko linealtasuna”, edo zeha- tzago esateko, “sinboloen idazketa-sekuentziaren araberako irakurketa” edo “sinboloen idatz-ordenaren araberako hurrenkera”. Alegia, hizkuntza guztietan ahalegin berezia egi- ten da, sinboloen izenak sinboloak idazteko erabili den ordena edo hurrenkera berean ahoskatzeko. Octubre 2002 • Urria 2002 53 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz Adierazpen sinbolikoa Ingelesa Frantsesa Gaztelania Adierazpen sinbolikoak hitzez irakurtzean gure inguruko hizkuntzetan erabilitako esamoldeak x is a member of A x belongs to A a plus b equals c a greater than b a less than b a to the (power) one nth (edo one over n) equals the nth root of a z equals f (of) x (and) y y equals a x squared plus b x plus c (first) derivative of y with respect to x x squared over a squared plus y squared over b squared equals one x equals the square root of a Integral from a to b of f x dx (differential x) s squared equals one over n minus one sum from r equals one to n of x minus x r all squared x tends to (approaches) infinite x appartient à A a plus b égal à b a plus grand que b a plus petit que b a à la puissance un sur n égal à la racine n-ième de a z égal à f (de) x, y (grec) y grec égal à a x carré plus b x plus c derivée de y (grec) par rapport à x x carré sur a carré plus y (grec) carré sur b carré égal à un x égal à racine carrée de a Intégrale de a à b de f de x dx (différentielle x) s carré égal à 1 sur n moins une fois la somme pour r (allant) de un à n de x moins x r (x sous r) au carré x tends vers l'infini x pertenece a A a más b igual a c a mayor que b a menor que b a elevado a uno partido por n igual a raiz n de a z igual a f (de) x, y y igual a x cuadrado más b x más c derivada de y (griega) con respecto a x x (al) cuadrado entre (o partido por) a cuadrado más y cuadrado entre b cuadrado igual a uno x igual a raíz cuadrada de a Integral de a a b de f de x dx (diferencial de x) s al cuadrado igual a 1 partido por n – 1 suma- torio de(sde) r igual a 1 a n, x menos x sub r, al cuadrado x tiende a infinito X ∈ A a + B = c a > b a < b a1/n = n √a z = f (x,y) y = ax2 +bx+c dy dx x2 + y2 = 1 a2 b2 x = 2 √a ͐ a f(x)dxb s2 = 1 Σ(x-xr)2 n-1 n r=1 x→∞
- 52. Hain ingurukoak ezdiren beste hizkuntza batzuk ere aztertu ditugu, hala nola hebreera, erru- siera, arabiera, japoniera, txinera eta suomiera, eta ondorio modura, honako bi puntu hauek azpimarra ditzakegu: • Mundu zabalean garaturik dauden hizkuntzetan, zientzia-arloko testuetan integraturik dauden adierazpen sinboliko fisiko-matematikoak nazioarteko era normalizatu eta arau- tuan idazten dira, guztietan sinbolo berberak erabiliz eta ezkerretik eskuinerako noranz- koan idatziz. Azken puntu hau azpimarratzekoa da, zenbait hizkuntzatan eskuinetik ezkerrerako noranzkoa erabiltzen baita idazkeran, hala nola hebreeran eta arabieran. • Bestalde, horrekin era koherentean jokatuz, adierazpen sinbolikoen irakurketa adieraz- pena idazteko erabilitako hurrenkera eta ordena berean gauzatzen da, oro har, ezkerre- tik eskuinerako noranzkoan preseski. Azken puntu honi dagokionez, hizkuntza guz- tietan horrela egiten denik ziurtatu ezin dezakegun arren, gehienetan —zientzia-maila altuko guztietan— horrelaxe egiten dutela baiezta dezakegu. Gure ikuspuntuaren arabera, zer esanik ez, zientziaren arloko erabilpen-eremu berezi hau eus- karaz ere landu beharra dago. Eta horretan saiatu gara. Dena den, horretan abiatzeko, bi espa- rru landu behar dira: alde batetik, terminologia, eta bestetik berbaldi-mota. Terminologiari dagokionez, azken urteotan euskaraz ere ahalegin bereziak egin behar izan dira. Guztiok dakigunez, azken hogeita bost urteotan, lexiko-sorkuntza eta terminologia direla eta, ekoizpen itzela izan da gure artean. Hiztegi orokor asko izan dira argitaratuak, eta urte gutxi- ren buruan berrargitaratuak, hainbat hitz eta terminoz osatuak. Badira, halaber, hiztegi entzi- klopedikoak, bertan terminologia-arloko hainbat termino eta hitz sartu dituztenak. Horiez gain hiztegi tekniko ugari prestatu dira, UZEIren eskutik batez ere, Elhuyar taldeak azken boladan prestaturikoak ere bide beretik doazelarik. Paperean inprimaturik dauden hiztegiez gain, gaur egun Euskalterm izeneko terminologia-bankua ere badugu, horien guztien ekarpenak bilduma bakarrean biltzen dituena. Terminologia-banku honen tamainari buruzko ideia bat izan deza- gun, diogun ezen 2001. urtean jakintza-arlo desberdinetako 183.000 termino baino gehiago zeuzkala bildurik. Nolanahi den, artikulu honetan ez gara terminologiaz arituko. Berbaldi-motari dagokionez, lan honetan egin ditugun hausnarketak laburbilduz, gure ustez behar-beharrezkoa den berbaldi-mota hori bete-betean koka daiteke Teresa Cabré irakasleak “lenguajes artificiales” deritzen horien artean [Cabré, M. T. (1993): La terminología. Teoría, metodología, aplicaciones. Editorial Antártida / Empúries, Barcelona]. Hain zuzen, autore honek ezaugarri hauek dituzten lengoaia bereziak definitu ditu: Son características relevantes de los lenguajes artificiales, como los sistemas lógicos: - que se trate de «lenguajes inventados», - construidos tomando como punto de referencia el lenguaje natural, - con una conceptualización previa controlada, - sin posibilidad de admitir nuevas unidades si no están establecidas y conceptualizadas previa- mente, - unívocos, y por lo tanto sin sinónimos ni términos polisémicos, - con una sintaxis reducida a la mínima expresión, - con un repertorio de signos también reducidos; originariamente fijados en su forma escrita, - con validez supranacional, y - sin posibilidad de desarrollar las funciones emotiva y poética del lenguaje. SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2154 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
- 53. Guk mota horretakoesamoldeak erabili ditugu ikur eta zeinu bidezko adierazpen matemati- koen irakurbidean. Nolanahi dela, Cabré-k eginiko karakterizazioan ohar edo iruzkin bat egin daitekeela uste dugu. Izan ere, adierazpen fisiko-matematikoei dagokienez, ez dugu uste zei- nuen zerrenda hain laburra denik, eta edozein kasutan, sistema hori, finitua izanik ere, irekia da (ez itxia, alegia); hots, etengabe ari da emendatzen eta hazten, zeren, kontzeptu eta era- biltze-eremu berriak sortzen ari diren neurrian ikur eta zeinu berriak behar baititugu. 3. ADIERAZPEN SINBOLIKOEN IRAKURBIDERAKO PROPOSAMENAK Aurreko hausnarketen ondoren, lanaren praktikotasunari begira, proposamen zehatzak egin beharrean izan ginen. Horretarako, lehenik eta behin proposamen egokiaren ezaugarriak nolabait definitu beharrean egon ginen, eta horregatik, helburu hori betetzeko aintzatesten ditugun ezaugarrien zerrenda aurkeztuko dugu. Hala ere, artikuluaren mugak behartuta, ez dugu hemen horien azterketa zehatza egingo, eta aipamena egitearekin konformatuko gara. Gure ustez, honako hauek dira ezaugarri horiek: argitasuna, bakuntasuna eta ikasteko erraz- tasuna, erabilgarritasuna, zehaztasuna, unibertsaltasuna, itzulgarritasuna, irekitasuna, hedaga- rritasuna eta moldagarritasuna. Zer esanik ez, ezaugarri horiek guztiak betetzen saiatu gara geure proposamenetan. Lortu ote dugun, hori beste kontu bat da. Zernahi gisaz, horiek guztiak gauzatzerakoan, batzuetan alde batera uzten diren beste bi ezau- garri formal ere aipatu nahi ditugu, arlo horretan euskaraz lanean dihardutenen arteko kon- tsentsuarekin zerikusia dutenak. Hona hemen zein diren: proposamen adostua izatea eta era- biltzaileek onartua izatea. Gure ustez, puntu horietan dago etorkizunari begirako giltzarrietako bat. Alegia, euskara tekniko-zientifikoaren arloan lanean dihardutenek akordioak lortu behar dituzte, behin esamoldeak zehaztu ondoren borondatezko diziplinaz jokatzeko, eta normali- zaziorako bidea elkarrekin egiteko. Bestela, bakoitzak bere bidetik eginez gero, ez dago nor- malizaziorik lortzerik. Aipaturiko ezaugarri horiek guztiak kontuan hartuta, eta azken urteotako praktikan oinarrituta, arau sinple batzuk ematen saiatu gara, gure proposamenak era normatiboan emateko ahale- gina bideratzeko. Horrela, hiru arau nagusitan laburbildu ditugu geure ideia eta proposame- nak. Hona hemen: 1. Lehenengo araua: Sinboloen izendapenean, ahal dela, erlazio biunibokoa sortuko da sinbolo bakoitzaren eta sinboloaren izenaren artean, eta sinboloaren izen hori adostu eta ezagutzera emango da erabiltzaileen erkidegoan. Adibide modura, ondoko kasuetan proposaturiko izenak ditugu: batukari bildura integral erro 2. Bigarren araua: Egituradun sinboloen kasuan, sinboloekin batera aldagaien, parame- troen eta eragiketa-mugen definiziorako esamoldeak euskararen joskera naturalaren arauak erabiliz eratuko dira, beti ere aurreko tradizioan izandako proposamenak kontuan hartuz eta esamolde estandarrak zehazteko asmoz. Octubre 2002 • Urria 2002 55 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz Σ o ͐ √
- 54. Hona hemen zenbaitadibide: batukari, i berdin batetik enera deribatu i grekoa ixarekiko integral, atik bera limite, ixa zerorantz doanean 3. Hirugarren araua: Sinbolo-kateak irakurtzean hiru oinarri nagusi izango dira kontuan: a) Idatziak izatean erabili den hurrenkera berean irakurriko dira sinboloak (bai sinbolo bakunak, eta bai egituradun sinboloak ere), banan-banan, bata bestearen ostean. b) Sinbolo bakoitza bere aldetik irakurriko da, sinbolo bakunen kasuan izena bere hutsean aipatuz, eta egituradun sinboloen kasuan bigarren arauan esandako moduko esamoldeak erabiliz. c) Sinboloak beren artean inolako loturarik egin gabe irakurriko dira, huts-hutsean bata bestearen ondoren, idatzi bezala irakurriz, hurrenez hurren. Esate baterako: {balio absolutu [efe ixa] [ken] [efe ixa azpi ka]} [txikiago] [bat] [batukari, ene berdin batetik plus infinitura] [minus bat ber ene] [(bider)] [ene-erro ene] [(bider)] [sinu bat zati ene] [be bektorea], [berdin], [mu azpi zero] [zati] [lau pi], (bider) [i (larria)], [integral itxi], {[u azpi te bektorea biderkadura bektorial u azpi erre], [zati] [erre karratu], (bider) [diferen- tzial ele]} Ikus daitekeenez, multzoka adierazi ditugu sinboloak, bakoitzari dagokion esamoldea mako artean adieraziz. Zer esanik ez, adierazpen osoa irakurtzean, segidan irakurriko ditugu multzo horiek, ordena horretan, ondoko adibideetan ikusiko dugunez. 4. ZENBAIT ADIBIDE Arauak eman ondoren, gure ahalegina arau horiek adibideetan aplikatzera zuzendu dugu, zenbait taula emanez, eta lanaren osagarri modura, mota guztietako adierazpen matematiko- fisikoen irakurbideen katalogoa prestatuz eta aurkeztuz. Artikuluaren mugak kontuan izanez, ez dugu uste hemen horien azalpen zehatza egitea merezi duenik; baina, gutxienez, aurkez- pen hau nolabait biribiltzeko, zenbait adibide aurkeztuko ditugu, adibide modura, ondoko taulan bildurik. SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2156 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe Σ -∞ (-1) n n √n sin 1_ n=1 n |f(x)-f(xk)|<1 B = µ0__ I͐o __ut x ur___ dl 4π r2 Σ n i =1 dy dx ͐ b a lim x→0
- 55. 2. taula. Oharra: sinbolobakoitzaren irakurbidea mako artean ageri da, hurrenkera ikusarazteko. Ez dugu gehiago luzatuko adibideen zerrenda, sinboloen konbinazioak nahi adina heda bai- taitezke. Nolanahi den, diogun ezen doktorego-tesiaren txosteneko eranskin batean Fisikan eta Matematikan gehien erabiltzen diren adierazpen sinbolikoen zerrenda edo katalogo moduko bat aurkeztu dela, beti ere, arauen aplikazio zuzena eginez. Katalogo hori presta- tzean, matematikarien eta fisikarien eskura ipini nahi izan da eguneroko jardunean etengabe azaltzen diren adierazpenen irakurbideak, sailka ordenaturik eta erraz aurkitzeko moduan. Gure ustez, asmo praktikoaz egindako bilduma hori, oso lagungarri gerta dakieke irakaskun- tzan diharduten irakasleei. Octubre 2002 • Urria 2002 57 Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz Sinbolo-kateak Irakurbidea Adierazpen sinbolikoen irakurbidea [a] [gehi] [be] [berdin] [ze] {balio absolutu [efe ixa] [ken] [efe ixa azpi ka]} [txikiago] [bat] [ese azpi ene] [berdin] [a azpi bat] [gehi] [a azpi bi] [gehi] [a azpi hiru] [gehi] [puntuak] [gehi] [a azpi ene] [batukari, ene berdin batetik plus infinitura] [minus bat ber ene] [(bider)] [ene-erro ene] [(bider)] [sinu bat zati ene] [limite, ene infiniturantz doanean] { [ixa ber ene gehi bat] [zati] [ene gehi bat faktorial] } [berdin] [zero] [efe lehen ixa] [berdin] [limite, delta ixa zerorantz doanean] { [efe ixa gehi delta ixa] [ken] [efe ixa] [zati] [delta ixa] } edozein epsilon handiago zero den kasurako, existitzen da (edo badago) ka barne erre larria, non integral petik kura efe, balio absolutuan, txikiago epsilon den, edozein pe eta ku handiago ka diren kasurako edo epsilon handiago zero den guztietarako … edo edozein dela(rik) epsilon handiago zero … a + B = c |f(x)-f(xk)|<1 Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an Σ -∞ (-1) n n √n sin 1_ n=1 n lim n→∞ __xn+1 ___ = 0 (n+1)! f (x + ∆) - f (x) ∆x f ’(x)=lim ∆x→0 ∀>0, ∃k∈R/|͐ q f |< ∀p,q>kp
- 56. 5. BIBLIOGRAFIA Bizkai-Aldundiaren Erri-Irakaskuntza-Batzordea(1920): “Lenengo ikaste mallarako eus- kal-zenbakiztia”, Bilbao. Bruño Idaztiak (1933): “Zenbakizti lengaien ikastia”, La Instrucción Popular, Madrid, Barcelona. Cabré, M. T. (1993): “La terminología. Teoría, metodología, aplicaciones”, Editorial Antártida /Empúries, Barcelona. Eguia, L. (1972): “Neurriztia”, Kardaberaz Bilduma, Kardaberaz-Bazkuna, Seminario Vitoria, Vitoria. Ensunza, M. (1983): “Alfabetatze Zientifikoa. Zenbakiak / unitateak / irakurketa / eragike- tak / esamoldeak”, UEU, Iruñea. Euskaltzaindia (1975): “Zortzi urte arteko Ikastola Hiztegia”, (separata), Euskera XXX, Donostia. Euzko-Ikastola-Batza (1932): “Zenbakiztija, I mallea”, Verdes-Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao. Euzko-Ikastola-Batza (1932): Zenbakiztija, II. mallea, Verdes-Atxirika'tar E'ren Irarkolea. Bilbao. Goñi, J. M. (1974): “Zenbaki arruntak; eragiketak”, Elhuyar, 1, Donostia, 1974. Goñi, J. M. (1975): “Eragiketak (II)”, Elhuyar, 2, Donostia. Goñi, J. M. (1976): “Q multzoa”, Elhuyar, 7, Donostia. Goñi, J. M. (1979): "Silogismoak eta logika matematikoa", Elhuyar, 18, Donostia. Iker taldea (1976): “Saioka 1”. Matematika, Bilbo. Iker taldea (1977): “Saioka 2”. Matematika, Bilbo. Iker taldea (1979): “Saioka 3”. Matematika, Bilbo. Jauregi'tar, Gabirel (1935): “Pisia”, Gasteiz, Gaubeka Irarkola, Bermeo. Jauregi'tar, Gabirel (1936): “Kimia”, Gasteiz, Gaubeka Irarkola, Bermeo. Larresoro: “Matematika, Bigarren maila”, Iñaki Beobide banatzailea (ez dauka urterik). Larresoro: “Matematika, Laugarren maila”, Iñaki Beobide banatzailea (ez dauka urterik). López Mendizabal'dar Ixaka (1913): “Ume koxkorrentzat euzkaraz egindako Zenbakiztiya edo Aritmetika”, Tolosa, E. López. Santamaria, K. (1976a): “Ahoz eta euskeraz irakurtzeko, nola irakurri behar dira alge- brazko formulak?” (I), Elhuyar, 6, Donostia, 38-45. orr. Santamaria, K. (1976b): “Ahoz eta euskeraz irakurtzeko, nola irakurri behar dira alge- brazko formulak?” (II), Elhuyar, 8, Donostia, 46-58. orr. Zalbide, M. (1976): “Zientzi eta teknikarako hizkuntzaz”, Elhuyar, 2, 36-48. orr. Zalbide, M. (1978): “Matematika. Hiztegia, hizkera, irakurbideak”, Jakin-UZEI, Zarautz. SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2158 Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
- 57.
- 58. Octubre 2002 •2002 Urria 61 Espirales con Cabri-Géomètre ESPIRALES CON CABRI – GÉOMÈTRE Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén (*) En nuestros trabajos de Geometría, o más exactamente de Cabri-geometría, los firmantes de este artículo, solemos tener siempre un pequeño recuerdo para las espirales. Somos conscien- tes de que un recurso como Cabri permite excursiones por parajes geométricos poco frecuen- tados y éste es un hecho que debe aprovecharse. Así: el acercamiento a las cónicas como luga- res geométricos o como envolventes de curvas, la aparición tan sencilla de la Astroide, la Cardiode, el Óvalo de Descartes o del Caracol de Pascal, que se convierten en figuras habi- tuales, resultarían sin su concurso casi inabordables. Pero gracias a Cabri-Géomètre y espe- cialmente al movimiento que se puede imprimir a los puntos a través de las animaciones y de sus posibilidades cinemáticas, las curvas ilustres antes citadas y otras muchas dejan de ser una simple y hierática imagen del libro de texto, pasando a convertirse en objetos geométricos que pueden ser representados a partir de ciertas condiciones y cuyas propiedades se pueden inves- tigar sin necesidad de los recursos algebraicos, que, por su desconocimiento en estas etapas, las hacían inaccesibles para nuestro alumnado. 1. ¿POR QUÉ ESPIRALES? Son éstas unas curvas que al margen de sus propiedades matemáticas nos resultan muy cono- cidas, ya que tienen una notable presencia en el entorno físico en el que nos desenvolvemos y refuerzan nuestros diálogos al servirnos de imagen a la hora de describir ideas o situaciones recurrentes pero cambiantes. Efectivamente, aparecen como adorno en la cerámica popular, en los forjados de ventanas y balcones de nuestras ciudades y pueblos y se alude a la espiral de violencia o al curriculum en espiral como latiguillos que dicen poco a fuerza de repetidos. Fijarnos en tales situaciones, bastaría, quizá, para asumir que esas curvas conviven con noso- tros, pero sería precipitado suponer por eso que las conocemos, pues, la información que acerca de ellas se tiene, es bastante precaria. Por otro lado, afirmar que las espirales no perte- necen al mundo escolar, sería erróneo, pues hablar del estilo dórico precisa de una ineludible referencia a los capiteles en forma de espiral y cuando se trata del universo, es paso obligado el de las galaxias espirales, tanto más, cuando la nuestra, la Vía Láctea, es una de ellas. Sin embargo, desde la perspectiva de los contenidos que aportan las matemáticas a la formación del alumnado de Secundaria son curvas inexistentes. A la pregunta: ¿por qué, si el arte o la astrofísica nos muestran esa imagen en los libros de texto, las matemáticas les dan la espalda? Nuestra respuesta como profesores del área aludida sería poco más que encogernos de hom- bros. (*) Profesores de Enseñanza Secundaria de Matemáticas. Navarra
- 59. Si recurrimos ala memoria y la activamos en nuestra época escolar, descubriremos su total ausencia en los estudios preuniversitarios y si la situamos en los recuerdos de facultad, enton- ces sí se ilumina su imagen, unida a las coordenadas polares —situación ésta que parece jus- tificar su ausencia anterior— y al estudio de hélices y helicoides, pues el paso del plano al espacio y su recíproco, aunque vertiginosos, resultan más naturales de lo que parece. No son las espirales curvas sencillas para dibujar, tampoco con Cabri- Géomètre, cierto, pero en nuestra opi- nión su interés intrínseco bien merece el pequeño esfuerzo que les hemos dedi- cado. En los párrafos anteriores se hacía un escueto comentario sobre su presen- cia permanente en nuestro entorno, pero sería injusto no mencionar que el ser humano tiene con las formas espirales una relación que podríamos calificar de atávica. Efectivamente, han servido para simbolizar la eternidad, la renovación cíclica y los periodos solares, buenas muestras de ello quedan en los petrogli- fos que por todos los rincones del pla- neta atestiguan que nuestros antepasa- dos se servían de ellas para plasmar en piedra su asombro e indefensión ante la naturaleza y el mundo que les rodeaba. De ese carác- ter litúrgico pasarían a representar el laberinto, metáfora de lo anterior, y a servir de orna- mentación en ajuares, tocados y vestidos. De la mano del arte sigue llegándonos su mensaje de continua renovación, de forma que aparecen en la pintura, escultura y, en general, en el diseño, tanto de pequeños objetos como de estructuras complejas. Sin olvidar, por supuesto, que además de su valor simbólico, las espirales tienen una presen- cia importante en la naturaleza. Las conchas de los caracoles y otros moluscos, el crecimiento de muchas plantas y flores —en particular de girasoles y piñas—, la lengua de las mariposas —espiritrompa— o de los camaleones son buenos ejemplos de ello. Y más, pues esa misma forma está en muchas galaxias y en la estructura más elemental de la vida: las cadenas de ADN. Incluimos en este artículo algunas imá- genes que refrendan lo dicho, no con la intención de subrayar algo conocido por todos, sino porque, de cara a su estudio en clase, resulta pertinente mostrar en cuantas ocasiones sea posible que las Matemáticas, muy a menudo, prestan un modelo potentísimo a propuestas o desafíos que proceden del pensamiento humano y que esta disciplina se ha for- jado sirviendo de cauce a su estudio y sistematización . SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA62 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 2. Caracol común Imagen 1. Vincent Van Gogh “Noche Estrellada”
- 60. 2. DATOS ELEMENTALES Volviendoal campo geométrico, lo primero que cabe señalar es que no puede hablarse de espiral, sino de espirales y que en sentido más amplio es más pertinente hablar de formas espirales, pues la dificultad que conlleva su representación ha obligado a considerar “falsas espirales” que pueden someterse a una sencilla construcción mediante la regla y el compás. Queda dicho que su conocimiento y uso se pierde en la larga noche paleolítica, pero su apa- rición en la Geometría se sitúa de la mano de Arquímedes de Siracusa (282-212 a.d.C.) quien escribió un tratado titulado “Sobre las espirales”, aunque él mismo la atribuye a Conon de Alejandría, su contemporáneo y amigo. El interés por esta curva parece ligado a la solución de los más famosos problemas de la antigüedad clásica: la trisección del ángulo y la cuadra- tura del círculo. Hermosas y fecundas cuestiones que, lamentablemente, debemos dejar al margen, pues nos separarían demasiado del objetivo que nos proponemos con este artículo. La espiral de Arquímedes, pues no es otro su nombre, se define como el lugar geométrico des- crito por un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta la recorre unifor- memente mientras que ésta gira en torno a su extremo también uniformemente (en coordena- das polares). Vemos que el movimiento que simboliza y sugiere su forma aparece en su defi- nición a través de una traslación y un giro. Arquímedes demostró importantes propiedades de esta curva, en especial sobre su longitud y la superficie que encierra, y las utilizó para resol- ver los citados problemas. Deberían de pasar más de 1800 años para que el mundo de las espirales se viera incrementado con una aportación de Descartes (1596-1650): la espiral logarítmica. Para definirla, supondremos, Octubre 2002 • 2002 Urria 63 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 4. Petroglifo de Laxa das Rodas. Galicia Imagen 3. Petroglifo de Piedra de Polanco. Panamá La espiral de la izquierda corresponde a = , mientras que la de la derecha es = 5. Estas imágenes muestran que la “forma no varía”, pues un cambio de escala conveniente las muestra iguales
- 61. como en elcaso de la espiral de Arquímedes, que en una semirrecta su extremo se desplaza sobre ella de manera que la longitud del segmento determinado por las posiciones de partida y final de ese extremo aumenta de forma continua, mientras que la semirrecta gira uniformemente. Es decir que el punto que describe ese lugar geométrico está sometido a una dilatación y un giro (en coordenadas polares). El hecho de que este involucrado el crecimiento continuo determina la aparición del número “e”. Esta curva fue también estudiada por Torricelli (1608-1647), quien consiguió su rectificación, pero sería el genio de Jacques Bernouilli (1654- 1705), el que profundizó en sus estudio y expuso sus sorprendentes propiedades. Estas son, por ejemplo, que su envolvente y su poda- ria respecto al polo son también espirales loga- rítmicas iguales a la dada. Pero lo mismo ocurre en el caso de su cáustica de reflexión y su cáus- tica de refracción para los rayos procedentes de su polo. Esa autosuficiencia impresionó tanto a Bernouilli, que quiso que fuera grabada en la lápida de su tumba junto a la leyenda “Eadem mutata resurgo” (Aún modificada, reaparezco). Parece que el encargado de tallar su lápida en la catedral de Basilea no conocía a fondo esta curva y se conformó con esculpir una espiral arquimediana. El mismo Bernouilli descubrió la espiral parabólica (2 = k.) y con el tiempo irían apare- ciendo otras espirales: • Hipérbolica (. = k). • Sinusoidal (␣ .k␣ cos␣) que resulta ser una generalización de la Lemniscata de Bernouilli, pues lo es para ␣ = 2 • Cornu (en paramétricas ) Entre las falsas espirales, ya mencionadas, cabe destacar la de Durero o espiral áurea, que se construye mediante cuadrantes de circunferencia concatenados, a partir de cuadrados que surgen de rectángulos áureos. Esta información relativa a definiciones, propiedades y formas, aunque sobradamente cono- cida, es preciso tenerla muy presente a la hora de realizar las construcciones mediante Cabri- Géomètre que presentamos a continuación. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA64 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Ambas imágenes corresponden a = e/4 . La forma es la misma, aunque la de la de derecha es un detalle ampliado del intervalo (-4, 4), podríamos seguir aproximándonos al polo y seguir viendo la misma forma espiral x = ͐0 s cost2 dt y = ͐0 s sent2 dt, con ⑀ R. Imagen 5. Galaxia M109 Imagen 6. Modelo para representar la Vía Láctea
- 62. 3. ESPIRAL DEARQUÍMEDES En este apartado vamos a mostrar cómo Cabri puede servir para obtener construcciones diná- micas de esta curva. Debemos resaltar que en ninguno de los dos casos se van a usar coor- denadas, usaremos tan sólo el movimiento de un punto sobre el plano, movimiento que debe cumplir ciertas condiciones. 3.1. Primera Construcción Dispondremos de un punto O fijo en el plano, de una semirecta con origen en O y de un punto A sobre la semirecta. En el instante inicial el punto A coincide con O. La semirecta gira en torno a O con velocidad angular constante y el punto A se desplaza sobre la semirecta a velocidad constante. Con estas condiciones la trayectoria que recorre el punto A es una Espiral de Arquímedes. Veamos ahora cómo realizar esta construcción con Cabri. 1. Trazamos un punto en el plano y lo etiquetamos con O 2. Trazamos una circunferencia con centro O y radio no demasiado grande. 3. Trazamos un punto sobre la circunferencia y la semirecta que une a O con este punto. Este va a ser el eje polar. Para distinguirlo de la semirecta móvil le cambiamos el color, por ejemplo rojo. Etiquetamos a esta semirecta como Eje Polar. Octubre 2002 • 2002 Urria 65 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 7 Imagen 8
- 63. 4. Para dibujarla semirecta que va a estar en movimiento en trono a O necesitamos apo- yarnos en la circunferencia. Trazamos un punto sobre la circunferencia y lo etiqueta- mos con M. 5. Trazamos la semirecta con origen en O y que pasa por M y sobre esta semirecta tra- zamos el punto A. Este es el punto que dibujará la espiral. 6. Necesitamos que M se desplace sobre la circunferencia a velocidad constante y que A recorra la semirecta también a velocidad constante. Para ello podemos usar la herra- mienta “Animación Múltiple”. Aplicamos la herramienta sobre los puntos A y M y acti- vamos la traza del punto A para que su trayectoria quede marcada sobre el plano cuando lancemos la animación. Ahora basta con pulsar en el teclado sobre la tecla “Intro” ( ) y el resultado será parecido al siguiente: Si se quiere se puede ahora obtener la ecuación polar de esta curva. Para ello basta con tener en cuenta que la velocidad de A es constante k1 = / t y que la velocidad angular de la semirecta también lo es k2 = ϑ / t Ahora despejando t se obtiene SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA66 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 9 Imagen 10
- 64. = k1 /k2 ϑ= kϑ Que es la ecuación polar de la Espiral de Arquímedes. 3.2. Segunda Construcción Esta construcción se basa en la Imagen 11. En ella la escuadra ABP rueda sin deslizamiento sobre la circunferencia C, M es el punto de tangencia de la escuadra con la circunferencia, con lo que el punto P describe una espiral de Arquímedes. Notemos que en esta construcción el lado BP de la escuadra mide exactamente el radio (R) de la circunferencia C. Veamos como podemos simular con Cabri esta construcción. En primer lugar trazaremos la escua- dra ABP. Para ello basta con trazar el segmento AB y por B trazar una recta perpendicular a él. Sobre la perpendicular situamos el punto P y lo unimos con B mediante la herramienta segmento. Finalmente ocul- tamos la recta perpendicular. Ahora dibujamos la circunferencia C con radio el segmento BP. Para ello basta trazar un punto O en el plano y usar la herramienta compás sobre O y el segmento BP. Ya tenemos los elementos básicos de la construcción. Si queda poco espacio libre en la hoja de dibujo podemos redimensionar la escuadra ABP, si cambiamos BP la circunferencia cam- biará pues su radio está ligado al segmento. Ahora pintamos sobre C el punto de tangencia M y la recta tangente a C por M. Basta con tra- zar el radio OM y la perpendicular al radio por M. Octubre 2002 • 2002 Urria 67 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 11 Imagen 12
- 65. Este punto Mse irá desplazando sobre C para simular la rodadura de la escuadra sobre C, veremos más adelante cómo simulamos el movimiento. Necesitamos señalar un punto I sobre C. Sobre este punto estará el punto B de la escuadra cuando vaya a empezar el movimiento de rodadura. Notemos que en ese momento el punto P coincidirá con O. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA68 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 13 Imagen 14 Imagen 15
- 66. Veamos ahora cómosimular el movimiento de la escuadra sobre la circunferencia. En la figura siguiente tenemos dibujado un cierto instante de la rodadura, desde I hasta M. Notemos que al no haber deslizamiento el segmento BM mide lo mismo que el arco de circunferencia IM. Este es el detalle que permite simular la rodadura, por lo que necesitamos dibujarlo, lo cual haremos usando la herramienta Arco que nos proporciona Cabri. Usando la herramienta Longitud podemos medir el arco IM. Ahora usamos la herramienta transferencia de medidas: seleccionamos esta herramienta en su botón, apuntamos al número que expresa la longitud del arco y clicamos sobre el punto B para transferirla. Obtenemos un punto sobre el plano que está a distancia de B el arco IM. Ahora trazamos la circunferencia con centro B y que pasa por M y obtenemos el punto M en la escuadra como corte del seg- mento AB y esta circunferencia Notemos que si desplazamos M sobre la circunferencia el nuevo punto M se desplaza sobre la escuadra determinando los segmentos AM y MB. Este par de segmentos son los que debe- mos llevar sobre la tangente a la circunferencia para que simulen el movimiento de la escua- dra. Por tanto trazamos los segmentos AM y MB sobre la escuadra y ahora haciendo compás los llevamos sobre la tangente: Octubre 2002 • 2002 Urria 69 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 16 Imagen 17
- 67. Con el finde clarificar la construcción ocultamos los elementos que no son ya necesarios. Seleccionamos la herramienta Ocultar/Mostrar y ocultamos las circunferencias del compás y la recta tangente. Nos quedará una figura como la siguiente: Si ahora desplazamos el punto M sobre la circunferencia veremos como el segmento AB rueda sobre ella. Debemos advertir que esta construcción es aproximada ya que la medida del arco IM no es exacta. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA70 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 18 Imagen 19 Imagen 20
- 68. Para terminar laconstrucción basta con trazar la perpendicular por B al segmento MB y hacer compás sobre B con el radio de la circunferencia, de esta manera obtenemos el punto P. La siguiente figura ilustra este final. Ahora ocultamos la perpendicular y la circunferencia del compás con lo que nos quedará la figura 22. Lo más difícil está ya hecho, pues la espiral de Arquímedes es el lugar geométrico de P cuando M recorre la circunferencia. Esto puede obtenerse de dos maneras: 1. Activamos la traza de P y arrastramos M sobre C en sentido contrario al de las agujas del reloj. 2. Seleccionamos la herramienta Lugar Geométrico y se la aplicamos a los puntos P y M en ese mismo orden. Las dos figuras siguientes muestran el resultado que se obtiene por cada uno de los dos cami- nos. Octubre 2002 • 2002 Urria 71 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 21 Imagen 22
- 69. 4. ESPIRAL LOGARÍTMICA Laconstrucción con Cabri de la espiral logarítmica se apoya en una propiedad característica, que por su importancia, se utiliza para denominarla. En efecto, la espiral logarítmica, o de Bernouilli, también es conocida como espiral equiángula. Su representación se apoya en con- siderar dos progresiones, una aritmética para el parámetro angular y otra geométrica para el radio polar. Para ello generaremos un haz de semirrectas con vértice en el polo, construido mediante giros de ángulo constante a partir del eje polar. Los puntos de la espiral logarítmica estarán situados sobre este haz de semirrectas, de manera que sus distancias al polo estén en progresión geométrica. El proceso descrito en el párrafo anterior sugiere un crecimiento, o decrecimiento, continuo, de ahí que la ecuación polar de esta espiral contenga al número “e”: = e kϑ k > 0 Crecimiento {k > 0 Decrecimiento Más aún, en el caso del crecimiento la espiral se va expandiendo, podríamos decir que se va desenrollando a partir del polo, y cuando haya decrecimiento la espiral se irá enrollando en torno al polo. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA72 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 23 Imagen 24
- 70. Veamos cómo dibujarcada punto de nuestra espiral. Tomamos como elementos de partida un segmento AB, cuya longitud es L, y un ángulo ␣. Con estos elementos construimos sobre el eje polar un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo en A es ␣ y cuyo cateto AB es el segmento dado. La longitud de la hipotenusa AC será: Sobre la hipotenusa AC construimos un nuevo triángulo rectángulo ACD, cuyo ángulo en A es de nuevo ␣. La longitud de la hipotenusa AD será en este caso: Reiterando la construcción obtenemos una suce- sión de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas están en progresión geométrica de razón 1/Cosa Es evidente que los ángulos correspondientes a los extremos de las hipotenusas están en pro- gresión aritmética (n␣), con lo que dichos puntos están sobre una espiral logarítmica. Veamos cómo realizar esta construcción con Cabri-Géomètre. Seguiremos un método itera- tivo, es decir, construiremos cada punto a partir del anterior usando las progresiones antes señaladas. Cabri permite realizar tales iteraciones a partir de macroconstrucciones. Se trata de un método iterativo, que trabajando con Cabri se obtiene mediante una “macro”, que permita la determinación de puntos según la pauta sugerida: un ángulo constante que se repite en cada giro y un punto que, en cada giro, determina con el polo un segmento cuya longitud es el producto del anterior por una cantidad constante. Iniciamos la construcción trazando un segmento AB y, mediante la edición numérica, el ángulo que se irá repitiendo en la progresión aritmética. En nuestro caso lo hemos tomado de 20 grados, pero podría ser cualquiera. Únicamente deberemos notar que cuanto más pequeño sea este ángulo mejor será la aproximación de la nube de puntos a la espiral deseada. Ahora dibujamos un punto en el plano y una semirecta con origen en este punto a los que etiqueta- mos como Polo y Eje Polar respectivamente. Finalmente mediante la herramienta compás tra- zamos una circunferencia con centro en el Polo y radio el segmento AB. La imagen siguiente ilustra esta situación de partida. Octubre 2002 • 2002 Urria 73 Espirales con Cabri-Géomètre A B •• Angulo: ␣ A B •• Polo Eje Polar Imagen 25 L1 = L cos ␣ L2 = = = L [ ]L1 cos ␣ 1 cos ␣ L cos2 ␣ Imagen 26 2 Ln = = = L [ ]Ln-1 cos ␣ 1 cos ␣ L cosn ␣ n
- 71. Marcamos el puntode corte del Eje Polar con la circunferencia y etiquetamos con P1 a dicho punto. Ahora, con la herramienta segmento, trazamos el radio de circunferencia que une Polo con P1. Trazamos por P1 la recta perpendicular al radio y la etiquetamos con r. De esta manera casi tenemos el triángulo rectángulo con el que obtendremos el segundo punto de la espiral. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA74 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 27 Imagen 28 Imagen 29
- 72. Para completar eltriángulo buscado debemos trazar un ángulo de 20º en el Polo. Lograremos tal cosa girando 20º el radio Polo-P1 en torno al Polo. Usaremos para ello la herramienta rota- ción y obtendremos el punto G1. Para clarificar la figura ocultamos el segmento Polo – G1. Trazamos ahora la semirecta con origen en el Polo y que pasa por el punto G1. El corte de esta semirecta con la recta r nos proporciona el punto P2. Estamos ya en condiciones de definir la macro que a partir de un ángulo y un punto nos pro- porciona el siguiente punto de la Espiral Logarítmica. Antes de definirla ocultamos los ele- mentos usados en la construcción y que no son datos ni resultados de la misma, es decir: Circunferencia, radio Polo – P1, recta r, punto G1 y semirecta Polo – G1. La siguiente imagen indica cuáles son los objetos iniciales y cuáles los finales. Por ejemplo, podemos llamar a esta macro EspiraLog. Una vez que hemos definido la macro la podemos usar para trazar más puntos de nuestra Espiral Logarítmica. Llamamos a EspiraLog y apuntamos al 20 y a los puntos Polo y P2. Aparecerá el punto P3. Apuntamos a 20, Polo y P3, aparecerá P4. Octubre 2002 • 2002 Urria 75 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 30 Imagen 31
- 73. Aplicando EspiraLog deforma reiterada, pero siempre sobre el último punto obtenido junto con el Polo y el ángulo 20º, obtendremos una serie de puntos de la espiral. La imagen siguiente muestra el resultado de este proceso. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA76 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 32 Imagen 33 Imagen 34
- 74. 5. ESPIRALES “CUADRADAS” Eneste apartado presentamos una serie de construcciones relacionadas con la falsa espiral o Espiral de Durero. Los procedimientos de dibujo que se van a desarrollar no son de tipo lugar geométrico o sistema dinámico, como los de la Espiral de Arquímedes, sino que de nuevo son de tipo iterativo como el de la Espiral Logarítmica. En consecuencia, definiremos algunas macros que simplifiquen, o compliquen que todo es posible, las construcciones a realizar. Las construcciones que siguen se obtienen a partir de cuadrantes de circunferencia obtenidos, a su vez, de “esquinas de cuadrado”. Este es el motivo por el que hemos titulado este apar- tado como espirales cuadradas. 5.1. Espiral cuadrada doble Observemos la siguiente figura: Está formada por la concatenación de esquinas de cuadrados, cuyo lado es doble del lado del cuadrado anterior en la serie. Sobre esta serie de cuadrados se puede construir una falsa espi- ral dibujando arcos de circunferencia: Octubre 2002 • 2002 Urria 77 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 35 Imagen 36
- 75. Veamos un procedimientoiterativo para el dibujo de la serie de cuadrados. Se trata de obte- ner la esquina siguiente a una dada, de esta manera basta con reiterar el procedimiento para obtener la espiral. El paso de una esquina a otra será almacenado en una macro de Cabri a la que llamaremos “EsquinaDoble”, con lo cual una vez que dibujemos la esquina de partida bastará con aplicar la macro tantas veces como sea necesario para dibujar la espiral. Iniciamos el proceso con una esquina dibujada en pantalla. No detallamos cómo se obtiene tal dibujo pues es una construcción muy simple. Obtenemos en primer lugar el punto A4. Para ello basta con aplicar dos simetrías, la primera de A2 respecto de A3, obtenemos S, y la segunda de A3 respecto de S, con lo que obtenemos A4. Ahora ocultamos el punto S y unimos A3 con A4 mediante un segmento. Ahora basta con tra- zar la perpendicular a A3A4 por A4 y mediante compás con centro en A4 y radio el segmento A3A4 obtenemos el punto A5 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA78 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 37 Imagen 38
- 76. Ocultamos la perpendicular,la circunferencia del compás y trazamos el segmento A4A5. De esta manera terminamos la construcción que se va a almacenar en forma de macro. Para definir la macro debemos dar primero sus objetos iniciales. En este caso es el segmento A2A3 y para seleccionarlo como objeto inicial lo hacemos señalando sus extremos, primero A2 y luego A3. Lo hacemos de esta manera para que no haya duda de dónde se debe realizar la concatenación con la siguiente esquina. Definimos los objetos finales que son los segmentos A3A4 y A4A5. En este caso los podemos seleccionar apuntando a cada segmento pero en ese mismo orden. Una vez seleccionados los objetos finales pasamos a la opción “Definir Macro”. Cabri debe presentar el siguiente cuadro: Octubre 2002 • 2002 Urria 79 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 39 Imagen 40 Imagen 41
- 77. Asignamos a lamacro que acabamos de definir el nombre “EsquinaDoble” y clicamos en OK. A partir de ahora y hasta que cerremos la sesión de Cabri, podremos usar EsquinaDoble como una herramienta más del programa. Para terminar de construir la espiral aplicamos de forma reiterada nuestra nueva herramienta. Para construir la esquina A5A6A7 seleccionamos EsquinaDoble y picamos sobre A4 y A5 sucesivamente. Inmediatamente aparecerá nuestra esquina pero sin las etiquetas, esas las tenemos que poner nosotros. Llamamos de nuevo a EsquinaDoble y picamos sobre A6 y A7, aparece la esquina A7A8A9. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA80 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 42 Imagen 43 Imagen 44
- 78. Vamos a dibujarahora la falsa espiral. Para ello necesitamos dibujar los arcos de circunferen- cia que unen los extremos de cada esquina. Nuevamente vamos a usar una macro para el dibujo, a la cual llamaremos “ArcoEsquina”. Para esta construcción necesitamos las herramientas Circunferencia y Arco. La construcción es muy simple, pero para que Cabri acepte la construcción como macro deberemos introdu- cir algunos elementos auxiliares. Dejamos para el lector la justificación de esos nuevos ele- mentos o la búsqueda de una definición alternativa para ArcoEsquina. En primer lugar obtenemos el centro de la circunferencia que soporta al arco A1A3. Para ello basta con trazar las perpendiculares por A1 y A3 a los segmentos A1A2 y A2A3 respectiva- mente. El corte de ambas rectas, al que denotaremos por C1, es el centro buscado. Ahora con la herramienta circunferencia trazamos la que tiene su centro en C1 y pasa por A1. Ocultamos las dos rectas que acabamos de dibujar y trazamos el segmento que une los pun- tos C1 y A2. Este segmento corta a nuestra circunferencia en un punto que es el que nos falta para poder construir el Arco buscado. Ocultamos ahora la circunferencia, el segmento y el centro C1. Con la herramienta arco tra- zamos el que une A1, el punto de corte de segmento y circunferencia y el punto A2. Nos que- dará la siguiente imagen: Octubre 2002 • 2002 Urria 81 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 45 Imagen 46
- 79. Ya podemos definirla macro. Como objetos iniciales tomamos los puntos A1, A2 y A3 en ese mismo orden. Como objeto final el Arco. Clicamos en definir macro y le damos el nombre de ArcoEsquina. Ahora aplicamos la macro sobre (A3,A4,A5) y obtenemos el segundo arco. La aplicamos sobre (A5,A6,A7) y aparece el tercer arco. La aplicamos sobre (A7,A8,A9) y tenemos el cuarto arco. Hemos obtenido la figura buscada: Parece que nuestro objetivo se ha cumplido pues hemos conseguido dibujar dos falsas espi- rales, una concatenando esquinas cuadradas y otra empalmando cuadrantes de circunferen- cia. El método seguido exige dibujar primero la de cuadrados para, a partir de ella, obtener la de cuadrantes de circunferencia. ¿Es posible hacer las cosas al revés? Es decir, ¿podríamos definir un procedimiento, o mejor más de uno, que se base en dibujar primero la espiral de cuadrantes y desde ella dibujar la de cuadrados? Es evidente que la respuesta será afirmativa. En lo que resta de este apartado presentaremos una construcción de las muchas que, casi con toda seguridad, se podrían obtener. El procedimiento que vamos a presentar es de tipo iterativo. Observemos que al pasar de una esquina cuadrada a la siguiente doblamos el lado de la esquina, por tanto también estamos doblando el radio del arco. Además, las circunferencias que soportan arcos consecutivos son tangentes en el punto de empalme de los arcos, por tanto los centros de ambas circunferen- cias están alineados con el punto de empalme de arcos. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA82 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 47 Imagen 48
- 80. El método quevamos a seguir consiste en dibujar la sucesión de circunferencias soporte de los arcos con la ayuda de lo expuesto en el párrafo anterior. Crearemos una macro que tome como objetos iniciales la circunferencia del arco actual junto a un cierto punto, y que nos de como objeto final la circunferencia soporte del arco siguiente. Procedemos ya a la creación de la macro. En primer lugar dibujamos una circunferencia con centro en un punto C1 y sobre ella marca- mos un punto que etiquetamos como A1. Necesitamos marcar este punto para tener claro dónde va a empezar el primer arco de circunferencia. Como cada arco es de amplitud /2, el punto A3 final del arco se obtendrá trazando la per- pendicular al radio de A1 por C1. Este va a ser el punto de empalme, luego será también el punto de tangencia de las dos circunferencias. Si llamamos C2 al centro de la circunferencia siguiente, como C1, C2 y A3 están alineados y la nueva circunferencia tiene radio doble de la primera, C2 será el extremo del diámetro por A3 de la circunferencia inicial. Dibujamos la cir- cunferencia con centro en C2 y que pasa por A3. Para terminar sólo nos falta el punto extremo del arco soportado por la circunferencia con centro en C2. Es evidente que dicho punto es el corte de la paralela al segmento A1C1 por C2. Dibujamos ese punto, lo etiquetamos con A5 y ya tenemos resuelta la construcción necesaria para definir la macro. Octubre 2002 • 2002 Urria 83 Espirales con Cabri-Géomètre Imagen 49 Imagen 50
- 81. Ocultamos ahora todoslos elementos accesorios de la construcción realizada. Ocultaremos los puntos C1 y C2, el segmento A1C1 y las dos rectas. Dejaremos la figura como muestra la siguiente imagen: Almacenamos ya la macro. Como objetos iniciales tomamos el punto A1 y la circunferencia inicial. Como objetos finales la segunda circunferencia y el punto A5. Finalmente en definir macro le damos el nombre “CircSiguiente”. Puede sorprender que el punto A3 no aparezca ni en los objetos iniciales ni en los finales, pero es que este punto aparecerá por ser el punto de tangencia de las dos circunferencias y haberlo dejado visible en la figura final. La construcción de la espiral ya es inmediata, basta con aplicar CircSiguiente de forma reite- rada, la figura siguiente muestra el resultado de aplicarla dos veces, en A3 y A5. Ahora basta con trazar arcos sobre las circunferencias y ya está. Dejamos para el lector la cons- trucción de la espiral de esquinas a partir de esta, ya que tal construcción es muy sencilla. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA84 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Imagen 51 Imagen 52
- 82. 5. BIBLIOGRAFÍA Bergasa, J.,García.M.V., Eraso, M.D. y Sara, S. (1996): Matemáticas: “Materiales didác- ticos”. Primer ciclo de E.S.O. Gobierno de Navarra, Pamplona Bouvier, A. y George, N. (1984): “Diccionario de Matemática”, Akal, Madrid. Boyer, C. (1986): “Historia de la Matemáticas”, Alianza, Madrid. Taton, R. (1972): “Historia General de las Ciencias”, Destino, Barcelona. Vinográdov, I.M. (Revisión española a cargo del Dr. José Vicente García Sestafe) (1993) : “Enciclopedia de la Matemáticas”, MIR & Rubiños – 1860. Madrid – Moscú. OTROS RECURSOS Vídeos didácticos: “Más por menos” Editado por TVE. Imágenes procedentes de diferentes páginas Web y del archivo fotográfico de Joseí. NOTAS Sobre iconografía que ayude a formarse una idea clara de las espirales, sus propiedades y su presencia en la Naturaleza y el arte, aconsejamos utilizar en clase el capítulo de la colección de vídeos didácticos “Más por menos” dedicado a este tema, titulado El mundo de las espirales, donde pueden encontrarse sugestivas imágenes, además de un estudio bien presentado y funda- mentado Todo ello de la mano de Antonio Pérez Sanz, guionista y presentador de la serie. Octubre 2002 • 2002 Urria 85 Espirales con Cabri-Géomètre
- 83. Sofía V. Kovalevskaya(1850-1891)
- 84. Octubre 2002 •2002 Urria 87 Belleza Irracional BELLEZA IRRACIONAL Félix Elejoste (*) PRESENTACIÓN Con qué comenzamos El desarrollo que sigue se planteó como actividad complementaria a un curso de Geometría, a nivel de primer curso de un módulo de grado superior en proyecto y dirección de obras. Los alumnos que acceden a este módulo proceden bien de bachillerato artístico, bien de otros bachilleres vía prueba de acceso. Sea como fuere la Matemática no forma parte de sus intere- ses, más bien al contrario. Objetivos • Mostrar el aspecto lúdico del conocimiento, en particular de la Geometría. • Mostrar también el aspecto práctico, el contenido matemático en el mundo que nos rodea. • Mostrar, contrarrestando el objetivo anterior, la potencia del razonamiento abstracto, y de la demostración en matemáticas. Contenido La unidad didáctica se acerca desde la historia al triunfo primero, y colapso más tarde de la geometría pitagórica, y de este colapso renace una geometría aun más potente, eso sí desli- gada de sus elementos empíricos. Se recorren después toda una serie de construcciones geo- métricas y proporciones sacadas de todo tipo de monumentos y objetos de culto, resueltas todas con regla y compás, a la manera griega de resolver inicialmente problemas de geome- tría. Desarrollo Depuse de discutir en clase la introducción, se trata de “meterse en harina” realizando primero las construcciones propuestas, tratando de buscar en ellas nuevas relaciones y proporciones más allá de las señaladas. Para esto los alumnos se agrupaban en parejas. Estas mismas parejas desarrollaron trabajos de ampliación, siempre relacionados con la geo- metría, cuyo interés se les hubiera despertado a partir del trabajo en clase. Así se estudiaron: (*) Profesor de Matemática e Informática en el Centro de Artes Gráficas y Diseño “GAIA” de Donostia
- 85. • La geometríapráctica de Aristóteles. • Geometría fractal (aquí nos apoyamos en diversos programas informáticos de dominio público para la generación de fractales). • Resumen y comentario del texto Punto Recta y Plano de Kandinski. • Visualización y discusión de la película: PI: Fe en el caos. • Resumen y comentario del texto: El Modulor de Le Corbusier. • Análisis de los mosaicos y teselaciones de Roma a Escher pasando por el mosaico musulmán. Dedicamos a esto dos horas semanales a lo largo de un cuatrimestre. En algunos temas, quizás en todos, pecamos de ambiciosos y el resultado no fue bueno, sobre todo el mosaico musulmán merece más de 2 horas de trabajo. También algunas propiedades quedaron cojas con comentarios puramente verbales. Conscientes de ello para el próximo curso contaremos con programas tipo Cabri para ilustrar estos extremos. La evaluación tanto por parte de los alumnos como mía y del resto de profesores en cuyas asignaturas inciden los conocimientos matemáticos de los alumnos fue muy buena, y los comentarios negativos no se debieron a la realización de la actividad sino a no haber reco- gido en ella otros elementos. Así que el próximo curso repetiremos corrigiendo y ampliando donde se pueda. INTRODUCCIÓN Aunque hasta tiempos muy recientes era costumbre remon- tarse a los griegos como origen de la Matemática, hoy pode- mos afirmar que los indicios de actividad Matemática están presentes en todas las culturas y en todos los tiempos de los que hay registro. Tanto en Europa como en África se han encontrado trozos de huesos con muescas, a más antigua de hace 35.000 años. Utilizados algunos como simples registros de recuento, otros parecen haber tenido usos más complejos, a modo de reglas de cálculo, además de estos hallazgos directos, otros registros megalíticos implican unos conocimientos tanto astronómicos como matemáticos hasta ahora insospechados. Más modernamente disponemos de testimonios de Mate- mática en Mesopotamia (3500 a.c.), y de los babilonios en la misma zona (2000 a.c.). Se han encontrado tablillas cunei- formes con desarrollos matemáticos sobre todo en Álgebra y Geometría, si bien no hay pruebas de que conocieran los SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA88 Félix Elejoste Fig. 1 Fig. 2
- 86. números irracionales siconocemos una tablilla donde se obtiene una aproximación a ͌2 con 5 posiciones decimales. Es más, la denominada como tablilla Plimton 322 (Fig. 1) (1500 a.c.) incluye lo que nosotros llamamos teorema de Pitágoras, 1000 años antes del propio Pitágoras. En cuanto a Egipto la precisión de su arquitectura, los problemas de la administración de un imperio que, lógicamente con altibajos, se prolongó durante 4000 años, implican una Matemática avanzada: Administración del estado y de los templos, cálculo de salarios a tra- bajadores, reservas de grano etc.. Sin embargo, al ser su principal soporte de la información, el papiro, un material perecedero, tenemos pocos registros de esta actividad, por decirlo cla- ramente sólo disponemos de dos papiros el llamado Papiro Rhind (Fig. 2) en honor de su des- cubridor: Un anticuario escocés llamado A. Henry Rhind, mas raramente pero con mas pro- piedad se le conoce como papiro Ahmes por el nombre de su autor, comienza así: “Cálculo exacto para Entrar en Conocimiento de Todas las Cosas existentes y de Todos los Oscuros Secretos y Misterios”. El papiro Ahmes contiene 87 problemas con sus soluciones, está en escritura hierática en lugar de jeroglífica. Los problemas versan sobre el reparto de hogazas de pan entre un número determinado de personas, así como de la determinación de las áreas de superficies rectangu- lares (geometría). El otro registro conocido como Papiro de Moscú (Fig. 3) porque se conserva en Moscú, es bas- tante parecido si bien añade cálculos de volúmenes de pirámides truncadas y del cilindro, aunque incluye tan sólo 25 problemas y sus soluciones. Datan de 1700 a.C. y en ambos casos no hacen ninguna separación entre Aritmética y Geometría. Sorprendentemente su cálculo del área del círculo utiliza una fórmula equivalente a: A = ( ) 2 que equivaldría a utilizar un valor de pi = 3.16049 Naturalmente no utilizaban la notación moderna sino que son descripciones verbales a modo de un recetario de cocina. Por ejemplo el volumen del tronco de pirámide es descrito así: “Si te dicen una pirámide truncada de 6 como altura vertical por 4 en la base y 2 en el extremo superior. Tienes que cuadrar este 4, resultado 16. Tienes que doblarlo, resultado 8. Tienes que cuadrar 2, resultado 4. Tienes que sumar el 16, el 8, y el 4, resultado 28. Tienes que tomar un tercio 6, resultado 2. Tienes que tomar dos veces 28, resultado 56. Ves es 56. Lo has hecho correctamente”. Por otras referencias no estrictamente Matemáticas sabe- mos de la importancia de la Geometría para los antiguas egipcios. La inundación anual provocada por el desborda- miento del Nilo borraba el trazado de parcelas y lindes de las zonas de cultivo, recalcular estos márgenes cuando las aguas se retiraban era considerado como el restableci- miento del orden y de la ley sobre la tierra y el nombre de ese trabajo nos ha llegado a través de los griegos como Geometría (= medida de la tierra)(1) . Octubre 2002 • 2002 Urria 89 Belleza Irracional Fig. 3
- 87. También disponemos dedatos sobre actividad Matemática tanto en China, como en la América precolombina y el subcontinente Hindú. Así pues podemos afirmar que el origen de la Matemática se disuelve en el origen del resto de las actividades intelectuales humanas, arte, religión, filosofía etc. Forma parte pues del pro- ceso de la Hominización. Sin embargo el desarrollo de la Matemática no se asemeja a un discurso plácido y continuo, muy al contrario ha sufrido altibajos y crisis. Al menos cuatro de estas crisis han tenido una importancia decisiva en su desarrollo: 1. 450 A.C.: descubrimiento de los segmentos inconmensurables (números irracionales) 2. Siglo XVIII: Cálculo infinitesimal 3. 1830: Geometría no Euclídea 4. 1900: Inconsistencia de la teoría de conjuntos. La 1ª y la 4ª hacen referencia a las bases mismas de la Matemática y podemos referirnos a ellas como Crisis de Fundamentación. De la primera que sucede en Grecia vamos a ocupar- nos con más detalle. PITÁGORAS “Educad a los niños y no será necesario castigar al hombre” Pitágoras de Samos Antes del 670 A.C. Egipunto era un país cerrado, como recientemente lo han sido Japón y el Tibet. Tras abrirse sus fronteras uno de sus primeros visi- tantes fue Pitágoras (580-500 a.C.) natural de una de las islas del Dodecaneso, la isla de Samos ubicada al sureste de Grecia, en el mar Egeo, cercana a la costa de Turquía, y a la ciudad de Mileto, de hecho algunas his- torias presentan a Pitágoras como discipulo de Tales. Samos estaba gobernada en esa época por el tirano Polícrates. Se cuenta que fue el desacuerdo con esta situción lo que le obligó a abandonar Samos y recorrer mundo. Permaneció mas de 20 años en Egipunto retor- nando no sólo con los conocimientos matemáticos egipcios sino también las tradiciones mistericas egip- cias sobre Osiris el dios-hombre nacido de virgen mor- tal en el solsticio de invierno (entre 25 diciembre y 6 de Enero) que moría, bajaba a los infiernos para final- SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA90 Félix Elejoste
- 88. Octubre 2002 •2002 Urria 91 Belleza Irracional mente triunfar sobre la muerte y resucitar, señalando así el camino de la salvación para el resto de la humanidad. Esta tradición tomaría forma en Grecia en el dios Dionisios conduciendo a los misterios de Eleusis para quizás degenerar después en el Cristianismo. Sea como fuere sus contemporáneos lo tenían por un sabio extravagante capaz de calmar los vientos y resucitar a los muertos. Se afirmaba que era hijo de Apolo(2) . Jámblico en su Vida de Pitágoras señala entre otros prodigios que era capaz de “apaciguar las olas de los ríos y los mares para que sus discípulos pudieran pasar por encima de ellas fácilmente”. Fue contemporáneo de Buddha, Confucio, Mahavira(3) , Lao-Zi, y Zoroastro. Estamos pues en una época bastante fundacional. No tenemos escritos de Pitágoras, bueno en realidad ni de Pitágoras ni de nadie, no nos ha llegado ningún manuscrito original de ningún matemático griego de esa época. Al igual que los egipcios utilizaban papiros que es un material frágil, pero de los egipcios algo nos ha lle- gado, y estamos en una época posterior en 1000 años a la redacción de sus papiros matemá- ticos. La diferencia la establece la persecución de la cultura pagana grecorromana y la quema sistemática de las bibliotecas a manos cristianas(4) . Así pues sólo disponemos de referencias parciales posteriores. Fundó una especie de escuela filosófica en Crotona, población al sur de Italia, interesada ade- más del misticismo en temas de Matemáticas y de Astronomía, fueron los primeros en darse cuenta que el lucero del alba (Phosphorus) y el vespertino (Hesperus) eran la misma estrella, en realidad planeta, que llamaron Afrodita para posteriormente trasformase en nuestro Venus. Afirmaron también que la Tierra era esférica. Incluso se dice que acuñaron los términos de Filosofía (amor por la sabiduría) y Matemática (aquello que se aprende). La escuela tenía connotaciones sectarias; los conocimientos no estaban disponibles para todo el mundo sino sólo a los iniciados que vivían en común bajo un estrecho código moral y de conducta (por ejemplo, eran estrictamente vegetarianos). Creían en la trasmigración de las almas (Metempsicosis)(5) , y tenían la prohibición de publicar sus trabajos y reflexiones. Además de esta tradición puramente oral estaban también obligados a atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela. La escuela-secta pitagórica no permaneció activa mas allá de un siglo tras la muerte del fundador, aunque la influencia de sus ideas ha llegado hasta nuestros días. No es fácil, desde una perspectiva moderna, hacerse una idea del elitismo de esta gente puesto que junto con las características que hemos visto hay que señalar que, por ejemplo, entre sus miembros no tenían ningún problema en incluir mujeres, genero éste que no era aceptado en ninguna otra escuela. Por no recordar las deleznables opiniones misóginas de Aristóteles(6) . El teorema de Pitágoras: A pesar de que como ya hemos visto no le pertenece, el teorema de Pitágoras es el best seller de los teoremas matemáticos, por encima incluso del de Thales, contamos ya con más de 1000 demostraciones. En palabras del autor de los libros de Alicia LEWIS CARROL, en A New Theory of Parallels: El teorema de Pitágoras que dice que “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” sigue siendo tan bonito hoy día como lo era cuando lo descubrió Pitágoras por primera vez, celebrándolo, según se dice, mediante el sacrifi- cio de un centenar de bueyes —una hecatombe—, un método de honrar a la ciencia que siempre
- 89. me ha parecidoligeramente exagerado y poco adecuado. Uno se imagina a sí mismo, incluso en aquellos días degenerados, celebrando el momento de algún brillante descubrimiento científico, invitando a un buen amigo o dos a compartir una buena carne y una botella de vino. Pero, ¡una hecatombe de bueyes! Produciría tal cantidad de carne que no sabría qué hacer con ella. La leyenda de la hecatombe que recoge Carrol esta en flagrante contradicción con las costumbres vegetarianas de los pitagóricos, no es esta la única, en otra parte he leído que tenían prohibido comer judías, las judías no serían importadas de América hasta la época posterior a Colon, quizás alguien tradujo judías donde debía poner lentejas. De otra manera recuerda el chiste del indivi- duo que le pide al camarero un té sin limón a lo que éste le responde que tendrá que ser sin leche puesto que no les queda limón. c2 = a2 + b2 ó c = ͌a2 + b2 Demostración: (una de las más antiguas) A partir de cuatro triángulos rectángulos iguales y girándolos 90, 180 y 270 grados formamos el cuadrado de la figura de lado a+b, obteniendo dentro otro cuadrado de lado c Áreas: cuadrado grande = (a + b)2 cada triángulo = como hay 4 = 2·a·b cuadrado interno = c2 Con todo: (a + b)2 = c2 + 2a·b a2 + b2 + 2·a·b = c2 + 2·a·b Simplificando: a2 + b2 = c2 Al parecer y debido a la influencia política que alcan- zaron, basada en ideas contrarias a la tendencias democráticas de su época; Se produjo una revuelta popular contra ellos, siendo incendiadas sus casas y muriendo abrasados. Por ejemplo afirmaban “No conviene revelar todo a todos”, “No pongas tu pie en la danza del pueblo”,” los hombres pueden ser catalogados en dos grupos. El primero es el de los filóso- fos. El otro es el del pueblo o masa dominada por los instintos”. Pero también decían “No debemos utilizar el mito para esconder la verdad y mantener así al pueblo ignorante vene- rando Sagradas leyes cuya interpretación desconocen. Es mejor instruir a los hombres en vez de engañarlos”. No hay acuerdo sobre la muerte del propio Pitágoras, algunos sostienen que murió abrasado en esta revuelta en Crotona, otros que huyó a Tarento también en el sur de la península Itálica, los más afirman que huyó a Metaponto siendo asesinado un año después en otra revuelta popular en esta última ciudad. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA92 Félix Elejoste a·b 2
- 90. El primer avanceimportante de la Matemática en el camino hacia la abstracción que encon- tramos en Grecia, inicialmente en manos de Tales de Mileto, y mas tarde de los pitagóticos: es la instauración del método basado en la demostración. Hasta entonces toda la Matemática era puramente empírica. Sencillamente se inducen teoremas de los que se ofrecen ejemplos pero no se va mas allá, de hecho algunos eran erróneos en general aunque funcionaban bien con ciertos valores particulares. Modernamente a esto los matemáticos lo llamarían conjetu- ras y no son elevadas a la categoría de teorema hasta que se encuentre una demostración de su validez bajo un cierto conjunto de especificaciones que también han de encontrarse. Se añade así un nivel de abstracción por encima de la matemática instrumental anterior. Como ya hemos dicho este avance es anterior a Pitágoras aunque creemos que se debe a él, o mejor, a su escuela la aplicación sistemática de estos principios a la geometría dándole un carácter esencialmente deductivo basado en el encadenamiento lógico de sus proposiciones. Todo esto en esencia se ha conservado hasta nuestros días. A pesar de estos avances la Geometría seguía siendo una ciencia experimental, es decir tras- teaban con triángulos, rectas y puntos reales tratando de obtener sus propiedades. Las demos- traciones al igual que las de hoy partían de unos supuestos básicos cuya verdad era evidente y no necesitaban ser demostrados (axiomas), y mediante las leyes de la lógica se manipulaban hasta llegar a la afirmación a demostrar (teorema). Uno de estos axiomas autoevidentes afirmaba que dados dos segmentos cualesquiera; son conmensurables. Es decir siempre se puede encontrar un tercer segmento mas pequeño que cabe un numero exacto de veces en ambos. Bueno, dicho así parece aceptable. A = 4C B = 5C Esto implica que : = = ¿Se cumple esto siempre?. Vamos a formularlo de modo general: Para cualquier pareja de segmentos (A y B) podemos encontrar una pareja de números (m y n) tales que: = Tomemos un cuadrado de lado unidad y veamos si su diagonal (d) es conmensurable con su lado. Octubre 2002 • 2002 Urria 93 Belleza Irracional 4C 5C 4 5 A B m n A B
- 91. = d = supongamosque la fracción esta simplificada al máximo de modo que m y n son los meno- res números naturales que cumplen la condición de que su cociente es igual a d. Por el teorema del maestro sabemos que: d = ͌12 + 12 = ͌2 Con todo, buscamos dos números naturales m y n tales que : = ͌2 ’ m = n ͌2 ’ m2 = 2n2 Ahora vamos a examinar cada uno de los miembros de esta última ecuación: SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA94 Félix Elejoste m n m n d 1 m n Primer miembro m2 El número m puede acabar en cualquier dígito 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Su cuadrado m2 ha de terminar en: 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 termina en 9 42 termina en 6 52 termina en 5 62 termina en 6 72 termina en 9 82 termina en 4 92 termina en 1 Resumiendo m2 ha de terminar en: 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1 Eliminando duplicidades y ordenando, obte- nemos que el último dígito de m2 tiene que ser uno de éstos: 0,1,4,5,6,9 Segundo miembro 2n2 Igualmente n puede acabar en cualquier dígito 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Su cuadrado n2 ha de terminar en: 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 termina en 9 42 termina en 6 52 termina en 5 62 termina en 6 72 termina en 9 82 termina en 4 92 termina en 1 Eliminando duplicidades y ordenando el último dígito de n2 : 0,1,4,5,6,9 y 2n2 termina en: 2x0 = 0 2x1 = 2 2x4 = 8 2x5 termina en 0 2x6 termina en 2 2x9 termina en 8 Eliminando duplicidades y ordenando de nue- vo, el último dígito de 2n2 tiene que ser uno de éstos: 0,2,8 Si ambos miembros son iguales deben tener idénticos todos sus dígitos, en particular el último, y el único dígito común a ambos miembros es el cero. Pero si ambos, m y n, termi- nan en 0 es porque los dos son divisibles por 10 lo que contradice la hipótesis de partida. Esto se conoce como reducción al absurdo, hemos partido de unas condiciones (hipótesis) y
- 92. El axioma espor tanto falso y al fallar los cimientos todo el edificio de la geometría, laborio- samente construido, se viene abajo. Y lo que es peor el resultado es inexpresable, ellos pen- saban que todos los números eran de dos tipos: los que ahora llamamos naturales (1,2,3,....) o bien los fraccionarios (1/2,7/8,.... formados por cocientes de naturales). A los números recién encontrados les dieron el nombre de arrheton que significa: inexpresable como una razón, el tér- mino actual es irracional que significa lo mismo. Hay una característica adicional de los números irraciona- les que los separan del resto, de los conocidos por los grie- gos, como hemos dicho ya los números naturales (repre- sentados por N) son N = 1,2,3,........, los racionales (repre- sentados por Q) obtenidos por el cociente de naturales son de la forma: (m/n). Podemos decir que los racionales incluyen a los naturales como caso par- ticular cuando n = 1. No ocurre así con los irracionales (I) que forman un conjunto comple- tamente separado del resto de los números. El resultado anterior se puede generalizar. Si n es un número natural y no es un cuadrado per- fecto (22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49,....) raíz de n es irracional(7) . Entonces son también irracionales raiz de tres, de cinco, de siete etc(8) . Así pues no sólo el axioma es falso sino que hemos descubierto la existencia de un nuevo tipo de número de características muy diferentes a los ya conocidos, de hecho estos nuevos núme- ros no pueden ser completamente conocidos, nadie sabe cuanto vale exactamente raíz de 2, hoy diríamos que tiene infinitos decimales, no periódicos(9) (͌2 ≈ 1.414213562 .......), los pitagóricos no sabían esto pero si sabían que la geometría no podía medirlos. Señala la tradi- ción que cuando los pitagóricos encontraron esto lo mantuvieron en secreto, hasta que un miembro de la hermandad Hipasos cometió el pecado de violar el secreto revelando esta terri- ble verdad, y fue ahogado por ello. Diógenes da una versión distinta atribuyendo el descubri- miento de la irracionalidad de dos al mismo Hipaso de Metaponto, motivo por el cual sus colegas lo arrojaron al mar. Para los pitagóricos lo números lo eran todo: “Las cosas, todas las cosas, no son más que las apariencias de los números”, nada se puede concebir o conocer sin éstos. Especialmente venerados eran: 1 Nous. Punto sin dimensiones, generador de las otras dimensiones de Universo 2. Psiche. Dos puntos generan la recta de dimensión 1 3. Eidolon. Eidolon. Tres puntos generan el triangulo de dimensión 2 4. Soma Soma. Cuatro puntos generan el tetraedro de dimensión 3 Octubre 2002 • 2002 Urria 95 Belleza Irracional al desarrollarlas nos conducen a una contradicción, por tanto las condiciones de partida no pueden ser ciertas. En particular no hay dos números m y n cuyo cociente sea raíz de dos. Pero raíz de dos existe, ya que tanto el rectángulo como su diagonal existen. Acabamos de encontrar un objeto geométrico al que no podemos asignar un número (medida).
- 93. Sobre estos concepuntosedificaron toda una teología, El Nous (1) representaba la mente supe- rior intuitiva, la Psiche (2) el alma individual. Eidolon (3) era el cuerpo astral por último Soma (4) el cuerpo físico. El número especialmente venerado era el 10 = 1 + 2 + 3 + 4, llamado Número Paradigma, suma de todos ellos “Fuente de todo lo Manifestado y principio de la vida” lo representaban por su símbolo mas querido que resume lo que hemos expuesto, La Tetractys(10) . Si estos cuatro números los ligamos con los cuatro elementos agua, tierra, fuego, aire podemos hacernos una idea de las alturas estratosfericas que alcanzaron las especula- ciones de numerólogos y gnósticos. Otro éxito de las ideas pitagóricas fue su análisis de la música, donde descubrieron que los diferentes tonos que se obtienen al pulsar una cuerda están relacionados con proporciones sencillas de las longitudes de la cuerda. Por ejemplo una cuerda cuya longitud es el doble de otra produce un sonido una octava mas grave. Si las relacion es de 3 a 2 se obtiene un intervalo musical llamado un quinto. Parecía que nada en el universo estaba fuera del alcance de los números (naturales) y de sus proporciones (números racionales). Uno de los discípulos de Pitágoras afirmaba “y, en verdad, todas las cosas que se conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida sin éste”. Podemos imaginar la conmoción que supuso para gente que pensaba así la incapacidad para asignar un número a algo tan simple sencillo y bien conocido como la diagonal de un cua- drado. Platón concluiría: “No es digno de llamarse hombre aquél que desconoce el hecho de que la diagonal de un cuadrado es inconmesurable con su lado”. Otra cuestón importante puesta de manifiesto por las cantidades inconmensurables, de la que fueron plenamente conscientes los griegos, es la relación entre lo discreto y lo continuo. Formuladas por otro pitagórico al menos en sus comienzos, Zenón (480- ?) discípulo de Parménides que propuso cuatro paradojas sobre el movimiento. La más famosa de las cuales es la de Aquiles y la tortuga, aunque ya la primera cuestiona el concepunto de continuo: señala la paradoja que el movimiento es imposible ya que para moverse de un punto a otro ha de pasarse primero por el punto medio entre los dos, ahora bien para alcanzar éste punto medio hemos de pasar primero por el punto medio entre el de partida y el primer punto medio y así indefinidamente. Obtenemos una sucesión infinita de puntos que no puede ser cubierta en ningún tiempo finito. Al fallar la relación entre los objetos y los números, se corta con los primeros, se renuncia toda pretensión de aplicabilidad de los hallazgos matemáticos, es decir, se da un paso de tuerca más en la abstracción Matemática y se mantienen sus elementos más formalistas. Desde ahora las verdades saldrán unas de otras, sin buscar conexiones con la realidad, postulando un número mínimo de axiomas que deben de ser lo mas sencillos posibles, no vaya a repetirse la historia. Más claramente, si la realidad no satisface la teoría es la realidad la que esta equivocada. Este es un salto en el vacío que, entre las ciencias, sólo la Matemática puede darlo y lo da. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA96 Félix Elejoste
- 94. Las demás cienciastienen a menudo esta tentación: se dice que cuando comunicaron a Einstein el éxito de sus predicciones sobre la relatividad general comento: “en caso contrario lo habría sentido por el buen dios, la teoría es correcta” en boca de Einstein es una broma, los matemáticos lo dicen en serio. La primera vez, que sepamos, lo hicieron en Grecia: al fallar la conexión entre realidad y teoría se desentendieron de esta última(11) y se quedaron con su teoría, consideraron todo objeto real como el pálido reflejo de una verdad mayor interior de objetos ideales. Pero después de todo ¿tan espantosos son los números irracionales?. Vamos a ver como algu- nos son la base de muchos de los cánones de belleza. Empecemos por el primero. ͌2, el primer número irracional Los griegos eran muy aficionados a problemas geométricos que debían resolverse únicamente con una regla de borde recto y un compás: 1.- Dado el segmento AB trazar la perpendicular por un extremo: 1. Con centro en A se traza un arco de radio arbitrario, este corta al recta en el punto C 2. Con centro en C y con el mismo radio anterior se traza un segundo arco que corta al primero en D 3. Con centro en D un tercer arco con el mismo radio que corta al primero en E 4. Con centro en E un ultimo arco con el mismo radio que corta al anterior en F La recta r que pasa por A y F es perpendicular al segmento AB. 2.- A partir de la construcción anterior obtener un cuadrado de lado AB: 1. Con centro en A y radio AB se traza un arco que corta a la recta r en C, que es el tercer vértice del cuadrado 2. Con centro en C y radio CA se traza un arco 3. Con centro en B y radio BA se traza otro arco 4. La intersección de los dos arcos se produce en D que es el Cuarto vértice 5. Unir C con D y D con B Resolvamos un problema propuesto por Platón (427-347 a.C.). 3.- Dado el cuadrado ABCD hallar otro cuya área sea el doble de la del original: 1. Con centro en C y radio CD trazamos un arco 2. La prolongación de CB intersecta el arco en E 3. La prolongación de AC intersecta el arco en F Octubre 2002 • 2002 Urria 97 Belleza Irracional
- 95. El cuadrado ADFEtiene es el buscado. Su diagonal es 2AB. Si suponemos que el primer cuadrado ere de lado unidad (AB = 1), su diagonal AD = ͌2 , que es el lado del nuevo cuya diagonal es 2, la proporción lado/diagonal es: = El proceso es autogenerador y puede repetirse indefinidamente, tanto hacia rectángulos más grandes, como más pequeños manteniendo siempre el mismo aspecto relativo a cualquier escala. Esta característica va a repetirse más adelante. Las relaciones lado/digonal forman ahora la sucesión: ; ; ; ; ; ; ........... Si tomamos sólo los numeradores: 1; ͌2; 2; 2͌2; 4͌2 ....... Forman una sucesión donde cada tér- mino es igual al anterior multiplicado por un factor constante, en este caso ͌2. Esto se conoce como progresión geométrica, al factor constante se le denomina razón de la progresión. Lo mismo ocurre con los denominadores, forman a su vez una pro- gresión geométrica con la misma razón pero difieren en el termino inicial: los numeradores comienzan en 1 y los denominadores en ͌2. Esta figura es una versión de la anterior pero hacia abajo, partimos ahora del rectángulo mayor y lo vamos subdividiendo. Las razones y progresiones se mantienen. Manteniendo siempre el mismo aspecto relativo a cualquier escala. Análisis geométrico del Partenón debido a Tons Brunés. Cada Uno de los cuadrados esta en proporción de 1:1.25 con el mayor que lo contiene. Naturalmente las diagonales están en ͌2 : 1 con sus lados. Así pues todo el sistema se basa en las proporciones ͌2 y 1.25. Más adelante veros una tercera proporción involucrada en el diseño del Partenón. La relación ͌2 también se manifiesta en las proporciones de la abeja. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA98 Félix Elejoste 1 ͌ 2 ͌ 2 2 1 ͌ 2 2 2͌2 4 4͌2 ͌ 2 2 2͌2 4 4͌2 8
- 96. ͌3 y LaVesica Piscis Otro número irracional ͌3 Tomamos un cubo de arista unidad, el triangulo de la base ABC es rectángulo luego su diagonal es ͌2. Si ahora nos fijamos en el triangulo ACD, también es rectángulo, y cuyos catetos miden 1 y ͌2. Aplicando el th. de Pitágoras: hip = ͌12 + (͌2)2 = ͌1 + 2 = ͌3 Tenemos que la diagonal del cubo vale raíz de tres, que es tam- bién irracional(12) . La Vesica Piscis 1. Trazar un círculo de radio arbitrario con centro en A. 2. Con el mismo radio trazar otro círculo desde un punto B situado en la circunferencia del círculo inicial. La zona central se conoce como Vesica Piscis. Recuerda la forma de un pez y ha sido y es ampliamente utilizado como símbolo cristiano. Los gnósticos le asignan una mayor antigüedad como símbolo pagano: los círculos representan el espíritu y la materia respectivamente y se unen en matrimonio, cuando la circunferencia de uno alcanza el centro del otro y forman la Vesica Piscis. Relación entre la Vesica Piscis y ͌3 Suponemos que AB = 1. Determinar la altura de la Vesica Piscis CD. Trazar 1. CD 2. CA 3. AD 4. DB 5. BC 6. Prolongar CB hasta que corte al círculo obteniendo E 7. Prolongar CA hasta el círculo obteniendo F El triángulo sombreado DEC es rectángulo su hipotenusa (EC) es un diámetro EC = 2, el cateto ED es igual a AB = 1 Otra vez el th de Pitágoras: CD = ͌EC2 - ED2 = ͌22 - 1 = ͌3 La relación entre la anchura y altura de la Vesica Piscis es 1/ ͌3 Entonces tenemos que la Vesica Piscis es a raíz de tres lo que el cuadrado es a raíz de dos. Octubre 2002 • 2002 Urria 99 Belleza Irracional
- 97. El rectángulo ͌3 Elrectángulo HIJK tiene el lado HI = AB y el otro lado HK = CD. Sus proporciones son las mismas que la Vesica que contiene: 1/ ͌3 . Además su área vale ͌3 Hexágono regular 1. Con centro en C y radio CB trazar un arco obtenemos E 2. Lo mismo concentro en D obtenemos G 3. Prolongar BA obtenemos F 4. Unir BCEFGD Estrella de David, también Sello de Salomón, o Sello de Visnú A partir del hexágono regular anterior, se unen los vérti- ces alternos: 1. ACE forma un triangulo equilátero. 2. BDF el otro triángulo equilátero. Esta figura es conocida de antiguo tanto en la tradición oriental como occidental. Para los antiguos hindúes, era el Sello de Visnú que representa la unión total y perfecta entre el espíritu y la materia, entre lo activo y lo pasivo, lo masculino y lo femenino, lo celeste y lo terrestre. Aquí pueden construirse dos Tetractys, una invertida con respecto a la otra. Lo que ha provocado todo tipo de especulaciones gnósticas. El Sriyantra Construcción geométrica utilizada para la medita- ción en diversos lugares de la tradición tártrica hindú. Hay referencia a ellos en escritos védicos del siglo XII a.C. El problema matemático aquí consiste en construir el sistema de triángulos cen- tral, y que se conoce como sello. Casi todos los sellos conocidos tienen la misma estructura con sólo pequeñas modificaciones. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA100 Félix Elejoste
- 98. Punto medio deun segmento (AB) Antes de construir el sello del Sriyantra, necesitamos resolver otro problema de construcción con regla y compás. 1. Con centro en A trazar un arco de radio AB 2. Con centro en B y el mismo radio trazar otro arco Ambos arcos se intersecan en dos puntos. C y D Tazar el segmento CD. 3. El punto E donde intersectan CD y AB, es el punto Medio del segmento AB El Sriyantra Armados con la solución anterior, y con el Hexágono regu- lar ya conocido. 1. Hallar H, punto medio del segmento AC 2. Hallar I, punto medio del segmento BD 3. Hallar J, punto medio del segmento CE 4. Hallar K, punto medio del segmento DF 5. Hallar L, punto medio del segmento EA 6. Hallar G, punto medio del segmento FB 7. GI, IK, KG, forman un triangulo equilátero. 8. HJ, JL, LH, forman otro triangulo equilátero. Ya tenemos otra estrella de David dentro de la primera, y otra dentro de esta etc... Ya debería sernos familiar este proceso autogenerador que puede repetirse indefinidamente tanto hacia estrellas mas grandes como mas pequeñas manteniendo siempre el mismo aspecto relativo a cualquier escala. Una variación de lo anterior más sencilla sin necesidad de determinar puntos medios. Una Vesica Piscis dentro de otra.... Los ejes mayor y menos de las sucesivas básicas, están en la siguiente proporción: 1/ ͌3; ͌3 / 3; 3/ 3͌3 Al igual que en la cons- trucción anterior con raíz de dos, tanto los denominado- res por un lado como los numeradores por otro forman sendas progresiones geométricas de razón raíz de tres, empezando los numeradores por 1, y los denominadores por raíz de tres. Octubre 2002 • 2002 Urria 101 Belleza Irracional
- 99. Cristo dentro dela Vesica ͌5 y la proporción Áurea “La Geometría tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la divi- sión de un segmento en media y extrema razón”. Johannes Kepler (1571-1630 d.C.) Sección Áurea y Razón Áurea Queremos dividir el segmento AB en dos AC y CB, de modo tal que la longitud del segmento menor (a) sea al segmento mayor (b) como éste al total (a+b): el número: = , se denomina razón Áurea, número de oro. Ϸ 1,61803398875.... La sección Áurea se conoce también como: Divina Proportione. En el vértice de la figura el ángulo interno mide 137,5º y el externo 222,5º (360-137,5), si hallamos el cociente encontraremos 1,618181, próximo al número áureo. EL ángulo 137,5º se conoce como ángulo áureo. El número áureo no sólo es irracional sino que es el peor de ellos, en el sentido que es el que más lejos queda de cualquier fracción que se le aproxime. La razón Áurea tiene una serie de propiedades curiosas que llamaron la atención de los anti- guos: • Multiplicarla por si misma equivale a sumarle la unidad 2 = 1 + • Si le restamos la unidad obtenemos su inverso = -1 ó, si se quiere, su inverso tiene la misma parte decimal. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA102 Félix Elejoste 1 1+͌5 2 b = = = ab a+b a b = ’ a · (a+b) = b2 ’ b2 - a·b - a2 = 0 1+͌5 2 a+͌5·a 2 a+͌a2 + 4a2 2
- 100. Hacia 1202 Leonardode Pisa, mas tarde conocido como Fibonacci (hijo de Bonaccio) ana- lizó un problema de cría de conejos. • Partimos de un par de conejos. • Cada pareja cría una vez por estación, cada camada se compone de 2 conejos. • Cada pareja nueva necesita una estación para madurar. • Los conejos son inmortales. ¿Cuántos pares de conejos habrá al cabo de un número dado de estaciones? Podemos afirmar que: • El total de este año es el número de pares maduros del próximo año, puesto que los maduros de este año seguirán vivos, y los nacidos esta estación maduraran. • El número de pares maduros de esta estación se convertirá en el de inmaduros de la siguiente, puesto que cada par maduro genera un par inmaduro. Estación Inmaduros Maduros Total 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 5 8 13 8 8 13 21 9 13 21 34 10 21 34 55 Resumiendo: El total de este año es la suma del total del último año y del anterior: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...... La pregunta ahora es la tasa de crecimiento, cociente entre un año y el anterior: 1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,6666 8/5=1,60 13/8=1,625 21/13=1,615 34/21=1,619 55/34=1,617 89/55=1,6181818 Octubre 2002 • 2002 Urria 103 Belleza Irracional
- 101. Las razones sucesivasvan acercándose a la razón Áurea Ϸ 1,61803398875..... Aunque esto no es exacto como lo fue en los casos de raíz de dos y raíz de tres, la sucesión de Fibonacci se aproxima a una sucesión geométrica de razón y cuyo primer término es: Dividir AB en media y extrema razón 1. Trazar la recta r perpendicular a AB por el extremo B 2. Hallar C, punto Medio de AB 3. Con centro en B y radio BC, trazar un arco. Su intersección con r nos da D 4. Unir A con D 5. Con centro en D y radio DB trazar un arco. La intersección con AB nos proporciona E 6. Con centro en A y radio AE trazar un último arco. La intersección de éste último con AB nos da F AF es la sección Áurea de AB Dado el segmento AB hallar el segmento AF cuya sección Áurea es AB 1. Trazar la recta r perpendicular a AB por el extremo B 2. Hallar C, punto medio de AB 3. Con centro en B y radio BC, trazar un arco su intersección con r nos da D 4. Unir A con D, nos da la recta “s” 5. Con centro en D y radio DB trazar un arco, la intersección con AB nos propor- ciona E 6. Con centro en A y radio AE trazar un último arco, la intersección de éste último con AB nos da F AF es el segmento cuya sección áurea es AB La pirámide de Keops Según Herodoto es a2 = b·c Por otro lado el triángulo SHJ es rectángulo, luego es c2 = a2 + b2 Con todo: luego el triángulo SHJ además de ser rectángulo, tiene su hipote- nusa y cateto en proporción áurea. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA104 Félix Elejoste 1 ͌ 5 b c c c + b c2 = b·c + b2 ’ c·c = b(c + b) ’ =
- 102. Pentágono regular Esta figuratambién era muy cara a los Pitagóricos, sólo des- pués de la Tetractys. Podemos ver que la estrella de cinco pun- tas esta en proporción Áurea con respecto al lado del pentá- gono regular. Si el lado del pentágono vale 1, entonces AB = Rectángulo áureo Tomanos el segmento AB, don de AC, es su sección Áurea. Si construimos el rectángulo ABEG, la relación entre sus dimensiones es precisamente la razón áurea. Estos rectángulos están presentes en las tarjetas de cré- dito, algunos billetes bancarios, y en el DNI. La espiral de Durero Si el rectángulo áureo anterior lo dividimos en dos, un cuadrado de lado AC, y el otro un rectángulo de lados CB y BE, resulta que éste último (CBEF) es a su vez un rectángulo áureo. Otra vez esta construcción puede repetirse indefinidamente. Durero, en su libro sobre geometría práctica se apoya en esto para construir la espiral que lleva su nombre. Las hilanderas de Velázquez Se aprecian tanto ͌2, como ⌽ El Partenón Hemos visto ya que algunos elementos del partenon están en proporción ͌2, podemos observar ahora que otros están en proprción aúrea. Octubre 2002 • 2002 Urria 105 Belleza Irracional
- 103. Ejemplos del usode proporciones áureas en objetos cotidianos Los números metálicos puede definirse como solución de la ecuación: x2 - x - 1 = 0 que podemos escribir: x2 = 1 + x o mejor: expresión(13) ésta última que apunta claramente hacia la recursión implícita en todas las cons- truciones. Pueden inducirse una familia completa de números con propiedades similares a las de ⌽ como soluciones a ecuaciones del tipo: x2 - mx - 1 = 0 ó mejor donde m es un número natural. Naturalmente para m = 1 tendríamos el número aureo, para m = 2 se denomina número de plata ⌽ag, m = 3 sería de bronce ⌽br (14) . Todos ellos son límites de sucesiones de Fibonacci generalizadas: Gn+2 = p·Gn + q·Gn+1 con p,q ⑀ N2 por ejemplo el numero de plata ⌽ag procede de: An+2 = 2An + An+1 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA106 Félix Elejoste 1 x x = 1 + 1 x x = m + La silla fue diseñada en 1946 por Charles y Ray Eames. Su anchura y altura están en proporción Áurea. Dos ejemplos más: En 1954, Fritz Eichler diseñó esta radio. La jarra es de 1920 di- señada por el noruego Johan Rohde. Diseño de 1934 de una cafetera atendiendo a las proporcione áureas. Aunque el frasco de Chanel es de 1921 y ha sufrido 15 actualizaciones desde en- tonces siempre ha mante- nido las proporciones áu- reas. ‚ ‚
- 104. Conclusión “De todo locreado sólo, me interesa lo bello; de lo bello, las formas; de las formas, las proporciones; de las proporciones, los números” Agustin de Hipona A lo largo de las historia, conscientemente o no, todas las culturas han seguido algún tipo de patrón en las proporciones de sus objetos más queridos. Este uso de sistemas de proporciones no siempre es evidente, sino que en sus mejores expresiones forma parte de la tramoya, oculta a primera vista pero que contribuye a la sensación de belleza de los monumentos. Los egipcios utilizaron masivamente la propor- ción 4:3, (1.3), basándose en el triángulo de doce nudos, uno de los métodos más antiguos para levantar paredes perpendiculares. La terna 3, 4, 5, cierra un triángulo rectángulo (estas ternas se conocen como ternas pitagóri- cas). No se detuvieron aquí sino que en monumentos más complejos utilizaron proporciones basadas en números irracionales y en particular ⌽. Los griegos manejaron muchos más sistemas, tanto conjuntamente en el mismo monumentos como por separado añadiendo, varios ordenes de magnitud a la complejidad egipcia. Los romanos utilizaron fundamentalmente proporciones basadas en ͌2. Una proporción interesante usada más tardíamente es la Sesquialtero o “medida cierta”, definida por san Agustin como la relación entre un número natural y su siguiente, aun- que luego el uso consagró este nombre solamente para la rela- ción 3/2. Notar que estas son las proporciones de los primeros miem- bros de la sucesión de Fibonacci cuyo límite es ⌽. El renacimiento retomó la afición griega por las proporciones, en particular por la áurea. Vitruvio primero, y Leonardo y Durero siguiéndole, buscaron relacionarlas con las medidas del cuerpo humano. El arquitecto suizo, Le Corbusier, a principios de este siglo, señaló que La Revolución Francesa al instituir como unidad de medida el metro, una abstracción, una unidad simbó- lica, había dislocado la Arquitectura por su falta de relación con el cuerpo humano. Creó su Modulor a partir de subdivisiones de la medida fundamental que para él era el hom- bre con el brazo levantado, para crear estas subdivisiones utilizó la proporcion áurea. Octubre 2002 • 2002 Urria 107 Belleza Irracional ˘
- 105. Resumiendo las proporcionesmas utilizadas han sido: El cuadrado, la 4:3 egipcia, raíz de 2, raíz de 3, sesquialtero, y el número áureo. ¿Por qué unas proporciones son más bellas y equilibradas que otras? En la lista anterior vemos que todas o bien son irracionales o bien aproxima- ciones a ellas. Las irracionales salvo ⌽, son todas de la forma ͌n, y com- parten una propiedad que puede arro- jar luz sobre su interés en la creación de monumentos. Los rectángulos de proporción 1/͌n son todos rectángu- los dinámicos, es decir se pueden divi- dir en “n” rectángulos cada uno de los cuales mantiene la misma proporción 1/͌n. En la figura esta representada ͌2. Partimos de un cuadrado ABCD trazamos su diagonal BD y con centro en B y radio BD tra- zamos el arco el punto E se obtiene del corte de este arco con la prolongación de BF, el rec- tángulo ABEF está en proporción ͌2. Dividimos ahora este rectángulo por la mitad mediante GH, ambas mitades mantienen la pro- porción ͌2, este proceso puede repetirse indefinidamente. De hecho esta construcción per- mite obtener los populares formatos DIN partiendo del inicial A0 de 841 x 1189 y subdivi- diéndolo obtenemos los sucesivos A1, A2, A3, A4... En cuanto a ⌽ aunque no da lugar a un rectángulo dinámico, si que genera una estructura autosemejante parecida donde cada rectángulo áureo es dividido en un cuadrado y un rec- tángulo que a su vez es áureo, construccion esta última que también puede repetirse indefi- nidamente. Esta capacidad de recursión, de poder repetir un mismo procedimiento variando las condi- ciones iniciales, es la que permite generar estructuras complejas por acumulación de proce- dimientos sencillos. Por otro lado permite repetir sin cansar, si en una construcción todos los elementos son distintos se produce generalmente una sensación de caos, si, por el contrario son todos iguales la sensación es tediosa ahora. Es por tanto posible que en las proporciones que hemos estudiado se produzca el equilibrio entre cambio y éxtasis. Por otro lado las proporciones basadas en números irracionales comparten muchas propieda- des con los fractales (autosimilitud a cualquier escala, bifurcación infinita, recursión etc). De los fractales sabemos que están íntimamente relacionados con muchas formas y procesos de la naturaleza, quizás no sea descabellado pensar que los monumentos basados en proporcio- nes irracionales nos ponen en contacto con los ritmos íntimos de nuestra propia naturaleza. Hacia esto apuntaba la arquitectura cisterciense, muchas de cuyas abadías estaban concebi- das como resonadores acústicos que transformaban un coro humano en música celestial. Según el inspirador de esta arquitectura; San Bernardo de Claravall: “No debe haber decora- ción, sólo proporción”. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA108 Félix Elejoste
- 106. NOTAS 1 El historiadorgriego Herodoto (485-425 a. C.) describe como el rey Sesostris: “ ... dividió la tierra entre todos los egipcios a fin de dar a cada uno un cuadrángulo de igual tamaño, con la intención de cobrar de cada cual la respectiva renta por medio de un impuesto”. 2 Ésto también se dirá de Platón tras su muerte. 3 Fundador del Jainismo. Religión Hindú. 4 No sólo perseguía los escritos, en los disturbios que terminaron con la Biblioteca de Alejandría la Matemática Hipatia fue muerta por los exaltados monjes cristianos. 5 Estas creencias pueden estar relacionadas. Si crees que los muertos pueden reencarnarse en animales, no debe ser agradable comerse por ejemplo un lechón, pensando que puede ser un pariente recién enterrado. por otro lado uno se pregunta qué tie- nen en contra de los vegetales: por qué no puede uno reencarnarse en un geranio y volver a florecer. 6 El Maestro de aquellos que saben. 7 Posteriormente Euclides dedicará el libro X de sus Elementos al análisis detallado de varias longitudes irracionales. 8 No todos los irracionales son raíz de un entero por ejemplo no lo es. 9 No se producen repeticiones sistemáticas entre sus decimales. 10 El otro símbolo querido de los pitagóricos; el pentágono estrellado saldrá más adelante con la proporción áurea. 11 Por esta época Parménides (510-470 s.C.), del que se dice fué inicialmente un pitagórico, venía a decir que nuestros sentidos nos engañan, y las cosas que vemos no son reales y que lo real es lo que no vemos. 12 Para demostrarlo se puede proceder exactamente igual que como hicimos en el caso de raíz de dos. Octubre 2002 • 2002 Urria 109 Belleza Irracional
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- 109. Octubre 2002 •2002 Urria 113 El Constructivismo y las Matemáticas EL CONSTRUCTIVISMO Y LAS MATEMÁTICAS José Ramón Gregorio Guirles (*) INDICE INTRODUCCIÓN 1. PLANTEAMIENTO CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS 2. CLAVES DEL TRABAJO CONSTRUCTIVISTA EN EL AULA 2.1. Racionalización, ajuste y renovación 2.2. Alfabetización matemática y sentido numérico 2.3. Resolver todo tipo de situaciones problemáticas 2.4. La globalización y las matemáticas de y para la vida cotidiana 2.5. Los juegos 3. A MODO DE CONCLUSIONES (*) Asesor de Etapa Infantil / Primaria del Berritzegune de Sestao
- 110. INTRODUCCIÓN Han pasado 10años desde que la administración educativa del País Vasco pusiera en marcha el Plan Intensivo de Formación (PIF), con el que pretendía introducir a los centros de Infantil y Primaria en la reforma educativa. No tenemos valoración oficial de los resultados del plan, aunque si sabemos que sirvió para poner en común lenguajes pedagógicos, para charlar sobre educación (algo que solía ser raro en los centros), e incluso para elaborar proyectos curricu- lares teóricos. Lo que también sabemos es que apenas se pasó de este segundo nivel de con- creción curricular, y lo que era el verdadero trabajo de asesoramiento en centros, el de ser agentes de cambio educativo, quedó cercenado por la incapacidad que demostramos desde los servicios de asesoramiento y desde los propios centros de descender al nivel diario de aula. Ello supuso que, en la práctica, todo el constructivismo y los principios metodológicos que aparecen en los diseños curriculares de Matemáticas(1) se quedaran en plasmaciones teóricas y formulaciones de principios, y que una vez pasados los primeros momentos de “excitación pedagógica”, los profesores/as se sintieran huérfanos de la reforma matemática y sin poder ver lo que representaban en la práctica de aula las matemáticas de las que hablamos. El último pequeño paso fue dejar “archivado” el proyecto matemático de centro para mejor ocasión. Sin embargo, como siempre pasa en toda buena película que se precie de serlo, la historia no acaba aquí. Respondiendo a esta situación tan frustrante aparece hace ya unos años una nueva corriente que pretende responder a las carencias de la implementación de la reforma educativa en lo que se refiere a matemáticas. Esta corriente de trabajo, además, es conocida por diferentes expresiones: matemáticas y constructivismo, seminario de constructivismo, constructivistas... Pero exactamente, ¿quiénes somos?, ¿qué nos une?, ¿a qué viene tanto lío con el término? ¿por qué a veces tenemos la sensación de ser o parecer bichos raros? ¿por qué nos miran así?, ¿por qué tenemos que estar continuamente respondiendo a la pregunta que de qué vamos? ... Bueno, pues ahí va un intento de explicación. 1. PLANTEAMIENTO CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS En primer lugar hemos de reconocer que “nuestra” referencia teórica más clara (la de algunos al menos), es la que aparece reflejada en el propio DCB, es decir la que tiene que ver con un planteamiento constructivista de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Por resumir, LO MAS SIGNIFICATIVO DE ESTE PLANTEAMIENTO PASA POR: • Entender el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de CONSTRUCCIÓN INDI- VIDUAL(2) que se produce a través de las interacciones individuales y grupales que se reali- zan en el aula. El grupo-clase y la escuela se convierten así en referentes y agentes básicos de aprendizaje. • Respetar los diversos ritmos y maneras de construir los diferentes tipos de contenidos mate- máticos (conceptos, procedimientos y actitudes) y las diferencias en las maneras de cons- truir y aprender de los propios alumnos/as (unos más analíticos, otros más globales...). • Tener presente que el aprendizaje que uno puede interiorizar y construir está condicionado por lo que ya sabe y por la calidad del proceso de aprendizaje. De tal manera que es impres- cindible la comprensión y la actividad mental (idea de conflicto cognitivo y de resolución de problemas) en el proceso matemático. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA114 José Ramón Gregorio Guirles
- 111. • Ser conscientes,además, de que las actitudes hacia las matemáticas, tanto por parte del pro- fesor/a como del alumno/a, son un elemento básico para el aprendizaje. Estamos hablando de valorar la importancia de las matemáticas en la vida, de tener una actitud de reflexión, de discusión y de valoración de las opiniones y de los saberes de los demás (verdaderos ele- mentos motivadores hacia las matemáticas). • Considerar, por tanto, el aprendizaje cooperativo como el centro de la actividad y contexto de aprendizaje matemáticos. • Promover acción matemática con el horizonte de la autonomía como referencia. Unido a todo lo anterior, debemos ser conscientes de que este modelo conlleva NE-CE-SA- RIA-MEN-TE, y éste es el elemento nuclear de todo el planteamiento constructivista, un cam- bio radical en la concepción del propio papel que el profesor/a debe desempeñar en el aula. Papel más de mediador en la cooperación, de persona que dialoga para aprender, que de sim- ple y tradicional instructor que trata a los alumnos/as como ignorantes a los que debe trans- mitir sus conocimientos. Sabemos que esto no es fácil. Los profesores, de manera secular estamos convencidos de que explicar es sinónimo de enseñar y que enseñar lo es de aprender. Ni lo uno ni lo otro; es más, suele ser bastante común en matemáticas, explicar con la intención de enseñar, y que muchos no aprendan nada con sentido. ¿Por qué nuestros alumnos/as no aprenden todo lo que les enseñamos? Es una pregunta muy interesante; igual es que así es muy difícil aprender y cons- truir nada. Debemos intentar olvidar esa vieja creencia de que todo hay que explicarlo(3) , debemos tener la suficiente paciencia pedagógica para dejar que sean nuestros alumnos/as lo que construyan y reconstruyan (las cosas nunca se aprenden de una vez) su conocimiento matemático, incluidos por supuesto los omnipresentes y maltratados algoritmos (suma, resta, multiplicación, división....), y lo conviertan en un conocimiento útil y funcional, pleno de sen- tido y significado y que nos sirve para resolver distintos tipos de problemas en diferentes con- textos educativos. 2. CLAVES DEL TRABAJO CONSTRUCTIVISTA DE AULA Este planteamiento “teórico” de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es el que apa- rece, con mejores o peores palabras, en la mayoría de los proyectos curriculares de los cen- tros de Infantil y Primaria de nuestra comunidad. Creo además que buena parte del profeso- rado que imparte matemáticas comparte estas reflexiones teóricas. Por tanto, podemos dedu- cir que por este camino “no hay nada que rascar” o que aunque rasquemos no es este el lugar que pica. El problema de las matemáticas y el constructivismo no es, por tanto, de definición y concre- ción curricular, sino un problema más real, el de dar clase todos los días y, en definitiva, el de definir cuáles son las claves del trabajo constructivista en la actividad diaria de aula. ¿Cuáles serían estos elementos identificativos del constructivismo aplicado a las matemáticas?, ¿de qué claves estamos hablando?. Sin duda podemos decir muchas y, en ocasiones según el momento, diferentes. Pero yo voy a tratar de enunciar y desarrollar las siguientes: • la racionalización, ajuste y renovación de contenidos matemáticos. • la alfabetización matemática y el sentido numérico. • resolver problemas. • la globalización y las matemáticas para la vida cotidiana. • los juegos. Octubre 2002 • 2002 Urria 115 El Constructivismo y las Matemáticas
- 112. 2.1. Racionalización, Ajustey Renovación Cuando decimos que es necesaria una racionalización, ajuste y renovación de los contenidos matemáticos(4) estamos hablando de: • Disminuir la carga de algoritmos en el aula, tanto en intensidad como en tiempo dedicado a ellos. Parece obvio decirlo, pero se dedica un tiempo excesivo a un tipo de trabajo mate- mático de importancia menor, estando como estamos además en la sociedad de la revolu- ción informática. • Potenciar el cálculo mental, la aproximación y el tanteo y previsión/estimación de resulta- dos de todo tipo de operaciones y problemas matemáticos, como elementos básicos para “amueblar la cabeza” de nuestros alumnos/as. • Favorecer la introducción y el uso continuado de la calculadora desde educación Infantil y a lo largo de educación Primaria. La identificación de números, la asociación tecla, número y voz (en las calculadoras parlantes), su utilización para el cálculo mental, para trabajar el sentido numérico, para resolver problemas a los que no llegamos algorítmicamente o que suponen una pérdida innecesaria de tiempo son sólo algunas de las posibles aplicaciones de aula que tienen las calculadoras. • Llegar a acuerdos en cada ciclo y etapa de cuándo y con qué operaciones utilizar (según el número de cifras y la dificultad) el cálculo mental, cuándo el lápiz y papel y cuándo la cal- culadora. • Dominar funcionalmente (no es imprescindible el dominio conceptual(5) ) las estrategias básicas de cómputo, utilizándolas en diferentes contextos y decidiendo en cada caso el tipo de cálculo a emplear: cálculo mental, de lápiz y papel o de calculadora. • Trabajar los números y las operaciones elementales en relación con la resolución de pro- blemas aritméticos y con contextos propios, y no en fichas descontextualizadas de opera- ciones y más operaciones. Las operaciones o algoritmos si no sirven para resolver proble- mas carecen del más mínimo sentido. • Priorizar el trabajo práctico y oral y la comprensión; primando la competencia frente a la acumulación. • Basar el trabajo de medida en experiencias de medición de longitudes, áreas, capacidades y volúmenes, pesos, ángulos y tiempos, utilizando instrumentos de medida, que pueden ser construidos en la propia aula. Paso imprescindible para que, de un lado, el alumnado pueda construir los conceptos de magnitud y unidad, y, de otro, tener puntos de referencia claros que les sirvan de base para una buena estimación. • Unir en la práctica el trabajo de números y el de medida, procurando disminuir la carga de trabajo en todo lo que se refiere a transformaciones de unidades, fórmulas y ejercicios de cálculo con fórmulas. • Trabajar la matemática del espacio frente a la geometría formal y analítica. Hay que dedi- car más tiempo al desarrollo de la visión espacial y de la intuición geométrica, la orienta- ción y representación espacial, localización y descripción de objetos en el espacio. • Estudiar los objetos de la vida cotidiana, manipular materiales para dibujar medir, descu- brir... , construir, jugar, plantear problemas e investigaciones constituyen la base del trabajo geométrico. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA116 José Ramón Gregorio Guirles
- 113. • Considerar seriamentela disminución de la carga de trabajo mecanicista y sin conexión con la realidad en lo referente a la parte más analítica, abstracta y de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras. • Utilizar informaciones de la vida cotidiana (periódicos, ...) para comentar e interpretar la información que contienen y representarla en tablas y gráficas. Debemos tener en cuenta que la primera cuestión en torno a las matemáticas, es precisamente ponerse de acuerdo en los contenidos que debemos dar, el tiempo que les vamos a dedicar, qué vamos a priorizar, qué es lo accesorio y qué lo imprescindible...(distinguir lo ocasional o puntual de lo sistemático). 2.2. Alfabetización Matemática y Sentido Numérico Es un elemento central el trabajo de alfabetización matemática y sentido numérico, entendi- dos como procesos de construcción y reconstrucción personal y de grupo-aula de los conte- nidos, partiendo de los conocimientos matemáticos que tienen y priorizando la comprensión de todos los procesos. Estoy hablando de: • investigaciones matemáticas. El proceso de enseñanza-aprendizaje ha de ser signifi- cativo y eso exige que el alumno observe, experimente, se haga preguntas, conjeture (proceso inductivo y construcción del conocimiento). Debemos tener presente que la capacidad de aplicar conocimientos matemáticos depende sobre todo, de cómo han sido construidos y utilizados en la escuela. • ambiente de especulación matemática constante como elemento clave en el aprendi- zaje. Frente al ambiente de repetición mecánica de algoritmos, equivalencias decima- les y métricas y fórmulas En este contexto,es un elemento clave la admisión y trata- miento del error : el error como una fuente de información excepcional y como ins- trumento de aprendizaje. • los propios alumnos/as deben ser protagonistas de su aprendizaje, deben construirlo y no ser meros receptores de los conocimientos que les transmite su profesor/a(6) . Esto del descubrimiento, la experimentación, la inducción, la construcción del conocimiento aplicado a los números, el SND y el cálculo ¿CÓMO SE HACE?. ¿ QUÉ EXPERIENCIAS HAY?. A lo largo de la historia cada cultura ha utilizado las Matemáticas de manera diferente para entender y operar en su medio, lo cual ha queda reflejado en las diferentes maneras de mul- tiplicar y dividir a lo largo de la historia(7) . 225 x 15 Egipcios 1 225 2 450 4 900 8 1.800 16 3.375 Octubre 2002 • 2002 Urria 117 El Constructivismo y las Matemáticas Utilizaban la idea de factor, y en realidad en cada multiplicación hacían la tabla del nú- mero a multiplicar. De esta manera soluciona- ron muchos problemas matemáticos.
- 114. SIGMA Nº 21• zk. 21 SIGMA118 José Ramón Gregorio Guirles 10 5 Griegos 200 2.000 1.000 3.000 20 200 100 300 5 50 25 75 2.250 1.125 3.375 2 2 5 Turcos 2 2 5 1 1 1 2 0 0 5 5 3 3 7 5 Incluso hoy en día, no todos tenemos los mismos algoritmos para las operaciones de cálculo. Por ejemplo, los holandeses dividen así(8) (por descomposición /construcción, sustracción y estimación): 3.561: 9 = 316: 12 = 2.770 300x9 240 20x12 861 76 810 90x9 60 5x12 51 16 45 5x9 12 1x12 6 4 3.561:9 = 395 (resto = 6 316: 12 = 26 (resto = 4) Lo cual representa un soplo de aire fresco para el algoritmo de la división, con una potencia- lidad del cálculo mental y del sentido numérico impresionantes. Vemos pues que el cálculo también tiene un proceso histórico que está unido a las culturas y su evolución. La forma de calcular depende de los conocimientos que se poseen, de manera que se controla tanto el proceso del cálculo como resultado. Y los algoritmos cambian en la medida que cambian los conocimientos culturales y matemáticos. PUES BIEN, ESTO NO ES LO QUE HACEMOS CON LOS NIÑOS Y NIÑAS CUANDO LES ENSEÑAMOS DE MANERA ACADÉMICA LOS NÚMEROS, EL S.N.D. Y EL CÁLCULO. Les enseñamos maneras de calcular que no se corresponden con sus conocimientos, y en donde sólo controlan el resultado, pero no el proceso, el cual no entienden. La forma académica que les enseñamos, que es el resultado de siglos de evolución matemática, NO TIENE NINGÚN SIGNIFICADO para la gente que no tenga esos conocimientos. Utilizaban la descomposición de números y la propiedad distributiva, y les sirvió para resolver todo tipo de problemas. Aplican las propiedades de los números y del sistema de numeración decimal.
- 115. La cuestión esenseñar a los niños formas de cálculo que partiendo de sus conocimientos matemáticos les permitan controlar el proceso y el resultado del cálculo que están haciendo, y SEGUIR APRENDIENDO: imaginación y sentido numérico, agilidad y cálculo mental, ... Porque los niños “saben” y tienen conocimientos matemáticos con los que intentan resolver (cómo cada cultura a lo largo de la historia) problemas complejos. Tan sólo tenemos que dar- les la oportunidad de respirar matemáticamente, de especular y de descubrir, de reconstruir conocimientos, dialogando en el aula, conversando y poniéndose de acuerdo (socializando los saberes matemáticos). Esto es ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA, porque los contenidos matemáticos y su lugar en el mundo sólo tienen sentido y valor para los niños cuando los pue- den reconstruir como una comunidad de niños/grupo-aula de aprendizaje. EXPERIENCIAS DE AULA en esta línea de trabajo hay muchas. Quizás las más importantes son las desarrolladas por Constance K. Kamii en su libros Reinventando la aritmética I, II y III. Pero también a lo largo de estos últimos años, los profesores de distintos lugares de Cataluña, Euskadi y otras comunidades han desarrollado un sinfín de experiencias en esta misma línea de trabajo. • ¿Qué pasa cuando una grupo de alumnos/as tiene que identificar, interpretar, comentar... precios y números, pero no conoce y/o no domina el sistema de numeración? • ¿Qué pasa cuando un grupo de alumnos se tiene que enfrentar a la tarea de resolver un pro- blema que se resolvería fácilmente mediante una multiplicación, pero no saben multiplicar? • ¿O, en general, cuándo el problema a resolver implica realizar una operación que no cono- cen algorítmicamente: suma, resta, multiplicación, división...? En todos los casos, estamos iniciando acciones de investigación-acción(9) que suponen un pro- blema matemático de primer orden para nuestros alumnos/as, a los que sólamente mediante la cooperación y la conversación serán capaces de dar respuesta, la cual supone en la prác- tica la reconstrucción del saber matemático. En todos los casos, hay una constante que se repite: las formas básicas egipcias y griegas (ade- más de otras muchas) aparecen y se repiten como formas de cálculo adecuadas a su nivel de conocimientos. En este proceso, además, resulta fácil llegar con los alumnos, por ejemplo, a la forma académica de la multiplicación, pero DESPUÉS DE UN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN PERSONAL PLENO DE SIGNIFICADO MATEMÁTICO. Una ejemplificación de este proceso, siguiendo con la multiplicación y de manera muy esque- mática, sería el siguiente: • ¿Para qué sirve multiplicar? ¿las utilizamos en la vida real? ¿dónde? ¿qué es multi- plicar y cuándo se usa? • Cada uno de los cinco compañeros de clase ha llevado 8 euros a la excursión. ¿Cuánto dinero llevan entre todos? Partimos de que no saben multiplicar, nosotros no explicamos nada e iniciamos pequeñas investigaciones, como 8 x 5 = Y otras con números diferentes: 6 x 7 = .. - es posible que aparezcan soluciones como 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 (8 x 5) o también 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 (5 x 8) - de aquí se deriva nuestra siguiente acción / problema / investigación Realizamos otras invetigaciones similares. • Vamos a construir nuestras tablas Cada uno la construye. Condiciones: no vale mirar resultados en otras tablas acabadas, se pueden hacer grupos y comparar y compartir resultados. Jugamos y estudiamos regu- laridades de la tabla ... Octubre 2002 • 2002 Urria 119 El Constructivismo y las Matemáticas
- 116. • Memorizamos lastablas. - No es una actividad de un día para otro. - La chuleta que representa la tabla hecha por él/ella mismo/a vale como herra- mienta. A la vez que se consulta se aprende. - La misma utilidad tiene la calculadora, siempre que se haga para resultados con- cretos (8 x 5, 7 x 9 ...) - Los juegos de cartas (tipo los que aparecen en los libros de Constance K. Kamii, bingos multiplicativos, ...), son un buen sistema para memorizar. - No saber “las tablas” nunca debe ser un obstáculo para resolver problemas. Las tablas son una actividad de rango menor. • Resolvemos problemas de cálculo mental (que ofrecen un contexto real de resolu- ción), con operaciones de una cifra por otra. Al estilo de los problemas de cálculo mental de David Barba. • Si en el problema anterior somos diez los compañeros que vamos de excursión, ¿cuánto dinero llevaremos entre todos?. Iniciamos otras investigaciones basadas en el problema: 8 x 10 = Y realizamos otras similares: 20 x 6 = ... Sacamos conclusiones como grupo. - ¿Y si somos 25 los que vamos de excursión? Iniciamos una nueva investigación numérica en torno a 25 x 8 = Posibles respuestas: 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 = 200 50 50 50 50 100 100 Forma primitiva pero válida. - .../... - 25 x 8 = 20 x 8 + 5 x 8 = 160 + 40 = 200 COMPRENSIÓN del proceso, que tiene una transferencia positiva con nuestro algoritmo de la multiplicación. - 25 x 8 = 50 x 4 = 100 x 2 = 200 Esto es SENTIDO NUMÉRICO. Es un buen momento para trabajar descomposiciones de números y operaciones: “pon de dos formas diferentes la siguiente multiplicación 15 x 6” • Resolvemos problemas sencillos de lápiz y papel: otras posibles estrategias y soluciones. • En la siguiente salida que hacemos, cada uno de los 25 lleva 10 euros. ¿Cuánto lle- vamos entre todos? Resolvemos el problema con otra investigación numérica sencilla: 25 x 10. Y resol- vemos otras similares. - La podemos hacer con lápiz y papel, utilizando procedimientos similares a los de multiplicar por una cifra - o directamente con calculadora Después intentamos generalizar entre todos los conclusiones. • En la salida de fin de curso, volvemos a ir los 25 de la clase, y ahora nos dejan llevar más dinero, 12 euros cada uno. ¿Cuánto dinero podremos gastar entre todos? Resolvemos el problema con una investigación numérica final 25 x 12 Recordamos las condiciones: - sólo saben multiplicar por una cifra. - nosotros no les enseñamos a hacerlos. - deben buscar formas de llegar a la solución. - trabajo individual y grupal. - conversación y aprendizaje dialógico. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA120 José Ramón Gregorio Guirles ( ( ( ( ( ( (
- 117. Octubre 2002 •2002 Urria 121 El Constructivismo y las Matemáticas Posibles soluciones - 25 + 25 + 25 + 25 + ............................................................ = 300 100 100 100 - 25 x 12 = 50 x 6 = 100 x 3 = 300 Genial su sentido numérico - 25 x 12 = 25 x 10 + 25 x 2 = 250 + 50 Esta fórmula, llena de comprensión numéricas, tiene el valor de intermediar con nuestro algoritmo, y empiezan a aparecer coincidencias sorprendentes. Sigue siendo un buen momento para realizar descomposiciones numéricas: 25 x 14 = 48 x 12 = • “Nuestra” multiplicación, el algoritmo, sería el último paso. Antes debemos INSTI- TUCIONALIZAR el saber aprendido en el aula: sacar conclusiones de cada problema e investigación numérica, comentarlas, escribirlas... El tránsito a nuestro algoritmo de la multiplicación estará lleno de sentido y significado, y de procedimientos y estrategias personales. • Resolvemos problemas de multiplicar: empezamos con ellos y cada investigación numérica debe estar basada en un problema real a resolver. No debemos olvidar ni un momento que el objetivo de “saber multiplicar” es resolver problemas. • Otros ejemplos de operaciones realizadas por alumnos/as cuando no sabían multi- plicar, y que ilustran perfectamente el proceso que estamos comentando (Tomados del cuaderno “Estrategies que utilizam per fer operacions”. C.P. ES PONT, 1r nivell, 2n cicle de Primaria. Curs 98-99: 432 x 5 = 2160 234 x 4 = 936 400 30 2 200 30 4 400 30 2 200 30 4 400 30 2 200 30 4 400 30 2 200 30 4 400 30 2 800 120 16 2000 150 10 10 6 130 2160 100 30 900 8345 x 5 = 41.725 8000 8000 8000 8000 8000 40.000 300 300 300 300 300 1.500 40 40 40 40 40 200 5 5 5 5 5 25 ( ( ( ( 25 x 12 50 250 300
- 118. SIGMA Nº 21• zk. 21 SIGMA122 José Ramón Gregorio Guirles 324 x 6= 1944 300 20 4 1800 + 120 x 6 24 1944 425 x 13= 5525 400 20 5 5200 400 20 5 260 400 20 5 65 400 20 5 400 20 5 5.525 400 20 5 400 20 5 400 20 5 400 20 5 400 20 5 400 20 5 400 20 5 400 20 5 344 x 24= 8.256 344 344 x20 x4 6.880 1.376 6880 +1376 8.256 837 x 345 = 288.765 837 x 300 = 251.100 837 x 40 = 33.480 837 x 5 = 4.185 288.765 Estas experiencias suponen un DIALOGO constructivo de los niños/as con los misterios y cla- ves del SND: ¿cómo podemos escribir los números? ¿cómo podemos calcular? ¿CÓMO ORIENTAR ESTE DIÁLOGO?
- 119. Algunas ideas deltrabajo constructivista en torno a números, SND y cálculo (10) 1.- Cuando hablamos de actividades y situaciones de aula en torno a leer, escribir y compa- rar NÚMEROS, siempre nos aparecen unidos a los números los temas de las cifras y el sistema de numeración decimal: ¿qué hacer con ellos?, ¿qué relación hay entre números y cifras?¿cómo enseñar y cuándo el SND? Por ejemplo, cuando un niño/a escribe el ciento uno como 1001, ó el ciento diez como 10010, esto indica que aunque puede entender lo que significan estos números y saber com- pararlos con otros, lo que no sabe o lo que le falta saber utilizar bien son las cifras(11) (los niños/as utilizan lo que saben para descomponer los números). Otro ejemplo. Cuando un niño/a es capaz de sumar mentalmente 19 y 3, y decir que da 22, está pensando y trabajando con números. Sin embargo si le colocamos frente a la operación (en el primer ciclo de primaria): 19 Es posible que no la sepa hacer, y es que en este caso está trabajando con cifras y con el +3 SND, y además con el algoritmo de la suma. Hasta ahora, nos hemos dedicado a enseñar el código del sistema de numeración mediante la descomposición y el agrupamiento de los números (unidades, decenas, centenas...), expli- cando analíticamente como cada cifra representa a un número diferente. Desde un punto de vista constructivista(12) , ¿cómo debemos plantear el trabajo matemático y la situaciones de aula cuando los alumnos/as todavía no saben cómo se hace?: • No hace falta utilizar los agrupamientos y descomposiciones de números para dominar la lectura y escritura de números. En realidad, la enseñanza del SND es el último paso a rea- lizar, pues supone la parte analítica y racional del sistema de numeración (igual que en la lectura y escritura el análisis de fonemas y letras supone el paso final). • Basta con crear en el aula situaciones funcionales, proyectos, pequeñas investigaciones, tex- tos numéricos… en la que los alumnos/as tengan que intercambiar información y realizar ejercicios de lectura, escritura y comparación de números grandes (números con cifras). • Es necesario embarcar a los niños en proyectos de todo tipo, con diversidad de situaciones, y en un ambiente de clase libre, especulativo e imaginativo/creativo, que sirva para dotar de significado a los números (tamaños, cantidades, grafías...) y operaciones, ... permitiendo la construcción matemática por parte de los niños y de las niñas. Por tanto, una de las cla- ves del trabajo matemático será plantear en el aula este tipo de situaciones interesantes y funcionales: – Elaboración de listas con números en la clase – Carteles con números – Proyectos: ¿dónde hay números y para qué sirven?, ... – Situaciones con materiales como tiques, entradas de cine, facturas... – Tiendas en el aula, proyectos de investigación, ... – Resolución de problemas en contextos reales: situaciones de la vida cotidiana, miste- rios matemáticos, viajes..., resolver una situación problemática para cuya resolución necesitan hacer una resta pero no saben su algoritmo.... • La cuestión no es enseñar números, sino sensibilizar sobre el significado de los números, en aulas no organizadas por los libros de texto. Con el trabajo matemático de especular, pen- sar, discutir con los demás y de aprender compartiendo será suficiente para que se produzca el aprendizaje construido por los propios alumnos/as. Octubre 2002 • 2002 Urria 123 El Constructivismo y las Matemáticas
- 120. • Frente aun problema, los niños tienen que enfrentarse a imaginar lo que puede ser mediante la especulación y la reflexión compartida. Por ejemplo, en un grupo que está intentando aprender cosas de los números y sacar las regularidades del sistema de numeración, empie- zan a aparecer algunas ideas: – si hay más números es más grande. – nos fijamos en el de delante (jerarquía de cifras). – si son iguales nos fijamos en el segundo. – ... sobre cómo se leen... (lo que se lee y lo que no se lee). – entre el 100 y el 200 hay cien números. – si contamos de 1 en 1 cambia el número final. – si contamos de 10 en 10 cambia el 2º número. – si contamos de 100 en 100 cambia el 3º. – ... Si estas conclusiones las escribimos en la pizarra, en un cartel mural o hacemos un cua- derno contando lo que hemos aprendido, estamos realizando el proceso de INSTITUCIONALIZACIÓN DEL SABER aprendido en el aula. Pero en este caso la institu- cionalización o academización de los saberes matemáticos es el resultado final de un pro- ceso de alfabetización matemática pleno de significado. • Debemos, además, tener en cuenta que los niños no aprenden número por número, no aprenden segmentos por segmentos de números. Los niños/as lo que aprender es el LEN- GUAJE NUMÉRICO y por tanto todos los números al mismo tiempo, aprenden las normas y el orden interno del SND. Esto nos sirve para entender que la enseñanza de los números no se puede hacer paso a paso en forma de escalera (en este curso hasta el 10, luego hasta el 1000, ...), sino en forma de red. 2.- Respecto al CÁLCULO, los niños utilizan recursos diferentes para calcular: dedos, manos, papel, lápiz, calculadora. Además, hay que tener en cuenta que es un tipo de trabajo mate- mático diferente, utilizar números y utilizar números con el valor de las cifras. • El algoritmo se puede introducir de modos diferentes dependiendo del método o concep- ción que esté por debajo. En la enseñanza tradicional, se explicaba el algoritmo como un mecanismo para que lo reprodujeran. Esto, como ya hemos analizado es antihistórico y carece de sentido matemático desde todo punto de vista. En la enseñanza activa, se utilizan ábacos, multibases...para mediar en el aprendizaje, pero seguimos en la concepción de que los que sabemos somos nosotros y los niños/as no saben nada. Desde el punto de vista constructivista, hablamos de crear situaciones, especular, investi- gar..., favoreciendo que construyan un valor para las cifras en el cálculo; esto les llevará al algoritmo. La ejemplificación realizada anteriormente con la multiplicación nos puede ser- vir de modelo. • No es lo mismo operar con números grandes que con pequeños, los números pequeños tampoco son la antesala de los grandes. Es un trabajo diferente que hay que hacer desde el principio. Cuando los números son pequeños no aparece la necesidad de usar las cifras (lo pueden resolver, por cálculo mental, proporciones....). Los números grandes obligan a utili- zar un código. Para hacer 366:2 tienen que operar con las cifras. Esto nos lleva al algoritmo de la división. Por tanto, deberemos procurar plantear situaciones funcionales con números grandes que lleven a especular sobre las cifras. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA124 José Ramón Gregorio Guirles
- 121. 3.- El trabajoen el aula debemos procurar centrarlo en aquellos “conocimientos que el niño/a es capaz de usar pero no controla”. El TRABAJO EN GRUPO Y LA CONVERSACIÓN con los alumnos y entre ellos son una herramientas importantes en el trabajo de construir matemáti- cas (aprendizaje dialógico). Teniendo en cuenta, eso sí, que el trabajo constructivista pre- tende que cada uno construya lo máximo en función de sus posibilidades. CONVERSAR es cooperar para aprender, y no se pueden reducir a conversaciones siempre en gran grupo, se tendrán que hacer también en pequeño grupo. Conversar en grupo implica resolver el problema y explicar cómo se ha resuelto. Y esto supone un alto grado de reflexión y de creatividad (contrapuesto a repetitivo o a habilidad mecánica). Sentido Numérico (13) Cuando hablamos de sentido numérico hablamos de: • Hacer cálculos mentalmente y por aproximación siempre que sea posible, y explorar diferentes maneras de encontrar soluciones mentalmente. • Utilizar la estructura de SND para facilitar los cálculos (descomponer y recomponer números) y otras estrategias “personales”. • Sentido común al manejar números en el contexto de rrpp (investigaciones numéri- cas), y capacidad de pensar en las operaciones y problemas de diferentes maneras. • Dominio inteligente de las relaciones y REDES NUMÉRICAS BÁSICAS: mitad = 1/2 = 0,5 = 50% (fracción, decimal, porcentaje); por 10, por 5, por 2; dobles/mitades; des- composiciones numéricas y propiedades de las operaciones ... • Animar a los alumnos/as a explorar, cuestionar, comprobar, buscar sentido y desarro- llar estrategias personales. • Investigación numérica y análisis y discusión de la ideas de los alumnos/as (partici- pación activa): los alumnos/as discuten sus conjeturas y las comprueban (razona- miento). • Tienen la oportunidad de crear algoritmos y procedimientos para hallar una solución. • Centrarse en la COMPRENSIÓN de un determinado problema desde múltiples pun- tos de vista (mejor que abarcar el mayor número de problemas que sea posible). • Priorizar siempre la comprensión de significados matemáticos antes de proceder algorítmicamente (investigación matemática, cálculo mental y sentido numérico antes de los algoritmos y el lápiz y papel). Octubre 2002 • 2002 Urria 125 El Constructivismo y las Matemáticas
- 122. 2.3. Resolver todotipo de Situaciones Problemáticas • Presentadas de diferentes maneras (datos incompletos, completos, inconsistentes, ...), en formatos diversos (gráficas, numéricas, ...), y con diferentes niveles de resolución: facturas, cuentas bancarias, presupuestos de obras domésticas, viajes, gastos con IVA, descuentos, ...; planos, mapas, tablas, gráficos, medir, realizar diseños, ... • Utilizando todo tipo de materiales manipulativos en situaciones de investigación y de construcción de sentido numérico, cálculo, SND, operaciones básicas; instrumentos de medida de longitudes, capacidades, ángulos ..., calibradores, balanzas, cronóme- tros ...; materiales para trabajar el espacio y la orientación (brújulas, mapas, planos, ...); monedas, dados, ruletas, peonzas, para trabajar probabilidad y estadística; ... • Poniendo en juego diferentes estrategias y habilidades de cálculo: aproximación o exactamente, con lápiz y papel, mentalmente o con calculadora. • Trabajando la lógica y poniendo en juego algunas estrategias y procesos heurísticos sencillos (conjeturas, analogías, proceso de marcha atrás, ... y ensayo-error, reformu- lación del problema, comprobación de resultados, ...). • Trabajando la COMPRENSIÓN de textos numéricos y problemas matemáticos (iden- tificar, describir, reconocer, comparar, interpretar ... conceptos, operaciones, infor- maciones -orales, gráficas, escritas, tablas ...-) y la COMUNICACIÓN matemática (oral, escrito, gráfico ...). Aprender a resolver problemas (entendidos como situaciones que no podemos resolver algo- rítmicamente o automáticamente y que precisan de una investigación y un pensar las cosas), es la finalidad básica que debemos perseguir, y todos los demás contenidos matemáticos son herramientas al servicio de esta finalidad. Estas situaciones y actividades de aula (ejercicios, juegos, investigaciones, experiencias, esquemas, mapas, carteles, problemas, ...), deben potenciar la autonomía y el aprender a aprender, y deben permitir realizar un adecuado tratamiento educativo de la diversidad(14) , teniendo en cuenta los diferentes procesos, ritmos y estilos de aprendizaje, y posibilitando diferentes niveles de logro. Así mismo, deben favorecer y crear un clima de respeto, de apren- dizaje entre iguales y de cooperación, claves en la construcción del conocimiento de cada alumno/a. Aunque ya hemos comentado algo obre ello con anterioridad, es muy interesante diferenciar entre problemas que pueden ser resueltos mentalmente y problemas de lápiz y papel. Y merece la pena dedicar una líneas a los PROGRAMAS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO MEN- TAL. La particularidad de estos problemas es que ofrecen un contexto real para resolver una situación matemáticamente sin necesidad de ordenar y resolver con lápiz y papel. Y esto es importante. Existen diversos programas de este tipo, entre los cuales están el programa de David Barba (desde Infantil a 4º de ESO), y el que aparece en los libros de recursos de Primaria de Mare Nostrum. Eso sí, para que realmente sea cálculo mental lo que hacemos, debemos intentar aislar al máximo la variable de cálculo mental siguiendo una serie de normas sencillas: • leemos el problema en voz alta, para que la comprensión lectora no interfiera en el proceso. • lo leemos varias veces, para intentar aumentar la atención. • no vale utilizar lápiz y papel. • hacemos sesiones intensivas de 10 minutos, resolviendo 5 problemas, y un par de veces a la semana. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA126 José Ramón Gregorio Guirles
- 123. 2.4. La Globalizacióny las Matemáticas de y para la vida cotidiana(15) El objetivo es permitir relacionar los diferentes campos de las matemáticas y, a la vez, poner en juego todas las habilidades matemáticas orientadas a la resolución de problemas en un contexto que tiene sentido propio en la vida cotidiana, y en donde las matemáticas ocupan un lugar importante. Es difícil si miramos la realidad con esta clave, no encontrar situaciones globales y de la vida cotidiana en las que no aparezcan las matemáticas. No obstante, es un problema de educación, porque muchos adultos siguen sin ver las matemáticas. Uno de nues- tros trabajos educativos básicos creo que debe ser este, ayudar a nuestros alumnos/as a ver las matemáticas que hay en la vida cotidiana. Para ello podemos: • Utilizar la actualidad diaria de los medios de comunicación, la televisión..., y lo que sucede en nuestro entorno...: quinielas, loterías (primitiva, de navidad...), deportes y sus clasifica- ciones (baloncesto, fútbol, vuelta ciclista), olas de frío, lluvias, subidas de precios e IPC, euros en la vida cotidiana • Plantear situaciones de investigación al respecto: ¿dónde hay números?, ¿para qué sirven?, ¿se puede vivir sin ellos?, la publicidad, la geometría en el arte, en nuestros pueblos, en la naturaleza y en la vida cotidiana (deportes, monedas, bordados...) Existen también muchos ejemplos de materiales interesantes editados en este campo: Matemáticas para la vida cotidiana, de Claudi Alsina; Matemáticas para la vida cotidiana, de Fernando Corbalán; CD Rutas Matemáticas, de Fernando Corbalán, David Barba, Jordi Deulofeu, Anton Aubanel (editado por Cuadernos de Pedagogía). Enseñar Matemáticas de C. Alsina y otros. 2.5. Los Juegos Los cuales, además de potenciar el gusto por las Matemáticas, pueden ser un contexto ade- cuado para: • memorización y aprendizajes numéricos básicos. • calculo mental. • dominio del SND y operaciones básicas. • trabajar la resolución de problemas, buscando y analizando estrategias ganadoras y perde- doras, investigando lo que ocurre si introducimos modificaciones en las reglas. • hablamos de: – juegos de mesa: cartas, cifras y letras, escoba... – juegos de estrategia. – juegos con calculadora. – juegos con ordenador (clics y otras colecciones y aventuras matemáticas). – Cartas, dominós, ábacos, tableros, construcciones, tiendas de contar, medir, pesar, de cálculos aproximados, reparto, clasificaciones, ... En la línea de trabajo constructivista, tienen una importancia relevante tanto en educación infantil como en primaria. Octubre 2002 • 2002 Urria 127 El Constructivismo y las Matemáticas
- 124. 3. A MODODE CONCLUSIONES(16) El constructivismo no sirve para aprender lo mismo de siempre de una manera distinta (no es un método), sino que sirve para aprender cosas distintas (hechas también de manera distinta). La enseñanza constructivista no se basa en diseñar ejercicios, sino en diseñar entornos socia- les de aprendizaje y alfabetización matemáticas, de diseñar un aula compleja, emocionante y especulativa. Todo ello supone, además, renunciar a los libros de texto ( al menos en su uso más tradicio- nal y academicista), y al rol del profesor/a que controla lo que los niños/as tienen que pensar y renunciar a sentirse en el aula el representante académico que todo lo explica... El docente debe ser el que diseña situaciones que generan problemas, organiza el grupo, documenta al grupo lo que están haciendo e institucionaliza el saber. Debemos pensar, para terminar, que sólo se construye lo que se comprende y que sólo se inte- rioriza cuando se comprende. Y esta es la base de todo el aprendizaje matemático. El resto es sumar alumnos al conjunto de analfabetos funcionales, matemáticamente hablando, o como decía un buen amigo, “el resto es desierto curricular”, un largo desierto algorítmico, vacío de oasis y que no lleva a ninguna parte. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA128 José Ramón Gregorio Guirles
- 125. NOTAS 1 El aprendizajede las Matemáticas se contempla como un proceso en construcción más que como un saber cerrado y acabado. 2 “Sólo alimenta la comida que se come uno”. Oído y leído a Jesús Mari Goñi, profesor de la UPV. 3 Ahora con la llegada de los ordenadores, existe un abuso de los juegos y programas matemáticos donde el modelo no cambia: el ordenador explica, el número y la intensidad de los estímulos aumenta ... pero en lo básico sigue siendo un modelo que entiende la enseñanza como una transmisión de conocimientos, y que en lo que se refiere al aprendizaje representa un modelo agotado. ¡Es francamente descorazonador ver a alumnos/as delante del ordenador haciendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones! A renglón seguido es necesario decir que también existen buenos programas de construcción y aplicación matemá- ticas. 4 “La sociedad el siglo XXI en la que vivimos, donde “parece” que se requiere otro tipo de inteligencia que no se la del tra- dicional “trabajador matemático labotioso-aplicador de reglas”. Reducir las Matemáticas a un conjunto de algoritmos es potenciar un tipo de inteligencia y de alumno que está en crisis”. Jesús Mari Goñi. 5 Los niños/as, al igual que hacen los adultos, son capaces de jugar, especular y operar con ideas que no dominan plenamente de forma conceptual: son capaces de diferenciar y de operar con números sin dominar el sistema de numeración decimal, de hacer cálculos sin comprender todos los entresijos algorítmicos ... 6 La actuación del profesorado irá encaminada a propiciar estos procesos, ya que su labor no consiste únicamente en transmitir conocimientos, sino en presentarlos de manera que puedan suscitar conflictos y aprendizaje/construcción por los alumnos/as. 7 Tomado de Carlos Gallego y del artículo “Maneras curiosas de sumar, restar, multiplicar y dividir”, de Luis Segarra (Aula 58). 8 Extraído del artículo de UNO, “Dividir construyendo los números (mentalmente), ¿Una alternariva frente al algoritmo usual de la división?”, de Jean-Marie Kraemer. 9 Éste es uno de los trabajos que hemos realizado a lo largo de los dos últimos cursos con Carlos Gallego. 10 Basado Carlos Gallego. 11 Respecto a interpretación de errores en las grafías, se puede entender de la misma manera escribir el 63, poner 603, en caste- llano o 3203, en euskera. 12 Teniendo en cuenta que el niño ya sabe mucho sobre los números, y que esta manera de proceder es una didáctica pensada para enseñar al que no sabe. 13 Siguiendo a David Barba y Juan Emilio García. 14 No se debe renunciar a desarrollar la capacidad de resolver problemas. Será preciso adecuar la dificultad de los proble- mas. 15 “Identificación, interpretación, análisis y resolución de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen operaciones, mag- nitudes, medidas, situaciones geométricas, espaciales, ...” DCB. 16 Con cariño para todo el profesorado y alumnado, que diariamente trabaja con las matemáticas NOTA FINAL.- Este artículo tiene, en realidad, muchos autores de los que he aprendido, oyendo o leyendo, y a los que he copiado. Entre los más cercanos debo nombrar a Carlos Gallego, David Barba, Juan Emilio García, Jesús Mari Goñi y, por supuesto, Santiago Fernández; personas con las que tengo el placer de poder hablar y aprender con ellas. Octubre 2002 • 2002 Urria 129 El Constructivismo y las Matemáticas
- 126. Nikolai I. Lobachevsky(1792-1856)
- 127. Octubre 2002 •2002 Urria 131 Las Formas en el Plano LAS FORMAS EN EL PLANO Carmen Cobo Musatadi (*) 1. INTRODUCCIÓN Las formas planas pueden tener significado por sí mismas o por su asociación con otras formas iguales, semejantes, distintas, complementarias,… En la asociación de formas planas, adquiere especial relieve la estructuración de la propia forma y la de sus combinaciones dentro de una disposición regular. El estudio de las estructuras ofrece particular ayuda al campo de la expresión artística con for- mas planas y tridimensionales. Se presentan a continuación ideas básicas sobre estructuras planas y modulares y su aplica- ción a la creación de formas bidimensionales (ya que sólo de ellas nos ocuparemos en el pre- sente artículo) de interés en el campo del diseño, del arte y de la expresión plástica. 2. ANÁLISIS DE LAS FORMAS BIDIMENSIONALES Se denomina estructura a la repetición de elementos lineales y planos (o volumétricos), con sentido constructivo, en dos (o tres) dimensiones. Serán estructuras planas las creadas por repetición de elementos formales bidimensionales que modifican el espacio plano. A las estructuras planas creadas por formas poligonales las llamamos redes. Cualquier forma poligonal puede servir de elemento base o módulo de una estructura. Pero si intentamos ado- sar figuras regulares planas con la finalidad de llenar el plano, lo podemos conseguir con un número reducido de figuras. Desde el punto de vista descriptivo podemos considerar única- mente al cuadrado y al triángulo equilátero como formas básicas para la construcción de esas redes elementales. Las formas básicas que generan las estructuras podemos denominarlas como hemos indicado, módulos. Los módulos pueden asociarse con otros semejantes dentro de la estructura o descomponerse a su vez en submódulos. Las formas modulares o submodulares también pueden utilizarse asociadas con ellas mismas o con otras diferentes para generar estructuras de carácter artístico. Pueden así estructurarse infinidad de variaciones. (*) Asesora de Educación Plástica y Visual del Berritzegune de Abando
- 128. 2.1 La redcuadrada Se obtiene mediante el trazado de dos sistemas de rectas paralelas equidistantes, perpendicu- lares entre sí. Su construcción puede realizarse sobre un eje vertical o sobre uno oblicuo. Algunas estructuras generadas a partir de redes cuadradas: 2.2 La red triangular Se obtiene trazando tres sistemas de rectas paralelas de interlineado equidistante e inclinadas 60º entre sí. Puede presentarse en sentido vertical u horizontal. En el primer caso uno de los lados conti- guos sigue la dirección vertical y en el segundo la horizontal. Algunas estructuras generadas a partir de redes triangulares: Una red hexagonal se derivaría de la triangular eliminando las líneas que no componen hexá- gonos regulares. De la misma manera ejerciendo una presión exterior sobre una red cuadrada con dos direc- ciones opuestas, resultará una red de rombos y en particular una red de rombos regulares. El hexágono puede descomponerse en tres rombos, pero éstos no son polígonos regulares. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA132 Carmen Cobo Musatadi
- 129. Por otro ladolas estructuras circulares tienen como base redes triangulares o cuadradas. La distribución más compacta de circunferencias tangentes en el plano nos la da la que tiene como base la red triangular equilátera. 2.3 Redes compuestas Existen redes que se crean a partir de la partición del plano en dos o más tipos diferentes de polígonos regulares, así como otras más complicadas generadas por superposición de otras más simples. Todo esto genera infinidad de redes y desarrolla grandes posibilidades dentro del diseño y el arte. REDES COMPUESTAS POR POLÍGONOS REGULARES Octubre 2002 • 2002 Urria 133 Las Formas en el Plano Partición equilátera regular del plano en cuadrados y triángulos Partición equilátera regular del plano en hexágonos y triángulos
- 130. SIGMA Nº 21• zk. 21 SIGMA134 Carmen Cobo Musatadi Partición equilátera regular del plano en dodecágonos y triángulos Partición equilátera regular del plano en octógonos y cuadrados Partición equilátera regular del plano en hexágonos, cuadrados y triángulos Partición equilátera regular del plano en dodecágonos, hexágonos y cuadrados
- 131. REDES GENERADAS PORSUPERPOSICIÓN DE OTRAS MÁS SIMPLES 3. APORTACIONES DEL LENGUAJE PLÁSTICO Y VISUAL AL CAMPO DE LAS ESTRUCTURAS Teniendo en cuenta que las formas y diseños artísticos utilizan el lenguaje plástico y visual, podremos introducir también efectos como los de positivo negativo, estable dinámico, grueso fino, opaco transparente, grande pequeño,... que enriquecerán la expresión de las realizaciones. Octubre 2002 • 2002 Urria 135 Las Formas en el Plano POSITIVO-NEGATIVO GRUESO-FINO ESTABLE-DINÁMICO SIMÉTRICOS OPACO TRANSPARENTE LISO-RUGOSO DESTACADO-INTUÍDO GRANDE-PEQUEÑO
- 132. Otros ejemplos delo citado: 4. RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE ELEMENTOS PLÁSTICOS Y VISUALES El interés en el campo artístico aumenta en la medida en que se producen variaciones en las estructuras iniciales generando sensaciones de movimiento, ritmos, recorridos visuales dife- rentes,... aportando campos de desarrollo plástico dentro del arte. El resultado de configuraciones realizadas en diferentes estructuras básicas, en las que se per- ciban sensaciones dinámicas se ha resuelto en las artes visuales mediante el uso de líneas cur- vas, oblicuas, discontinuas, contrastes de colores y luces,... Nos estaríamos refiriendo a obras objetivamente estáticas y planas en las que se crean modulaciones ópticas que reproducen efectos de dinamismo mediante elementos gráficos simples. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA136 Carmen Cobo Musatadi POSITIVO-NEGATIVO GRANDE-PEQUEÑA ESTABLE-DINÁMICO SIMÉTRICO GRUESO-FINO LISO-RUGOSODESTACADO-INTUÍDO OPACO-TRANSPARENTE
- 133. TLINKO II deVictor VASARELY1 La deformación de las estructuras posibilita también la consecución de composiciones de alto valor plástico. Dichas deformaciones pueden responder a contracciones, dilataciones, curvaturas,… lo que constituye un campo amplio de experiencias muy útiles para el diseño y el arte en general. Serán, elementos clave en esas deformaciones el tamaño de los módulos y su colocación en la superficie. “Lynt-Mas” de Víctor VASARELY “Creación de volumen” del Grupo FINSIDER2 “Curvas rectas” de Bridget RILEY 3 “Fisura” de Bridget RIDLER Octubre 2002 • 2002 Urria 137 Las Formas en el Plano
- 134. La modificación decolores contribuye al desarrollo plástico dentro del arte con la generación de sensación de profundidad y consecuentemente de volumen en el plano, o la producción de efectos muy diferentes dentro de la estructura inicial. Esto se debe al hecho de que perci- bimos como más cercanos los objetos de colores más saturados y contrastados y como más lejanos los tenues y menos saturados. De la misma manera colores y formas más nítidos se perciben más cercanos. El hecho de que una determinada forma o módulo, puede generar otro ordenamiento repi- tiendo o variando su colocación, es otro aspecto a tener en cuenta. Nos estaríamos refiriendo a casos de adición, alternancia, giro, traslación, ... Cuando se da una sucesión regular de formas visuales se produce un ritmo. La repetición regular del módulo generaría un ritmo uniforme, la introducción de un nuevo módulo en la repetición generaría un ritmo alterno, pueden también generarse ritmos crecientes, decre- cientes,... SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA138 Carmen Cobo Musatadi
- 135. Dentro del campodel arte, los ritmos se han utilizado en superficies, frisos, orlas,... nos encon- tramos así con gran cantidad de elementos ornamentales utilizados en diferentes culturas y lugares a lo largo de la historia del arte. Octubre 2002 • 2002 Urria 139 Las Formas en el Plano ESTILO GRECO-ROMANO Mosaicos de la isla griega de Egina PROCEDENCIA MUESTRA JAPONÉS Plato de cobre esmaltado CHINO Jarrones de bronce
- 136. Otro ámbito dedesarrollo artístico que no podemos olvidar es el de la transformación de los propios módulos para dar lugar en muchos casos a figuras, como ocurre en muchas de las rea- lizaciones de Escher. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA140 Carmen Cobo Musatadi ESTILO PROCEDENCIA MUESTRA MORISCO Azulejos del Alcázar de Sevilla MORISCO Terracotas de la Alhambra EDAD MEDIA Cajas de marfil y madera EDAD MEDIA Mosaicos de la Capilla Real de Palermo PERSA Decoraciones de un manuscrito CÉLTICO Fragmentos de páginas ornamentales EGIPCIO Fondos decorativos en Tebas
- 137. “Tarjeta de felicitación”y “Día y Noche” de M.C. ESCHER (4) 5. CONCLUSIÓN Para finalizar, recalcar que el campo del arte desde las más antiguas épocas históricas ha incuido estructuras y composiciones geométricas en sus realizaciones. Líneas rectas, curvas, triángulos, cuadrados, círculos,... han encontrado reflejo en el arte y también en la artesanía de todas las épocas y culturas, ya que campos como el de la cerámica (que fue uno de los pri- meros), el textil, la joyería,... tanto con relieves, como incisiones o coloraciones, han hecho uso también de elementos abstractos (aunque muchas veces inspirados en formas reales) en sistemas compositivos simétricos, rítmicos, con repeticiones, alternancias, contrastes de color,... 6. PROPUESTAS DE TRABAJO EN EL AULA A continuación se citan algunas de las posibilidades de trabajo en el aula para el área de Educación Plástica y Visual (Educación Secundaria Obligatoria). Las tres primeras pueden tam- bién adaptarse al alumnado del tercer ciclo de la Etapa Primaria en el área de Educación Artística: 1. Crear diferentes estructuras a partir de un módulo elegido. El módulo podría ser una forma dibujada, estampada, o recortada. 2. Ordenar construyendo una estructura rítmica, formas iguales y proporcionales, recor- tadas en cartulina. 3. Crear un módulo y con él una composición modular donde se cree una relación posi- tivo-negativo, intercambiando alternativamente el color de figura y fondo. 4. Realizar composiciones modulares en estructuras deformadas, analizando y valo- rando los resultados obtenidos. 5. Analizar diferentes composiciones modulares del entorno o del Arte intentando des- cubrir su estructura básica por medio de líneas y formas. Octubre 2002 • 2002 Urria 141 Las Formas en el Plano
- 138. 7. BIBLIOGRAFÍA: Ernst, Bruno.“The magic Mirror of M.C. Escher”, Tarquin Publications, Stradbroke 1985 Racinet, A. “Enciclopedia de la Ornamentación”, Editorial Libsa, Madrid 1992 Fuentes Otero, J.L. y González Hernán, M. “Diseño 1”. Ediciones Didascalia, Madrid 1976 Argan, G.A. “El Arte Moderno”. Editorial Fernando Torres, Valencia 1977. NOTAS 1 Vasarely, Víctor (1908-1997). Nació en la localidad húngara de Pécs. Destacado artista de la abstracción geométrica y precur- sor del Op-art. Mostró una fuerte preocupación por la idea del movimiento. Desde 1931 vivió en París, donde trabajó en el mundo de la publicidad a la vez que participó también en movimientos como el Cubismo, Expresionismo y Surrealismo. A par- tir de 1940, evolucionó hacia una abstracción que le llevó al arte cinético, a la búsqueda de efectos ópticos sugeridos por la superposición de tramas, los contrastes de blanco, negro y color,... 2 Compañía Siderúrgica Italiana. 3 Riley, Bridget (1931- ). Nació en Londres y perteneció al movimiento artístico conocido como Op Art. Creó complejas configu- raciones de formas abstractas diseñadas para producir efectos ópticos llamativos. Adquirió gran reputación a través de las obras abstractas que realizó alrededor de 1960. Consistieron en grandes superficies de colores planos y obras en blanco y negro. Posteriormente realizó series de formas geométricas en las que buscaba el movimiento. Su importancia se debe, sobre todo, a su contribución al desarrollo del Op Art. 4 Escher, Maurits Cornelis (1898-1972). Nació en Leeuwarden (Holanda), estudió en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem. Se especializó en grabado. Desde 1922 hasta 1933 vivió en Italia, y después en Suiza y Bélgica, hasta que se asentó definitivamente en 1941 en Baarn (Holanda). Sus primeros grabados representan principalmente paisajes y escenas urbanas. Más tarde realizó elaboradas composiciones en las que se entrelazan siluetas seriadas de animales, pájaros o peces. Hacia 1940 sus imágenes comenzaron a tener algo de surre- alistas, con escaleras que ascienden hacia los pisos inferiores (y descienden hacia los superiores), con agua que sube a los teja- dos,… SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA142 Carmen Cobo Musatadi
- 139. Octubre 2002 •2002 Urria 143 La «paradoja» de Zenón LA «PARADOJA» DE ZENÓN Juan M. Aguirregabiria (*) En el siglo V antes de Cristo, Zenón de Elea planteó una serie de paradojas en defensa de la filosofía de su maestro Parménides, en la que el movimiento y el cambio eran pura ilusión. La más famosa de ellas puede enunciarse como sigue: «Si Aquiles quiere alcanzar a una tortuga que huye de él, deberá primero llegar a donde la tortuga se hallaba cuando Aquiles inició su marcha; pero para entonces la tortuga estará en una nueva posición, que también deberá ser alcanzada por Aquiles antes de atrapar a la tortuga. Como esto se repite una y otra vez, sin fin, Aquiles no llegará a alcanzar a la tortuga.» Al parecer, y puesto que vemos que Aquiles si alcanza a la tortuga, deberíamos concluir que el movimiento es un mero espejismo de nuestros sentidos. Como esta conclusión, cercana al solipsismo, es inaceptable para la mayoría de la gente, en los últimos 25 siglos se han pro- puesto distintos modos de explicar la paradoja y el tema sigue suscitando interés, como demuestra el hecho de que introduciendo las palabras inglesas «Zeno» y «paradox» en un popular buscador de Internet se obtengan más de 6000 documentos que las contienen. Una de las refutaciones más extendidas se ha basado en negar la posibilidad de dividir inde- finidamente el espacio; incluso se ha invocado la física cuántica para asegurar que hay una distancia mínima(1) . Como vamos a intentar demostrar, la existencia o ausencia de una distan- cia física mínima es, en el fondo, irrelevante para resolver la paradoja. Lo que hay que anali- zar es por qué se concluye la imposibilidad de que Aquiles alcance a la tortuga, ya que leyendo con cuidado el enunciado de la paradoja, se observa que en realidad se ha omitido la razón para obtener esa conclusión de las palabras precedentes. Para estudiar las distintas posibilidades de suplir esa premisa oculta vamos a considerar un ejemplo numérico particular que, aunque no resta generalidad a la discusión, permite con- cretarla. Supongamos que Aquiles se mueve a una velocidad constante vA = 1 m/s mientras que la tortuga es realmente rápida y alcanza la velocidad vT = 0.1 m/s Si la ventaja inicial de la tortuga es d0 = 1 m probablemente no hace falta ni haber estudiado cinemática elemental para concluir que Aquiles alcanzará a la tortuga cuando haya recorrido la distancia que ésta ha hecho más la ventaja inicial: d = vAt = vTt + d0. De aquí obtenemos que ambos se hallarán en el mismo punto en el instante t = d0/(vA-vT) = 10/9 s, es decir, cuando Aquiles ha recorrido una distancia total d = 10/9 s Tal vez Zenón pensaba que, como Aquiles había de recorrer un número infinito de intervalos, la distancia total a superar era infinita. Sin embargo, esto no es cierto. La longitud del primer intervalo (entre las posiciones iniciales de Aquiles y la tortuga) es d0 = 1 m; la del siguiente intervalo, d1 = 1/10 m, y la del enésimo dn = 1/10n m. La longitud total en metros a recorrer es, por consiguiente, la que del cálculo cinemático: (*) Profesor del Dpto. de Física Teórica e Historia de la Ciencia. Facultad de Ciencias - Universidad del País Vasco. ϱ 1 10n 10 91 10 1 1-n = 0 ⌺ = = .
- 140. Una forma equivalentede expresar este resultado mediante aritmética elemental es recordar que en el primer intervalo la longitud total recorrida es de 1 m, que llega a 1,1 m tras el segundo intervalo, a 1,11 m tras el tercero y así sucesivamente, con lo que en límite tenemos 1,111 ... m, que como se aprende muy pronto (así era al menos, hace ya bastante tiempo, cuando yo era un crío) es precisamente 10/9 m. Nótese que la suma de la serie geométrica (que puede obtenerse como límite de la suma ele- mental de la progresión geométrica y era desconocida por Zenón) no es en realidad impres- cindible, ya que cualquier suma parcial está acotada por el valor de la distancia total: Aun a falta de conocer la teoría rigurosa, es difícil pensar que uno pueda creer que la cota va a ser superada, incluso si el espacio es indefinidamente divisible. Una cosa que siempre he echado en falta en los análisis de la paradoja que he visto es el estu- dio del otro componente que, junto al espacio, es imprescindible para definir y entender el movimiento: el tiempo. De hecho, podría interpretarse que la premisa oculta en el razona- miento de Zenón estriba en que para recorrer los infinitos subintervalos hace falta un tiempo infinito. Nada más lejos de la realidad: repitiendo para el tiempo lo dicho arriba para el espa- cio, es obvio que el análisis se limita a lo que ocurre antes de 10/9 s, valor que sólo se alcanza en el límite. Podríamos resumir los estudios del tiempo y del espacio diciendo que lo que plantea la paradoja es que Aquiles no alcanza a la tortuga antes de alcanzarla. No parece éste un enunciado que amenace la realidad del movimiento. Lo único que podría requerir un tiempo infinito es el estudio, intervalo a intervalo, del problema en el planteamiento inapro- piado (o cuando menos retorcido) de Zenón. Hay que mencionar el valor que las paradojas de Zenón (que nunca han supuesto una seria amenaza para la realidad del movimiento) han tenido para ayudar a comprender que ciertos aspectos de la matemática (y de la naturaleza física) no pueden entenderse con ideas intuiti- vas. El rigor es imprescindible para definir límites y sumas de series, o para abordar el estudio de cuántos son y cómo se disponen los puntos en un segmento. Sin embargo, no hace falta un gran aparato matemático para decidir el punto concreto de si la paradoja de Zenón pone en cuestión la posibilidad del movimiento. En física cuántica el nombre de “efecto Zenón cuántico” fue propuesto en 1977 por Sidarshan y Misra de la universidad de Texas para designar la propiedad de que una partícula inestable que fuera sometida a medidas sin cesar (de ahí el nombre) no se desintegraría nunca. Aunque este efecto se había confirmado parcialmente en ciertos experimentos, en 2000 Kofman y Kurizki del Instituto Weizmann pusieron en duda la posibilidad de su realización practica, señalando que, en muchos casos, medidas frecuentes podrían estimular la desintegración (“efecto anti-Zenón”), en vez de inhibirla. Se trata de un tema de investigación que sigue inte- resando a mucha gente. 1 Aunque es cierto que a ciertas escalas de distancia (y energía) nuestra intuición no es aplicable en absoluto y debe recurrirse a los conceptos de la mecánica cuántica, la hipotética existencia de una distancia mínima debería ser discutida, presumiblemente, en la teoría cuántica de la gravedad, que está por hacer. En cualquier caso, no se entiende por qué haría falta física microscó- pica para entender un fenómeno macroscópico con energías muy alejadas del dominio de aquélla. Incluso hemos hallado quien aduce que sólo puede explicarse con ayuda de la Relatividad Especial de Einstein, como si el gran AquiIes pudiera alcanzar las velocidades comparables a la de la luz que son necesarias para observar fenómenos relativistas. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA144 Juan M. Aguirregabiria ϱ 1 10n 10 9 111 ... 11 100 ... 00n = 0 ⌺ = 1.11 ... 11 = < .
- 141. Octubre 2002 •2002 Urria 145 La Matemagia Desvelada LA MATEMAGIA DESVELADA (*) por Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute (**) ÍNDICE INTRODUCCIÓN Evolución histórica. 1. MENTACÁLCULOS 1.1. Calendario perpetuo. 1.2. Números cíclicos. 1.3. Otros números mágicos. 2. ÁLGEBRA CURIOSA 2.1. Cálculo sorprendente. 2.2. Cálculos mágicos. 2.3. Curiosidades aritméticas. 3. GEOMETRÍA RECORTABLE 3.1. Puzzles geométricos. 3.2. La banda de Möbius. 4. PROBABILIDAD VENTAJOSA 4.1. Jugador de ventaja. 4.2. Sucesos casi seguros. 4.3. Juegos de estrategia. 5. CONCLUSIÓN 6. DESIDERATUM 7. REFERENCIAS (*) Si la matemática es la reina de las ciencias y la magia es la reina de las artes, la matemagia será… la reina de las ciertes. (**) Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco. Departamento de Matemáticas. Juan Carlos Ruiz es Presidente de la Asociación de ilusionistas de Alava.
- 142. INTRODUCCIÓN ¿Conoces las cuatrooperaciones básicas? Piensa un número. Multiplícalo por dos. Suma diez al resultado. Divide por dos. Por último, réstale el número pensado. Entonces, el número obtenido es ... cinco. Este simple ejercicio mental no puede sorprender a quien conozca los rudimentos del álgebra. Del mismo modo que la adivinación de sucesos futuros puede no sorprender a nuestros des- cendientes lejanos si logran desentrañar los secretos de la cuarta dimensión. Pues de eso trata un aspecto muy común de la magia: de lograr crear una sorpresa mediante la utilización de mecanismos más o menos ingeniosos, más o menos técnicos, que sean des- conocidos para las personas a quienes se dirija la ilusión. Mientras no pueda explicarse dicho mecanismo se podrá hablar de magia. Cuando se conozca el procedimiento (también llamado secreto), la magia se convierte en simple entretenimiento. Incluso si no se conoce el secreto pero puede vislumbrarse algún método posible, no se verá como magia. Es decir, el experi- mento, por simple que sea, debe estar arropado por un aura de misterio a fin de crear el ambiente mágico adecuado. No es nuestro objetivo dar un curso acelerado de técnicas mágicas sino el de mostrar algunas propiedades matemáticas en que se basan ciertos trucos (mejor llamados efectos mágicos) uti- lizados por los magos en sus presentaciones. Dejamos al lector interesado el buscar revesti- mientos adecuados que disimulen o alteren dichas leyes matemáticas con el fin de provocar sorpresa en el transcurso de su realización. Veamos otro ejemplo de efecto mágico utilizando propiedades matemáticas: Con una calculadora de bolsillo se pide a un espectador que escriba un número (de una cifra), que lo multiplique por 3, el resultado por 7, este último por 11, luego por 13 y, por fin, por 37. ¿En qué consiste la sorpresa final? ¿A qué es debido? Otra versión de una idea similar consiste en lo siguiente: Hacer escribir en la calculadora un número de tres cifras y, a continuación, el mismo número. De este modo se obtiene un número de seis cifras. Después sugerir que el número obtenido es múltiplo de 7, de 11 y de 13. Pero, como sorpresa final, el número obtenido después de dividir por dichos divisores vuelve a ser el de partida. En estos ejemplos se utilizan descomposiciones en factores primos que comparten la sorpresa con la estética de los resultados: no es del dominio público que los, relativamente poco agra- ciados, números 3, 7, 11, 13 y 37 sean los factores primos de 111111, número agradable donde los haya. Tampoco es algo que tengamos en cuenta muy a menudo que si multiplicamos un número de tres cifras por 1001 se obtiene el mismo número dos veces. Describiremos a lo largo de estas líneas algunos principios y propiedades matemáticas en las que se basan los magos (a quienes, a partir de ahora, llamaremos matemagos) para crear una gran variedad de efectos. Dejamos al mago la tarea de ocultar dichos principios en la presen- tación de sus juegos permitiendo así que siga vivo el lema de la magia: ILUSIÓN Y SORPRESA en vez de DESILUSIÓN Y DESENGAÑO. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA146 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 143. Evolución histórica Magia ymatemáticas han sido compañeros de viaje durante mucho tiempo. Tanto los magos como los matemáticos están motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio esencial del mundo. Los magos muestran tales hechos sorprendentes mientras que los mate- máticos tratan de explicarlos: la ciencia de la ilusión versus la ilusión de la ciencia. El famoso escritor de ciencia ficción Arthur Clarke opinaba que cualquier tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. En la época pitagórica, los números se relacionaban más con cualidades místicas que con el ilusionismo (ver, por ejemplo, [MG] en la lista de referencias al final del artículo). Descubrimientos, como el que los tres números consecutivos 3, 4 y 5 forman un triángulo rec- tángulo, o que con los nueve primeros números se puede formar un cuadrado mágico, han fomentado la creencia de que algunos números tienen poderes mágicos. El gran avance en el estudio de los números y sus propiedades ha propiciado que las comunidades más cultas hayan dejado de creer en tales propiedades místicas y se conformen con utilizarlos en un ámbito más folclórico. El remanente de épocas pasadas permite a los magos utilizar en sus presentaciones el lenguaje ocultista relativo a números de la suerte o números asociados a cada persona, operaciones con los números que corresponden al día de nacimiento, o al número de calzado, etc., para llegar a una predicción. En otra época, la alquimia buscaba convertir plomo en oro; los curanderos obtenían propie- dades curativas de las plantas; ciertos procesos químicos colorean el agua para darle aspecto de vino u otros licores. Aún hoy en día causa sorpresa ver que un líquido cambia de color sucesivas veces sin manipulación aparente. Más recientemente, los avances tecnológicos ofrecen muchas herramientas que, utilizadas convenientemente, permiten conseguir efectos sorprendentes, inexplicables o, incluso, mila- grosos. Uno de los primeros libros dedicados a mostrar principios matemáticos aplicados a la mecá- nica se debe a John Wilkins (ver [Fa]) quien, en 1648 publicó Mathematical Magick, or the wonders that may be performed by mechanical geometry siendo uno de las más fáciles, entre- tenidos y útiles de las matemáticas. Fue el primer trabajo sobre dispositivos mecánicos escrito en inglés, pero no un texto de mecánica en sentido tradicional. El libro consta de dos secciones: Archimedes: o dispositivos mecánicos, que incluyen las balanzas, palancas, ruedas, poleas, cuñas, tornillos, proyectiles y catapultas; y Daedalus: o movimientos mecánicos, en los que se estudian los autómatas, carros marinos, relojes, submarinos y movimiento perpetuo (del que el propio autor dice que no parece muy probable). El objetivo del libro es el de mostrar al público profano los principios básicos en que se basan las distintas máquinas que producían movimientos mecánicos, para que no pudieran ser inter- pretados como basados en poderes ocultos de quienes se dedicaban a mostrarlos en público. En esa época, quien no estuviera familiarizado con las leyes de la mecánica tenía tendencia hacia lo esotérico para justificar aquellas curiosidades técnicas. Las grandes ciencias aplica- das de la antigüedad, como la astronomía, estática, mecánica y óptica, habían sido inaccesi- bles a todos los públicos salvo a los iniciados que las habían estudiado. Octubre 2002 • 2002 Urria 147 La Matemagia Desvelada
- 144. A lo largode los tiempos algunos matemáticos han logrado explotar las propiedades de los números para sorprender y entretener a públicos profanos. En el siglo XIX Charles Dogson (más conocido por su sobrenombre Lewis Carroll) ya realizaba trucos y puzzles numéricos uti- lizados hoy en día por los magos. En el siglo XX ocurrió el despegue de la magia con cartas (cartomagia) como disciplina inde- pendiente de la magia. En lo que se refiere a la recopilación de efectos basados en principios matemáticos (matemagia), podemos destacar como referencias históricas los libros de Martin Gardner [Ga], publicado en 1956, y de William Simon [Si] en 1964. Otros magos que se han destacado por sus aportaciones a la magia matemática son Karl Fulves y Bob Longe [Lo]. Hoy en día, casi ningún autor de literatura mágica se resiste a publicar algún efecto basado en pro- piedades matemáticas pues no requieren habilidad técnica pero sí una cuidada presentación que logre crear un ambiente de incredulidad en los espectadores. Aunque la mayor parte de efectos mágicos basados en propiedades matemáticas son claros para los propios matemáticos, sus secretos están fuera del alcance de la mayoría de la gente; de modo que conocer algunos de tales secretos proporcionará grandes posibilidades de crear la impresión de verdadera magia ante las mentes de estos grupos. Una de las más antiguas curiosidades, conocida desde la antigua China, corresponde al cua- drado mágico: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Esta disposición de números recibe este nombre pues la suma de los números que están en la misma fila, la de los que están en la misma columna y la de los de la misma diagonal es siempre 15. Esta matriz es bastante conocida por lo que su aparición no causa sorpresa al efectuar con ella algún entretenimiento mágico. Por ello, los magos con algún conocimiento matemático utili- zan variantes menos conocidas que resulten más mágicas. Por ejemplo, 11 66 98 89 99 88 16 61 86 91 69 18 68 19 81 96 es un cuadrado donde cada fila, columna y diagonal suman 264. La sorpresa viene cuando giramos el cuadrado boca abajo y se obtiene otro cuadrado mágico, donde nuevamente la suma de las filas, columnas y diagonales es 264 (pensemos que el “1” al girarlo vuelve a ser “1”). ¿Cuál es la razón de esta propiedad? La simetría de la matriz con respecto a la diagonal prin- cipal no es la que se acostumbra en matemáticas pero sí lo es en un sentido gráfico. Existe también un cuadrado mágico, cuya construcción dejamos al lector interesado, también de tamaño 4, de modo que, tanto su giro de 180 grados como su reflexión especular (visto a SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA148 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 145. través de unespejo) siga siendo un cuadrado mágico (para lo cual debemos representar los números tal como se haría por una calculadora). Esa es la magia de los números que sorprende y entretiene a los aficionados. 1. MENTACÁLCULOS Siempre han sido muy apreciados quienes son capaces de realizar operaciones complicadas en un corto espacio de tiempo. El misterio en el que se rodean estos personajes hace pensar en la adquisición de una poderosa memoria (lo que es cierto en la mayoría de los casos) y en la posesión de ciertos poderes ocultos (de los que podemos creer o no creer). En este apartado nos asomaremos a unos ejemplos con los que se puede sorprender a una gran variedad de público pero que también son susceptibles de motivar el estudio de las propiedades aritméti- cas que se esconden tras estos ejercicios mentales. 1.1. Calendario perpetuo La unidad de medida de los calendarios actuales es el día, tiempo que tarda la Tierra en girar alrededor de su eje. A su vez, los días se agrupan en semanas (duración de los ciclos lunares), meses (tiempo de giro de la luna alrededor de la Tierra) y años (tiempo de giro de la Tierra alrededor del Sol). Sin embargo, el giro de la Tierra alrededor del Sol no es múltiplo entero de un día: exacta- mente son 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, es decir 365,2421896698 días. Este hecho es el origen de las sucesivas reformas en los calendarios occidentales. En el año 46 a.C. Julio César instituyó un calendario con 365 días con un día adicional cada cuatro años. El error acumulado a lo largo de los años hizo que el Papa Gregorio XIII modificara el calen- dario en 1.582, eliminando alguno de los años bisiestos, según un ciclo de 400 años: los múl- tiplos de 100, excepto los múltiplos de 400, no son bisiestos. Esta distribución da lugar a que ciertos días de la semana tengan mayor probabilidad que otros en caer en algún día determinado del mes; por ejemplo, el día 13 es más probable que sea viernes a cualquier otro día de la semana. Esto también indica que el domingo es más proba- ble que los demás de ser el primer día del mes. Como el calendario puede verse como un sistema posicional de números, existen fórmulas que permiten calcular el día de la semana que corresponde a un día determinado del calen- dario gregoriano. Si eres capaz de aprenderla, la siguiente es una de las más sencillas: S = D + [2,6 M - 0,2] + A + [A/4] + [C/4] - 2C (mód 7), (es decir, el resto de la división por siete de la expresión dada), donde [.] representa la parte entera del número (el mayor entero que es menor o igual a dicho número) y S es el día de la semana correspondiente al día D del mes M del año 100 C + A, según la siguiente corres- pondencia: Marzo = 1, Abril = 2, ..., Enero = 11 (del año anterior), Febrero = 12 (del año anterior). Domingo = 0, lunes = 1, ..., sábado = 6. Octubre 2002 • 2002 Urria 149 La Matemagia Desvelada
- 146. Existen versiones simplificadasque permiten realizar la operación casi inmediatamente, dando la impresión de poseer una memoria prodigiosa. Por ejemplo, si se trata de averiguar el día de la semana correspondiente a una fecha del calendario gregoriano, bastará memori- zar la siguiente secuencia de números: (0, 3, 3, -1, 1, 4, -1, 2, -2, 0, 3, -2) y asignarlos a cada uno de los meses del año (en el mismo orden: enero = 0, febrero = 3, ..., diciembre = -2). Las operaciones a realizar serán: 1. Sumar las dos últimas cifras del año a la parte entera de su división por cuatro. 2. Sumar a lo anterior el día del mes. 3. Sumar a lo anterior el código del mes. Recordemos: 4. Añadir el número clave del siglo, según la siguiente tabla: 0 1900 + 400 n 2 1800 + 400 n 4 1700 + 400 n 6 1600 + 400 n 5. Calcular el resto de la división de este resultado por siete. 6. Asignar el día de la semana al último resultado según la secuencia citada: Domingo = 0, Lunes = 1, ..., Sábado = 6. Por ejemplo, para calcular el día de la semana que corresponde al 11 de Noviembre de 1958, las operaciones a realizar son: (58 + 14 + 11 + 3) = 86; como el resto de su división por 7 es 2, el día de la semana fue MARTES. Observación: Si el año fue bisiesto (lo que se conoce cuando su división por cuatro es exacta) y se trata de un día de Enero o Febrero, al resultado final se debe restar un día (si, por ejem- plo, la operación da como resultado Jueves, se trata de un Miércoles). Otra observación: Como el resto de la división de la suma de dos números coincide con la suma de los restos de la división de cada número, se simplifican (y aceleran) las operaciones si se van sustituyendo los sumandos por los restos de su división por siete. Última observación: Un algoritmo muy extendido fue ideado por el famoso matemático John Conway, de quien es conocida su afición por establecer principios matemáticos generales basándose en simples rompecabezas. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA150 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute E F M A M J J A S O N D 0 3 3 -1 1 4 -1 2 -2 0 3 -2
- 147. Como complemento alo anterior, describiremos un sencillo método para descubrir la edad de una persona. Se le pide a una persona que escriba en un papel su edad. Debajo de dicho número debe escribir el número mágico 90. A continuación sumar ambos números. Del resultado obtenido debe tachar la última cifra de la izquierda y trasladarla bajo el último número escrito. Por último realizará la suma entre estos dos números. Al conocer el resultado final, el mago deducirá inmediatamente la edad de dicha persona. La explicación es muy sencilla pues basta repetir los pasos anteriores con un número arbitra- rio. Si la edad es x, las operaciones son x + 90 – 100 + 1 = x - 9. Basta pues sumar 9 al resultado final para conocer x. También con un calendario de bolsillo es posible crear efectos interesantes basados en senci- llas propiedades numéricas. Por ejemplo: De un calendario cualquiera pedimos que una persona elija el mes que desee. Después debe seleccionar en secreto cuatro días que formen un cuadrado. Sólo conociendo el resultado de la suma de dichos números, podremos decirle rápidamente de qué núme- ros se trata. Para obtener dichos números debes hacer los siguientes cálculos: Divide el número dado por cuatro y réstale cuatro. Ese será el menor de los días. El resto se obtiene simplemente sumando al primero 1, 7 y 8, respectivamente. Fórmulas similares se pueden conseguir para cuadrados más grandes, de tamaño 3 x 3 ó 4 x 4. 1.2. Números cíclicos Fijémonos en la siguiente propiedad: 142.857 x 1 = 142.857 142.857 x 2 = 285.714 142.857 x 3 = 428.571 142.857 x 4 = 571.428 142.857 x 5 = 714.285 142.857 x 6 = 857.142 142.857 x 7 = 999.999 Con un poco de atención se puede apreciar que las sucesivas multiplicaciones del número por los números del 1 al 6 dan como resultado una permutación del número de partida. Además, la multiplicación por 7, produce el número formado por seis nueves. Esta propiedad cíclica es suficiente para que identifiquemos al número 142.857 como número mágico. Algunas explicaciones para justificar los resultados anteriores pueden confundir aún más al público inexperto. Por ejemplo: • Si colocamos las cifras del número 142857 en los vértices de un hexágono y en sen- tido horario, la suma de dos vértices diagonalmente opuestos es siempre 9. Octubre 2002 • 2002 Urria 151 La Matemagia Desvelada
- 148. • Si hacemosla operación 1/7 se obtiene un número decimal periódico cuyo periodo es sorprendentemente 142857. Un buen ejercicio de matemática elemental consiste en encontrar otros números cíclicos. Sólo diremos que el aquí expuesto es el menor de ellos y que el siguiente se obtiene mediante la división 1/17, cuyas 16 cifras son 0588235294117647. Lo anterior sugiere a los magos realizar la siguiente adivinación matemágica: Se muestra una cinta de papel en cuyo interior hay escritas seis cifras. Un espectador nombra un número del uno al seis y el matemago le indica que multiplique dicho número por el número mágico 142857. Previamente, el matemago corta la cinta por algún lugar. Al realizar la operación se muestra la cinta en donde está escrito el resultado de la multiplicación. Como se conoce de antemano el resultado de la multiplicación, se entiende que la cinta se debe cortar por el lugar adecuado. Juego numerológico Otro experimento bastante conocido consiste en la siguiente predicción. El matemago anuncia a los espectadores que es capaz de sumar varios números de forma sorprendentemente rápida: incluso antes de ser nombrados todos los números, él ya ha conseguido sumarlos. Para ello se dispone a escribir en una pizarra o una hoja de papel varios números de cua- tro cifras: el primero de ellos lo elige arbitrariamente un espectador. Inmediatamente el matemago escribe en la parte inferior u otro lugar, invisible para los espectadores, otro número, que será la suma total. A continuación, un segundo espectador nombra un segundo número. Debajo de éste, el mago escribe un tercer número de cuatro cifras. Otro espectador elige otro número y el mago escribe debajo de él un quinto número. Al realizar la suma de los cinco números escritos, el resultado coincide con el previa- mente anunciado por el matemago. Para descubrir la estrategia seguida, pensemos que el matemago escribe dos de los sumandos, llamémosles x e y, después de conocer otros dos sumandos elegidos libremente, que denota- remos por a y b. Basta hacer que x + a = y + b = 9999 para que, si el quinto sumando lo deno- tamos por z, la suma de los cinco números sea z + 19998. Dejamos al lector los detalles que permiten escribir sin titubeos sus números. A otro nivel, se puede plantear el siguiente ejercicio de suma rápida. Se propone a un espectador que escriba dos números, uno debajo de otro. A continua- ción, debajo de los anteriores, escriba otro número que sea suma de los anteriores. Debe continuar el proceso de escribir números que sean suma de los dos anteriores a él hasta que haya escrito diez números. El matemago es capaz de anunciar la suma de los diez números de forma casi inmediata. Como se puede comprender, la sucesión de números es una generalización de la llamada sucesión de Fibonacci y se puede demostrar que la suma de cualesquiera diez términos con- secutivos es igual a once veces el séptimo término de la sucesión, propiedad poco conocida en general. Por otra parte, una buena estrategia para multiplicar rápidamente un número por 11 es la siguiente: SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA152 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 149. Colocar la primeracifra del número; a continuación, la suma de la primera y segunda cifras; a continuación la suma de la segunda y tercera cifras; así sucesivamente, hasta colocar como última cifra la última cifra del número. Supercuadrado mágico Pide que nombren un número cualquiera, mayor que 20 (que denotaremos por N), y anuncia que la simbiosis entre matemática y magia puede conseguir que dicho número se manifieste en una gran cantidad de lugares de un cuadrado formado por números. ¡Conseguirás que el número elegido aparezca en el cuadrado más de treinta veces! Escribe rápidamente el cuadrado siguiente, donde todos los números son independientes de la elección excepto los números en negrita, que se escribirán según una sencilla regla: en la posición (1, 1), la diferencia N - 20; en la posición (2, 3), el número N - 21; en la posición (3, 4), N - 18; y en la posición (4, 2), N - 19. Por ejemplo, si el número elegido es N = 31, la tabla quedaría así: A continuación escribimos todas las formas posibles de elegir cuatro números del cuadrado cuya suma es 31. Se comprueba que no sólo es un cuadrado mágico, pues la suma de las filas, las columnas y las diagonales es constante, sino que la suma aparece una cantidad sorpren- dente de veces, muchas de ellas asociadas a figuras geométricas especiales, como los trape- cios que se observan en la última fila. Octubre 2002 • 2002 Urria 153 La Matemagia Desvelada 11 1 12 7 11 8 10 2 5 10 3 13 4 12 6 9 11 1 12 7 11 11 5 4 11 8 3 9 11 8 10 2 1 8 10 12 7 10 10 4 5 10 3 13 12 10 3 6 1 11 13 6 4 12 6 9 7 2 13 9 12 2 5 12
- 150. Este ingenioso ejemplode construcción, y el que explicamos a continuación, constituye una perfecta excusa para estudiar la estructura de estos entes matemáticos, de interés no sólo recreativo sino como aplicaciones a diversos problemas prácticos. La obra [CF] ofrece un estu- dio exhaustivo de los cuadrados mágicos, su construcción y aplicaciones. Anticuadrado mágico Pide a un espectador que elija un número cualquiera. A continuación construyes un cua- drado 4 x 4 y lo muestras. El espectador debe elegir y rodear con un círculo un número cualquiera del cuadrado. A continuación tacha la fila y la columna que contienen al número. Después elige otro número no tachado y procede de la misma forma. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA154 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute 11 1 11 8 11 7 11 2 11 2 5 13 11 12 5 3 11 7 10 3 12 7 10 2 1 12 8 10 1 12 12 6 1 7 10 13 11 2 12 6 5 10 4 12 5 13 4 9 8 10 10 3 11 10 4 6 1 12 5 13 3 13 6 9 10 3 12 6 11 7 4 9 8 2 12 9 8 10 4 9
- 151. Realiza la mismaacción otras dos veces y obtiene cuatro números. Se le pide que sume los números señalados y el resultado final coincidirá con el número previamente elegido. El procedimiento para construir el cuadrado es el siguiente: Descompón el número elegido en ocho sumandos, sin importar su valor. Supongamos por ejemplo que el número elegido es el 35 y realizas la operación: 35 = 4 + 6 + 2 + 7 + 4 + 8 + 3 + 1. Haz una tabla de sumar con dichos elementos, del modo siguiente: Elimina la primera fila y primera columna y se obtiene una tabla con las características indi- cadas en el efecto, es decir la suma de cuatro números elegidos de modo que no haya dos de ellos en la misma fila y columna es 35. Observación: Este mismo efecto puede realizarse con el calendario de bolsillo pues cualquier cuadrado de tamaño 4 x 4 formado con cualquier mes verifica la misma propiedad “antimá- gica”: la suma de los números elegidos de modo que todos ellos pertenezcan a distinta fila y columna es igual a 2n + 8, donde n es el elemento de la esquina superior izquierda del cua- drado. 1.3. Otros números mágicos. El número 37037 El número 37037 también tiene propiedades mágicas: al multiplicarlo por cualquier número menor o igual a 27 da como resultado un número de seis cifras formado por dos bloques igua- les. La razón de esta propiedad se comprende fácilmente al escribir la descomposición en fac- tores primos de 37037. Un programa hecho en Java que muestra esta propiedad se puede ver en [By]. La calculadora En una calculadora de bolsillo, donde los dígitos están distribuidos según un cuadrado: se da a elegir una fila, columna o diagonal. Con esos dígitos, escribir un número de tres cifras. A continuación, repetir el proceso con otra fila, columna o diagonal y multiplicar los dos números seleccionados. Si se nombran todas las cifras del resultado excepto una, el matemago es capaz de adivinar la cifra que falta. Octubre 2002 • 2002 Urria 155 La Matemagia Desvelada + 4 6 2 7 4 8 10 6 11 8 12 14 10 15 3 7 9 5 10 1 5 7 3 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 152. ¿Cómo se lograhacer esto? Como indicación sugerimos que se compruebe que cualquier número escrito bajo las condiciones citadas es múltiplo de 3. Por tanto su producto será múl- tiplo de 9 y no debe ser difícil averiguar una de sus cifras cuando son conocidas todas las demás. Predicciones numéricas Escribe en un papel el número 18 (sin dejarlo ver) y anuncia que será tu predicción. Pide a alguien que escriba un número de tres cifras y, debajo de él, el mismo número con las cifras invertidas. A continuación, que reste el menor del mayor y, por último, que sume las cifras del número obtenido. Abre la predicción y ¡asombra a todos! Sumas y productos El siguiente experimento puede realizarse incluso telefónicamente. Una persona nombra y escribe en una hoja de papel una lista de n números (para sim- plificar, supongamos que son de una cifra). Después realizará secretamente los siguien- tes cálculos: 1. Elegir al azar dos de los números A y B y sustituirlos por el número A x B + A + B. 2. Repetir la operación anterior con el conjunto de n-1 números restantes. 3. Continuar el proceso anterior hasta que sólo quede un número en la lista. Incluso antes de terminar el proceso, puede saberse el número resultante. Será difícil sospechar que el número final no depende del orden en que se elijan los números de la lista. Por ejemplo, si los números iniciales son 8, 1, 3, 4, 2, el resultado final es 1079, independientemente de los números elegidos en cada paso. Un buen ejercicio consiste en demostrar que, si la lista de números es {X1, X2, ..., Xn}, el resul- tado final será (X1 + 1) (X2 + 1) ... (Xn + 1) - 1. Prodigio en cálculo Podemos impresionar a nuestros amigos y conocidos demostrando nuestras habilidades para el cálculo. Solicitamos que se nos diga un número de cuatro cifras. Supongamos que nombran el número 4825. Lo anotamos dos veces en un papel: 4825 4825 A continuación pedimos que se nos diga otro número de cuatro cifras. Supongamos que sea el 3625. Lo escribimos debajo del número de la izquierda: 4825 4825 3625 Añadimos a continuación un número de cuatro cifras anotándolo debajo del número de la derecha. Escribimos “por ejemplo” el número 6374. Nos quedaría así: 4825 4825 3625 6374 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA156 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 153. Ahora demostraremos quesomos capaces de efectuar las dos multiplicaciones y dar el resultado de la suma de ambos productos antes que nadie. Ellos pueden incluso utilizar una calculadora. Para empezar, el número que escribimos al final no es arbitrario: es el que resulta de restar 9999 del último número nombrado, en nuestro caso 9999 - 3625 = 6374. Para obtener rápidamente el resultado indicado, procederemos como sigue: a) Restamos 4825 - 1 y escribimos el resultado 4824. b) Restamos 9999 - 4824 = 5175 y escribimos el resultado a la derecha del anterior 48245175. Este número es la suma de los dos productos. Dejamos al lector interesado en el cálculo la justificación de esta regla. 2. ÁLGEBRA CURIOSA 2.1. Cálculo sorprendente Algunos ejemplos, como el que mostramos a continuación, pueden hacer que un niño vea como magia pero no sorprenda a un adulto. En otras ocasiones se produce el efecto contra- rio, pues los adultos tienen una visión de la realidad que les impide ver como normal hechos que pueden ser aceptados por los niños. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta y rodeamos un círculo máximo con una cinta. A continuación, añadimos a la cinta un metro con lo que, en comparación con su longitud total, puede considerarse una ínfima parte de ella. Si nos preguntamos ahora qué holgura dará la nueva cinta al rodear el círculo terrestre, la res- puesta intuitiva más generalizada sería que dicha holgura iba a ser también despreciable y no iba a permitir el paso de ningún objeto de tamaño regular. Así pues, algunos considerarán mágico el hecho de que el espacio entre la cinta y la superfi- cie terrestre permite el paso de millones de ratones al mismo tiempo. El cálculo real para comprobar este hecho es sorprendentemente sencillo: Si llamamos r al radio de la Tierra, la longitud de la cinta es L = 2 π r. Al añadir un metro a la cinta, su nueva longitud será L + 1 = 2 π (r + s), donde r + s es el nuevo radio. Al resolver el sistema, se obtiene que s = 1 /2π ~ 16cm. Está claro que, en toda su longitud, este espacio permite el paso de una legión de ratones. Es de esperar que este hecho no sorprenda excesivamente a los niños, pues no tienen con- ciencia de la magnitud del tamaño de la Tierra ni de cantidades excesivamente grandes. Comentemos otras situaciones donde el resultado final no corresponde con nuestra intuición: una hoja de papel tiene un grosor aproximado de 0.1mm. Si doblamos la hoja por la mitad, el grosor sería ahora de 0.2mm. Un nuevo doblez haría que el grosor pasara a ser de 0.4mm. ¿Podemos estimar el grosor del papel después de hacer 50 dobleces? Pues, por mucho que nos queramos aproximar, es difícil de creer que el grosor del papel sería tal que la luz tarda- ría más de seis minutos en recorrerlo. Un último caso: supongamos que una persona conoce determinada noticia a las doce del mediodía. Después de quince minutos, ya la ha contado a tres personas más. Cada una de ellas la cuenta a su vez a otras tres personas al cabo de otros quince minutos. De este modo, Octubre 2002 • 2002 Urria 157 La Matemagia Desvelada
- 154. a las 12:30la noticia es conocida por 1 + 3 + 9 = 13 personas. Si el proceso continúa al mismo ritmo inicial, sólo tendrán que pasar algo más de cinco horas para que la noticia pueda ser conocida por toda la población mundial, estimada en más de 6 mil millones de habitantes. Estos ejemplos muestran un hecho común entre las matemáticas y la magia: la intuición y la experiencia previa pueden dar como resultado hechos sorprendentes al comprobar que la rea- lidad de algunos sucesos va en contra de lo esperado. Por esta razón, juegos basados en pro- piedades matemáticas pueden entretener más a públicos inteligentes que se vean sorprendi- dos por algún hecho que no imaginaban que a público de preparación no científica cuyo escaso conocimiento matemático no le permite apreciar la sorpresa a que dan lugar algunas propiedades matemáticas. 2.2. Cálculos mágicos Algunos juegos matemágicos se basan en el uso de la descomposición decimal de un número para adivinar su valor o bien de otras descomposiciones sencillas. Como ejemplo, expondre- mos los siguientes. Adivinación de una carta Asignaremos los siguientes valores numéricos a los palos de las cartas de una baraja: Del mismo modo, cada carta tiene un valor numérico indicado por su número, donde la sota vale 8, el caballo 9 y el rey 10. Ahora se pide que alguien piense en una carta y realice las siguientes operaciones caba- lísticas: 1. Multiplicar el valor numérico de su palo por dos. 2. Sumarle tres. 3. Multiplicar por 5. 4. Sumar el valor de su número. ¿Cómo podemos ahora saber el valor y el palo de la carta? Sugerimos realizar el experimento con un ejemplo e inferir la ley que regula el resultado. Adivinación de tres tiradas de un dado Se pide a un espectador que realice las siguientes operaciones: 1. Lanzar un dado tres veces. 2. Multiplicar el primer resultado por dos. 3. Sumarle cinco. 4. Multiplicarlo por cinco. 5. Sumarle el segundo resultado. 6. Multiplicar por 10. 7. Sumarle el tercer resultado. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA158 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute OROS COPAS ESPADAS BASTOS 1 2 3 4
- 155. Al nombrar elresultado final, el matemago es capaz de saber los resultados obtenidos en los tres dados. Si queremos saber cuáles son los valores obtenidos en cada una de las tiradas, basta resolver la ecuación que se plantea con las operaciones anteriores. ¿Por qué es suficiente restar 250 al resultado final? Suma constante Se muestra un reloj de bolsillo y se pide a un espectador que piense una hora cualquiera, de la una a las doce. A continuación, el mago empieza a dar golpecitos en la esfera del reloj con un lápiz sin orden aparente. A cada golpecito el espectador debe ir contando de uno en uno, en silencio y empezando por el número previamente pensado. Así, si pensó en el siete, al primer golpe contará siete, al segundo ocho, y así sucesivamente. En el momento en que llegue a veinte, debe parar e indicarlo. Casualmente, o debido a los poderes magnéticos de la magia, el lápiz en ese momento está apuntando a la hora pensada al principio. El método es elemental: si quieres descubrirlo, piensa simplemente que el número de golpes dados será igual a la diferencia entre 21 y el número pensado. Esa diferencia será como mínimo de nueve. Se trata pues de asegurar que, a partir de nueve, la suma entre el número de golpes dados y la hora señalada sea también veintiuno. Par o impar Se indica a un espectador que saque unas cuantas monedas de su bolsillo y las esconda en su puño. A continuación el mago saca también unas monedas de su bolsillo y mues- tra su puño cerrado. El mago entonces anuncia que, a pesar de no saber la cantidad de monedas que tiene el espectador en su mano, es capaz de predecir lo siguiente: “Si el número de monedas en la mano del espectador es par, al juntarlas con las del mago, el total de monedas será impar; si, por el contrario, el número de monedas del espectador es impar, la suma de sus monedas con las del mago será par.” Al hacer la comprobación se observa la exactitud de la predicción del mago. Para que la predicción sea correcta, el mago debe sacar una cantidad impar de monedas. La suma de dos cantidades impares es par y la suma de un número par y otro impar es impar. 2.3. Curiosidades aritméticas Algunos hechos curiosos también pueden presentarse como efectos mágicos. Es bastante conocido el siguiente: Se pide a alguien que elija su número preferido de una cifra, llamémosle N. A continua- ción se le pide que multiplique el número 12345679 por 9N. La sorpresa que produce el resultado (el número preferido repetido nueve veces) puede acha- carse a la numerología pero la belleza del resultado es consecuencia de la divisibilidad de 111111111 por 9. Hay muchísimos trucos de magia con cartas que usan, de una forma u otra, alguna propiedad matemática, a veces tan simple que parece mentira que el truco pueda pasar desapercibido. Uno de los más famosos es el siguiente: Octubre 2002 • 2002 Urria 159 La Matemagia Desvelada
- 156. El juego delas 21 cartas Se comienza por separar 21 cartas de una baraja. Un espectador coge la baraja, elige una carta, la devuelve al mazo y mezcla. El mago toma la baraja y coloca las cartas sobre la mesa, boca arriba, en tres montones, la primera carta es la primera del primer mon- tón, la segunda será la primera del segundo montón, la tercera en el tercer montón, la cuarta sobre el primer montón, la quinta sobre el segundo, y así sucesivamente. Una vez colocadas todas las cartas, el espectador debe indicar únicamente el montón en donde está su carta. Después se recogen todas las cartas, tal como están pero colocando el montón de la carta elegida entre los otros dos montones. Se vuelve a repetir el proceso anterior una segunda vez y, por último, una tercera vez, siempre de la misma forma y preguntando cada vez en qué montón está la carta elegida. Después de todo lo anterior, el mago es capaz de anunciar la carta elegida por el espec- tador. Como el resultado final es siempre el mismo, para descubrir el método basta con realizar las operaciones indicadas y buscar el lugar que ocupa la carta elegida. Casualmente, o quizá debido a cierta ley matemática, la carta elegida ocupará el lugar undécimo a partir de cual- quier extremo. La pregunta es: ¿Por qué funciona siempre el truco? Y otra pregunta, un poco más general: ¿Podría hacerse el mismo truco cambiando el número de cartas o el número de montones? Voltea y corta Bob Hummer fue un famoso mago estadounidense de principios del siglo XX que descubrió interesantes propiedades matemáticas en una gran variedad de efectos mágicos (una recopi- lación de su obra se encuentra en el libro The Collected Works of Bob Hummer escrito por Karl Fulves). Ilustraremos aquí una de dichas propiedades, la conocida por el principio de Hummer, con el siguiente juego: De una baraja francesa se separa un grupo par de cartas, de modo que tengan sus colo- res alternados, roja-negra, roja-negra, ..., y se entregan a un espectador. Se le pide que realice las siguientes operaciones: 1 Voltear las dos cartas superiores del paquete. 2 Cortar el paquete por cualquier lugar. 3 Repetir los pasos 1 y 2 cuantas veces desee. De este modo habrá en el paquete algunas cartas cara arriba y otras cara abajo pero apa- rentemente no hay ningún control sobre el número ni la posición de las cartas cara arriba. El espectador entrega entonces el paquete al mago. Este debe separar el paquete en dos montones sobre la mesa: deja la primera carta a la izquierda, la segunda a la dere- cha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente, las pares en un montón y las impares en el otro. Por último reúne ambos montones pero después de dar una vuelta completa a uno de ellos. Pues bien, a pesar del aparente desorden de las cartas, en este momento habrá tantas cartas cara arriba como cartas cara abajo. Además, en una dirección estarán todas las cartas negras y en la otra todas las cartas rojas. La sorpresa entre el público será mayor si este anuncio se SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA160 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 157. hace antes deempezar el juego. Puede incluso mejorar la presentación del efecto si el manejo final de las cartas por el mago se realiza de forma secreta, bien en la espalda del mago, bien bajo la mesa. El manejo que acabamos de explicar es la base del principio de Hummer: si tenemos una can- tidad par de cartas alternadas (ya sea por colores, por palos o por cualquier otro criterio), al girar dos cartas consecutivas y colocarlas nuevamente, el orden previo se ha alterado pero el cambio se manifiesta por el giro de las cartas. No importa cuántas veces se realiza la opera- ción anterior: cada carta invertida representa una alteración del orden inicial. La operación final de invertir sólo las cartas que ocupan el lugar par hace que queden en un sentido uno de los grupos de cartas y en el otro sentido el otro grupo. Muchos otros juegos y presentaciones diversas se basan en este principio, que no es fácil de descubrir sin un detenido análisis. Predicción cartomágica El mago escribe una predicción en una hoja de papel y entrega al espectador un paquete de cartas, con las que debe realizar las siguientes operaciones: 1) Colocar la carta superior en la parte inferior del paquete. 2) Retirar la siguiente carta. 3) Repetir los pasos 1) y 2) hasta que sólo quede una carta en el paquete. Se muestra ahora el contenido de la predicción y se confirma que coincide con la única carta que ha quedado en el proceso de eliminación. El secreto está en saber de antemano qué carta quedará después de realizar el proceso ante- rior y verla sin que nadie lo advierta. Para ello debe conocerse la expresión binaria del número de cartas del paquete inicial y colocar la primera cifra de la izquierda, siempre un uno, a la derecha del número. La carta que ocupa el lugar indicado por este último número, empe- zando por arriba, será la elegida. Por ejemplo, si se utiliza toda la baraja española de 40 cartas, como su representación bina- ria es 101000, la carta a predecir será la decimoséptima, pues 010001(2) = 17(10). Un buen ejercicio consiste en demostrar la validez de esta fórmula. Como complemento, si se conoce una relación de posibles combinaciones, puede repetirse el efecto con grupos de distinto número de cartas. Por ejemplo, para paquetes con un número de cartas igual a una potencia de dos, la carta final será siempre la carta superior de la baraja. Como no siempre es sencilla, al menos mentalmente, la operación que nos indica el lugar de la carta que debemos predecir, mostraremos otro método más simple: Supongamos que n es el número de cartas con que se realizará el experimento. En primer lugar, debemos ver la carta superior de la baraja. Después haremos mentalmente la multipli- cación por dos de la diferencia entre n y la mayor potencia de dos que sea menor que n. Por ejemplo, si n = 25, entonces 2 x (25 - 16) = 18. La diferencia 25 – 18 = 7 indica el número de cartas que han de pasarse de arriba abajo para que la carta superior (ya conocida) quede en el lugar idóneo para aparecer al final del proceso. En este caso, la carta ocupará el lugar 19 desde la parte superior, lo que coincide con la fórmula inicial: 25(10) = 11001(2) y 19(10) = 10011(2). Octubre 2002 • 2002 Urria 161 La Matemagia Desvelada
- 158. A vista depájaro Un ejercicio de supuesta rapidez visual es el siguiente. Se muestran seis tarjetas o cartulinas, cada una de ellas conteniendo los números que se indican. Se pide a un espectador que piense un número y que separe las tarjetas que con- tienen dicho número. El matemago, con un simple vistazo a dichas tarjetas, nombra rápi- damente el número pensado. El método es muy sencillo: basta sumar los primeros números de las tarjetas que contienen el número pensado. Con toda seguridad, la prueba de la validez de este método es mucho más interesante para alguien interesado en las matemáticas. Dicha prueba se vuelve sencilla des- pués de observar con detalle las tarjetas: si escribimos la representación binaria de los núme- ros involucrados, en la tarjeta 1 están todos los números cuya última cifra es un uno, en la tar- jeta 2, aquellos cuya penúltima cifra es un uno, y así sucesivamente. El primer número de cada tarjeta indica el valor decimal de cada una de las cifras del número. Así que su suma nos dará el número pensado. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA162 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute TARJETA 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 TARJETA 2 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 TARJETA 3 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 TARJETA 4 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 TARJETA 5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 TARJETA 6 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
- 159. 3. GEOMETRÍA RECORTABLE 3.1.Puzzles geométricos Las siguientes ilustraciones muestran algunas paradojas geométricas que se observan recor- tando figuras planas y reconstruyéndolas de otra forma. En algunos ejemplos el error es fácil- mente detectable pero en otros puede ser más sutil. Invitamos a pensar en ellos. Ejemplo 1. En una hoja de papel se dibujan diez líneas paralelas, como en la figura de la izquierda; se recorta la hoja por la diagonal y se desplaza la mitad superior como indica la figura de la derecha. ¿Por qué ahora sólo hay nueve líneas? ¿Dónde está la décima? Ejemplo 2. En el tablero de ajedrez de la izquierda se sombrean los 15 cuadros indicados. Si se recorta por la línea marcada y se desplaza la mitad superior como se ilustra en la figura de la derecha, el número de cuadros sombreados es ahora 14 (donde el triángulo que sobresale en el extremo superior derecho se traslada al extremo inferior izquierdo). ¿Quién se ha llevado el cuadro que falta? Si el tablero original tenía 8 x 8 = 64 cuadros, ahora sólo tiene 9 x 7=63 cuadros. Ejemplo 3. El rectángulo de la figura se construye uniendo las piezas A, B, C y D. Es evidente que el área de dicho rectángulo es 30 unidades. Octubre 2002 • 2002 Urria 163 La Matemagia Desvelada
- 160. Sin embargo, sicolocamos las mismas piezas como se indica a continuación, la figura que resulta tiene área 20 + 12 unidades. ¿Desde cuándo el área de una región depende de su dis- posición? Ejemplo 4. El rectángulo de la figura superior está formado por las cinco piezas A, B, C, D y E. Ahora bien, si recolocamos las piezas como se indica en la figura inferior, falta un cuadro para completar el rectángulo. ¿Cómo ha podido perderse? Ejemplo 5. Similar al caso anterior es el del triángulo (llamado triángulo de Curry) que se muestra a continuación. Con la primera disposición de las piezas se llena el triángulo pero, al disponerlos como se muestra a la derecha, se han perdido dos cuadros. ¿Hay alguna propie- dad geométrica que regule esta situación? SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA164 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 161. Ejemplo 6. Lasiguiente construcción es también muy intrigante. Se forma el cuadrado de la izquierda y se llama la atención sobre los cuadrados pequeños, numerados del uno al cinco. Al deshacer la figura y volverla a construir en la forma indicada por la figura de la derecha, se observa que uno de los cuadrados ha desaparecido. Con un poco de habilidad puedes hacer aparecer el cuadrado que falta en algún lugar inesperado. Estos ejemplos y muchos más pueden convertirse en originales efectos de magia con una ade- cuada puesta en escena. La sorpresa inicial que produce cualquiera de estas situaciones hace pensar en que el mago posee algún tipo de habilidad manual o conoce alguna técnica des- conocida, por no decir que puede llegar a poseer ciertos poderes mágicos. Por otra parte, no podemos desdeñar el aspecto matemático de estos divertimentos pues es importante distinguir estos trucos de verdaderas demostraciones matemáticas. Por ejemplo, algunas de las múltiples demostraciones del teorema de Pitágoras consisten precisamente en recortar papel. Mostramos a continuación una de ellas. Se dibujan sobre los catetos del triángulo rectángulo dos cuadrados y se recorta el de lado el cateto mayor en cuatro partes iguales, trazando desde el centro del cuadrado una recta para- lela a la hipotenusa. A continuación, estas piezas, junto con el cuadrado de lado el cateto menor, se trasladan como se muestra en la figura para formar el cuadrado de lado la hipote- nusa del triángulo. Observaciones 1) Una propiedad de las sucesiones de Fibonacci permite construir nuestros propios ejemplos de puzzles paradójicos: basta saber que el cuadrado de cualquier término de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., es igual al producto de los dos términos adyacentes a él más o menos uno; simbólicamente, an 2 = an-1 . an+1 m 1. Octubre 2002 • 2002 Urria 165 La Matemagia Desvelada
- 162. El ejercicio queplanteamos ahora es construir un cuadrado de lado an y recortarlo (en cuatro piezas) de modo que al reconstruirlo se forme un rectángulo de lados an-1 y an+1. La paradoja está servida. 2) Como es sabido, las matemáticos presentan en ocasiones propiedades que van más allá de cualquier idea intuitiva a pesar de no contener contradicciones formales. En este sentido cita- remos dos propiedades geométricas dentro de la teoría de la medida: a) Paradoja de Hausdorff. En 1914, Felix Hausdorff probó que es posible dividir una esfera S en tres figuras A1,A2,A3 congruentes, es decir con áreas iguales, de modo que A1 U A2 U A3 = S, m(Ai I Aj) =0, (i =/ j) y tal que A1 es congruente con A2 U A3, A2 es congruente con A1 U A3 y A3 es congruente con A1 U A2. b) Paradoja de Banach-Tarski. Pocos años después, Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron otro resultado, también aparentemente paradójico, que se puede enunciar en lenguaje no matemático diciendo que es posible descomponer una esfera en un número determinado de piezas, las cuales pueden recomponerse, sin dejar huecos, para formar otra esfera de tamaño considerablemente mayor. Evidentemente, las demostraciones de estos resultados no son constructivas pues están basa- das en el axioma de elección, de modo que no es posible mostrar un ejemplo de lo anterior en nuestro modelo de geometría euclídea (consultar detalles en [Bu]). 3.2. La banda de Möbius Es bastante popular y conocida la banda de Möbius, una superficie no orientada pues sólo posee una cara y una arista. Surgió alrededor de 1.858 en un trabajo de Möbius y Listing y ya en 1.890 se usó como truco de magia, antes de que el conocimiento de sus propiedades se extendiera a ámbitos no científicos. Su construcción es muy sencilla: se juntan los extremos de una cinta pero, antes de unirlos, se da un giro de 180º a uno de los extremos. Al recorrer la banda que se forma de esta manera, para llegar al punto de partida se deben recorrer los dos lados de la cinta original. Una apli- cación ingeniosa de este hecho se encuentra en los carretes de cinta en las máquinas de escri- bir o en las cintas de impresora, lo que permite utilizar la tinta de ambos lados antes de ago- tar el carrete. Este principio permite a los magos realizar experimentos donde se oculta el hecho de que se esté utilizando una banda de Möbius pero, también, proporciona otras pro- piedades que no son tan conocidas. Veamos algunos hechos sorprendentes: 1) Como prueba de habilidad el mago anuncia que es capaz de cortar una banda de papel por la mitad sin separarla. Para ello prepara la banda de Möbius como se ha indicado y recór- tala longitudinalmente por el centro de la cinta. El resultado final muestra una banda el doble de larga que la original, en vez de dos bandas, como cabía esperar. 2) Para aumentar la sorpresa, se puede intentar otro experimento más difícil todavía. Se pre- para una nueva banda de Möbius pero esta vez se corta longitudinalmente pero siempre a un tercio de la distancia al borde. ¿Qué figura se obtiene? ¿Cómo ha salido otra banda enla- zada a la primera? 3) Prepara otra banda con una cinta pero, antes de unir los extremos, haz un doble giro a uno de ellos. Recorta nuevamente la banda a lo largo de su línea central. ¡Una nueva sorpresa! SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA166 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 163. ¡Dos bandas dela misma longitud enlazadas! 4) Recorta cada una de las bandas obtenidas en el experimento anterior. Ahora saldrán cuatro bandas, todas enlazadas. Parecen evidentes las ventajas que estas experiencias representan para conseguir motivar a los estudiantes en el estudio de las matemáticas. 4. PROBABILIDAD VENTAJOSA También es destacable la contribución de la teoría de probabilidades al desarrollo de juegos con alguna componente de sorpresa. No citaremos aquí los aspectos relativos al estudio de las ordenaciones de cartas, en concreto, la llamada mezcla faro, investigada por un gran número de matemáticos, entre quienes destacaremos a Persi Diaconis, un mago que se hizo matemá- tico, interesado por las propiedades matemáticas de las cartas. Nos limitaremos a citar algu- nos ejemplos en los que el mago aprovecha conocimientos poco comunes entre público con escaso conocimiento probabilístico. 4.1. Jugador de ventaja Existe la creencia de que los jugadores de ventaja aprovechan no sólo su habilidad manual sino que utilizan en muchas ocasiones objetos trucados con los que ganar cualquier apuesta. También las matemáticas pueden ayudar a estos jugadores tramposos si conocen algunas pro- piedades poco conocidas. La propiedad que utilizaremos en el siguiente ejemplo vamos a denominar “no transitividad de las leyes de probabilidad". Construimos cuatro dados que contengan los siguientes números en sus caras. El juego se realiza con dos jugadores: el primero elige un dado, el segundo otro, se lanzan los dados y gana quien obtenga mayor puntuación. A simple vista, parece que el jugador que elija primero tiene ventaja sobre el segundo pues alguno de los dados tendrá ventaja sobre los demás. Sólo necesita saber cuál es dicho dado. Sin embargo, y por increíble que parezca, con probabilidad 2/3 el primer dado gana al segundo, el segundo al tercero, el tercero al cuarto, y, debido a la falta de transitividad, el cuarto gana al primero. Esto significa que el segundo jugador que elige dado tiene la ventaja de saber el dado de su contrincante y tomar el que gana. Octubre 2002 • 2002 Urria 167 La Matemagia Desvelada
- 164. Evidentemente, este juegodebe realizarse un gran número de veces para estabilizar la proba- bilidad de cada uno. En promedio, dos de cada tres veces gana el jugador que escoge en segundo lugar. Esta singularidad probabilística fue descubierta por el estadístico Bradley Efron. Además, esta violación de la transitividad es la base de algunas paradojas de votación: las preferencias sociales que se determinan por votación entre un número determinado de candidatos no obe- dece la propiedad transitiva. En el libro de John Allen Paulos [Pau] se muestran algunos ejem- plos de esta situación. Otras aparentes paradojas probabilísticas se presentan al combinar de forma preasignada cier- tos juegos de azar, en donde la tendencia de cada uno de ellos por separado se invierte cuando se combinan entre ellos. El lector interesado, y que posea conocimientos sobre las cadenas de Markov, puede consultar [Par] para conocer el funcionamiento de la paradoja de Parrondo. 4.2. Sucesos casi seguros Se da una baraja a mezclar a un espectador. Después de colocar la baraja cara abajo pide que el espectador nombre los valores de dos cartas (sin precisar el palo). Supongamos que dice el tres y la sota. A continuación, ve pasando cartas de la baraja, una a una y caras arriba, hasta que aparezcan seguidos un tres y una sota. Este efecto funciona el 90% de las veces debido a las leyes de probabilidad y, en caso con- trario, es muy posible que estén separadas por una sola carta. Una propiedad tan inusual como esta crea un gran impacto pues a priori da la impresión de ser algo que ocurre en pocas ocasiones. Es tarea del mago hacer creer a los espectadores la casi imposibilidad del resultado final. Un experimento con resultado similar al anterior es el siguiente: se dan dos barajas, una a cada espectador, para que las mezclen. A continuación, se dejan sobre la mesa y se pide que vayan repartiendo cartas cara arriba, una por una, de ambas barajas a la vez. Es casi seguro que, en el transcurso del reparto, aparecerán dos cartas iguales a la vez, una de cada baraja. Otra apuesta casi segura, pero que requiere algo de habilidad en su realización, es la siguiente: Escoge 25 cartas al azar y apuesta a que eres capaz de formar con ellas cinco manos de póquer, de modo que cada una de ellas sea al menos una escalera; esto quiere decir que las jugadas permitidas son “color", “full", “póquer", “escalera de color" y “escalera real". Lo seguro es que al menos habrá dos jugadas de “color" (cinco cartas del mismo palo). Presentamos a continuación otro juego, basado en la llamada cuenta Kruskal, pues debe el nombre a su descubridor el físico Martin Kruskal (este y otros juegos matemáticos con cartas se explican en [Mu]). Adivinación cartomágica Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la mesa. Un ejemplo se muestra en la figura adjunta. Se pide a un espectador que piense un número del uno al diez. A continuación, debe realizar las siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indica- ción de sus resultados: 1) Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el número pensado. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA168 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 165. 2) Al finalizar,debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver a reco- rrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho número. [En caso de que se haya detenido en una figura, recorrerá cinco pasos.] 3) El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre que haya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo más, debe fijarse y recordar la última carta del último trayecto. Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, el mago puede descubrir el valor de dicha carta. Por ejemplo, si se siguen las instrucciones anteriores con la figura adjunta, podríamos apostar a que la carta final será el cinco de oros. Ya se deduce, a partir del proceso seguido, que el método de adivinación no puede consistir en habilidad técnica, sino en algún principio matemático. Como el método es directo, la única consecuencia plausible es que el resultado será independiente de las condiciones iniciales. Para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final (concretamente, la probabilidad de que esto ocurra es mayor de 0,8). La pregunta que surge de forma natural es entonces: ¿cuál es la propiedad en que se basa este resultado? Puede consultarse el trabajo [LRV] donde se calculan las probabilidades de éxito en el juego con asignaciones diferentes para los valores de las figuras; destaquemos que si la sota cuenta 10 pasos, el caballo 11 y el rey 12, las probabilidades disminuyen a menos del 70%. El modelo matemático que mejor se ajusta a las características de este juego es el de las cade- nas de Markov, tipos especiales de procesos estocásticos, de gran interés en ciertas aplicacio- nes estadísticas. Otro análisis del juego está realizado en [HR]. Relacionada con este trabajo está la versión interactiva que puede realizarse en la dirección electrónica http://www.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl Observación. Se ha encontrado (como indica [Pe]) una gran similitud entre la clave del éxito en el juego anterior con la siguiente reflexión de Sherlock Holmes: Octubre 2002 • 2002 Urria 169 La Matemagia Desvelada
- 166. “Mi querido Watson,cuando sigues dos cadenas de pensamiento diferentes, siempre encontrarás algún punto de intersección que te aproximará a la verdad." Apuesta segura Un principio matemático, de gran sutileza, permite realizar sin ninguna posibilidad de fracaso la siguiente apuesta: Se disponen previamente las cartas de una baraja francesa de modo que queden alter- nadas las rojas y las negras (pero sin dejar que esta preparación sea advertida). Se corta la baraja aproximadamente por la mitad (de modo que las cartas inferiores de cada paquete sean de distinto color) y se mezclan ambos montones intercalando cartas de uno y otro montón (puede mezclar el espectador para cerciorarse de la limpieza del proceso). Entonces cada jugador extrae una carta de la parte superior de la baraja: si las cartas de ambos jugadores son de distinto color, una roja y una negra, el mago gana un punto; si son del mismo color, gana el contrario. Al terminar de repartir toda la baraja se suman los puntos. Sorprendentemente, el mago ha obtenido todos los puntos en juego. El hecho recién explicado es la base del llamado principio de Gilbreath: una mezcla de la baraja como se ha explicado no dejará juntas más de dos cartas del mismo color y, aunque haya dos consecutivas del mismo color, no saldrán juntas si se extraen las cartas de dos en dos. Basándose en este principio, la comunidad mágica ha creado una gran variedad de efectos. Por ejemplo, si preparamos la baraja de modo que los palos se repitan secuencialmente, siem- pre en el mismo orden, y vamos repartiendo sobre la mesa una por una aproximadamente la mitad de las cartas, al mezclar por el método de intercalación el montón de la mesa con el montón de la mano, al sacar las cartas en grupos de cuatro, siempre habrá en cada grupo una carta de cada palo. Si estudiamos con algún detalle el funcionamiento de este principio, podemos encontrar otras interesantes aplicaciones, tanto a la magia como a las matemáticas. 4.3. Juegos de estrategia Existen algunos juegos numéricos en los que participan dos o más jugadores, donde aparen- temente el resultado es aleatorio pero para los que existen estrategias, basadas en leyes mate- máticas, que permiten ganar a quien las conozca. Esto permite a un matemago plantearlos como juegos de habilidad, en los que el jugador con- trario es incapaz de ganar a pesar de concedérsele todas las facilidades posibles. Juego del 31 Cada jugador nombra por turnos un número del 1 al 6. Cada número nombrado se suma al resultado anterior. Gana el primero que llegue exactamente a 31. Ganará siempre quien logre nombrar el número 24, pues el oponente no podrá nombrar el 31 pero tendrá que decir un número cuya distancia a 31 sea menor que 7. Por la misma regla, quien nombre los números 17, 10 ó 3 será el ganador del juego. Una variante cartomágica del juego consiste en dejar sobre la mesa cuatro montones de car- tas: el primero formado por los cuatro ases (o unos), el segundo por los cuatro doses, y así sucesivamente, el último formado por los cuatro seises de la baraja. Cada jugador retira una carta cualquiera, por turnos, y se van sumando los valores de las cartas retiradas. Gana quien SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA170 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 167. retire la cartaque suma 31 u obligue al oponente a retirar una carta de modo que la suma exceda de 31. La diferencia estriba en que sólo puede nombrarse cada número un máximo de cuatro veces. Así, quien empiece el juego con el tres perderá con la siguiente secuencia de números: 3 - 4 - 3 - 4 - 3 -4 -3 - 4 cuya suma es 28 pero impide nombrar el tres, al haberse agotado estas cartas. Puede ser inte- resante mezclar ambas variantes para ganar a algún jugador avispado. Juego del Nim ([Fr]) Se dejan sobre la mesa veinte monedas o cerillas y dos jugadores deben retirar alterna- damente una, dos o tres de ellas en cada turno. Quien tenga que retirar la última cerilla de la mesa es el perdedor del juego. El procedimiento para ganar, independientemente de quien empiece el juego, es retirar en cada turno el número de cerillas necesario para que sobre la mesa queden 17, 13, 9 ó 5 ceri- llas. Es fácil calcular cuántas se deben retirar para que siempre haya sobre la mesa una de las can- tidades indicadas. Como la diferencia entre los números clave es cuatro, el número de ceri- llas a retirar en cada turno dependerá de las que retire el oponente. Aquél que comience a jugar posee una estrategia ganadora, pues basta que retire tres cerillas en el turno inicial. Cuando el resto de jugadores puedan tener alguna idea sobre la estrategia ganadora, se les puede despistar utilizando inicialmente una cantidad distinta de cerillas. Algunas variantes del juego consisten en colocar las monedas en diferentes filas y retirar en cada turno monedas de una sola fila. Esto modifica la estrategia que debe utilizarse para ganar. Una explicación muy completa e ilustrativa, basada en la representación binaria de los núme- ros, puede encontrarse en [Gu]. 5. CONCLUSIÓN ¿La Enseñanza efectiva de las Matemáticas puede ser entretenida? Una gran mayoría de nuestra sociedad todavía piensa que las matemáticas constituyen un área oscura que contiene profundos misterios que sólo pueden ser entendidos por una clase espe- cial de personas. ¿Se podría pensar que la magia permitiría disipar esta creencia? Si alguna propiedad matemá- tica, como las expuestas anteriormente, se plantearan como enigmas a resolver en vez de una exposición de poderes mágicos, haría que los estudiantes trataran de encontrar el secreto por sí mismos; esto daría pie a profundizar en las leyes sobre las que reposan los hechos en cues- tión. Además se sale de la rutina en la que las matemáticas no permiten el uso de la imagina- ción y el espíritu crítico, pues la búsqueda de la solución requiere un proceso de discusión y de planteamiento de ideas originales. Por otra parte, este tipo de presentación poco convencional mantiene la atención de una clase. Las pistas que se ofrecen durante la realización, en general ocultas por un buen mago, harán que pueda reproducirse un efecto matemágico por los estudiantes y llegar a la solución del secreto, no sin antes eliminar otras posibles soluciones, que lleven a propiedades mate- máticas similares. Esta es también una técnica válida de resolución de problemas. Octubre 2002 • 2002 Urria 171 La Matemagia Desvelada
- 168. Veamos algunos efectos,catalogados como de magia mental, presentados en clases de alum- nos de primaria (consultar [Mo]). Predicción con el diccionario El profesor advierte que es capaz de percibir los pensamientos de los alumnos y para probarlo escribe una predicción en una hoja de papel que deja dentro de un sobre y lo coloca en un lugar visible pero inaccesible. A continuación indica a los alumnos que sigan un conjunto de instrucciones elementales: 1) Escribir un número de tres cifras. 2) Debajo de él escribir el mismo número pero con sus cifras colocadas en orden inverso. 3) Realizar la resta de dichos números, el mayor menos el menor. 4) Volver a escribir debajo el mismo número obtenido de la resta, pero con las cifras coloca- das de nuevo en orden inverso. 5) Sumar estos dos números. 6) Buscar en un diccionario una palabra asociada con el resultado final. 7) Como el número será demasiado grande, utilizar las primeras cifras (todas menos la última) para representar la página del libro y la última cifra para contar el número correspondiente de palabras en dicha página. 8) Una vez encontrada la palabra que ocupa dicho lugar, digamos la novena palabra de la página 108, nombrar dicha palabra. 9) Por último, abrir el sobre y leer lo escrito inicialmente por el profesor. Sorprendentemente, la predicción coincide con la palabra del libro señalada. Al realizar el experimento con diferentes números se observa que el resultado final es inva- riable, lo que conduce a buscar una explicación dentro de las matemáticas. La pregunta surge en las propias mentes de los alumnos: ¿por qué se obtiene el mismo resultado aunque se uti- licen diferentes números? Diferentes ensayos y sugerencias del profesor irán llevando a precisar las propiedades de las operaciones algebraicas que muestren la validez de las hipótesis planteadas. La observación clave será que después de la primera resta, la cifra central será un nueve y la suma de las otras dos también será nueve. Desde este momento, la idea de la predicción y la sorpresa que produce la coincidencia de las palabras ya no es importante, pues la explicación surge por sí misma. Sin este descubri- miento, se debe pensar que la magia existe. Un problema complementario que se debe plantear, si no ha surgido de la discusión previa, es el de saber si con todos los números se llega al mismo resultado. Más aún, descubrir el con- junto de números para los que no funciona el experimento. Proponemos a continuación un problema similar cuyo estudio permite complementar el pro- ceso de aprendizaje. Pide que escriban un número de cuatro cifras y, debajo de él, el mismo número con las cifras invertidas (de derecha a izquierda). A continuación, que reste el menor del mayor, que tachen una de las cuatro cifras del resultado y te digan las tres restantes, en cualquier orden. ¿Cómo puede saberse la cifra eliminada? SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA172 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 169. Como conclusión podemossugerir la magia como una forma de conseguir atraer el interés de los estudiantes por las matemáticas elementales, una vía en la que ellos mismos plantean los problemas, buscan las soluciones y proponen las reglas que las producen. Como ejemplo, reproducimos un esquema utilizado para el aprendizaje y motivación de algu- nos aspectos de la educación matemática y física, mediante la magia: • En primer lugar el profesor realiza un truco. • A continuación los alumnos intentan adivinar la explicación del mismo. • El profesor revela la verdadera explicación, comparándola con las sugeridas por los estudiantes. • Como el secreto es una aplicación de algún principio científico, se puede despertar el interés de los estudiantes hacia temas de la ciencia de forma amena. 6. DESIDERATUM Si has logrado llegar hasta aquí, conoces suficientes secretos para considerarte un aficionado a la magia. De modo que ya puedes aplicarte la principal regla de los magos: Nunca reveles los secretos de la magia. Si además te has sentido tentado en descubrir los secretos y la base matemática de los juegos aquí expuestos, puedes considerarte un aficionado a las matemáticas. De modo que puedes aplicarte para resolver el siguiente problema, propuesto en la 41ª Olimpiada Matemática Internacional, celebrada en Taejon (Corea del Sur) en Julio de 2000: Un mago tiene cien tarjetas numeradas, del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de tal manera que cada caja contiene por lo menos una tarjeta. Un espectador selecciona dos de las tres cajas, extrae una tarjeta de cada una y anuncia a la audiencia la suma de los números de las dos tarjetas elegidas. Al conocer esta suma, el mago identifica la caja de la cual no se ha elegido ninguna tarjeta. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir todas las tarjetas en las cajas de modo que este truco siempre funcione? Octubre 2002 • 2002 Urria 173 La Matemagia Desvelada
- 170. 7. REFERENCIAS [Bu] BryanBunch, “Mathematical Fallacies and Paradoxes”. Van Nostrand, 1982. [By] John Byers, “La magia del número 37037”. http://www.vsv.slu.se/johnb/java/cal- mag-1.htm [CF] José Carlavilla y Mercedes Fernández, “Cuadrados Mágicos”. Proyecto Sur de Ediciones, 2000. [Ea] Rob Eastaway, “Maths and Magic”. http://plus.maths.org/issue14/features/eastaway/index.html [Fa] John Fauvel, “Sobre la consideración como texto del libro de John Wilkins, Mathematical magic”. http://w4.ed.uiuc.edu/faculty/westbury/Paradigm/fauvel1.html [Fr] Bob Friedhoffer, “The Science behind the Magic”. http://hometown.aol.com/scienctrix/index.html [Ga] Martin Gardner, “Mathematics, Magic and Mystery”. Dover, 1956. [Gu] Miguel de Guzmán, “Cuentos con cuentas”. Labor, 1987. www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/cuentosconcuentas/nim/nim0003.htm [HR] Wayne Haga y Sinai Robins, “On Kruskal's Principle”. Organic Mathematics, Burnaby, 1995. [LRV] Jeffrey Lagarias, Eric Rains y Robert Vanderbei, “The Kruskal Count”. http://xxx.lanl.gov/abs/math.PR/0110143 [Lo] Bob Longe, “The Magical Math Book”. Sterling, 1998. [MG] Christine Megit y Jessica Greer, Los pitagóricos, numerología y misticismo”. http://pythagoreans.tripod.com [Mo] Larry Moss, “Teaching magic as a math topic in an elementary classroom”. http://www.fooledya.com/moss/papers/mathfun.html [Mu] Colm Mulcahy, “Mathematical card tricks”. http://www.ams.org/new-in-math/cover/mulcahy1.html [Par] Juan Parrondo, “Juegos de azar paradójicos”. La Gaceta de la RSME, 4, 355—365 (2001). [Pau] John Allen Paulos, “El hombre anumérico”. Tusquets, 1990. [Pe] Ivars Peterson, “Guessing Cards”. http://www.sciencenews.org/20011222/mathtrek.asp [Si] William Simon, “Mathematical Magic”. Dover, 1964. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA174 Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute
- 171. Octubre 2002 •2002 Urria 175 Matemáticas y Papiroflexia MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA José Ignacio Royo Prieto (*) Resumen La papiroflexia es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado. En esta exposición se muestran algunos aspectos de la papiroflexia en los que las matemáticas tienen un papel destacado. 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Qué es la Papiroflexia La papiroflexia es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado. Según la corriente más ortodoxa de la papiroflexia, tan sólo está permitido plegar el papel, sin usar tijeras ni pega- mento. Además, se deberá utilizar como punto de partida un único trozo de papel cuadrado. A pesar de que estas normas puedan pare- cernos muy restrictivas, las posibilidades que nos ofrece la papiro- flexia son casi infinitas. Los diseños más populares son, sin duda, la pajarita de papel, el gorro de papel y el barquito, así como algún que otro avión. Estos diseños son muy simples, pero en las últimas décadas, papiroflectas de todo el mundo han desarrollado técnicas a cual más compleja para obtener modelos de muchas puntas. Coches, barcos, aviones, muebles, leones, perros, insectos con todas sus patas y antenas, mamíferos con todo tipo de cuernos, orejas y colas, dragones, dinosaurios, esqueletos, pulpos, peces, crustáceos, arañas, seres humanos, máscaras... Seres animados e inanimados, reales y fantás- ticos, sencillos y con todo lujo de detalles forman parte del inmenso repertorio de la papiro- flexia moderna. 1.2. Un poco de historia El origen de la papiroflexia hemos de situarlo en Japón. La palabra japonesa para la papiroflexia es origami. Su escritura está compuesta por dos caracte- res: En el primero, el radical de la izquierda deriva del dibujo de una mano, y significa doblar (ori). El segundo deriva del dibujo de la seda, y significa papel (kami). (*) Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea Maitreya (Hoyjo Takashi) Origami
- 172. La historia dela papiroflexia (ver [Engel]) comienza junto con la del papel, en China, allá por el siglo I ó II, y llega a Japón en el siglo VI. En un principio, era un divertimento de las clases altas, pues eran las únicas que podían conseguir papel, que constituía un artículo de lujo. Los guerreros Samurai intercambiaban regalos adornados con noshi, trozos de papel doblados en abanicos de variadas formas, sujetos con cintas de carne seca. Hoy en día, se mantiene la expresión origami tsuki, que significa “certificado”, o “garantizado”, y que deriva del plegado especial con el que se preparaban los diplomas que recibían los maestros de las cere- monias de té. Dicho plegado garantizaba que no se pudiera vol- ver a plegar en su forma original sin realizar nuevas cicatrices en el papel. En el período Muromachi (1338-1573), el papel era un producto más accesible, y surgieron ciertos adornos de papiroflexia con significados distintos que reve- laban, por ejemplo, la clase social de cada persona, de modo que, según el distintivo de papi- roflexia que llevase un individuo, se podía distinguir si era un granjero, un guerrero samurai o un seguidor de tal o tal maestro filósofo. La “democratización” de la papiroflexia se dio en el período Tokugawa (1603-1867), el cual conoció una gran explosión cultural. Es en este período en el que surge la base pájaro, la base usada por la grulla (zuru), que es la figura más popular en Japón, tal como lo es aquí la pajarita. Dos libros legendarios recogen las primeras instrucciones de plegado: el Sembazuru Orikata (Cómo Plegar Mil Grullas) en 1797, y el Kan No Mado (Ventana abierta a la estación de invierno), de 1845, en el cual aparece por primera vez la base de la rana. No sólo se dobló en Japón. Los musulmanes también practica- ron la papiroflexia, y si no hubiera sido por los Reyes Católicos y el Cardenal Cisneros, a buen seguro la tradición de doblar papel en la península ibérica hubiera tenido muchísima más repercusión en nuestros días. La pajarita (o pájara pinta, llamada así porque cuando es ple- gada con un papel de colores distintos por ambas caras aparece con la cabeza de un color distinto que el cuerpo) forma parte de la cultura popular española desde, por lo menos, el siglo XVII. El gran impulsor de la papiroflexia a principios de siglo fue el universal bilbaíno Miguel de Unamuno y Jugo. Tras visitar la Exposición Universal de París de 1889, junto a la inaugu- ración de la Torre Eiffel, Unamuno descubre maravillado una exposición de origami de Japón. A su vuelta, retomaría su afición a doblar pajaritas, según él, cocotología, creando su propia “escuela” de plegadores. El genial escultor anarquista oscense Ramón Acín (1888-1936) ha sido uno de los que ha rendido homenaje a la pajarita con su famosa “Pajarita sobre cubo”, escultura de piedra que podemos apreciar en un parque de Huesca. El patriarca de la papiroflexia moderna es el japonés Akira Yoshizawa, una leyenda viva de los maestros orientales de Origami. Es a Yoshizawa a quien debemos la simbología actual de las instrucciones de plegado de los modelos (Sistema Yoshizawa-Randlett, 1956). Esto ha consti- tuido, sin lugar a duda, la aportación más importante a la papiroflexia desde la invención del papel, ya que ha permitido la difusión internacional de las distintas creaciones, al no importar SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA176 José Ignacio Royo Prieto Composición de grullas del Sembazuru Orikata Miguel de Unamuno (Zuloaga)
- 173. el idioma enel que estén escritos los desarrollos. Para Yoshizawa, el Origami conlleva una filosofía de la vida, y per- tenece a ese estado de la luz que en filosofía oriental se deno- mina ke, concepto asociado a la luz baja, las sensaciones ínti- mas y la armonía en silencio, por oposición al hare, que denota la explosión de luz, brillantez y la espectacularidad. Yoshizawa reza, medita, estudia y siente en un sentido ciertamente reli- gioso cada animal, rostro o figura que va a plegar. Se dice que pasó varios años observando a un cisne que vivía en el estan- que de su casa hasta que decidió plegarlo. Según la escuela de Yoshizawa, el plegado es un diálogo entre el artista y el papel, el cual hay que realizarlo en el aire, sólo con las manos, ya que de apoyarlo en la mesa, estaríamos transmitiendo a la futura figura el yin de la mesa en lugar del propio. En Japón, Yoshizawa es considerado como una divinidad, y sus figuras rezuman vida, transmitiendo una sensibilidad asombrosa. La papiroflexia ha experimentado una auténtica explosión de creatividad en las tres últimas décadas, debido a la mejor comunicación de los modelos, y también al desarrollo de técnicas para realizar figuras cada vez más complejas. Según P.Engel (ver [Lang1]), en los 80 pode- mos señalar dos corrientes en la papiroflexia moderna: • Por un lado, tenemos la escuela japonesa, donde la papi- roflexia ha sido cultivada por artistas no científicos. La filosofía consiste aquí en expresar, sugerir, captar la esen- cia de lo que se quiere representar con un mínimo de pliegues, aunque la figura resultante no sea anatómica- mente perfecta; • Por otro lado, la escuela occidental, donde la papirofle- xia ha sido desarrollada por matemáticos, ingenieros, físi- cos, arquitectos... Se persigue la exactitud anatómica, es decir, representar los insectos con todas las patas, pesta- ñas, cuernos, alas... Para ello se han desarrollado multi- tud de métodos matemáticos. Hoy en día no se puede hacer tal distinción, ya que japoneses científicos como Toshikuyi Meguro, Jun Maekawa, Issey Yoshino, Seiji Nishikawa, Fumiaki Kawahata, Tomoko Fuse, Toshikazu Kawasaki y otros muchos, integrantes del grupo Origami Tanteidan (Detectives de la Papiroflexia) han diseñado modelos de increíble complejidad. En estos momentos, más bien se puede distinguir entre los que usan técnicas geométricas de diseño (sumando a los ante- riores a los americanos John Montroll y Robert Lang, y el madrileño J. Aníbal Voyer, entre otros), y los que buscan la expresividad en otros elementos, tales como la textura del papel, la suavidad de los dobleces y la observación del modelo a representar. Estos últimos utilizan la técnica del papel humedecido, de la cual son especialistas Akira Yoshizawa, el americano Michael Lafosse, el francés Eric Joisel, el italiano David Derudas y el británico David Brill. Octubre 2002 • 2002 Urria 177 Matemáticas y Papiroflexia Akira Yoshizawa y dos elefantes de su creación Avispa (Satoshi Kamiya)
- 174. Otra rama dela papiroflexia moderna es la papiroflexia modular, o unit origami, en el cual se pliegan varias piezas sencillas independientemente para acabar encajándolas (sin pegamento, por supuesto) con el fin de formar un motivo casi siempre geométrico. Los pioneros de esta modalidad de origami son Robert Neale y Lewis Simon, (EEUU, década de los 60), si bien quien más ha impulsado esta modalidad es la genial japonesa Tomoko Fuse. 1.3. Relación de la papiroflexia con las matemáticas La mejor manera de darse cuenta de la relación entre las matemáticas y la papiroflexia es desple- gar un modelo y observar el cuadrado inicial: apa- rece ante nuestros ojos un complejo de cicatrices que no es sino un grafo que cumple unas ciertas propiedades. Intuitivamente, hay unas “matemáti- cas del origami” funcionando cuando plegamos un modelo. En este trabajo señalaremos tres aspectos fundamentales en los cuales la matemá- tica aflora en la papiroflexia: 1) Papiroflexia modular: representación de poliedros y figuras geométricas; 2) Axiomas de constructibilidad teoría de puntos constructibles con Origami, paralela a la existente con regla y compás; 3) Diseño de figuras: métodos matemáticos para la creación papirofléctica. La intención de esta exposición es que sea una miscelánea agradable, ilustrativa y divulgativa sobre un tema que es muy poco conocido, pero atractivo. También quiere ser una prueba más de que las matemáticas son cultura. 2. PAPIROFLEXIA MODULAR: CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS 2.1. Dos cositas sobre poliedros Un poliedro se puede definir como un conjunto conexo de R3 formado por un número finito de polígonos planos que se juntan de una manera razonable. Aquí “razonable” quiere decir que cada lado de un polígono pertenece exactamente a otro polígono del poliedro, y de manera que los polígonos que concurran en cada vértice formen un circuito simple (para evitar ano- malías tales como el caso de dos pirámides uni- das por el vértice). Los polígonos son llamados caras, y sus lados, aristas. Un poliedro es, por lo tanto, una superficie cerrada (no diferenciable, pues tiene aristas y vértices), y divide al espacio en dos partes: una no acotada y otra acotada a la que llamaremos interior. El caso más importante SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA178 José Ignacio Royo Prieto Pájaro aleteador con su mapa de cicatrices Dodecaedro y dodecaedro estrellado (Tomoko Fuse)
- 175. Octubre 2002 •2002 Urria 179 Matemáticas y Papiroflexia es el de los poliedros convexos, en el cual el interior es un conjunto convexo, (es decir, tal que el plano que contiene a una cara no penetra en el poliedro), de modo que podemos defi- nirlo en coordenadas cartesianas mediante un sistema de desigualdades: aix+biy+ciz≤di V-i=1,…,C siendo C el número de caras. Ejemplos de poliedros son una caja de zapatos, una pirámide, un cubo, un tetraedro... Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos. Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aris- tas. Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Este resultado se atribuye a Teeteto (425-379 a.C.), de la escuela de Platón. Existen pruebas elemen- tales de este resultado, pero la forma elegante de hacerlo es utilizar la famosa fórmula de Euler, de la que más adelante hablaremos. Platón en su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los cuatro elementos en el pasaje en el que describe la creación del universo. Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el cubo es la tierra y el icosaedro, las moléculas de agua. Finalmente, relata cómo el Creador uti- lizó el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón por la cual se les conoce como sólidos platónicos. Los poliedros son entes matemáticos que brotan de la forma más insos- pechada en distintos ámbitos de nuestra vida: desde las pirámides de Egipto hasta los cubos en los que cristaliza la pirita, pasando por los balo- nes de fútbol. Han fascinado a los matemáticos y las matemáticas, que se han dedicado a su estudio desde la antigua Grecia, y constituyen hoy en día motivo de investigación activa. Entre los muchos que se han ocupado de su estudio cabría citar a Arquímedes, Kepler, Descartes, Euler, Cauchy, Steinitz, Alexandrov, Weil, Coxeter, Schläffi y Banchoff, dejándonos a muchos por el camino. Una referencia obligada sobre poliedros es [Cox] 2.2. Papiroflexia modular Como hemos comentado antes, la papiroflexia modular consiste en hacer figuras utilizando varios papeles que darán lugar a piezas individuales que llamaremos módulos. Cada uno de estos módulos posee solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Es usual repre- sentar de esta manera figuras geométricas, y que el plegado de cada módulo sea sencillo. Los poliedros son la principal fuente de inspiración de esta modalidad, aunque no la única. Aparte del valor artístico y estético de la papiroflexia modular, su interés para con las mate- máticas es doble: 1) Nos permite la representación física de entes abstractos. En este sentido, tiene el mismo interés que puede tener un programa de ordenador que dibuje poliedros, si bien es mucho más revelador tener en la mano un icosaedro, palparlo y girarlo, que Sólidos Platónicos
- 176. verlo en unapantalla donde simulamos su giro. Para este fin, hay también recortables y figuras de plástico, aunque a decir verdad, la posibilidad práctica de representar poliedros con origami son mucho mayores que con recortables. 2) Tanto en el diseño como en el plegado y ensamblaje de los módulos, se experimen- tan de una forma muy sencilla las propiedades de los poliedros tales como grado de un vértice, regularidad y simetría, ya que en su diseño intervienen de forma decisiva los conceptos de arista, índice, cara, vértice, y otros más sofisticados como dualidad, colorabilidad, característica de Euler-Poincaré e incluso curvatura (en el sentido que veremos más adelante). En este apartado, vamos a ver diversos tipos de módulos y de poliedros, y analizaremos la enjundia matemática que acompaña a su diseño y su hechura. A medida que vamos viendo modelos, veremos como nos surgirán cuestiones matemáticas que nos harán acercamos a diversos resultados matemáticos sobre poliedros. 2.3. Familias de módulos Se puede hacer una clasificación de los modulares, fijándonos en la estructura del poliedro que forman, o mejor dicho, dependiendo de en qué se fije uno para describir un poliedro: los vértices, las aristas o las caras. ¿Qué es, al fin y al cabo, un tetraedro? Podemos definirlo como cuatro vértices equidistan- tes, o como seis segmentos dispuestos de una determinada manera, o como cuatro caras triangulares. En una vuelta de tuerca sorprendente, un cubo puede definirse como un tetrae- dro estrellado. Todo esto es fácil de experimentar con la papi- roflexia. Según esto, distinguimos tres tipos de módulos: 1) Módulos basados en las aristas. Suelen ser los de ensamblaje más sólido. Cada módulo corresponde a una arista, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de diseñarlos. Por lo general, suelen presentar caras perforadas, que nos permiten ver el interior. 2) Módulos basados en las caras. Parece lo más natural, pero no siempre es lo más fácil de diseñar en papiroflexia. Los empalmes suelen ser más débiles, lo cual se debe a que las caras se juntan entre sí de dos en dos, mientras que las aristas se juntan de más en más en cada vértice. 3) Módulos basados en los vértices. Los más importantes son de tipo giroscopio (ver [SAG]). Muy versátiles y resultones. Dentro de este tipo, se pueden clasificar por el grado: los que agrupan aristas de 3 en 3, de 4 en 4... 2.4. Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados Son probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè. Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un triángulo equilátero y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy adecuados para construir poliedros SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA180 José Ignacio Royo Prieto Octaedro con el módulo giroscopio
- 177. estrellados cuyas carasson triángulos (icosaedro estrellado, octaedro estrellado...). Podemos considerar que estos módulos pertenecen la familia de las caras, pero no sólo los podemos usar con caras triangu- lares: podemos juntarlos de 4 en 4, obteniendo como base un cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una estre- llación de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no caen en un plano). De la misma manera, juntándolos de diver- sas maneras podemos obtener polígonos con estrellaciones muy barrocas, donde las caras aparecen de una manera más especial, pero con su sentido artístico y estructural (ver [Kasa]). 2.5. Coloración Un reto interesante sobre el módulo Sonobè consiste en colorear sus caras de una forma cohe- rente. Para abordar esto, nos será útil el concepto de grafo de un poliedro. 2.5.1. Grafo de un poliedro Sin querer ser demasiado preciso, un grafo es un complejo finito de vértices y aristas. Un grafo es plano si se puede dibujar en R2 de modo que las aristas no se corten, tan sólo pueden juntarse en los vértices. En un grafo, consideraremos vértices, aristas y caras. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas que concurren en él. A todo poliedro podemos asociar de forma fácil un grafo plano. Basta tomar una cara y realizar una suerte de proyección estereo- gráfica en el plano. Por supuesto, conside- ramos la componente no acotada como una cara. Una ventaja de los grafos es que nos permite estudiar los poliedros de una forma más fácil que representándolos en el espacio. 2.5.2. Coloración de isocaedros Entendemos por una buena coloración a la asignación de colores a los vértices, aristas o caras de modo que cumplan alguna regularidad, por lo general, del tipo de que elementos conti- guos tengan colores distintos. Para pensar en una coloración del icosaedro estrellado con módulos Sonobè, habrá que conse- guir su grafo a partir del de nuestro icosaedro, sin más que unir en cada uno de sus triángulos Octubre 2002 • 2002 Urria 181 Matemáticas y Papiroflexia Grafos de los sólidos platónicos Icosaedro Estrellado con módulos Sonebè
- 178. el punto mediocon sus vérti- ces. El grafo que así obtene- mos es el de un triacontrae- dro. Como éste es dual del icosidodecaedro, nos basta colorear las aristas de éste último. Si nos fijamos en los módulos de Sonobè, ade- más, tenemos que por cada módulo, coloreamos dos aristas “contiguas” del icosa- edro estrellado. Esto nos sugiere construir seis circui- tos de colores de la forma en que vemos en la ilustración, obteniendo seis “círculos máximos” sobre el icosaedro estrellado. Volviendo al módulo de Sonobè, si quiero hacer una coloración con tres colores, he de elegir los circuitos máximos de dos en dos, y en los puntos de cruce de ambos circuitos, dejar que pase el uno sobre el otro, y el otro sobre el uno. De esta forma, obtenemos un arlequinado del icosaedro estrellado Sonobè tal que en cada vértice se unen los tres colores. Como vemos, para colorear un icosaedro estrellado, hay que pensar en un icosidodecaedro. 2.5.3. Dualidad Otro concepto que se puede representar con la papiroflexia es la dualidad de poliedros. Dado un poliedro, podemos tomar los puntos medios de cada cara, y unir los de caras contiguas. Sorprendentemente, mediante este procedimiento obtenemos un nuevo poliedro. Para com- prender mejor la idea, vamos a expresarla con grafos: se cons- truye el dual de un grafo como el grafo que tiene como pun- tos los puntos medios de cada cara, y que tiene como aristas las aristas que resultan de unir los puntos pertenecientes a caras contiguas, atravesando las aristas originales. Poliedros duales corresponden a grafos duales. La relación “ser duales” es recíproca. De este modo, se puede comprobar que el dual del tetraedro es el mismo tetraedro, el dual del icosaedro es el dodecaedro, y el dual del cubo es el octae- dro. En papiroflexia podemos representar esa dualidad valiéndonos de que los módulos de tipo arista del dodecaedro tienen agujeros, además de usar un material transparente como lo es el acetato. 2.6 Cinco tetraedros intersecados Vamos a construir un objeto muy venerado por matemáticos y papiroflectas. Si tomamos en un dodecaedro cuatro vértices equidistantes, obtendremos un tetraedro. Como tenemos exac- tamente veinte vértices, podemos insertar cinco tetraedros en el dodecaedro. Este objeto se puede construir en papiroflexia, y constituye un complejo y entretenido rompecabezas (ver [Hull1]). Para resolverlo, hay que fijarse en las mil y una simetrías de este objeto. La clave para SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA182 José Ignacio Royo Prieto Seis ciclos en un icosidodecaedro; Grafo del triacontaedro. Dualidad icosaedro-dodecaedro
- 179. Octubre 2002 •2002 Urria 183 Matemáticas y Papiroflexia la construcción consiste en que si tomamos cualesquiera dos de estos tetraedros, un vértice de uno de ellos sale exacta- mente por el medio de una cara del otro, y lo mismo pero intercambiando los papeles ocurre en la parte opuesta. Con este objeto se puede visualizar que el grupo de rotaciones del dodecaedro es grupo alternado de cinco letras. Esto resulta de que al girar el dodecaedro estamos intercambiando los cinco tetraedros entre sí. Hay otras composiciones realizables con papiroflexia, como los cinco octaedros que hay insertados en un icosidodecaedro. En cambio, la composición de cinco cubos que hay en un dodecaedro presenta una dificultad añadida, pues las aristas de esos cubos se intersecan, y no podríamos usar la técnica de los módulos tipo arista que hemos usado para los tetraedros. 2.7. Balones de fútbol o Fullerenos 2.7.1. El objeto Si miramos con atención un balón de fútbol, veremos que está formado por hexágonos y pen- tágonos, de modo que en cada vértice se juntan dos hexágonos y un pentágono. Podemos con- tar con cuidado y comprobar que tiene 12 pentágonos. Contar los hexágonos del balón parece más complicado, pero podemos valernos su estructura: si contamos por cada pentágono sus cinco hexágonos adyacentes, obtenemos 60 hexágonos, pero cada uno de estos, al tocar a 3 pentágonos, lo hemos contado 3 veces, de modo que en realidad hay 20 hexágonos. El balón de fútbol es un poliedro semirregular (son como los regulares, pero usando dos tipos de polí- gonos; hay sólo 13 y se llaman arquimedianos), y su auténtico nombre es icosaedro truncado. 2.7.2. Fullerenos Un fullereno es un poliedro formado por pentágonos y hexágonos, de modo que todos los vértices son de grado 3. Su nombre está puesto en honor al arquitecto Richard Buck- minster Fuller (1895-1983), que construyó un pabellón esférico futu- rista con esa estructura en la Exposición Universal de Montreal de 1967. Más tarde, se ha llamado fullereno a la tercera forma alotró- pica del carbono (las otras dos son el diamante y el grafito), y ha resultado ser una forma extraordinariamente estable, descubierta en 1985 y cuyo descubrimiento fue merecedor de un premio Nobel. Las moléculas del fullereno usual tienen 60 átomos de Carbono coloca- dos en los vértices de un balón de fútbol, pero hay muchos más fullerenos. Para construir fullerenos de papiroflexia es muy adecuada la pieza en zig-zag de Tom Hull (ver [Hull1]), pues cada módulo representa una arista y las aristas se juntan de tres en tres (ver dibujo en el apartado 2.9). Cinco tetraedros intersecados Icosaedros truncados con módulos de vértices y aristas
- 180. 2.8. Característica deEuler Una de las propiedades más valiosas de los poliedros es una fórmula atribuida a Euler, aun- que anteriormente Descartes había encontrado una fórmula equivalente, que apareció 200 años después de ser escrita, entre los papeles de Leibnitz. Es el siguiente y bonito teorema: Teorema (Fórmula de Euler): Sea un poliedro homeomorfo a una esfera con V vértices, A aris- tas y C caras. Entonces, se cumple la fórmula: V-A+C=2. Podemos comprobar esta fórmula con los sólidos platónicos, con el balón de fútbol y con los poliedros estrellados que hemos visto aquí. Esta fórmula también la cumplen los grafos pla- nos. De hecho, la propiedad es topológica: si hacemos cualquier triangulación sobre una esfera o sobre un espacio homeomorfo, se seguirá cumpliendo la fórmula. Se puede asociar a cada espacio topológico “razonable” un número llamado característica de Euler-Poincaré, que se define como la suma alternada de sus números de Betti. Es un invariante topológico impor- tantísimo, y generaliza la suma alternada que antes hemos expresado como “vértices menos aristas más caras”. En este sentido, la fórmula de Euler dice ni más ni menos que la caracte- rística de Euler-Poincaré de la esfera es 2. Con la característica de Euler-Poincaré es fácil pro- bar, por ejemplo, el teorema de Teeteto sobre los cinco sólidos platónicos. Volviendo a nuestros fullerenos, si llamamos H al número de hexágonos y P al número de pen- tágonos, podemos calcular cuántos vértices, aristas y caras hay. Explícitamente, Si sustituimos ahora en la fórmula de Euler, obtenemos fácilmente y concluimos P=12, de modo que sea lo grande que sea el fulle- reno, las condiciones que le hemos puesto fuerzan a que haya siempre 12 pentágonos, si bien no hemos obtenido ninguna condi- ción sobre los hexágonos. De hecho, podemos interpretar el dode- caedro como un fullereno sin hexágonos. Un método para generar fullerenos es truncar un icosaedro (tiene 12 vértices, de donde obtenemos los 12 pentágonos) y subdividir las caras triangulares en nuevos triangulitos más pequeños. Calculando el dual de este grafo, obtenemos un nuevo poliedro que es un fullereno. Cabe preguntarnos si estas construcciones son meramente topoló- gicas, es decir, si los grafos que construimos tienen una realización en un poliedro convexo real. No tenemos aparentemente ninguna razón para pensar que para todo grafo vaya a suceder eso. Es clara la existencia de un poliedro “esférico” que realice cada grafo, pero otra cosa es que las caras que obtengamos sean planas. Aunque nuestros fullerenos podamos construirlos efectivamente con papi- roflexia (ver [Hull1]), a uno le podría quedar la duda de si está SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA184 José Ignacio Royo Prieto 5P + 6H 3 5P + 6H 2 V = ;A = ;C = P + H 5P + 6H 3 5P + 6H 2 -- + (P + H) = 2 ˛ P=12 Construcción de fullerenos
- 181. Octubre 2002 •2002 Urria 185 Matemáticas y Papiroflexia construyendo poliedros “de verdad” o si es la flexibilidad del papel la que nos los permite construir, no yaciendo cada cara en un plano. Para responder a esta cuestión, tenemos el siguiente y clásico teorema: Teorema [Steinitz] Un grafo representa a un poliedro convexo de IIR3 si y sólo si es plano y 3- conexo. La propiedad de ser 3-conexo significa que hay que quitar por lo menos tres vértices al grafo plano para dividirlo en dos componentes conexas. Así que como nuestros fullerenos tienen grafos planos y 3-conexos, nos quedamos tranquilos. Otra cuestión es saber cuándo un grafo se puede realizar como un poliedro inscribible en una esfera. Esta cuestión se conoce como Problema de Steinitz y ha obtenido recientemente respuestas parciales con métodos de geo- metría computacional. 2.9. Toros modulares Un toro es el nombre matemático por el que se conoce a la superficie de un flotador o un donuts. Viene del griego torew, que significa agujero, perforar. Vamos a ilustrar el interés mate- mático de la construcción de un toro de papiroflexia con una anécdota personal. La historia empieza al conseguir una foto en internet de un toro modular, diseñado por el italiano Roberto Gretter con las mismas piezas zig-zag de Hull. Como con los fullerenos, podemos contar cuántos pentágonos y hexágonos iban a ser necesarios. La característica de Euler- Poincaré del toro es 0, con lo cual, aplicando la fórmula de Euler para toros: V - A + C = 0, y sustituyendo con el número H de hexágonos y P de pentágonos, obtenemos: con lo que llegamos a que no se puede construir un toro con hexágonos y pentágonos de 3 en 3, esto es una restricción topológica. Sin embargo, en el toro de la foto claramente se le adivinan pentágonos en la parte exterior. El error consistió en no haberse percatado de que, además de pentágonos y hexágonos, el toro por la parte interna tenía heptágonos. Teniendo esto en cuenta, la fórmula de Euler nos proporciona: con lo que la condición es que haya el mismo número de heptágonos que de pentágonos. Con ese dato, y calculando que hubiera 10 pentágonos en la composición, es un entretenido rom- pecabezas construir un toro modular. Como vemos, la discusión matemática previa al diseño es exclusivamente topológica (hemos utilizado el género de la superficie que queremos conseguir). No hemos obtenido un poliedro, Toro modular 5P + 6H 3 5P + 6H 2 -- + (P + H) = 0 ˛ P = 0!!! 5P + 6H + 7Hp 3 5P + 6H + 7Hp 2 -- + (5P + 6H + 7Hp) = 0 ˛ P = Hp,
- 182. pues salta ala vista que las caras que tenemos no son planas. No obstante, la enjundia de este modelo no es sólo topológica, sino también geométrica. Podemos fijarnos en que el toro tiene los 10 pentágonos por fuera y los heptágonos por den- tro. El toro usual con la métrica usual, sabemos que tiene curvatura positiva por fuera (se ase- meja a un balón), negativa por dentro (se asemeja a una silla de montar) y como la curvatura es una aplicación continua, se tiene que anula entre medio. De hecho, por fuera, los pentá- gonos están rodeados de hexágonos, lo cual nos puede recordar al balón de fútbol. Ciertamente, la coloración del toro está en función de la curvatura: roja allá donde es posi- tiva, morado donde es negativa, y amarillo cuando más se acerca a cero. La razón por la cual nuestro toro modular adquiere esta curvatura no es topológica, sino geo- métrica, y de hecho se debe a la forma que tienen los módulos que estamos empalmando. Al formar un heptágono con los módulos zig-zag, vemos que adquiere por sí solo curvatura nega- tiva, al plegar un hexágono, se puede posar tranquilamente sobre una mesa (curvatura cero), y al plegar un pentágono, las aristas adquieren curvatura positiva. Al analizar los empalmes de los módulos, vemos que forman pirámides que tiene como base un triángulo equilátero, y se unen desde la mitad del lado, como se ve en el dibujo. Si ponemos seis triángulos de esa manera, montan perfectamente. Si ponemos sólo cinco, nos falta un poco de ángulo para completar 2 radianes. Eso que falta se puede interpretar como el exceso de ángulo en un punto interior del pentá- gono, y es lo que proporciona la cur- vatura positiva. Cuando ponemos siete triángulos, en vez de faltar, sobra ángulo, y eso es porque en el interior hay curvatura negativa. Un interesante reto consiste en diseñar toros con este mismo módulo usando la menor cantidad de piezas posible. El toro de Gretter tiene 555 piezas. Tom Hull y sus alum- nos han diseñado diferentes modelos de 240, 105 y 81 piezas, llegando al límite de lo física- mente constructible. En vez de heptágonos, se usan octógonos y decágonos para dar curva- tura negativa (cuanto menos piezas, menor tendrá que ser la curvatura, intuitivamente). La fór- mula de Euler nos dice que tiene que tener el doble de pentágonos que de octógonos, y si usá- mos decágonos, hay que usar 4 veces más pentágonos que decágonos. 3. CONSTRUCTIBILIDAD DE PUNTOS EN ORIGAMI La papiroflexia, o mejor dicho, el ejercicio de doblar papel se puede usar con fines pedagógicos para estudiar e ilustrar la geometría elemental plana. Sobre ello hay numerosos libros, siendo una excelente referencia el de Sundara Row ([Row]), donde se proponen diversos ejer- cicios mediante los que se resuelven problemas referen- tes a cónicas, ecuaciones polinómicas y trigonometría utilizando tan sólo los dobleces del papel. SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA186 José Ignacio Royo Prieto Pentágono y hexágono con módulos zig-zag de Hull Dominio fundamental (Sarah Belcastro)
- 183. Octubre 2002 •2002 Urria 187 Matemáticas y Papiroflexia La clave consiste en interpretar geométricamente qué estamos haciendo cuando doblamos el papel. Por ejemplo, cuando doblamos los dos lados que concurren en una esquina, uno sobre el otro, estamos calculando una bisectriz. Cuando llevamos un punto del papel sobre otro y doblamos, estamos trazando la mediatriz del segmento que definen los dos puntos. Con papi- roflexia es sencillo dibujar un montón de rectas tangentes a una parábola dada por su foco y su recta directora, probar que el área de un triángulo es base por altura partido de dos, o sumar la serie ⌺ 1/2n , sin más que hacer unos cuantos dobleces y pensar su significado. Las posibili- dades pedagógicas del plegado son muchas, pero no entraremos en ello, sino más bien en analizar qué puntos son constructibles con origami, de la misma manera en la que se estudia qué puntos son constructibles con regla y compás. En 1995, D. Auckly y J. Cleveland publicaron una nota en el American Mathematical Monthly en la cual probaban que todo punto constructible con papiroflexia era constructible con regla y compás, pero que el inverso no era cierto. Sin embargo, tal y como hace notar Tom Hull en la misma revista (ver [Hull3]), hay un método desarrollado por el japonés Hisashi Habe en la década de los 70, mediante el cual se puede trisecar cualquier ángulo dado, con un par de pliegues que son perfectamente razonables en origami, tal y como vemos en la figura. ¿Dónde está la contradicción? Lo que ocurre es que a la hora de definir los números constructibles con papiroflexia, hay que realizar una axiomática de lo que consideramos “razonable” de obtener en papiroflexia plegando. En la literatura de la papiroflexia se pueden encontrar métodos para trisecar ángulos, duplicar cubos y doblar heptágonos regulares, todos ellos con pliegues sen- cillos. Se debe al italo-japonés Humiaki Huzita la formulación de la axiomática más utilizada para definir los puntos constructibles con papiroflexia: [O1] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles, podemos construir la línea que los une; [O2] El punto de coincidencia entre dos líneas cons- tructibles es constructible; [O3] Dado un segmento delimitado por dos puntos constructibles, su bisectriz es constructible;
- 184. [O4] La bisectrizdel ángulo formado por dos líneas construc- tibles es constructible; [O5] Dados dos puntos p1 y p2 y una línea l1 cons- tructible, la línea que pasa por p1 y que refleja a p2 sobre l1 es constructible; [O6] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles, y dos líneas constructibles l1 y l2, la línea que refleja a p1 en l1 y a p2 en l2, si es que existe, es constructible. Era conocido entre los griegos desde tiempos de Arquímedes que si se podían hacer dos mar- cas en una regla, entonces se podía conseguir la trisección del ángulo, de modo que dado que en un borde del papel se puede calcular 1/2, 1/4, 1/8 y así, no es sorprendente que se pue- dan hacer cosas en origami tales como trisecar ángulos. Los cuatro primeros axiomas se pueden alcanzar con regla y compás. El quinto, también, y de hecho, los puntos constructibles con regla y compás son exactamente los mismos que los constructibles con los cinco primeros axiomas, y que es equivalente al menor subcuerpo del cuerpo de los números complejos C, cerrado por raíces cuadradas. El sexto axioma es equi- valente a la construcción de una tangente común a dos parábolas, exactamente a las defini- das por p1,l1 y p2,l2. Se puede probar que hacer esto es equivalente a resolver una ecuación de tercer grado. En un artículo de Roger Alperin aparecido en el New York Journal of Mathematics (ver [Alp]), se hace una discusión del alcance de los axiomas presentados, y se caracterizan los “puntos de origami” como aquellos números del plano complejo C constructibles tras la aplicación finita de los axiomas O1-O6. El resultado central es: Teorema [Alperin]: El conjunto O de los puntos los puntos constructibles con origami se puede caracterizar de las siguientes maneras: i) el menor subcuerpo de C cerrado por raíces cuadradas, cúbicas y conjugación compleja; ii) el conjunto de los puntos constructibles por intersección de líneas constructibles y cónicas constructibles (con directrices, focos, radios y excentricidades constructibles). SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA188 José Ignacio Royo Prieto
- 185. 4. MÉTODOS MATEMÁTICOSDE DISEÑO Lo que hemos visto hasta ahora no tiene mucho que ver, en un principio, con las maravillo- sas figuras de papel con tantas patas, alas y cuernos que pueblan el repertorio de la papiro- flexia. En este apartado, vamos a tratar de explicar cómo los mejores plegadores del mundo usan las matemáticas para sus diseñar sus modelos. 4.1. Propiedades del mapa de cicatrices de una figura plana Como hemos comentado antes, al desplegar un modelo de origami descubrimos en el cuadrado un fenomenal mapa de pliegues, un grafo, al fin y al cabo, donde se me forman valles (pliegues donde la arista está más baja que el papel pró- ximo) y montañas (pliegues donde la arista del grafo es una cumbre). El problema que nos plan- teamos, en general, es: Problema: Dado un trozo de papel y un grafo dibujado en el papel donde cada arista es una montaña o un valle, ¿cómo podemos saber si es el mapa de cicatrices de un modelo de papi- roflexia? Así planteado, este problema es muy difícil, casi inabordable. Por eso, tal y como se hace en matemáticas, restringiremos nuestra atención a una clase más sencilla, los modelos planos, eso es, figuras de papiroflexia que se pueden meter en un libro sin añadir nuevas cicatrices, o dicho de otro modo, tales que el ángulo diedro en cada arista es múltiplo de . La gran mayo- ría de modelos de papiroflexia cae en esta categoría. El grafo del mapa de cicatrices de un modelo plano cumple una serie de propiedades, que han sido estudiadas por diversos plegadores, y que listamos a continuación. Las pruebas son ele- mentales, pero no triviales: • (Maekawa) La diferencia entre el número de pliegues en montaña y en valle en un vér- tice es siempre 2. • El grado de cada vértice es par. • (Meguro) Las caras de un mapa de cicatrices son 2-coloreables. • (Kawasaki) Sean ␣1 ,..., ␣2k todos los ángulos concurrentes en un vértice, contiguos cada uno con el siguiente. Entonces, tenemos: ␣1 +␣3 +... +␣2k-1 = ␣2 +␣4 +... +␣2k = • (Hull) La condición anterior es una condición suficiente. Octubre 2002 • 2002 Urria 189 Matemáticas y Papiroflexia Mariquita (Tanaka Masashi) y mapa de cicatrices
- 186. T. Hull en[Hull2] halla más resultados sobre las propiedades que tiene que cumplir un grafo para corresponder a un modelo plano, y sobre las posibles asignaciones valle-montaña que tiene un grafo determinado. 4.2. Método de Meguro-Kawahata-Lang Los resultados anteriores nos hablan de propiedades que ha de tener un mapa de cicatrices para que pueda convertirse en un modelo plano, pero otra cuestión distinta es, por ejemplo, si queremos diseñar un ciervo, o una lagartija, cómo nos las podemos ingeniar. Un método es el tan recurrido ensayo-error, basado en la experiencia, el cual tiene sus límites, sobre todo si que- remos conseguir un modelo complicado como puede ser un insecto. A continuación voy a intentar describir la formalización del problema que han realizado diversos plegadores, en particular, Toshikuyi Meguro, Fumiaki Kawahata y Robert Lang. Una base es una aproximación esquemática a la figura que queremos obtener. La base resulta de un número finito de pliegues, en cuya forma final se pueden observar las solapas y puntas necesarias, con las longitudes deseadas que nos llevarán al modelo que queremos. Una vez obtenida la base, no es difícil llegar al modelo, o por lo menos, ya es una cuestión artística y abordable. Consideraremos un tipo de bases: aquellas en las que se pueden distribuir las puntas de modo que la base se proyecta ortogonalmente en un grafo plano, simple y sin caras, tal y como vemos en la figura. El problema va a ser saber si dado un grafo de este tipo vamos a poder encontrar un mapa de cicatrices que me proporcione una base que se proyecte sobre ese grafo. 4.2.1. Método Meguro-Kawahata de las hipérbolas Vamos a ilustrar la respuesta que dan Meguro y Kawahata (ver [Kawa] y [Voy]) al problema anterior mediante el siguiente gráfico. En primer lugar, idealiza- mos nuestro modelo. Luego, cuando tenemos el grafo, hemos de distribuir en el papel las puntas de la base, de la siguiente manera. Luego, nos hemos de fijar en lo siguiente: cuando queremos conseguir dos puntas inde- pendientes, en un triángulo, se hace doblando por las tres bisectrices y una de las alturas desde el incentro. Por lo tanto, al pensar que tenemos que meter aquí el tercer vértice de un triángulo, hay que calcular el lugar geo- métrico de los posibles vértices tal que el incentro cum- pla lo que ha de cumplir, y un cálculo sencillo nos pro- porciona que ese lugar geométrico es una hipérbola. Entonces allá donde se corten las hipérbolas, o donde se corten con pliegues o puntos que hayamos impuesto, como una diagonal, por ejemplo, obtenemos nuevos SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA190 José Ignacio Royo Prieto Base proyectable y mapa de cicatrices de un modelo plano Aplicación del método F. Kawahata
- 187. Octubre 2002 •2002 Urria 191 Matemáticas y Papiroflexia puntos de nuestro mapa de pliegues. Con este método podemos tener una primera aproximación al modelo. Luego habría que rellenar los pliegues, para lo que hay otros razonamientos geométricos elementales. El resul- tado que consigue Kawahata con este método es fran- camente impresionante. 4.2.2. El Treemaker de R. Lang El método del árbol (grafo sin caras) de Lang es un método de similar estructura al de Kawahata. Lang permite que los vértices del grafo del modelo estén también en el interior del cuadrado de papel. Vamos a ilustrar su método con el siguiente ejemplo: Para conseguir un perro, diseña un grafo con aristas de determinada longitud, y las distribuye en el cuadrado intentando aprovechar toda la superficie del cuadrado. Ahora cabe plantearse si existirá un mapa de cicatrices conteniendo este árbol que nos lleve a la base deseada. Lang ha encon- trado una condición necesaria y suficiente para la existencia de un tal mapa de cicatrices, tal y como se enuncia en el siguiente (ver [Lang2]): Teorema (del árbol de Lang): Sea un árbol T simplemente conexo con puntos terminales P1,..., Pn, y sean lij las distancias entre Pi y Pj medidas a lo largo de las aristas del árbol. Sea un conjunto de puntos ui en el cuadrado unidad. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que exista un mapa de cicatrices que transforme el cuadrado en una base cuya proyección sea el árbol T es: ui - uj ≤ lij i,j Más aún, en dicha base, cada punto Pi es la proyección del punto ui para todo i. De la prueba, que no es en absoluto trivial, se desprende una manera de construir un algo- ritmo que calcule el mapa de cicatrices deseado. El autor ha implementado el algoritmo en un programa de ordenador para Macintosh, el Treemaker, de libre distribución. Tanto del método de Kawahata-Meguro como del de Lang, por supuesto, se derivan proble- mas adicionales. El primero es obtener mediante dobleces los ángulos que proporciona el método. El segundo consiste en que, aun obteniendo un mapa de cicatrices, encontrar una secuencia de plegado que nos lleve hasta la figura deseada es realmente complejo. No todo en papiroflexia se basa en métodos matemáticos; la experiencia y la componente artística no se pueden dejar de lado. Esto viene muy bien reflejado en el siguiente Origag : A Pliegue oreja de conejo Lugar geométrico de los incentros
- 188. 5. CONCLUSIONES Como conclusión,quisiéramos señalar que las conexiones entre las matemáticas y la papiro- flexia no son meramente anecdóticas, y de hecho hemos visto cómo afloran de formas muy distintas. No en vano, en Japón se celebran con frecuencia simposios de matemáticos papiro- flectas donde exponen y comparten sus técnicas, y aparecen salpicadamente artículos de papiroflexia en diversas revistas matemáticas (no sólo de divulgación). La papiroflexia consti- tuye una atractiva forma de acercarse a las matemáticas, y queremos reivindicar desde estas líneas un hueco para esta bella arte en la enseñanza, por su riqueza cultural y su gran valor pedagógico. 6. BIBLIOGRAFÍA [Alp] R.C. Alperin, “A mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers”, New York J. Math, 6 (2000) 119-133. [Cox] H.S.M. Coxeter, “Regular Polytopes“, Dover, 1973 (prev.1967). [Engel] P.Engel, “Origami: from Angelfish to Zen“, Dover, 1994. [Hull1] T. Hull, “Página web de Tom Hull“, http://web.merrymack.edu/~thull/ [Hull2] T.Hull, “On the mathematics of flat origamis“, Congressus Numerantium 100, 215-224, (1994). [Hull3] T.Hull, “A note on «Impossible» Paper Folding“, Amer. Math. Monthly, 103 240-241, (1996). [Kasa] K.Kasahara, T.Takahama, “Origami para expertos“, Edaf, 2000 (prev. 1987) [Kawa] F. Kawahata, “The technique to fold free angles of formative art «origami»”, Second International Meeting on Origami Science and Scientific Origami, Otsu, Japón,1994. [Lang1] R. Lang, “The Complete book of Origami“, Dover, 1989. [Lang2] R.Lang, “TreeMaker 4.0: A program for Origami Design“, http://origami.kvi.nl/programs/TreeMaker/trmkr40.pdf [Row] S.Row, “Geometric exercises in paper folding“, Dover 1966 (1ªed. 1905). [SAG] L.Simon, B.Arnstein, R.Gurkewitz, “Modular Origami Polyhedra“, Dover, 1999. [Voy] J.A.Voyer, “Introducción a la Creación“, (Seres de Ficción, El lado oscuro de la Papiroflexia), Ed. Salvatella, 2000. [AEP] “Página web de la Asociación Española de Papiroflexia“, http://www.pajarita.org SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA192 José Ignacio Royo Prieto Origag, de Roberto Morassi (1984)
- 189. Octubre 2002 •2002 Urria 193 El Aleph de Borges y las Matemáticas EL ALEPH DE BORGES Y LAS MATEMATICAS José del Río Sánchez (*) En el prólogo a la Geografía fantástica del alfabeto español que escriben los miembros de la Real Academia Española inspirándose en la letra del sillón que en ella ocupan, el director, García de la Concha, citando a S. Sosnowski, explica la génesis del relato borgiano y de su título. Borges quería encontrar un objeto que pudiera contener dentro de sí todo el espacio cósmico de la misma manera que, en la eternidad, coexiste todo el tiempo —pasado, presente y futuro—; por eso inventa —¿no es la eternidad también una invención?— esa “esfera de dos o tres centímetros de diámetro” a la que, en principio, llama mihrab, nombre del espacio sagrado de las mezquitas árabes. Pero, al leer el cuento ya ultimado, Borges, más que bauti- zarlo, reconoce el verdadero nombre de ese objeto, aleph, el nombre de la letra hebrea que, aunque no puede ser articulada, permite articular las demás y, por extrapolación lingüístico- literaria, encierra en sí el universo. En la posdata del cuento, Borges escribe dos observaciones sobre la naturaleza y el nombre de ese objeto; en una de ella menciona que, para la teoría de conjuntos, el aleph representa a los números transfinitos. ¿Existe alguna relación entre el aleph borgiano y el aleph matemático? En caso de que exista, ¿el escritor la conocía y la utilizó cons- cientemente en la elaboración de su cuento? Y si no existe, ¿por qué hace esa referencia en el apéndice? Para contestar a estas preguntas, debo empezar recordando brevemente lo que son los núme- ros transfintos. La operación de contar, por primaria y natural que parezca, fue precedida his- tóricamente (y es precedida en el desarrollo evolutivo de cada persona) por la operación de comparar. Sin saber nada de números, un hombre primitivo, por comparación, puede decidir si la cantidad de sus flechas es mayor, menor o igual que la de los dedos de una mano. Cuando existe una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre los elementos de un conjunto y los de otro, dichos conjuntos son equiparables, y matemáticamente se dice que tienen el mismo “car- dinal”. Al cardinal de todos los conjuntos equiparables con los dedos de una mano, en nues- tra cultura lo representamos por el símbolo “5”, pero los romanos lo representaron por “V”, los mayas por “-“, los etruscos por “^” , etc. El signo es convencional, el concepto universal. De este modo, se ha construido un conjunto ordenado 1, 2, 3, 4, 5... que sirve como patrón abstracto para comparar y para contar. Por ejemplo, si deseamos con- tar las caras de un dado, “ponemos” en cada cara un número de esta serie empezando por el 1; el último, 6, nos indica cuántas caras tiene el dado. Estos números se llaman, como sabe- mos, números naturales o enteros positivos y, a partir de ellos, se construyen las demás clases de números: racionales, reales, complejos, etc. En el último cuarto del s. XIX, a George Cantor, un atormentado profesor de matemáticas de una universidad alemana poco relevante, se le ocurrió la idea revolucionaria de extender este proceso a conjuntos infinitos, es decir, “com- parar” conjuntos infinitos mediante correspondencias entre sus elementos. De este modo des- cubrió, por ejemplo, que entre los números naturales y los números pares existe una corres- pondencia biunívoca: Números naturales: 1 2 3 4 5 ... Números pares: 2 4 6 8 10 ... (*) Profesor de Secundaria de Salamanca. › › › › ›
- 190. Por lo tanto,el conjunto de los números naturales y el de los números pares tienen el mismo cardinal. Pero también descubrió que entre los números naturales y otros conjuntos infinitos (como el de los números reales) no es posible establecer una correspondencia uno a uno, por lo cual, aunque los dos tengan infinitos elementos, no tienen el mismo cardinal. Concluyó que había entonces diferentes cardinales de conjuntos infinitos a los que llamó “cardinales o números transfinitos”, y los representó con la letra aleph y un subíndice para ordenarlos: 0, 1, 2, etc. El primero, aleph-cero, representa el cardinal del conjunto de los números naturales y de todos los conjuntos equiparables a él; es el menor de los números transfinitos, pero todavía no se sabe si el siguiente, aleph-uno, es el cardinal de los números reales. Ahora ya podemos volver a la primera de las preguntas: ¿Qué tienen que ver estos alephs con la esfera de Borges? En la narración se encuentran tres “definiciones” de ese objeto más o menos explícitas y no contradictorias (recordemos que analizamos un texto literario): 1. Un lugar del espacio que contiene todos los puntos. 2. Un lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe. 3. Un objeto secreto y conjetural cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hom- bre ha mirado: el inconcebible universo. Ninguna de esta caracterizaciones relaciona, en sentido estricto, el aleph de Borges con los alephs matemáticos, porque éstos, como hemos visto, expresan la “cantidad” de elementos de un conjunto infinito, pero no son “puntos” donde estén contenidos todos los “puntos” de un conjunto. Estas definiciones apuntan más bien hacia la geometría. ¿Existen otros conceptos matemáticos que puedan ilustrar, explicar, realizar, convertir en metáfora el aleph de Borges? Creo que sí. La clave para empezar se encuentra en la tercera “definición" : el inconcebible universo. ¿Es inconcebible el universo? Al margen de lo que opinen los demás científicos, los matemáticos han probado que Borges tiene razón: el “universo absoluto” es inconcebible. Lo explicaré con un ejemplo. Consideremos el conjunto de las tres primeras letras de nuestro alfabeto: {a, b, c}. Podemos formar tres subconjuntos distintos con una letra cada uno: {a} , {b} , {c} También podemos formar otros tres con dos letras: {a, b} , {a, c} , {b, c} El conjunto de las tres letras también se considera un subconjunto porque cada uno de sus ele- mentos pertenece al conjunto completo, y lo mismo le sucede al conjunto vacío. Ahora for- mamos otro conjunto con todos ellos: { {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {a,d} , {a,b,c} , { } } Este nuevo conjunto contiene a nuestro conjunto inicial y a otros más. Ahora imaginemos que existiera el “conjunto universal”, es decir, el conjunto que contiene a todos los conjuntos. Con el procedimiento anterior, construiríamos un conjunto mayor que él, lo cual contradice su hipotética naturaleza de universal. En consecuencia, el conjunto universal no existe, no es un concepto matemático, es inconcebible. En matemáticas sólo existen universos “referenciales”: son el marco en el que suceden ciertas clases de fenómenos; por ejemplo, la aritmética más elemental se desarrrolla en el ámbito de los números enteros: ése es su “universo”. Pues bien, como sabemos, este conjunto y otros muchos análogos, llamados “anillos”, contienen algu- nos subconjuntos especiales que se caracterizan por estas dos propiedades: la diferencia de dos de sus elementos siempre pertenece al subconjunto y el producto de un elemento cual- quiera por uno del subconjunto siempre da como resultado un elemento del subconjunto. Por ejemplo, consideremos por múltiplos de 3 junto con el cero: SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA194 José de Río Sánchez
- 191. { 0, 3,6, 9 ... } La diferencia de dos cualesquiera de estos números también es un múltiplo de 3 o 0, y el pro- ducto de cualquier número entero por uno de éstos sigue siendo un múltiplo de 3 o 0. Estos subconjuntos se llaman “ideales” y con ellos se construye un espacio denominado “espectro del anillo” donde cada punto representa un ideal. Podemos imaginarlo, en el caso de los números enteros, como una sucesión numerable de puntos alineados: • • • • • … (0) (1) (2) (3) (4) Pero hay un punto más: el correspondiente al conjunto completo que es también un ideal. Este punto contiene a todos los ideales, es decir, a todos los puntos del espectro, y evidentemente no podemos dibujarlo, sólo imaginarlo; se llama “punto genérico”. La esfera de Borges, su Aleph, sería ese punto. Por lo tanto, a mi juicio, la explicación más coherente que puede darse sobre el sentido matemático de la metáfora borgiana sería esta: si el cosmos fuera el espectro de un anillo, el Aleph de Borges sería su Punto Genérico. En conclusión, creo que el escritor no conocía la teoría espectral y que la referencia a la teoría conjuntista en el apéndice de su relato no tiene como objeto la justificación del nombre asignado a su esfera cósmica, sino mostrar la potencia semántica de la letra hebrea. De todos modos, el descubrimiento de la relación, siquiera metafórica, entre el cuento de Borges y una teoría matemática ¿es algo casual o más frecuente de lo que creemos? Octubre 2002 • 2002 Urria 195 El Aleph de Borges y las Matemáticas
- 192.
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- 194. SIGMA Nº 21• zk. 21 SIGMA198 CINCO ECUACIONES QUE CAMBIARON EL MUNDO El poder y belleza de las matemáticas Autor: Michael Guillen. - Editorial: Temas de Debate Es un libro que lleva casi tres años en el mercado y del que no tuvimos la oportunidad de comentarlo en su momento pero, por su interés, no queremos dejar de hacerlo ahora. Lo pri- mero que hay que señalar es que, en un principio, puede resultar un libro más idóneo para físicos pero que, en modo alguno, va resultar extraño a los matemáticos. Antes de explicar los contenidos de esta reseña, el lector o lectora se podría parar aquí y pen- sar cuáles pueden ser esas cinco ecuaciones y quiénes fueron sus creadores. Es más, si en este momento se encuentra en su instituto o colegio puede preguntar a su alrededor qué ecuacio- nes elegirían. El libro se divide en cinco capítulos y cada uno de ellos, a su vez, en cinco partes. La primera parte de cada capítulo es un prólogo referido a un momento de la vida del personaje relacio- nado con el desarrollo del trabajo que condujo a esa fórmula. Luego viene un desarrollo en tres partes en las que el autor, emulando a Julio César, llama Veni, Vidi, Vici, explica cómo el personaje llega al tema, cuál era el trabajo histórico sobre dicho tema hasta ese momento y cómo lo resolvió mediante la ecuación que ahora conocemos. Se completa con un epílogo, en el que están las consecuencias de esa ecuación para la civilización humana. Los cinco personajes y sus ecuaciones son: I. Newton y la Ley de la Gravitación Universal, Daniel (fueron tantos que aquí se debe citar el nombre de pila) Bernoulli y la Ley de la Presión Hidrodinámica, M. Faraday y la Ley de la Inducción Eléctrica, R. Clausius y la Segunda Ley de la Termodinámica, A. Einstein y la Teoría de la Relatividad Especial. Respectivamente, las ecuaciones son: Como consecuencia de estas ecuaciones se pudo llegar a la luna, hacer volar a los aviones, inventar la telefonía, saber que el universo camina hacia su muerte y convertir la masa ener- gía (con fatales consecuencias en algún caso) de modo semejante a como ocurre en las estre- llas. Por su interés también son destacables los aspectos referidos a la vida de cada personaje y las vicisitudes de sus trabajos (descubrimientos compartidos, fracasos, enfermedades, problemas familiares, etc). En especial se debe señalar a Daniel Bernoulli quien para tener problemas profesionales no necesitaba salir de la casa familiar. Libro muy recomendable por su sencillez y claridad en la presentación de los contenidos y que, una vez que se inicia su lectura, engancha y es difícil cerrarlo para continuar su lectura al día siguiente. Para terminar citar que el autor, Michael Guillen, es editor científico del programa “Good Morning, America” de la cadena de televisión estadounidense ABC. Fernando Fouz ٌ ˆ E = ;-ץB ץt SUNIVERSO ›0; E = m c2 P + = Cte; M.m d2 F = G ; 1 2v2 ٌ
- 195. Octubre 2002• 2002Urria 199 LIBROS SOBRE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Editorial Nivola Es siempre un placer comentar libros sobre historia de las Matemáticas, y más si estos nacen en nuestro contexto. La editorial NIVOLA está haciendo un generoso esfuerzo por poner en nuestras manos las vidas y los logros de grandes personajes de las Matemáticas. Son libros muy agradables de leer, con una tipografía muy cuidada, escritos con claridad y pensados para un gran público. Poco a poco han ido apareciendo títulos que dibujan un horizonte de conocimiento, pasión, emo- ción y descubrimiento. Ya se pueden conseguir los siguientes títulos: 1. Arquímedes. Alrededor del círculo. 2. Fermat. El mago de los números. 3. Newton. El umbral de la ciencia moderna. 4. Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano. 5. Galois. Revolución y matemáticas. 6. Euler. El maestro de todos los matemáticos. 7. Entretejidas. Mujeres, manzanas y matemáticas. 8. Descartes. Geometría y método. 9. Pitágoras. El filósofo del número. 10. Los Bernoulli. Geómetras y viajeros. 11. Legendre. La honestidad de un científico. 12. Omar Jayyam. Poeta y matemático. 13. Monge. Libertad, igualdad, fraternidad y geometría. Los editores de la obra dicen al respecto de la colección “La matemática en sus personajes”: “Las matemáticas son como una catedral inacabada cuya construcción comenzó hace más de 3.000 años. Esta colección tiene como objetivo presentar, de una forma clara y al alcance de todos, como ha evolucionado esta ciencia hasta nuestros días. El lector será un viajero en el tiempo. Conocerá a los personajes que a lo largo de la his- toria han ido colocando las piedras que han proporcionado al edificio de las matemáti- cas el aspecto que hoy tiene. Pero conocerá no sólo a los constructores y a su producto acabado, sino también los materiales y los andamios utilizados para ir levantando esta gran obra, las dificultades encontradas y el ingenio utilizado para vencerlas. Disfrutará así plenamente de la belleza de las matemáticas, considerada por tantos la reina de las ciencias.” Santiago Fernández
- 196. SIGMA Nº 21• zk. 21 SIGMA200 LA EXPERIENCIA DE DESCUBRIR EN GEOMETRÍA D. Miguel de Guzmán - Edit. NIVOLA. Madrid 2002 Este es el último libro de D. Miguel de Guzmán Ozámiz, está escrito con cariño —como dice su autor— y dedicado a todas aquellas personas que le gustan los retos matemáticos. El libro es un conjunto de ensayos cuyo trasfondo es la geometría. A lo largo de él se nota la enorme pasión que tiene D. Miguel por los temas geométricos. Dice el autor : “Los ensayos contenidos en esta obra recogen diversas experiencias, algunas muy entrañables para mí, que proceden de la dedicación de fondo, con paz y gozo, que he tenido durante muchos años a un tipo de geometría que es tal vez poco cultivada en la actua- lidad, no por su falta de belleza e interés, sino tal vez precisamente por el exceso de atención y desarrollo que recibió en tiempos pasados. La llamada geometría elemental, que contiene porciones tales como la geometría del trián- gulo, la geometría del círculo, los tesoros de propiedades interesantes de las cónicas, los desa- rrollos relacionados con problemas relativos a las incidencias y colineaciones en el plano o en el espacio, la geometría proyectiva elemental,... fueron objeto de contemplación apasio- nada de muchos matemáticos especialmente durante el siglo XIX y comienzos del XX. Fue un tipo de geometría que fomentaba sobre todo la intuición del plano y del espacio sin descuidar, por supuesto, el racionamiento lógico y que por ello estaba muy cerca de las raí- ces del pensamiento matemático del mundo griego antiguo, conservando mucho de la atrac- ción fascinante que ejerció sobre los iniciadores de la matemática y también sobre los gran- des matemáticos de todos los tiempos. En la actualidad se dan fuertes indicios de un renaci- miento del campo desde diversos puntos de vista. En estos ensayos trato de recordar, exponer y desarrollar, aprovechando ahora diversas herra- mientas interesantes que las nuevas técnologías ponen a nuestra disposición, algunas de las experiencias más intensas de esta dedicación a la geometría elemental. Las recuerdo y escribo con mucho placer, esperando que este gusto pueda contagiar a otras muchas personas para que también ellas disfruten con la dedicación a este tipo apasionante de matemáticas y para que ellas mismas puedan resolver algunos de los intrigantes misterios aún por resolver y que ocasionalmente aquí quedan esbozados” A lo largo de todo el libro se insiste en una manera de proceder ante este tipo de problemas. Dice D. Miguel : ”..............en un futuro bastante próximo la experimentación será mucho más fácil de realizar que ahora, la conjetura y su comprobación o refutación se hará así mucho más sencilla y sin esfuerzo, y la demostración automática será directa. Con esto nuestro trabajo en matemáticas, ayudados en todas sus fases por el ordenador, consistirá, cada vez en más campos, en lo siguiente: (1) diseñar con imaginación y guiados por la experiencia acumulada, propia y ajena, experi- mentos bien construidos y orientativos en el tema que tratamos de explorar
- 197. (2) conjeturar lasrazones profundas que yacen bajo los experimentos y los resultados, núme- ros, imágenes, estructuras..., que observamos en esta exploración (3) reforzar o refutar nuestras conjeturas con experimentos más refinados (4) demostrar o refutar nuestras conjeturas automáticamente con el ordenador Un vistazo al índice nos da una idea de los temas tratados: Respecto al índice de los temas dice D. Miguel : “La ordenación de los ensayos no es muy sistemática. Algunos se encuentran al princi- pio por razones cronológicas y porque pueden servir de marco adecuado para los que siguen. Otros se encuentran donde están porque así me ha parecido que se introduce un elemento de variedad, para tratar de evitar una posible monotonía en la exposición. Pero en general he pretendido que la lectura de cada capítulo se pueda hacer de forma inde- pendiente utilizando la gran flexibilidad que proporciona la estructura del hipertexto. Cada lector puede así disponer de los contenidos que se le presentan de la forma que le parezca más conveniente y agradable”. Que Ustedes disfruten el libro ( en el que se incluye un CD). Santiago Fernández Octubre 2002 • 2002 Urria 201 1. EL TEOREMA DE KARIYA. 2. DOS CÚBICAS GEMELAS. 3. ENSEÑANDO SE APRENDE. DESCUBRIENDO UN LUGAR GEOMÉTRICO. 4. CONCURRENCIAS Y COLINEACIONES. 5. LUGARES GEOMÉTRICOS. 6. TRANSFORMACIONES. 7. EL PROBLEMA DE APOLONIO. 8. LA RECTA DE WALLACE-SIMSON. 9. EL TEOREMA DE FEUERBACH. 10. LA DELTOIDE DE STEINER. 11. EL TEOREMA DE LOS POLÍGONOS CERRADOS DE PONCELET. 12. EL TEOREMA DE MORLEY. 13. UNA APROXIMACIÓN CON DERIVE A LA GEOMETRÍA PROYECTIVA. 14. UNA CAJA DE HERRAMIENTAS.